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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题28圆
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、弧、弦直径的关系定理判断即可．
【详解】
解：①直径是弦，①正确；
②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；
④半圆是弧，④正确；
故不正确的有个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的弦不可能比10cm更长，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，熟知直径是圆中最长的弦是解题的关键．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】
解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】
解：∵圆的半径为2，
∴直径为4，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于4，不可能为5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．
【详解】
解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；
经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；
圆有无数条对称轴，符合题意；
没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；
正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，关键是掌握直径、弧的定义，注意在同圆或等圆中，优弧的长度一定大于劣弧的长度．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
【详解】
解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．
8．（2022·江苏·九年级）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，过一个点或两个点可以做无数个圆，过不在同一直线的三个点只能做一个圆．
【详解】
经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆．
故选：A．
【点睛】
本题主要考察的是圆的基本性质．
9．（2022·河南周口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设点B的坐标为（x，y），利用M点为AB的中点得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B点坐标．
【详解】
解：设点B的坐标为（x，y），
∵AB是⊙M的直径，
∴M点为AB的中点，
∵A（a，b），M（1，0），，
∴1＝，0＝，
解得：x＝2 a，y＝ b，
∴B点坐标为（2 a， b）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键．
10．（2022·河北廊坊·一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵是的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大．
11．（2022·湖北湖北·模拟预测）图，菱形的三个顶点、、在上，则（ ）．
A．100° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
连结OC，根据圆的半径相等得出OA=OB=OC，根据菱形性质得出OA=AC=CB=OB=OC，可证△OAC和△OBC均为等边三角形，得出∠ACO=∠BCO=60°即可．
【详解】
：连结OC，
∵点、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四边形OACB为菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均为等边三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，菱形性质，等边三角形的判定与性质，掌握圆的基本性质，菱形性质，等边三角形的判定与性质是解题关键．
12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图是的半径，是的弦，且，若与互相垂直平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，设交于，则由题可得，，利用勾股定理求得的长，．
【详解】
连接，设交于点．
与互相垂直平分，
，，
又，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的性质，垂直平分线的定义，以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
13．（2022·贵州铜仁·一模）在直径为AB的半圆O上有一动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，然后以相同的速度沿着直径回到点A后停止，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据圆的半径为定值可知，在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小，从点O到点A的过程中OP逐渐增大，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵圆的半径为定值，
∴在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，
当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小到0，
从点O到点A的过程中OP逐渐增大到半径长，
观察选项只有C符合题意.
故选C．
【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键．
14．（2022·陕西·一模）如图，是的直径，、是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB．证明△EFO≌△EBO，得到∠BOE=∠FOE，由邻补角性质，得到∠FOB的度数，从而得到∠FOE的度数．在△EOF中，根据等边对等角和三角形内角和定理得出∠EFO的度数．
【详解】
解：如图所示，连接FB．
在△EFO和△EBO中，
（SSS），
∴∠BOE=∠FOE，
又∵∵AOF=40°
∴∠FOB=180°-40°=140°，
∴∠EOF=∠EOB=（360°-140°）÷2=110°，
∴∠OFE=∠OEF=（180°-110°）÷2=35°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为2
∴半径为
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（）2-22=
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．
16．（2022·湖南株洲·九年级期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
综上所述，四个说法中正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键．
17．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2OP，若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，求出OM得到ON即可．
【详解】
解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵OA=OB，
∴AB=2OP，
若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，
