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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题03 一元二次方程的解
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·福建南平·九年级期末）已知是方程的一个根，则实数c的值是( )
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022·河南周口·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2022·辽宁大连·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（2022·浙江台州·九年级期末）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（2022·江苏·九年级）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
7．（2022·全国·九年级专题练习）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．10
8．（2022·全国·九年级专题练习）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2022·重庆市松树桥中学校模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
10．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（ ）
A． B． C．9 D．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
12．（2022·江苏·九年级专题练习）已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
13．（2022·贵州毕节·九年级期末）关于x的一元二次方程(a 1)x2+a2 1=0的一个根是0．则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
14．（2022·河南南阳·九年级期末）若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．－3 D．4
15．（2022·四川乐山·九年级期末）m是方程的根，则代数式的值是( )
A．-2018 B．2018 C．-2026 D．2026
16．（2022·全国·九年级课时练习）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
17．（2022·全国·九年级课时练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
18．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
19．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
20．（2022·全国·九年级课时练习）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
21．（2022·全国·九年级）已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
22．（2022·江苏·九年级专题练习）若a是一元二次方程x2﹣3x＋1＝0的一个根，则代数式2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
23．（2022·全国·九年级课时练习）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
24．（2022·全国·九年级课时练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
25．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
26．（2022·全国·九年级课时练习）已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
27．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
28．（2022·贵州遵义·二模）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x 1=0的两个实数根，则x22+2x2 x1的值为（ ）
A．4 B．1 C．－2 D．－1
29．（2022·全国·九年级）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
30．（2022·全国·九年级课时练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．（2022·河南信阳·九年级期末）若关于的方程有一个根是0，则的值为______．
32．（2022·陕西汉中·九年级期末）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为______．
33．（2022·江苏·九年级专题练习）若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____．
34．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．
35．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．
36．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝__．
37．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
38．（2022·全国·九年级专题练习）若是方程的根，则____________．
39．（2022·河南南阳·九年级期末）若方程的两个根分别是与，则_____．
40．（2022·江西赣州·九年级期末）已知、是方程的根，则式子的值为______．
41．（2022·全国·九年级课时练习）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
42．（2022·江苏·九年级专题练习）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
43．（2022·全国·九年级专题练习）若a是方程的一个根，则代数式的值为________．
44．（2022·全国·九年级专题练习）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______．
45．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．
46．（2022·江苏·一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠CAD，，则______
47．（2022·全国·九年级课时练习）若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________．
48．（2022·全国·九年级课时练习）设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______．
三、解答题
49．（2022·湖南永州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
50．（2022·北京海淀·九年级期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
51．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
52．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）解方程
(1)；
(2)
53．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为0，求p的值及另一个根；
(2)若，求方程的解；
54．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知=2是关于的一元二次方程2（2m+3）+m2+3m+2=0的一个根，求m的值．
55．（2022·全国·九年级课时练习）已知，关于x的一元二次方程．
(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根．
56．（2022·江苏·九年级）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
57．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求m的值；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求证：．
58．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．
(1)求2a+b的值；
(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．
59．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
60．（2022·全国·九年级）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
61．（2022·全国·九年级课时练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
62．（2022·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程的一个根是2，另一个根．
（1）若直线经过点，，求直线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出直线的图象，是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题03 一元二次方程的解
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·福建南平·九年级期末）已知是方程的一个根，则实数c的值是( )
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入方程，即可求解．
【详解】
解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
2．（2022·河南周口·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
把一元二次方程的根代入一元二次方程中，即可求得k的值．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：k= 2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的概念，理解一元二次方程解的含义是本题的关键．
3．（2022·辽宁大连·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
把x＝﹣1代入一元二次方程x2﹣x﹣m＝0，再求解即可．
【详解】
解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，
∴
