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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题33 直线和圆的位置关系
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·上海普陀·二模）知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．
【详解】
解：的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，
的半径为15厘米，
，
两圆的位置关系是相交，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定判断A，D选项；根据三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点判断B选项；根据确定圆的条件判断C选项．
【详解】
解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
D、对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质得∠OBD=90°，再根据圆周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余计算出∠D的度数．
【详解】
解：∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，
∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内心的定义解答．
【详解】
解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，
∴用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．
5．（2022·重庆荣昌·九年级学业考试）如图，是的切线，切点为，是的直径，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，可得∠ACB=∠BAD=90°，进而可以解决问题．
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
∴∠DBC=∠OBA=90°，
∴∠DBO=∠ABC=50°，
∵OB=OD，
∴∠D=∠DBO=50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据切线的定义判断即可；
【详解】
解：∵圆心到一条直线的距离等于半径，
∴这条直线是圆的切线，即与圆只有一个交点，
故选： A．
【点睛】
本题考查了切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；掌握其定义是解题关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据切线的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算出的度数即可．
【详解】
解：∵是的切线，是的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质和直角三角形的性质．注意：圆的切线垂直于经过切点的半径．正解理解和应用切线的性质是解题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20° B．35° C．70° D．110°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用切线的性质可得∠PAO=90°，在Rt中利用两锐角互余即可求解．
【详解】
解：∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=90°．
又∵∠POA＝70°，
∴Rt中，，
故选A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线经过半径的外端点且垂直于半径．
9．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】
解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
10．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，中，，是内心，则等于（
A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算可得．
【详解】
解：∵I是内心，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=130°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．
11．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得，则可得．再根据圆周角定理可得，则可求出∠B的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，且PA与⊙O相切
∴
又∵∠P=36°
∴
∴
故选:A
【点睛】
本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．
12．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【详解】
解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②任意一个三角形内心一定在三角形内部，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分的弦必须不是直径．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【详解】
解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②任意一个三角形内心一定在三角形内部，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分的弦必须不是直径．
14．（2022·云南红河·九年级期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．平分弦的直线垂直弦
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质进行判断即可．
【详解】
A. 平分弦（不是直径）的直线垂直弦，故该选项不正确，符合题意；
B. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故该选项正确，不符合题意；
C. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故该选项正确，不符合题意；
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，故该选项正确，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，熟练掌握这些性质是本题的关键．
15．（2022·云南大理·九年级期末）如图，是的内心，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和可求得∠OBC＋∠OCB＝65°，在△BOC中再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数．
【详解】
解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)
＝ (180° ∠A)
＝×130°
＝65°，
∴∠BOC＝180° （∠OBC＋∠OCB）
＝180° 65°
＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了内心的定义，三角形的内角和等知识，解决问题的关键是掌握内心是三角形内角平分线的交点．
16．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠COD＝80°，则∠BAC＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
由AC是⊙O的切线，可求得∠C=90°，然后由∠COD=80°，求得∠B的度数，即可求得答案．
【详解】
解：∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠COD=80°，
∴∠B=∠COD=40°．
∴∠BAC=90°-∠B=50°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了切线的性质以及圆周角定理．注意掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【答案】D
【解析】
【分析】
AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题．
【详解】
解：因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，
此时E在圆O′上运动，如图，
由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．
故选：D．
【点睛】
本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
18．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若，则∠ACB的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-37°=53°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
19．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B． C．1 D．-2
【答案】C
【解析】
【分析】
取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论．
【详解】
解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
20．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3
∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．
故答案为C．
【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题的关键．
21．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得∠BAD=90°，从而得到∠B=31.5°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵AB是圆O的直径， AD是圆O的切线，