连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6，MQ=8，
∴OM=10，
又∵MN=4，
∴ON=6，
∴AB=2ON=12，
故选：C．
【点睛】
此题考查了直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题，勾股定理，正确理解最短路径问题是解题的关键．
18．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】
解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM= ，求出A'C的最大值即可．
【详解】
解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM=，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．
∴OM的最大值 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．
20．（2022·河南洛阳·九年级期中）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的圆B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】
点C为坐标平面内一点，BC＝1，
在圆B上，且半径为1，
取，连接CD，
，
是的中位线，
，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
，
，
，
，即OM的最大值为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理及圆的相关知识等，确定OM为最大值时点C的位置，并熟练掌握知识点是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．
【详解】
设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
22．（2022·广东·汕头市世贸实验学校三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=2，可知G点的轨迹为：交以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，交以D为圆心，以2为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，即问题得解．
【详解】
解：∵EF=4，点G为EF的中点，
∴DG=2，
∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），
作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，当G点刚好在直线上时，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；
∵AB=4，AD=6，
∴，
∴在Rt△利用勾股定理有，
∴，
∴PA+PG的最小值为8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
23．（2022·江苏·九年级）如果一个圆柱的底面半径为1米，它的高为2米，那么这个圆柱的全面积为__平方米．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用圆柱侧面积＝底面周长×高，进而得出全面积．
【详解】
解：根据圆柱的侧面积公式可得：π×2×1×2＝4π．
圆柱的两个底面积为2π，
∴圆柱的全面积为4π+2π＝6π（平方米）．
故答案为：6π
【点睛】
本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法，正确把握计算公式是解题关键．
24．（2022·江苏·九年级专题练习）到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是____________．
【答案】圆
【解析】
【分析】
根据圆的定义进行判断即可，圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．
【详解】
定点为圆心，定长 为半径，圆心与半径可确定一个圆．
故答案为：圆
【点睛】
本题考查了圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．要特别注意圆不包括圆心，也不包括半径、直径等，它是由点组成封闭曲线．
25．（2022·全国·九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．
【答案】 （或） 劣弧 （或） 优弧
【解析】
【分析】
根据劣弧和优弧的定义即可直接填空．
【详解】
小于半圆的弧（如图中的（或））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的（或））叫做优弧．
故答案为：（或），劣弧；（或），优弧．
【点睛】
本题考查找出圆中的优弧和劣弧及优弧和劣弧的定义．掌握优弧和劣弧的定义是解答本题的关键．
26．（2022·江苏·九年级专题练习）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．
【答案】①
【解析】
【分析】
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解：直径是弦，但弦不是直径，故① 正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故② 错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.
故答案为：①
【点睛】
本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.
27．（2022·福建南平·九年级期末）在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论．
【详解】
解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，
则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF PE＝EF＝4.
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝__．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】
由圆的性质得CB＝CD，由等边对等角得∠B＝∠CDB，利用三角形内角和定理求出∠B，再利用直角三角形两个锐角互余即可求出∠A．
【详解】
解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B（180°－∠BCD）（180°－40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质及圆的基本知识，利用圆的知识得出CB＝CD是解题的关键．
29．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，为⊙的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是25°，则 的度数为_____________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】
由，得出，由三角形的外角性质得出，再由平行线的性质即可得出 的度数．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质及平行线的性质，熟练应用相关性质是解决此题的关键．
三、解答题
30．（2022·江苏·九年级专题练习）体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据圆的定义解答即可．
【详解】
解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆．
【点睛】
此题考查圆的定义，到定点的距离等于定长的所有点的集合称之为圆，理解圆的定义是解决本题的关键．
31．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）．
【答案】∠AOC=3α