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．
4．（2022·浙江台州·九年级期末）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
将x＝1代入已知方程求出c即可．
【详解】
解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．（2022·江苏·九年级）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】
把x＝1代入求出m即可．
【详解】
解：把x＝1代入方程x2+2x+m＝0得：1+2+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解就是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得x1+x2=2，x12 2x1 1=0，两式相加，即可求解．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程x2 x 1=0的两个根，
∴x1+x2=1，x12 x1 1=0，
两式相加得：x12 x1 1+ x1+x2=1
移项得：x12 +x2=2
故选 B
【点睛】
本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义、根与系数的关系是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级专题练习）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2+3m=3，再把2m2+6m-5变形为2（m2+3m）-5，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m为一元二次方程x2+3x 3=0的一个根．
∴m2+3m-3=0，即m2+3m=3，
∴2m2+6m-5=2（m2+3m）-5=2×3-5=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2022·全国·九年级专题练习）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
直接把a的值代入得出a2-2a=7，再整体代入即可得出答案．
【详解】
解：∵a是方程x2 2x 7=0的一个根，
∴a2-2a-7=0，即a2-2a=7，
∴a2-2a+1=7+1=8．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x=a代入方程得出a2-2a=7．
9．（2022·重庆市松树桥中学校模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：∵x=m是x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0，即m2-m=1，
∴3m2-3m-4=3(m2-m)-4=3×1-4=-1，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
10．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把x=3代入原方程即可求得c的值．
【详解】
∵x=3是关于x的方程x2-c=0的一个根，
∴32-c=0，
解得c=9．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
【答案】B
【解析】
【分析】
将a代入方程得到，再将其整体代入所求代数式即可得解．
【详解】
∵a是方程的一个解，
∴有，即，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
将x＝1代入x2﹣2x+a＝0得到关于 a的方程，解之可得．
【详解】
解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+a＝0，
得：1﹣2+a＝0，
解得：a＝1，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义，正确求解a的值是解决本题的关键．
13．（2022·贵州毕节·九年级期末）关于x的一元二次方程(a 1)x2+a2 1=0的一个根是0．则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】
解：把x=0代入方程得到：a2-1=0，
解得：a=±1．
∵a-10，
∴a1，
∴a=-1，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．
14．（2022·河南南阳·九年级期末）若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．－3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：把x=-1代入x2-2x+m=0得1+2+m=0，
解得m=-3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15．（2022·四川乐山·九年级期末）m是方程的根，则代数式的值是( )
A．-2018 B．2018 C．-2026 D．2026
【答案】A
【解析】
【分析】
把代入得到，进而得到，代入进行计算即可求解．
【详解】
解：∵m是方程的根，
∴
∴，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．
16．（2022·全国·九年级课时练习）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】
解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
17．（2022·全国·九年级课时练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
18．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【详解】
解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的方程的一个根为1，
∴x=1满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得m=-4；
又由韦达定理知1×x2=3，
解得x2=3．
故方程的另一根是3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．
19．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=1代入方程得1+3-m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴1+3-m=0，
解得．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20．（2022·全国·九年级课时练习）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】
解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，
故选：A．
【点睛】
本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级）已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】C
【解析】
【分析】
将a代入方程，得到，即，，再利用换元法的思想整体代入代数式求值即可．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，即，，
∴
，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，利用换元法的思想是解答本题的关键．
22．（2022·江苏·九年级专题练习）若a是一元二次方程x2﹣3x＋1＝0的一个根，则代数式2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，把x=a代入方程，然后两边都除以a，整理可得a3，进而可求出所给代数式的值．
【详解】
解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∵a≠0，
∴a﹣30，即a3，
∴2a＝2﹣（a）＝2﹣3＝﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键在于明确能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
23．（2022·全国·九年级课时练习）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A；设方程的一个实数根为，则，先根据可得，从而可得，再分别将、和代入方程的左边，检验是否等于0即可判断选项B、C、D，由此即可得出答案．
【详解】
解：方程根的判别式为，
方程根的判别式为，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；
若两个方程都有实数根，
设方程的一个实数根为，则，即，
，
，
，
将代入方程的左边得：，
即是方程的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；
将代入方程的左边得：，
即不是方程的根，选项C错误；
将代入方程的左边得：
，
则只有当时，才是方程的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
24．（2022·全国·九年级课时练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=a代入方程求出a2+3a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：把x=a代入方程得：a2+3a-2=0，即a2+3a=2，
由根与系数的关系得：a+b=-3，
则原式=（a2+3a）+2（a+b）
=2-6
=-4．
故选：B．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
25．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】
【分析】
把b=a+c代入判别式中得到=（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到，根据根的定义可得，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得，即可对③进行判断．
【详解】
解：a-b+c=0，则b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴，则，
∴，所以②正确；
∵方程有一个根是，
∴
∴
∴
所以③正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
26．（2022·全国·九年级课时练习）已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
【详解】
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．
27．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【解析】
【分析】
对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．
【详解】
