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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题04 解一元二次方程：直接开平方法
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．x＝±4 B．x＝2 C．x＝±2 D．x＝﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数的开方直接求解．根据平方根的定义，4有两个平方根，故方程的解有两个．
【详解】
解：∵x2=4，
∴x=±2．
故选C．
【点睛】
本题是简单的一元二次方程，可根据数的开方直接解，也可通过观察法求出其解．
2．（2022·江苏·九年级）用直接开平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根为（ ）
A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±2
【答案】D
【解析】
【分析】
方程两边开平方可得x﹣3＝±2，即可求解．
【详解】
解：方程两边开平方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直接开方法即可求解．
【详解】
解：x2﹣25＝0，则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
4．（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一个实数的平方非负得关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5．（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】A
【解析】
【分析】
观察方程特点确定出适当的解法即可．
【详解】
解：方程(x－3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；
故答案为：A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）方程x2＝4的根为( )
A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝－
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方根的概念，求值即可；
【详解】
解：x2＝4，则x1＝2，x2＝－2，
故选： B．
【点睛】
本题考查了直接开平方求一元二次方程的解，掌握正数的平方根有两个且互为相反数是解题关键．
7．（2022·湖北恩施·九年级期末）如果是方程的一个根，这个方程的其他根是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将x=2代入方程求出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：∵是方程的一个根
∴
∴c=4
∴
∴
∴这个方程的另一个根是，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的概念及解法，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：，
，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝1
【答案】C
【解析】
【分析】
移项，1的平方根是±1，可求解．
【详解】
解：∵x2﹣1＝0，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即x1＝﹣1，x2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了用开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方法解一元二次方程是解题的关键．
10．（2022·河南平顶山·九年级期末）方程的根为（ ）
A． B．， C． D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法直接进行求解即可．
【详解】
解：由，得，
解得；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
11．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．
【详解】
解：，
移项得，
系数化1得，
开方得，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先移项，再两边开平方可得解．
【详解】
解：由原方程可得：x2=1，
两边开平方可得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
13．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式变形，进而求解即可．
【详解】
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．
【详解】
解：∵方程y2＝﹣a有实数根，
∴﹣a≥0（平方具有非负性），
∴a≤0；
故选：A．
【点睛】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．
15．（2022·山西长治·九年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝x2＝﹣2 D．x1＝x2＝4
【答案】B
【解析】
【分析】
把一元二次方程化成，然后采用直接开方法解方程即可．
【详解】
解：∵一元二次方程，
∴，
∴，即x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟悉解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．（2022·云南昆明·九年级期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（ ）
A．， B．
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：，
由题意得：，
整理得：，
解得：，．
故选：A．
【点睛】
本题是一道基于一元二次方程的新定义题，主要考查一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
17．（2022·江苏盐城·九年级期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
两边同时开方即可得到答案．
【详解】
解：，
，
，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，即形如 的方程可变形为，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数y＝－x的图象与反比例函数y＝－图象交于A和B两点，则不等式－x＞－的解集是（ ）
A．x＜－2 B．x＜2 C．－2＜x＜2 D．0＜x＜2或x＜－2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象写出直线在双曲线下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图可知，反比例函数y＝－x和一次函数y＝－的图象相交于点，B
解得：，或
根据图象可知，－x＞－的解集是0＜x＜2或x＜－2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
