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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题31 圆周率
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆周角定理解决问题即可．
【详解】
解：在⊙O中，
∠ACB＝∠AOB，
∠AOB＝48°，
∴∠ACB＝24°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是记住同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是( )
A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
3．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝60°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理进行求解即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理进行求解计算是解决本题的关键．
4．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】C
【解析】
【分析】
由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案．
【详解】
解：∵BD是的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故选： C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2022·江苏·九年级）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【答案】B
【解析】
【分析】
设∠A＝x，则∠C＝2x，根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝180°，进而问题可求解．
【详解】
解：设∠A＝x，则∠C＝2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AB，由△AOB是等腰三角形，∠AOB＝70°，求得∠OBA的度数，由得到∠DAO的度数，由得到∠ADC的度数，四边形ABCD是的内接四边形，由圆内接四边形对角互补即可得到答案．
【详解】
解：连接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四个点均在上，
∴四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可求解．
【详解】
∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆周角直接可得答案．
【详解】
解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故选B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
10．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是直径，∠ABD＝30°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图，连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
11．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠AOB=40°，可得∠ABO=70°，再由BC∥OA，可得∠OBC=∠AOB=40°，从而得到∠ABC=110°，再由圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠ABO=70°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∴∠ABC=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°
故选C
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接DE，根据圆内接四边形的性质，可得：．结合，可求出，．由同弧所对的圆周角相等，可知．由于BE是直径，所以．即可求出．
【详解】
解：连接DE
四边形是的内接四边形
BE是的直径
在中，
故选A．
【点睛】
本题主要考查知识点为：圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．圆周角定理的推论，即同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角．圆的知识点很多，在做题时要仔细审题并且仔细观察图形．熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论是解决本题的关键．
13．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠C的度数（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用垂直的定义得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB和∠AOB都对，
∴∠ACB=∠AOB=×90°=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OB，根据圆周角定理可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
⊙O的半径是3，
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB＝90°．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A、B、C在上，∠ABO=36°，则∠ACB的度数为（ ）
A．27° B．36° C．54° D．108°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是等腰三角形，由可得，利用圆周角定理即可求解．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题综合运用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．（2022·重庆市开州区德阳初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC与△BCD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．20° D．25°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】
解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
17．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，AB是的直径，点C在圆上，连结BC，OC，若，则的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵，
∴∠B=∠AOC=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知：是的直径，的半径为1，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，由直径所对的圆周角是90°，结合勾股定理解出AD的长，再利用圆周角定理，得到，最后由正弦定义解答．
【详解】
解：连接AD，
是的直径，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是90°、正弦定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
20．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=108°，则∠α=（ ）
A．72° B．108° C．120° D．144°
【答案】D
【解析】
【分析】
作所对的圆周角∠ADB，如图，先根据圆内接四边形的性质求出∠ADB=72°，然后根据圆周角定理得到∠α的度数．
【详解】
解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=180°-108°=72°，
∵∠ADB=∠AOB，
∴∠α=2×72°=144°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
21．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．60° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=30°可知∠CAB=60°，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠BDC=∠CAB=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°，由AB是直径求出∠ACB=90°是解题的关键．
22．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，如图，点A，B，C三点都在上，，，若的面积为2，则⊙的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA、OB、OC，根据圆周角定理可得∠BOC=90°，∠AOC=45°，进而得出OA∥BC，所以的面积和△OBC的面积相等，根据三角形面积公式求出半径即可．
【详解】
解：连接OA、OB、OC，
∵，，
∴，，
∵OB=OC，
∴，
∵，
∴，
∴OA∥BC，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是根据圆周角定理得出三角形面积相等．
23．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点、分别是上直径异侧的两点，且，连接、、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BC，根据，有∠CBA=2∠CAB，依据AB是直径，可知∠CAB+∠CBA=90°，则有∠CBA=60°，即∠APC=∠ABC可求．
【详解】
连接BC，如图，
∵，
∴∠CBA=2∠CAB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=60°，
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，通过，得到∠CBA=2∠CAB是解答本题的关键．
24．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据AB是⊙O的直径和的长是长的2倍，可以求得∠ABC的度数，再根据CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度数，然后即可计算出∠CBD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵的长是长的2倍，的度数＋的度数＝180°，
∴的度数为120°，的度数为60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出∠ABC和∠ABD的度数．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，连接BD，若的半径为4，则BD的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB，OD，利用圆的内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理，求出．最后利用勾股定理求出BD即可．
【详解】
解：连接OB，OD，如图：
∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理，求出．
26．（2022·江苏·九年级）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP＝∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC＝90°，AE＝EF＝FD得FC＝2FD，∠DCF＝30°，得出∠ACB＝30°，求出BC的长，则可得AD的长，再三等分即可．
【详解】
解：连接AC、BD，
∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，
∴AF=DE=CF，则FC＝2FD，
设FD＝x，则FC＝AF＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC，
∴AD＝BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE．
故选：A.