∴AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴，
∵点A是弧EC的中点，
∴ ，
∴,
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
22．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交于点D，的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据圆周角定理可得，，角平分线得，再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得等腰直角三角形，设内切圆的半径为r cm，根据切线长定理列出方程求解．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴，．
∵cm，cm，
∴（cm）．
∵的平分线交于D，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm；
∴等腰直角三角形，
设内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为r cm，
得正方形DGIE，
∴，
∴，
解得cm，
∴的内切圆半径是cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．
23．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
由切线长定理可求得PA=PB，AC=CE，BD=ED，则可求得答案．
【详解】
解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA=PB、AC=CE和BD=ED是解题的关键．
24．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】
解：如图取中点O，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点睛】
本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
25．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，设，的半径为，由勾股定理求出，在中，由可得方程，代入的值，可求出x的值，再根据勾股定理可得出结论．
【详解】
解：连接，如图所示，
∵PC，PD是的切线，
∴
设
∵
∴
∴
设的半径为
∴
在中，，
解得，
在中，
∵是的切线，
∴
在中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得，或（舍去）
∴
∴
在中，，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26．（2022·全国·九年级专题练习）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
27．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．
【答案】40
【解析】
【分析】
直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案．
【详解】
解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=90°-50°=40°，
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故答案为：40．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质，正确得出∠OCB的度数是解题关键．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】
连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
【详解】
解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
29．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
【答案】128°．
【解析】
【分析】
由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=76°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】
解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=104°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×104°=128°．
故答案为：128°．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
30．（2022·四川南充·九年级期末）如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．
【答案】65
【解析】
【分析】
连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接OA，OC，OB，
∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴DO平分，EO平分，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：65．
【点睛】
题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
31．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由是的切线，切点为 证明，再利用线段的和差可得答案.
【详解】
解：是的切线，切点为
，，
故答案为：2
【点睛】
本题考查的是切线长定理，熟练的运用切线长定理证明是解本题的关键.
32．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°．
【答案】35
【解析】
【分析】
连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得结果．
【详解】
解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：35．
【点睛】
题目主要考查了切线的性质及圆周角定理，作出辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．
33．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为_______cm．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理得到AC=AB，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵AB是小圆O的切线，
∴OC⊥AB，
∵AB是大圆O的弦，
∴AC=AB，
在Rt△AOC中，AC===8（cm），
则AB=2AC=16（cm），
故答案为：16．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
34．（2022·山东滨州·九年级期末）将直尺、有角的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺的交点，为光盘与直尺的交点，若，则光盘表示的圆的半径__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知光盘与三角形的斜边和直尺是相切的关系，可以先连接圆心和切点，利用切线的性质和切线长定理可得，再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】
解：由题意可知光盘与三角形的斜边和直尺是相切的关系，
如图，设圆心为，光盘与三角形斜边的切点为，连接，，，
∵、都是圆的切线且切点为、，
∴，，，
∵三角尺中点所对应的角为，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，切线长定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
35．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为__________．
【答案】4.8
【解析】
【分析】
连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，判定点E在AB边中线上时PQ有最小值即可．
【详解】
解：在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，
∵DQ是⊙P的切线，
∴∠PDQ=90°，
∴CE=PQ，DE=PQ，
当CD⊥AB时，CE+DE有最小值，即CD=AC BC÷AB=4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
36．（2022·江苏·九年级）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝________．
【答案】35°
【解析】
【分析】
利用切线的性质和切线长定理可得OB⊥PB，PA＝PB，进而得到∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP，结合∠P＝70°求得∠ABP的度数，即可求得∠ABO
【详解】
解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP
∵∠P＝70°，
∴∠ABP＝∠BAP55°，
∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了切线的性质和切线长定理，熟记性质是解题的关键．
37．（2022·全国·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】
连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
三、解答题
38．（2022·福建南平·九年级期末）如图，点P是的直径延长线上的一点（），点E是线段的中点．在直径上方的圆上作一点C，使得．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，利用三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：连接，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
39．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．