19．（2022·广西防城港·九年级期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（ ）
A． B． C．3或 D．2或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据运算程序可知，计算求解即可．
【详解】
解：由题意可知
∴
解得，
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程．
20．（2022·广东深圳·九年级阶段练习）一元二次方程的解是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先移项：把－4移到等号右边得：x2=4，然后直接开平方即可求解．
【详解】
解：x2－4=0，
移项得：x2=4，
方程两边直接开平方得：x=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据题目选择合适的方法是解题关键．
21．（2022·江苏·九年级专题练习）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
用直接开平方法求出一元二次方程的两根，进而可知a，b的值，即可求解．
【详解】
解：，
或，
所以，，
，
∴，，
所以 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，还涉及二次根式的加减运算，正确掌握解题方法是解题关键．
22．（2022·河南·郸城县光明学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得A，B的坐标，再求解C的坐标，再直接利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：
解得： 或经检验符合题意；
，
=5
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形的面积，二次根式的运算，一元二次方程的解法，求解A，B的坐标，再表示C的坐标是解本题的关键．
23．（2022·全国·九年级课时练习）若a，b满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a、b的值，再把a、b的值代入代数式，即可求得其值．
【详解】
解：，，
由a-1=0解得a=1
把a=1代入，得
，得
解得b=-2
故
故选：C
【点睛】
本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．
24．（2022·全国·九年级课时练习）若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），
整理得：x2=3，
两边直接开平方得：x=±，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．
25．（2022·全国·九年级课时练习）方程的解为（ ）
A．， B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
∵，
直接开平方，得
x+1=3或x+1=-3，
解得，，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的直接开平方法解方程，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
26．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4，∠CAB＝75°，则AB的长是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
过点O作交于点E，连接OC，则，由题意得，根据圆周角的推论得，根据角平分线得，则，设OE=x，则OC=2x，在中，由勾股定理得，，解得，则OC=4，即．
【详解】
解：过点O作交于点E，连接OC，
则，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB＝75°，
∴∠CBA=90°-∠CAB=15°，
∵，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
设OE=x，则OC=2x，
在中，由勾股定理得，
，
解得，（舍），
∴OC=4，
∴，
故选C．
【点晴】
本题考查了角平分线定义，垂径定理，圆周角的推论，等腰三角形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，直接开平方法解方程，解题的关键是掌握这些知识点．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
27．（2022·江苏镇江·九年级期末）一元二次方程的解为______．
【答案】x=±2
【解析】
【分析】
先将式子x2-4=0移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．
【详解】
解：移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案为：x=±2．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
28．（2022·全国·九年级课时练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______．
【答案】x1=2，x2=-4
【解析】
【分析】
根据新运算规则，将转化为一元二次方程，再根据开平方法求解即可．
【详解】
解：根据新运算规则，可化为
∴
∴或
∴，
故答案为，
【点睛】
此题考查了开平方法求解一元二次方程，涉及到了新运算规则，理解新运算规则并掌握开平方法求解一元二次方程是解题的关键．
29．（2022·浙江·九年级专题练习）方程x2﹣25＝0的解为_____．
【答案】x＝±5．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程开方法计算即可.
【详解】
∵x2﹣25＝0，
移项，得 x2＝25，
∴x＝±5．
故答案为：x＝±5．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于掌握开方法.
30．（2022·江苏徐州·九年级期末）方程x2=2的解是_____．
【答案】
【解析】
【详解】
解：直接开平方得：.
故答案为：．
31．（2022·辽宁铁岭·一模）一元二次方程的解为________________________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
首先移项，方程两边都除以2，然后直接开方即可．
【详解】
解：，
整理得：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
32．（2022·全国·九年级课时练习）方程x2- =0的根为_______．
【答案】x=±
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解．
【详解】
解： x2- =0，
∴x2=8，
∴x=．
故答案为：x=．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．
33．（2022·四川遂宁·九年级期末）若x，y满足（x2+y2）2=4则的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先对（x2+y2）2=4左右开方，再考虑x2+y2的取值范围即可
【详解】
解：∵（x2+y2）2=4
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程及平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程．
