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绝密★启用前
专题01 一元二次方程的定义
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖南怀化·九年级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林长春·九年级期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
3．（2022·全国·九年级单元测试）下列各式（1﹣x）=0，=0，=0，，x2+3x=0，其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022·江苏·九年级专题练习）关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m＝1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＜2
5．（2022·贵州毕节·二模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南信阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
7．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
8．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
9．（2022·江苏·九年级专题练习）方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠±1 B．m≥-1且m≠1 C．m≥-1 D．m＞-1且m≠1
10．（2022·全国·九年级课时练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
11．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
12．（2022·山东日照·三模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
13．（2022·全国·九年级）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则正整数m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
14．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
第II卷（非选择题）
三、填空题
15．（2022·江苏淮安·九年级期末）关于x的方程（k-1）x2-x＋6=0是一元二次方程，则k满足的条件是________．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__．
17．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________．
18．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若方程ax2+2x-1=2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 _____．
19．（2022·四川成都·二模）若（其中a是常数）是关于x的一元二次方程，则a的值为______．
20．（2022·湖南怀化·九年级期末）已知方程．当_____时，为一元二次方程．
21．（2022·江苏·九年级）（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝________．
22．（2022·全国·九年级专题练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
23．（2022·全国·九年级）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 __．
24．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．
25．（2022·山东东营·三模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么k应满足的条件是______．
四、解答题
16．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
27．（2022·全国·九年级）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
28．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求．
29．（2022·内蒙古鄂尔多斯·九年级期末）已知关于x的方程．
(1)当k_________时，方程是一元二次方程；
(2)若方程有两个实数根，求k的取值范围；
30．（2022·全国·九年级专题练习）若方程是关于的一元二次方程，求m的值．
31．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当时，用合适的方法求此时该方程的解．
32．（2022·湖北·房县教学研究中心一模）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求方程有实数根的实数m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的正整数根，求出此时m的整数值．
33．（2022·全国·九年级单元测试）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
34．（2022·广西玉林·九年级期末）已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m的值．
试卷第1页，共3页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题01 一元二次方程的定义
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．（2022·湖南怀化·九年级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A．不是整式方程，故本选项不合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．方程整理得 x＋2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2022·吉林长春·九年级期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程
∴m﹣3≠0
∴m≠3
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，注意a≠0这个条件．解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
3．（2022·全国·九年级单元测试）下列各式（1﹣x）=0，=0，=0，，x2+3x=0，其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【详解】
解：（1﹣x）=0．是一元一次方程，不合题意；
=0，是一元二次方程，符合题意；
=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，
+x=0，不符合一元二次方程的定义，
x2+3x=0，是一元二次方程，符合题意，
故其中一元二次方程的个数为：2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程具备的条件是解题的关键．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m＝1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＜2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0，（a≠0）解答即可．
【详解】
解：根据题意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（abc都是常数，且a≠0）成为解答本题的关键．
5．（2022·贵州毕节·二模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可．
【详解】
解：由题意，得m-3≠0，
∴m≠3，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如ax2+bx+c=0，a，b，c是常数，且a≠0的方程是一元二次方程．
6．（2022·河南信阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得，
又关于的一元二次方程没有实数根，
此方程根的判别式，
解得，
综上，实数的取值范围是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
7．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入中，求出的值，再根据，即可确定的值．
【详解】
将代入中
解得
∵这是关于的一元二次方程
∴
解得
故
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．
8．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入一元二次方程中即可得到关于m的方程，解此方程即可求出m的值．由即得到从而得到答案．
【详解】
解：是一元二次方程的一个根，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠±1 B．m≥-1且m≠1 C．m≥-1 D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
由有意义得，
解得：，
∴且，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．（2022·全国·九年级课时练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出的值后对各选项进行判断．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且，
解得或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义以及△的意义得到k-1≠0且△≥0，即4+4（k-1）≥0，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴k-1≠0且△≥0，
即k-1≠0且4+4（k-1）≥0，
解得且k≠1．
故选D
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义．
12．（2022·山东日照·三模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
分和两种情况进行讨论．
【详解】
解：①当时，方程为 ，解得 ，
时，方程有实数根，符合题意；
②当 时，
∵方程有实数根，
，
解得： ，
且时方程有实数根；
综上所述，时关于x的方程有实数根．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式和其根的关系，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并分类讨论是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则正整数m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义和根的判别式即可求解．
【详解】
解：依题意得解得且，
∵m为正整数．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程有两个不相等的实数根对应△＞0．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
第II卷（非选择题）
三、填空题
15．（2022·江苏淮安·九年级期末）关于x的方程（k-1）x2-x＋6=0是一元二次方程，则k满足的条件是________．
【答案】k≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】
解：∵关于x的方程（k-1）x2-x＋6=0是一元二次方程，
∴，
解得：k≠1．
故答案为：k≠1
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可；
【详解】
解：根据题意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
17．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据一元二次方程存在的条件，求解即可．
【详解】
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m－3≠0，
即m≠3，
故答案为：m≠3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程需满足：整式方程、化简后只含一个未知数且未知数最高次数为2、二次项系数不为0．
18．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若方程ax2+2x-1=2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 _____．
【答案】a≠2
【解析】
【分析】
先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a-2≠0，求出即可．
【详解】
解：ax2+2x-1=2x2，
（a-2）x2+2x-1=0，
∵关于x的方程ax2+2x-1=2x2是一元二次方程，
∴a-2≠0，
即a≠2，
故答案为：a≠2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
19．（2022·四川成都·二模）若（其中a是常数）是关于x的一元二次方程，则a的值为______．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
20．（2022·湖南怀化·九年级期末）已知方程．当_____时，为一元二次方程．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到且，解得即可．
【详解】
根据题意得，且，
解得k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．
21．（2022·江苏·九年级）（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝________．
【答案】 m≠2 1
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义可进行求解；
（2）把x＝0代入方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2；
（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解题的关键，注意二次项系数不能为0．
22．（2022·全国·九年级专题练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据和解得的值．
【详解】
由题意得
∴或
∵
∴
∴舍去
故
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和绝对值方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和绝对值方程的相关知识．
23．（2022·全国·九年级）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 __．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据根的判别式和一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
又∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且，
故的取值范围为：且．
故答案为：且．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．
24．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．
【答案】
【解析】
【分析】
分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.