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到∠D=∠BOD=α，利用三角形外角性质得到∠CEO=2α，由于OC=OD，则∠C=∠D=α，然后根据三角形外角性质得到∠AOC=3α．
【详解】
解：∵OE=DE，
∴∠D=∠BOD=α，
∵∠CEO=∠D+∠BOD，
∴∠CEO=2α，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D=α，
∵∠AOC=∠C+∠CEO，
∴∠AOC=3α．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
32．（2022·广东·一模）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE．
(1)求证：四边形OGCH是平行四边形；
(2)当点C是上运动时，在CD，CG，DG这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，DG不变，DG=1．
【解析】
【分析】
（1）连接OC交DE于M，证矩形OECD，推出MC=MO，MG=MH即可；
（2）求出OC=DE=3，即可求出答案．
(1)
证明：连接OC交DE于M，
∵CE⊥OB，CD⊥OA，∠BOA=90°，
∴∠CEO=∠BOA=∠CDO=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴OM=CM，EM=DM，
∵EH=DG，
∴EM-EH=DM-DG，
即HM=GM，
∴四边形OGCH是平行四边形；
(2)
解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，
∵DG=GH=EH，
∴DG=DE=OC=1，
而CD，CG随着点C的移动而发生变化，
答：DG的长不变，DG=1．
【点睛】
本题主要考查对矩形、平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能求出MC=MO和MH=MG是解此题的关键．
33．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若，，求∠C的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
求的度数，即可求．
【详解】
解：连接，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质与三角形的外角性质以及等腰三角形的性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知的圆心原点，半径长为是上的在第一象限的点，求的值．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据圆的基本性质，可得OA=10，再由 ，可得AB=8，然后由勾股定理，求出OB=6，即可求解．
【详解】
解：如图，过点B作AB⊥x轴于点B，连接OA，
∵的半径长为10，
∴OA=10，
∵ ，
∴AB=8，
在 中，由勾股定理得：
，
∵在第一象限内，
∴ ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，，，试证明：、、、在同一圆上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出进而得出答案．
【详解】
证明：如图，取的中点，连接，，
∵，，
∴和为直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，，四点都在以点为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】
本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出是解题的关键．
36．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知为的直径，四边形，都是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，，设的半径为r，，则，在Rt△COD和Rt△FOG中，分别根据勾股定理可得，解方程即可求解．
【详解】
如图，连接，，
设的半径为，，则，
∵，
∴，
∵正方形的面积为16，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
37．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；
(2)如图2，锐角ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．
【答案】(1)120°
(2)是，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形内角和以及新定义进行计算即可求解；
（2）证明△BED≌△BEO（SAS），可得∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α.则∠AFE=2∠EAF=2α，根据三角形内角和以及等边对等角可得∠ABC=∠AOC=∠EFC，根据定义即可得证．
(1)
解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°.
∴∠B+∠C=120°.
即∠B与∠C的度数之和120°.
(2)
证明：在△BED和△BEO中，
.
∴△BED≌△BEO（SAS）.
∴∠BDE=∠BOE.
又∵∠BCF=∠BOE.
∴∠BCF=∠BDE.
如图，连接OC，
设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α.
∴∠EFC=180°－∠AFE=180°－2α.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=α.
∴∠AOC=180°－∠OAC－∠OCA=180°－2α，
则∠AOC=∠EFC
又∵∠ABC=∠AOC
∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.
∴四边形DBCF是半对角四边形.
【点睛】
本题考查了几何图形的新定义，四边形内角和，圆内接三角形，圆的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键．
38．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．
(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质得到BC=CD，根据HL定理证明Rt△BEC≌Rt△CFD得到∠BCE=∠CDF，进而证明∠BCD=90°即可得证；
（2）连结AF、DE，先利用线段垂直平分线的性质证得CD=DE=DA，再根据等腰三角形的性质证得∠AEB=∠AEF=135°，证明△AEB≌△AEF（SAS）得到AB=AF即可．
(1)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA，
∵，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
在Rt△BEC和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)
证明：连结AF、DE，
∵F为CE的中点，DF⊥CE，
∴DF垂直平分CE，
∴CD=DE=DA，
∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，
∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，
∴∠AEB=∠AEF，
∵Rt△BEC≌Rt△CFD，
∴BE=CF=EF，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴AB=AF，
∴点F在以AB为半径的上．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、圆的定义等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
39．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点O的“垂直图形”．
(1)线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点N的坐标为，则点P的坐标为__________；