【点睛】
本题是有关圆的计算题，考查了矩形，含30°的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及圆周角、圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
27．（2022·河北邯郸·二模）如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
分如解图①，当点在圆心的左侧且时，如解图②，当点在圆心的右侧且时，两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案．
【详解】
如解图①，当点在圆心的左侧且时，过作，垂足为，连接、、，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如解图②，当点在圆心的右侧且时，过作，垂足为，连接、、，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴若、的长均不小于2，则，
∴的长可能是7，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
28．（2022·安徽芜湖·二模）如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由点P与点Q的速度相同得到AP=BQ，然后结合正方形的性质得证△DAP≌△ABQ，从而得到∠AED=90°，进而得到点E在以AD为直径的圆O上运动，最后连接OB交圆O于点E即为所求．
【详解】
∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴，
∴BE的最小值为OB-2=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形得到∠AED=90°，进而得到点E的运动轨迹．
29．（2022·广东·广州市番禺区恒润实验学校九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小，由此求解即可．
【详解】
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
30．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学一模）如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（ ）
A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
设，利用等弦对等弧，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形的外角的性质，通过角度的变换求得，确定的位置，进而证明，得到的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧，进而根据直径是最长的弦求解即可．
【详解】
解：延长，交于点，连接，OF
设
CD＝BD
为直径
在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动，
，当为的直径时，取得最大值，最大值为
故选A
【点睛】
本题考查了等弧所对的圆周角相等，弦与弧之间关系，找到点的运动轨迹，理解直径是最长的弦是解题的关键．
31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．
【详解】
解：设交于，连接、、，过作于，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，，
由勾股定理得：．
，
．
，
，
在中，，
，
的最小值是，
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键．
32．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确，证明A、B、F、P四点共圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45°，可得结论；
②正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到 △ABM，利用全等三角形的性质证明即可；
③正确，连接PC，过点P作PQ⊥CF于 Q，过点P作PM⊥CD于 W ，则四边形PQCW是矩形，证明FQ=QC，由PB=BQ， PD=PW=CQ＝FQ，推出 PB-PD= (BQ-FQ)＝BF；
④错误，由△AEF△AMF，推出，因为FM 的长度是变化的，所以△AEF的面积不是定值；
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】
解：如图，取AF的中点T，则AT＝TF，连接PT，BT，
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°， ∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴BT=AT＝TF＝PT，
∴A、B、F、P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，∠PBA＝∠PFA＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA，
∴PA＝PF，故①正确；
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE=∠ABM＝90° ，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C、B、M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB +∠DAE=45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴（SAS），
∴FM=EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确；
连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作 PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，
在△PBA和△PCB中，
，
∴（SAS），
∴PA=PC，
∵PF=PA，
∴PF=PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ=QC，
∵PB=，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故④错误，
∵A、B、F、P四点共圆，
∴∠APG＝∠AFB，
∵，
∴∠AFE=∠AFB，
∴∠APG=∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
33．（2022·湖北宜昌·九年级期末）如图，是的外接圆，，则∠ACB的度数是________．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
利用圆周角定理即可求解．
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，，
∴．
故答案为： 30°．
【点睛】
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，解决本题得关键是要熟练掌握圆周角定理．
34．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 _____°．
【答案】30
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得从而可得答案．
【详解】
解：∵点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，
∴
故答案为：30
【点睛】
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
35．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 _____．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
36．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，继而∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
【详解】
解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
37．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度．
【答案】125
【解析】
【分析】
先由已知求得的大小，进而由圆的内接四边形的性质可直接求得答案．
【详解】
解：∵AB是半圆O的直径
∴
∵∠ABD＝35°
∴
∴
故答案为：125．
【点睛】
本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
38．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可直接求解．
【详解】
解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB，
∴∠C40°＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
39．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，为的直径，C，D两点在上，，则的度数为______°．
【答案】150
【解析】
【分析】
利用圆周角定理可得，根据邻补角即可求解．
【详解】