【详解】
解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程；
由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程．
故答案为：；m＝﹣2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
25．（2022·山东东营·三模）如果关于的一元二次方程有实数根，那么k应满足的条件是______．
【答案】且
【解析】
【分析】
由一元二次方程的定义可得 再由方程有实数根可得： 解不等式组即可得到答案.
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
解得：且
故答案为：且
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练地利用根的判别式求解字母参数的取值范围是解本题的关键.
四、解答题
26．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
【答案】m＝﹣2
【解析】
【分析】
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
27．（2022·全国·九年级）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或±1
(2)m＝﹣
【解析】
【分析】
（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
(1)
解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
(2)
解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
28．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程为一元二次方程，得出，再根据方程有两个实数根，解不等式即可；
（2）先把代入方程求出m，再解一元二次方程即可．
(1)
解：∵该方程为一元二次方程，
∴，
∵方程有两个实数根，
∴，
即：，
得：，
∴；
(2)
解∵方程有一个为，
∴，
解得，
∴即，
解得，
∴．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义，判别式的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的运用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ=b2-4ac的关系：①Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，则方程有两个相等的实数根；③Δ＜0，则方程没有实数根是解题关键．
29．（2022·内蒙古鄂尔多斯·九年级期末）已知关于x的方程．
(1)当k_________时，方程是一元二次方程；
(2)若方程有两个实数根，求k的取值范围；
【答案】(1)≠1
(2)k≤5且k≠1
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义，进行判断即可，
（2）根据一元二次方程根的判别式大于或等于0求解即可
(1)
解：∵方程是一元二次方程
∴k≠1
故答案为：≠1
(2)
解：∵方程有两个实数根，
∴，且
解得且
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，理解定义以及一元二次方程根的判别式是解题的关键，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
30．（2022·全国·九年级专题练习）若方程是关于的一元二次方程，求m的值．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得出m2=2，再求出答案即可．
【详解】
根据题意得 解得
所以当方程是关于的一元二次方程时，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
31．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当时，用合适的方法求此时该方程的解．
【答案】(1)，且
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，＞0且，即可求解；
（2）将代入方程，可得，用公式法即可求解（方法不唯一）．
（1）解：由题意得:＞0，即：，，解得：，∵该方程为一元二次方程，∴，∴当，且时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝2时，方程为，∵＝9＋4×2×2＝25＞0，∴，∴，．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法．
32．（2022·湖北·房县教学研究中心一模）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求方程有实数根的实数m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的正整数根，求出此时m的整数值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（１）根据一元二次方程成立条件和根的判别式判断即可；
（２）先再根据根的情况求出m取值范围，再用因式分解求出根，即可求解s．
(1)
解：由题意可知：，
∵
∴，
故，方程总有实数根
(2)
解：∵程有两个不相等的正整数根，
∴，
∴m≠2，
∵，
∴
∴或
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴．
【点睛】
本题考查根的判别式与因式分解法解方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
33．（2022·全国·九年级单元测试）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】(1)
(2)m的值为
【解析】
【分析】
(1)根据一元二次方程的判别式，可得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的范围；
(2)根据第（1）问确定k的最大整数值，将k的值代入方程，求此方程的根，再将根代入，可以得到关于m的方程，解方程即可得到m的值，注意检验是否符合一元二次方程的定义．
(1)
根据题意得，
解得；
(2)
∵，
∴k的最大整数为6，
∴方程x2﹣5x+k＝0变形为x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，
解得m＝1；
而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，
当x＝3时，9（m﹣1）+3+m﹣3＝0，
解得，，
∴m的值为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义与解法，以及根的判别式，解题的关键是对于一元二次方程的根以及根的判别式的理解，特别需要注意检验是否符合一元二次方程的定义．
34．（2022·广西玉林·九年级期末）已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或2
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式解答即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝1，x2＝，由已知可得出为不等于1的整数，结合m为整数即可求出m值．
(1)
由题意可知：m≠0，
∵Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∴Δ≥0，
故不论m为何值时，方程总有两个实数根；
(2)
解：由已知，得（x-1）（mx-2）=0，
∴x-1=0或mx-2=0，
∴，，
当m为整数1或2时，x2为正整数，
即方程的两个实数根都是正整数，
∴整数m的值为1或2
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与其判别式的关系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与其判别式的关系是解答的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