解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
28．（2022·贵州遵义·二模）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x 1=0的两个实数根，则x22+2x2 x1的值为（ ）
A．4 B．1 C．－2 D．－1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得到x22=-3x2+1，则原式可表示为-（x1+x2）+1，再根据根与系数的关系得到x1+x2=-3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵x2是一元二次方程x2+3x 1=0的根，
∴x22+3x2-1=0，
∴x22=-3x2+1，
∴x22+2x2 x1=-3x2+1+2x2 x1=-（x1+x2）+1，
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x 1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，
∴原式=-（-3）+1=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=．
29．（2022·全国·九年级）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】
解：将代入方程得，
∴x≠0，
∴原方程可化为，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
30．（2022·全国·九年级课时练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【详解】
①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
31．（2022·河南信阳·九年级期末）若关于的方程有一个根是0，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义，即可求解．
【详解】
解：∵方程有一个根是0，
∴，
解得：．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
32．（2022·陕西汉中·九年级期末）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】
将根代入一元二次方程，求出c的值即可．
【详解】
解：将x=2代入方程可得：，
解得：．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的定义，将根代入方程求解是解题关键．
33．（2022·江苏·九年级专题练习）若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意，将x＝1代入原方程中，可求k的值．
【详解】
解：依题意，当x＝1时，原方程为1+3﹣k＝0，
解得k＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值是解题关键．
34．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把代入方程计算即可求出的值．
【详解】
解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
35．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把x=-1代入x2-6x+m2-4m-3=0即可得出m的值．
【详解】
解：由题意可得：1+6+m2-4m-3=0，
整理，得
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．
36．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝__．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意“a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根”，则可把x=a代入原方程，得到关于a的一个一元二次方程，通过移项得到“2a2﹣7a＝1”，将2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式，即可得到答案．
【详解】
解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式是解题的关键．
37．（2022·山东潍坊·九年级期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【答案】185
【解析】
【分析】
根据m，n是一元二次方程的两个实数根，以及根与系数的关系可得，将代数式变形代入求解即可．
【详解】
m，n是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
故答案为：185．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，即若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握知识点是解题的关键．
38．（2022·全国·九年级专题练习）若是方程的根，则____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】
把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
39．（2022·河南南阳·九年级期末）若方程的两个根分别是与，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∵方程的两个根分别是与，
∴，
解得，
∴，，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．
40．（2022·江西赣州·九年级期末）已知、是方程的根，则式子的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：∵、是方程的根，
∴，即，，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
41．（2022·全国·九年级课时练习）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
【详解】
解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
42．（2022·江苏·九年级专题练习）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
43．（2022·全国·九年级专题练习）若a是方程的一个根，则代数式的值为________．
【答案】2019
【解析】
【分析】
根据a是方程一个根，可以得到，然后即可得到，再整体代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：2019．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．
44．（2022·全国·九年级专题练习）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______．
【答案】12或16
【解析】
【分析】
分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当6为等腰三角形的腰长时，则
关于 x 的方程 x2 8x+m=0的一个根x1=6
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
则方程为 x2 8x+12=0
解方程，得另一个根为x2=2
∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；
（2）当6为等腰三角形的底边长时，则
关于x的方程 x2 8x+m=0 有两个相等的实数根
∴根的判别式
解得，m=16
则方程为x2 8x+16=0
解方程，得 x1=x2=4
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．
综上，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正确分两种情况讨论是解题关键．
45．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
46．（2022·江苏·一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠CAD，，则______
【答案】3
【解析】
【分析】
由题中条件可得△ACD∽△BCA，得出AC2=CD BC，利用等式的性质进行恒等变式，可得，设，建立方程，解方程可求得，再根据相似三角形的性质，可求得，可得，据此即可求得．
【详解】
解：∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，即AC2=DC BC，
得，
可得，
得，
设，
，
，
解得，(舍去)，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的恒等变式，利用方程求解，解题的关键是利用等式的性质进行恒等变式．
47．（2022·全国·九年级课时练习）若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________．
【答案】2024
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：是一元二次方程的两个实数根，
【点睛】
题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．
48．（2022·全国·九年级课时练习）设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得，，两式相加得，根据一元二次方程根的定义可得，可得，同理可得，两式相减即可得，根据,求得，进而可得
【详解】
解：由根与系数的关系得，，两式相加得．
因为是方程的根，所以，又，
所以①
同理可得②
①-②得．
因为，所以，所以．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
三、解答题
49．（2022·湖南永州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【答案】(1)k≥﹣1；
(2)方程的另一根为﹣4．
【解析】
【分析】
（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．
(1)
解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
(2)
解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
50．（2022·北京海淀·九年级期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】6
【解析】
【分析】
把代入方程，得出，再整体代入求值即可．
【详解】
解： = ．
∵ a是方程的根
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 = 6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．
51．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
【答案】(1)m≤