∵，，
∴，
∴，
故答案为：150．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
三、解答题
40．（2022·江西赣州·九年级期末）（1）解方程：．
（2）如图，中，，，求的度数．
【答案】（1）x1＝2，x2＝4；（2）40°
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解﹣十字相乘法进行计算即可解答；
（2）根据等弧所对的圆周角相等求出∠B，然后再利用三角形的内角和进行计算即可解答．
【详解】
解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2=0或x﹣4=0，
∴x1＝2，x2＝4；
（2）∵，∠C＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
∴∠A的度数为40°．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
41．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，由垂径定理得到DE=DF，，DG⊥AC，∠C=∠B，，根据余角的性质得到∠1=∠2，由圆周角定理得到，等量代换得到结论．
【详解】
解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴DE=DF，，
∵，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，，
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∴AC=DF，
∴DE=AC．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
42．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据＝，可得AB=AC，再由圆周角定理可得，即可求证．
【详解】
证明：∵＝，
∴AB=AC，
∵∠BOC＝120°．
∴，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
43．（2022·江苏·九年级）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)求∠BAD的度数．
【答案】(1)70°
(2)103°
【解析】
【分析】
（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，从而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，最后在中，运用内角和定理，可求得∠BAC的度数．
（2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD的度数．
(1)
解：∵，
∴∠CBD=∠ABD=33°，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°；
(2)
解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点睛】
本题考查了同圆中，同弧所对的圆周角的关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键．
44．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
45．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
46．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．
(1)
∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
(2)
∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【点睛】
本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．
47．（2022·陕西·西安铁一中分校三模）如图，已知锐角．请你利用尺规在的内部求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写画法）
【答案】见详解
【解析】
【分析】
先作线段AB．BC的垂直平分线，则AP=PB=PC，以点P为圆心，以AP为半径画圆，点A，B，C，在圆上，此时（在同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．）
【详解】
解：如图，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意并熟悉基本几何图形的性质，结全几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
48．（2022·江西赣州·九年级期末）（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
（1）由于，则等弧所对的圆周角相等，所以连接即可．
（2）延长交于，根据垂径定理可知，为的中点，连接即可．
（3）连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，根据垂径定理得：，，连接AF，CG，则AF、CG的交点I即为所求．
【详解】
（1），
如图所示，连接，
根据等弧所对的圆周角相等，
．
（2）如图所示，延长交于，
根据垂径定理，可得
连接，
根据等弧所对的圆周角相等，
．
（3）如图所示，连接OD延长至点F，连接OE延长至点G，
D是BC的中点，根据平行线段分线段成比例可得，
E为AB的中点；
则根据垂径定理得：，；
连接AF，CG，根据等弧所对的圆周角相等，
，，
则AF、CG分别为、的角平分线，
则AF、CG的交点I即为所求．
【点睛】
本题考查垂径定理，等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练应用垂径定理．
49．（2022·广东湛江·一模）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF，进而得到BC．
（1）解：如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴，∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5 3＝2，在Rt△OCF中，CF＝，∴BC＝2CF＝．
【点睛】
本题考查了尺规作图，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，灵活运用各性质进行求解．
50．（2022·云南红河·九年级期末）如图，点A、P、B、C是上的四个点，且．
(1)证明：是正三角形．
(2)若正的半径是6，求正的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠BAC=60°，利用等边三角形的判定即可证的结论；
（2）连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，证明∠BOC=120°，利用等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质求解即可．
（1）解：∵，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°,∴∠ABC=∠BAC=∠ACB，∴△ABC是正三角形；
（2）解：连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBE=30°，BE=CE，∴在Rt△OBE中，OE= OB=3，BE= = ，∴BC= ，即正△ABC的边长为．
【点睛】
本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
51．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝DE，连接AC，AD，求证：∠BCD+∠CAE＝180°．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知得出，从而得到，然后利用等弧所对的圆周角相等得到∠BAD＝∠CAE，最后利用圆内接四边形对角互补即可解答．
【详解】
证明：∵BC＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＋∠CAE＝180°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
52．（2022·江西赣州·九年级期末）已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1，是边的中点；
(2)如图2，直线与相切于点，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接并延长，交于，根据是边的中点，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求；
（2）连接并延长，交于，根据直线与相切于点，且，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求．
(1)
解：如图所示，即为所求；
(2)
解：如图所示，即为所求．
【点睛】
本题主要考查了复杂作图、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解题的关键是掌握：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