②若点P的坐标为，则点N的坐标为__________；
(2)．线段关于点H的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点的对应点为．
①求点的坐标（用含a的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
【答案】(1)①（2，1）；②（1，4）
(2)①（a+3，a+3）；②
【解析】
【分析】
（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解；
（2）①过点E作EG⊥x轴于G，⊥x轴于P，证明△EGH≌△得到HP=EG，=GH，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义，满足条件的点在第一象限的上，进而根据勾股定理求解即可．
(1)
解：①∵线段关于点的“垂直图形”为线段，M(1，1)，N（1，2），
∴点P坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）；
②∵线段关于点的“垂直图形”为线段，M(1，1)，P（4，1），
∴点N的坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）；
(2)
解：①过点E作EG⊥x轴于G，⊥x轴于P，则∠EGH=∠=90°，
∴∠GEH+∠GHE=90°，
∵点E关于点H的“垂直图形”为，
∴∠=90°，EH= ，
∴∠GHE+∠=90°，
∴∠GEH=∠，
∴△EGH≌△（AAS），
∴HP=EG，=GH，
∵E（-3，3），H（a，0），
∴HP=EG=3，=｜a+3｜，OP=｜a+3｜，
∴点坐标为（a+3，a+3）；
②如图，满足条件的线段如图中阴影部分，线段最大时的点在第一象限的上，
∵（a+3，a+3），=2，
∴（a+3）2+（a+3）2=4，
∴a=-3，则（，），
∴=，
即满足条件的的长度的最大值为．
【点睛】
本题是几何变换综合题，涉及旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形变换-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，注意数形结合．
40．（2022·陕西咸阳·九年级期中）【问题探究】（1）如图1，点E、M、N、F分别是正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、MN，点P为EF的中点，连接PM、PN，若正方形的边长为4，求PMN的面积；
【问题解决】（2）如图2，正方形ABCD为一块观赏园林区，其边长为100米，M、N分别为边BC、CD的中点，现计划在AB、AD边上分别取点E、F，使得米，并沿EF、MN修建两条观赏小径，取EF的中点P，在PMN内种植一种名贵花卉，为节省资金，要求种植名贵花卉区域（PMN）的面积尽可能小，问△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）存在最小值，最小值为平方米
【解析】
【分析】
（1）根据正方形和中位线的特性易求MN长度，再求AC长度，再用AC乘以二分之一即可得到△MPN的高，再求面积；
（2）首先确定点P是EF中点，又△AEF为直角三角形，所以AP始终为EF的一半，要使得△MPN的面积最先就要是以MN为底的高最小，而P的轨迹为半径为25，圆心为点A的四分之一圆，只有当APC三点共线时，三角形的高最短，从而求出最小面积
【详解】
解：（1）连接EM，如图1．
∵E、M、N、F分别是正方形的边AB、BC、CD、AD的中点，
∴，，
∴△AEF、△BEM、△CMN都是等腰直角三角形，且．
∴∠AEF＝∠BEM＝∠BME＝∠CMN＝45°，
∴∠MEF＝∠EMN＝90°，
∴，，
∴EM为△PMN的边MN上的高，
∴．
（2）如图2，过点P作于点Q，则PQ为△PMN的边MN上的高．
∵四边形ABCD是正方形，M、N分别是BC、CD的中点BC＝CD＝100米，
∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，CM＝CN＝50米，∴米，
∴要使△PMN的面积最小，则高PQ应取最小值．
连接AP．
∵∠BAD＝90°，EF＝50米，点P为EF的中点，∴AP＝25米，
∴点P在正方形ABCD内部，以A为圆心，25米为半径的圆上运动．
连接AC交于点，交MN于点H，易得，米．
又∵米，米，
∴米．
∵，，，∴，
∴PQ的最小值为米，
∴△PMN面积的最小值为（平方米）．
即种植名贵花卉区域（△PMN）的面积存在最小值，最小值为平方米．
【点睛】
本题考查正方形特性、中位线特性、三角形斜边中线等于斜边一般长、动点问题，掌握方法和相应技巧是关键
41．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中，画出的中线AE；
(2)在图（2）中，画出的角平分线AF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CO、BD，CO交BD于点G，连接AG并延长交BC于E，线段AE即为所求作；
（2）利用（1）的中点E，过点E作半径OH，连接AH交BC于点F，则线段AF即为所求作．
(1)
解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
(2)
解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
42．（2022·甘肃陇南·一模）如图，在Rt△ABC中，，请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
(2)作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
(3)以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；
（2）分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；
（3）连接OD，以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
(1)
解：以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线，如图所示：
(2)
解：分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O，如图所示：
(3)
解：连接OD，以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M，如图所示：
【点睛】
本题考查基本尺规作图，涉及到作角平分线、作中垂线和作圆等尺规作图的操作方法，熟练掌握几种基本尺规作图的操作方法是解决问题的关键．
43．（2022·天津河东·一模）如图①，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，．
(1)求点的坐标；
(2)以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，．
①如图②，当时，与轴交于点，求点的坐标；
②如图③，在（1）的条件下，点不变，继续旋转三角形，当点落在射线上时，求证四边形为矩形；
(3)点不变，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）过点作轴，根据点的坐标，勾股定理求解即可；
（2）①以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且，可得OF=．即可求得点的坐标；
②根据题意证明，计算，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得证；
（3）连接，根据三角形中位线的性质可得，根据题意可知点在以为圆心为半径的圆上运动，根据点圆的位置关系即可求得，然后即可求得的取值范围．
(1)
解：如图，过点作轴，
点，点，
∴AB=8，又，，
∴在Rt△ABC中，BC=4，在Rt△GBC中，BG=2，CG=．
又点在第一象限，
∴；
(2)
①以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且，
∴．
∴在Rt△FOB中， OB=6，
∴OF=．
∴；
②∵点落在射线上，
∴．
由①知，，
∴．
∵，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形.