34．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________．
【答案】m≤0
【解析】
【分析】
根据直接开平方法进行求解即可．
【详解】
解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案为m≤0．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程无实数解，则m的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据没有实数解可得m+1<0，解之即可．
【详解】
∵无实数解，
∴m+1<0，
解得
故答案为．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及平方根的概念，解题关键是知道负数没有平方根．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程没有实数根，
∴，
故答案为：．
【点睛】
考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．
37．（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【答案】，
【解析】
【分析】
方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【详解】
解：方程整理，得x2-4x＝－5，
配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，
开方，得x-2＝±i，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】
题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
38．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校一模）如图，直线l的解析式是，点在直线l上，，交x轴于点，轴，交直线l于点，，交x轴于点，按照此规律继续作下去，若，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出点的坐标易知＝60°，由可得，然后求出，以及，进而发现规律，得出，则点的坐标可求．
【详解】
解：设点的坐标为（x，），由勾股定理得，
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴＝60°，
∵，，
∴，
∴，，
依此计算可得：，，…，，
∴，
∴点的坐标为（，），
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质、含30°直角三角形的性质、解一元二次方程以及点坐标规律探索，求出＝60°，进而得出的规律是解题的关键．
三、解答题
39．（2022·江苏·九年级）解方程(x﹣1)2＝225．
【答案】x1＝16，x2＝﹣14
【解析】
【分析】
根据直接开平方法进行求解即可．
【详解】
解：∵（x﹣1）2＝225，
∴x﹣1＝±15，
解得x1＝16，x2＝﹣14．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
40．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：
(1)（x﹣1）2﹣4＝0；
(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．
【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣1
(2)x1＝﹣1，x2＝1
【解析】
【分析】
（1）直接利用开平方方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
(1)
解：∵（x﹣1）2﹣4＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
(2)
解：∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
41．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x2＝6
【答案】x1，x2
【解析】
【分析】
直接开平方即可一元二次方程．
【详解】
解：，
，
，
，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
42．（2022·江苏·九年级专题练习）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
(1)
解：，
∴，
∴或，
∴，．
(2)
，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
43．（2022·全国·九年级）解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】
由原方程得到，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【详解】
解：由原方程，得：
，
直接开平方，得：
，
解得：，．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
44．（2022·全国·九年级）解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程得出答案．
【详解】
解：，
则，
解得：，．
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解方程．正确开平方是解题关键．
45．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）移项整理后，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用公式法解方程即可．
(1)
解：
解得：；
(2)
解：
整理得：
∴a＝1，b＝2，c＝－4
∴
∴
解得：，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
46．（2022·全国·九年级课时练习）解下列方程：
(1)(2x﹣3)2=9
(2)(3x﹣1)2=(x+1)2．
【答案】(1)x1=3，x2=0；
(2)x1=1，x2=0
【解析】
【分析】
（1）直接开方即可求解；
（2）直接开方即可求解．
(1)
直接开平方，得：2x-3=±3，
∴2x-3=3或2x-3=-3，
∴x1=3，x2=0；
(2)
直接开平方，得：3x-1=x+1，或3x-1=-(x+1)，
∴2x=2，或4x=0，
解得：x1=1，x2=0．
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方根的含义是解答本题的关键．
47．（2022·全国·九年级课时练习）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程：
解： …第一步
第二步
第三步
(1)分析：第 步开始出现错误；
(2)改正：
【答案】(1)一；
(2)改正见解析
【解析】
【分析】
（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误；
（2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可．
(1)
两边同时开方，得或，所以第一步错误．
故答案为：一；
(2)
，
开方，得 或 ，
或
或
所以 ， .