【详解】
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．
40．（2022·江苏·九年级专题练习）已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)如图①，△OPC的最大面积是________；
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】(1)4
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）因为OC长度确定，所以当点P到OC的距离最大时△OPC的面积最大，当OP⊥OC时，当点P到OC的距离最大，等于圆O的半径，求出此时的△OPC的面积即可；
（2）连接AP，BP，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP=DB，因为CP＝DB，所以AP=CP，可证△APB≌△CPO（SAS），得到∠OPC＝90°，即可证明CP是切线．
(1)
解：∵AB＝4，
∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S△OPCOC h＝2h，
∴当h最大时，S△OPC取得最大值．
作PH⊥OC，如图①，则，当OP⊥OC时，，此时h最大，如答图1所示：
此时h＝半径＝2，．
∴△OPC的最大面积为4，
故答案为：4．
(2)
证明：如答图②，连接AP，BP．
∵∠AOP＝∠BOD，
∴AP＝BD，
∵CP＝DB，
∴AP＝CP，
∴∠A＝∠C，
在△APB与△CPO中，
，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠APB＝∠OPC，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠OPC＝90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．
41．（2022·江苏·九年级）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD∠CAB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接AE，利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠CAE=∠CAB，由切线的性质定理可得∠CBD=∠BAE，所以∠CBD=∠CAB．
【详解】
证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠CAB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBD+∠ABC=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠BAE，
∴∠CBD=∠CAB．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确的添加辅助线，利用等腰三角形的性质解题．
42．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
(1)
解：如图，切线AD即为所求；
(2)
如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC cos30°＝，
∴BC＝2．
【点睛】
本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
43．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【解析】
【分析】
（1）连接，根据等边对等角可得，，根据对顶角相等，等量代换后可得即可得证；
（2）过点作，根据垂径定理可得，由，证明，可得，根据即可求解．
(1)
如图，连接，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
(2)
如图，过点作，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
【点睛】
本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．
44．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．
(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，，即四边形是矩形，所以， 根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得，即可得，所以，即可得．
(1)
解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，C为切点，
∴，
∴，
∵，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵的半径为5，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴在中，．
(2)
，证明如下
证明：方法一：如图所示，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴CE=OD，
∵，
在和中，
∴（HL），
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
45．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．
∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)
解∶∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，
∴．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE=．
∴．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
46．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的动点，连接，过点作//，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当的度数为______时，四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)45°
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠PAO=90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可．
（1）解：证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠DOP=∠AOP，在△AOP和△DOP中，，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO=∠PAO，∵∠PAO=90°，∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；
（2）由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA=PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD=OB，∵OB=OA，∴PA=OA，∴∠APO=∠AOP，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．
47．（2022·云南红河·九年级期末）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE＝6
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2，∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
48．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若OB＝2，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OC，利用AB是⊙O的直径得到∠BOC=90°，证明△OEC≌△BEF（SAS），得到∠OBF=∠OCB=90°，即可证得直线BF是⊙O的切线；
（2）根据△OEC≌△BEF，得到BF=2，勾股定理发求出AF，再利用△ABF的面积建立等式求出BD即可．
(1)
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
∵CE=EF，∠OEC=∠BEF，
∴△OEC≌△BEF（SAS），
∴∠OBF=∠OCB=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
(2)
∵△OEC≌△BEF，
∴BF=OC=OB＝2，
在Rt△ABF中，AF=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AF，
∴S△ABF=×AB×BF=×AF×BD，
∴4×2=BD，
解得BD=．
【点睛】
此题考查了圆的切线的判定定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
49．（2022·浙江台州·九年级期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=8，CD=12，求半径的长度．
【答案】(1)答案见解析
(2)5
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA证出∠DAB＝∠ADO，从而得∠CDO＝90°，根据切线的判定即可得出；
（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出关于r的方程即可解答．
(1)
证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)
解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
50．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
【答案】(1)见解析
(2)PC=2
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理以及已知条件可得∠BEC=∠A+∠C=90°，根据平行线的性质得∠ABF=∠BEC=90°，则AB⊥BF，即可得BF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理得DE=CE=3，根据线段垂直平分线的性质得OD=BD，可证明△OBD是等边三角形，可得∠BDE=30°，BD=2BE，根据勾股定理求出BE=，可得OB=2，AB=4，在Rt△ACE中，根据勾股定理得AC=6=2CE，则∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