又，
∴四边形是矩形.
(3)
如图，连接，
分别为的中点
，，
旋转
则点在以为圆心为半径的圆上运动，
即
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，坐标与图形，矩形的判定，点与圆的位置关系，掌握以上知识点是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题28圆
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
3．（2022·江苏·九年级专题练习）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022·江苏·九年级专题练习）已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·江苏·九年级专题练习）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C． D．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
8．（2022·江苏·九年级）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
9．（2022·河南周口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河北廊坊·一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2022·湖北湖北·模拟预测）图，菱形的三个顶点、、在上，则（ ）．
A．100° B．150° C．120° D．60°
12．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）如图是的半径，是的弦，且，若与互相垂直平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·贵州铜仁·一模）在直径为AB的半圆O上有一动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，然后以相同的速度沿着直径回到点A后停止，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·陕西·一模）如图，是的直径，、是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·湖南株洲·九年级期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·河南洛阳·九年级期中）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·广东·汕头市世贸实验学校三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
第II卷（非选择题）
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二、填空题
23．（2022·江苏·九年级）如果一个圆柱的底面半径为1米，它的高为2米，那么这个圆柱的全面积为__平方米．（结果保留π）
24．（2022·江苏·九年级专题练习）到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是____________．
25．（2022·全国·九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．
26．（2022·江苏·九年级专题练习）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．
27．（2022·福建南平·九年级期末）在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为___________．
28．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝__．
29．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，为⊙的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是25°，则 的度数为_____________．
三、解答题
30．（2022·江苏·九年级专题练习）体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？
31．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）．
32．（2022·广东·一模）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE．
(1)求证：四边形OGCH是平行四边形；
(2)当点C是上运动时，在CD，CG，DG这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．
33．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若，，求∠C的度数．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知的圆心原点，半径长为是上的在第一象限的点，求的值．
35．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，，，试证明：、、、在同一圆上．
36．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知为的直径，四边形，都是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
37．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；
(2)如图2，锐角ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．
38．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．
(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
39．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点O的“垂直图形”．
(1)线段关于点的“垂直图形”为线段．
①若点N的坐标为，则点P的坐标为__________；
②若点P的坐标为，则点N的坐标为__________；
(2)．线段关于点H的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点的对应点为．
①求点的坐标（用含a的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
40．（2022·陕西咸阳·九年级期中）【问题探究】（1）如图1，点E、M、N、F分别是正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、MN，点P为EF的中点，连接PM、PN，若正方形的边长为4，求PMN的面积；
【问题解决】（2）如图2，正方形ABCD为一块观赏园林区，其边长为100米，M、N分别为边BC、CD的中点，现计划在AB、AD边上分别取点E、F，使得米，并沿EF、MN修建两条观赏小径，取EF的中点P，在PMN内种植一种名贵花卉，为节省资金，要求种植名贵花卉区域（PMN）的面积尽可能小，问△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积，若不存在，请说明理由．
41．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中，画出的中线AE；
(2)在图（2）中，画出的角平分线AF．
42．（2022·甘肃陇南·一模）如图，在Rt△ABC中，，请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
(2)作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
(3)以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
43．（2022·天津河东·一模）如图①，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，．
(1)求点的坐标；
(2)以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，．
①如图②，当时，与轴交于点，求点的坐标；
②如图③，在（1）的条件下，点不变，继续旋转三角形，当点落在射线上时，求证四边形为矩形；
(3)点不变，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．
试卷第1页，共3页
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