【点睛】
本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时解题的关键．
48．（2022·湖南怀化·九年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后由直接开平方法解方程，即可求出答案；
（2）先提公因式，然后移项，再利用因式分解法解方程，即可求出答案．
(1)
解：，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
49．（2022·全国·九年级课时练习）用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【解析】
【分析】
（1）本题利用直接开平方法解方程即可；
（2）本题将移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；
（3）先将移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；
（4）将移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．
(1)
解：直接开平方得，
解得，；
(2)
解：由已知得，
则，
解得，；
(3)
解：由已知得，
，
∴，
解得，；
(4)
解：由已知得，
利用因式分解法可得，
解得，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．
50．（2022·全国·九年级课时练习）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)x1=2021，x2=﹣2019
(2)x1=﹣1，x2=5
(3)y1=﹣2，y2=7
(4)x1=﹣，x2=3
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；
(1)
解：）直接开平方得：x﹣1=±2020，
∴x1=2021，x2=﹣2019；
(2)
解：原方程化为：（x+1）（x﹣5）=0，
∴x+1=0或x﹣5=0，
∴x1=﹣1，x2=5；
(3)
解：原方程化为：（y+2）（y﹣7）=0，
∴y+2=0或y﹣7=0，
∴y1=﹣2，y2=7；
(4)
解：原方程化为：，
∴2x+1=0或x﹣3=0，
∴x1=﹣，x2=3．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
51．（2022·全国·九年级课时练习）按要求解方程：
(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；
(2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；
(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
(6)用配方法求最值：6x2-x-12．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)时，有最小值
【解析】
【分析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；
（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；
（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（6）将原式进行配方变形即可得出答案．
(1)
解：4（t-3）2=9（2t-3）2
开方得：，
∴或，
∴；
(2)
解：2x2-7x-4=0
方程两边同时除以2得：
，
，
，
，
，
∴；
(3)
解：3x2+5（2x+1）=0，
方程整理为一般式为：，
∴，
∴，
∴，
∴；
(4)
解：3（x-5）2=2（5-x）
方程变形为：，
∴，
∴，
∴；
(5)
解：abx2-（a2+b2）x+ab=0
，
∵，
∴，
∴；
(6)
解：6x2-x-12，
∴当时，原式有最小值．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解此题的关键．
52．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【解析】
【分析】
（1）根据直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程计算即可；
（3）先展开，再利用配方法解方程即可；
(1)
，
，
，；
(2)
；
，
，即，
，
，；
(3)
．
整理得，
，即，
，．
【点睛】
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
53．（2022·宁夏·银川市第十中学二模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)当MN＝x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)是否存在x，使y等于S△ABC的四分之一？如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；
(2)当时，；当时，；当时，的值最大，最大值是4；
(3)存在，或
【解析】
【分析】
（1）连接AP，交MN于点O，使得折叠后点P恰好落在BC上，由条件可证，再根据相似三角形对应边成比例求MN的值；
（2）先由求出各线段的长，在分情况讨论△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，有和两种情况，可得到两个二次函数解析式，根据二次函数求最值的方法，即可求出答案；
（3）由（2）所得函数关系式列方程分情况求解即可．
(1)
解：当点P恰好落在BC上，
连接AP，交MN于点O，如图，
有折叠性质得，
，
，
故当MN等于3时，点P恰好落在BC上．
(2)
解：等腰△ABC中，AB＝AC，
，
在中，
当MN＝x，
，
①当时，如图1，
，
当时，y最大，最大是3；
②当时，如图2，
，即
，
当时，y最大，最大是4；
综上，当时，的值最大，最大值是4．
(3)
解：，
令
①当时，
由解得或-3（舍去）；
②当时，
，解得（舍去）或5；
综上，或5时，．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理和二次函数求最值的方法等，方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用是做出本题的关键．
54．（2022·天津河西·九年级阶段练习）已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D．
(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当a>0时，点E（0，a），若DE=2DC，求a的值；
(3)当a<-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（1，-2）
(2)
(3)当，FP+DP的最小值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为
【解析】
【分析】
（1）把a=1代入抛物线的解析式为y=x2-2x+c．根据抛物线经过点C（0，-1），求出c=-1，然后将抛物线解析式配方y=x2-2x-1=(x-1)2-2即可；
（2）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和拓展一元一次方程的性质，得，从而得到答案；
（3）当a<-1时，根据点P为 AN的中点，可求，作点D（1，-a-1）关于直线的对称点．当满足条件的点P落在线段FD'上时，FP+DP最小，根据，即．解方程求出点F的坐标为，点D′的坐标为．利用待定系数法求出直线FD′的解析式为即可．
(1)
解：当a=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x+c．
∵抛物线经过点C（0，-1），
∴c=-1．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-1．
∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．
(2)
解：当a>0时，由抛物线y=ax2-2ax+c经过点C（0，-1），
∴c=-1．
∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-1．
可得抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=-a-1．