53．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝12cm，AD＝5cm，BD为直径，AC平分∠BAD，求BC的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝90°，根据勾股定理得到BD＝（cm），求得BC＝CD，于是得到结论．
【详解】
解：解：∵BD为直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵AB＝12，AD＝5，
∴BD＝，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴ ，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝BD＝ ，
故BC的长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
54．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，BC相较于点O，即O为圆心．
(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．
(1)
解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
(2)
解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
(3)
解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．
作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题31 圆周率
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是( )
A．50° B．40° C．25° D．20°
3．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝60°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
5．（2022·江苏·九年级）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
10．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是直径，∠ABD＝30°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
11．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
12．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠C的度数（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
14．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A、B、C在上，∠ABO=36°，则∠ACB的度数为（ ）
A．27° B．36° C．54° D．108°
16．（2022·重庆市开州区德阳初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC与△BCD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．20° D．25°
17．（2022·重庆沙坪坝·一模）如图，AB是的直径，点C在圆上，连结BC，OC，若，则的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
18．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知：是的直径，的半径为1，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
20．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=108°，则∠α=（ ）
A．72° B．108° C．120° D．144°
21．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．60° C．65° D．55°
22．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，如图，点A，B，C三点都在上，，，若的面积为2，则⊙的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
23．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点、分别是上直径异侧的两点，且，连接、、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，连接BD，若的半径为4，则BD的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
26．（2022·江苏·九年级）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·河北邯郸·二模）如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
28．（2022·安徽芜湖·二模）如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·广东·广州市番禺区恒润实验学校九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
30．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学一模）如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（ ）
A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2
31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
33．（2022·湖北宜昌·九年级期末）如图，是的外接圆，，则∠ACB的度数是________．
34．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 _____°．
35．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 _____．
36．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．
37．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度．
38．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
39．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，为的直径，C，D两点在上，，则的度数为______°．
三、解答题
40．（2022·江西赣州·九年级期末）（1）解方程：．
（2）如图，中，，，求的度数．
41．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
42．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
43．（2022·江苏·九年级）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)求∠BAD的度数．
44．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
45．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
46．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
47．（2022·陕西·西安铁一中分校三模）如图，已知锐角．请你利用尺规在的内部求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写画法）
48．（2022·江西赣州·九年级期末）（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；
（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）．
49．（2022·广东湛江·一模）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求BC的长．
50．（2022·云南红河·九年级期末）如图，点A、P、B、C是上的四个点，且．
(1)证明：是正三角形．
(2)若正的半径是6，求正的边长．
51．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝DE，连接AC，AD，求证：∠BCD+∠CAE＝180°．
52．（2022·江西赣州·九年级期末）已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1，是边的中点；
(2)如图2，直线与相切于点，且．
53．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝12cm，AD＝5cm，BD为直径，AC平分∠BAD，求BC的长．
54．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，BC相较于点O，即O为圆心．
(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
试卷第1页，共3页
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