(1)
证明：∵∠A=∠D，∠C+∠D=90°，
∴∠BEC=∠A+∠C=90°，
∵BFCD，
∴∠ABF=∠BEC=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
(2)
解：连接OD，
∵∠BEC=90°，
∴AB⊥CD，
∵点E为OB中点，CD=6，
∴CE=DE=3，OD=BD，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，∠A=∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴（2BE）2=BE2+32，解得BE=，
∵点E为OB中点，
∴OB=2，AB=4，
∴AE=3，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=32+（3）2=36，
∴AC=6=2CE，
∵AB=4，
∴BP=4，AP=8，
∴PC=8-6=2．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
51．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O半径为
【解析】
【分析】
(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；
(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设⊙O的半径为x，然后利用垂径定理表示出AG，最后在Rt OAG利用勾股定理列出关于x的方程进行计算即可解答．
(1)
证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD=∠EFC=90°
∵AB= AC，
∴∠B=∠C，
∵OB= OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=∠C，
∴OE// AC，
∴∠OEF=∠EFC = 90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)
过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF = 90°
∵∠OEF=∠EFG=90°
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG= EF= 3，
设⊙O的半径为x，
∴AB=AC=2x，
∵CD= 4，
∴AD= AC-CD= 2x- 4，
∵OG⊥AD，
∴AG=AD=x-2，
在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2
(x-2)2+9=x2
x=
⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题33 直线和圆的位置关系
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·上海普陀·二模）知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
2．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．（2022·江苏·九年级专题练习）用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
5．（2022·重庆荣昌·九年级学业考试）如图，是的切线，切点为，是的直径，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20° B．35° C．70° D．110°
9．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
10．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，中，，是内心，则等于（
A．120° B．130° C．150° D．160°
11．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
12．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
13．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）有四个命题，其中正确的命题是（ ）
①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形内心一定在三角形内部；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
14．（2022·云南红河·九年级期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．平分弦的直线垂直弦
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
15．（2022·云南大理·九年级期末）如图，是的内心，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠COD＝80°，则∠BAC＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
17．（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
18．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若，则∠ACB的大小为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B． C．1 D．-2
20．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
21．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
22．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交于点D，的内切圆半径是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
24．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
26．（2022·全国·九年级专题练习）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
27．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．
29．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
30．（2022·四川南充·九年级期末）如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．
31．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为__________．
32．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°．
33．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为_______cm．
34．（2022·山东滨州·九年级期末）将直尺、有角的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺的交点，为光盘与直尺的交点，若，则光盘表示的圆的半径__________．
35．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为__________．
36．（2022·江苏·九年级）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝________．
37．（2022·全国·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
三、解答题
38．（2022·福建南平·九年级期末）如图，点P是的直径延长线上的一点（），点E是线段的中点．在直径上方的圆上作一点C，使得．求证：是的切线．
39．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
40．（2022·江苏·九年级专题练习）已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)如图①，△OPC的最大面积是________；
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
41．（2022·江苏·九年级）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD∠CAB．
42．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
43．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
44．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．
(1)若的半径为5，求的长；
(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
45．（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
46．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的动点，连接，过点作//，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当的度数为______时，四边形是平行四边形．
47．（2022·云南红河·九年级期末）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
48．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若OB＝2，求BD的长．
49．（2022·浙江台州·九年级期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=8，CD=12，求半径的长度．
50．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
51．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
试卷第1页，共3页
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