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”，是解题的关键．
52．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法“配方法”求解即可．
（2）根据一元二次方程的解法“因式分解法”求解即可．
(1)
解：
移项得
配方
解得：．
(2)
解：
移项
或
解得：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的常见解法“直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法”以及能够根据方程的特点找准合适的解法是快速解决本题的关键．
53．（2022·河北承德·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为0，求p的值及另一个根；
(2)若，求方程的解；
【答案】(1)，另一根为；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）将0代入方程即可求出p，再将p的值代入方程求出另一个根即可．
（2）将代入方程，解方程即可．
(1)
解：把代入方程，得，故，
原方程化为，解之得：方程的另一根为；
(2)
解：若，原方程化为，
利用公式法可知：，
∴方程的根为，．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义以及解方程，解题的关键是理解方程根的定义求出p的值，掌握公式法、因式分解法解方程．
54．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知=2是关于的一元二次方程2（2m+3）+m2+3m+2=0的一个根，求m的值．
【答案】0或1
【解析】
【分析】
将x=2代入方程，直接求解m的值即可．
【详解】
解：∵x=2是方程的一个根
∴
∴
∴m=0或m=1
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
55．（2022·全国·九年级课时练习）已知，关于x的一元二次方程．
(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根．
【答案】(1)时，方程有两个不相等的实数根
(2)，另一个根为
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答；
（2）把代入原方程，解得k的值．再根据一元二次方程根与系数的关系求得另一个根．
(1)
解：∵，，，
∴．
解得
所以，当时，方程有两个不相等的实数根．
(2)
解：把代入原方程得：，解得：．
设另一个根为，则
即
所以方程的另一个根为．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键．
56．（2022·江苏·九年级）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)18
(2)0或
【解析】
【分析】
（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（4）根据定义可求出n=2m或n=m，代入原式后即可求出答案；
(1)
由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m 2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案为18；
(2)
由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x，
∴2或，
当n＝2m时，0，
当nm时，；
故代数式的值0或．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．
57．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求m的值；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程的根，求证：．
【答案】(1)m的值为-1或1
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由得到，代入求解m即可；
（2）由得到，代入得到m、n的关系式，进而利用配方法和平方式的非负性求解即可．
(1)
解：由得到，
将代入中，得：
，即，
解得：m=-1或m=1，
故m的值为-1或1；
(2)
证明：由得到，
将代入中，得：
，
整理得：，
∴=，
即．
【点睛】
本题考查含参数的一元二次方程的解、一元一次方程的解、配方法和平方式的非负性，利用消元思想，将问题转化为学过的一元二次方程是解答的关键．
58．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．
(1)求2a+b的值；
(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程的解的概念将x＝a代入方程并整理得a（2a+b+1）＝0，由a≠0知2a+b+1＝0，可得答案；
（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b＝﹣2a﹣1代入可得关于a的方程，求出a即可得方程的解．
（1）解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a，∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0，∵a≠0，∴2a+b+1＝0，∴2a+b＝﹣1；
（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b2﹣8a＝0，由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1，∴（﹣2a﹣1）2﹣8a＝0，整理得：（2a﹣1）2＝0，解得：a＝，∴b＝﹣2，∴此方程的解为：x＝．
【点睛】
本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
59．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3
【解析】
【分析】
（1）直接计算根的判别式即可证明；
（2）将x=-1带入即可求解；
（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k的值．
（1）证明：当k≠0时，∵方程∴∴当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无论k取何值，方程都有实根．
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k．故k的值为．
（3）解： ，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，∴此方程的两个根分别为 ，，∵方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．
60．（2022·全国·九年级）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
【答案】(1)±3
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；
（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．
(1)
解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）
∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，
故答案为：±3．
(2)
解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，
∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，
（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，
∵化简后的结果与x取值无关，
∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，
∴小华说小明计算错误．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
61．（2022·全国·九年级课时练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析
(2)或
(3)时，的最大值为9
【解析】
【分析】
（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；
（2）解：方程得：，或，方程是常数）是“差1方程”，或，或；
（3）解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．
62．（2022·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程的一个根是2，另一个根．
（1）若直线经过点，，求直线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出直线的图象，是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出=4，设直线AB的解析式为y=kx+b（），利用待定系数法求出解析式；
（2）分情况求解：第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，得到点P与原点O重合；第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，设P的坐标为（x，0），根据， ， 解得x=-8，求出点P的坐标；第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°，由点P是x轴上的动点，得到∠BAP＞90°，情况不存在.
【详解】
（1）当x=2时，方程为，解得k=8，
∵2+=6，
∴一元二次方程为的另一个根=4.
设直线AB的解析式为y=kx+b（），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），
∴，
解得k=-2，b=4，
直线AB的解析式：y=-2x+4；
（2）第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形.
第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴.
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0）， B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝-x，
∴，
，
.
∵，
∴，
解得x=-8，
∴当点P的坐标为（―8，0），△ABP是直角三角形.
第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°.
∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，
∴∠BAP＞90°，
∴∠BAP＝90°的情况不存在．
∴当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，△ABP是直角三角形.
【点睛】
此题考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论问题的解题方法是解题的关键.
试卷第1页，共3页
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