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-a-1）．
过点D作DG⊥y轴于点G．
在Rt△DEG中，DG=1，，
∴．
在Rt△DCG中，DG=OG-OC=1，，
∴．
∵DE=2DC，即，
∴．
解得．
(3)
当a<-1时，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，
∵点P为M、N的中点，
∴点，
作点D（1，-a-1）关于直线的对称点．
当满足条件的点P落在线段FD'上时，FP+DP=FP+PD′最小，
此时，．
过点D′作D′H⊥y轴于点H．
在Rt△FD′H中，D′H=1，，
∴．
又，即．
解得，（舍）．
∴点F的坐标为，点D′的坐标为．
设FD′解析式为，代入坐标得：
，
解得；，
∴直线FD′的解析式为．
当时，，
∴，．
∴当，FP+DP的最小值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
绝密★启用前
专题04 解一元二次方程：直接开平方法
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏宿迁·九年级期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．x＝±4 B．x＝2 C．x＝±2 D．x＝﹣2
2．（2022·江苏·九年级）用直接开平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根为（ ）
A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±2
3．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25
4．（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0
5．（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
6．（2022·江苏·九年级专题练习）方程x2＝4的根为( )
A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝ D．x1＝，x2＝－
7．（2022·湖北恩施·九年级期末）如果是方程的一个根，这个方程的其他根是（）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝1
10．（2022·河南平顶山·九年级期末）方程的根为（ ）
A． B．， C． D．，
11．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程的根为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·九年级专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·海南三亚·一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
15．（2022·山西长治·九年级期末）一元二次方程的解为（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝x2＝﹣2 D．x1＝x2＝4
16．（2022·云南昆明·九年级期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（ ）
A．， B．
C．， D．，
17．（2022·江苏盐城·九年级期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．或
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一次函数y＝－x的图象与反比例函数y＝－图象交于A和B两点，则不等式－x＞－的解集是（ ）
A．x＜－2 B．x＜2 C．－2＜x＜2 D．0＜x＜2或x＜－2
19．（2022·广西防城港·九年级期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（ ）
A． B． C．3或 D．2或
20．（2022·广东深圳·九年级阶段练习）一元二次方程的解是（ ）
A．2 B． C． D．4
21．（2022·江苏·九年级专题练习）已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B． C． D．
22．（2022·河南·郸城县光明学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
23．（2022·全国·九年级课时练习）若a，b满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．（2022·全国·九年级课时练习）若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A． B． C．3 D．
25．（2022·全国·九年级课时练习）方程的解为（ ）
A．， B． C． D．
26．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4，∠CAB＝75°，则AB的长是（ ）
A．8 B．4 C．8 D．4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
27．（2022·江苏镇江·九年级期末）一元二次方程的解为______．
28．（2022·全国·九年级课时练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______．
29．（2022·浙江·九年级专题练习）方程x2﹣25＝0的解为_____．
30．（2022·江苏徐州·九年级期末）方程x2=2的解是_____．
31．（2022·辽宁铁岭·一模）一元二次方程的解为________________________．
32．（2022·全国·九年级课时练习）方程x2- =0的根为_______．
33．（2022·四川遂宁·九年级期末）若x，y满足（x2+y2）2=4则的值是_______．
34．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________．
35．（2022·全国·九年级专题练习）关于x的方程无实数解，则m的取值范围________．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________．
37．（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
38．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校一模）如图，直线l的解析式是，点在直线l上，，交x轴于点，轴，交直线l于点，，交x轴于点，按照此规律继续作下去，若，则点的坐标为______．
三、解答题
39．（2022·江苏·九年级）解方程(x﹣1)2＝225．
40．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：
(1)（x﹣1）2﹣4＝0；
(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．
41．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x2＝6
42．（2022·江苏·九年级专题练习）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
43．（2022·全国·九年级）解方程：．
44．（2022·全国·九年级）解方程：．
45．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
46．（2022·全国·九年级课时练习）解下列方程：
(1)(2x﹣3)2=9
(2)(3x﹣1)2=(x+1)2．
47．（2022·全国·九年级课时练习）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程：
解： …第一步
第二步
第三步
(1)分析：第 步开始出现错误；
(2)改正：
48．（2022·湖南怀化·九年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
49．（2022·全国·九年级课时练习）用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
50．（2022·全国·九年级课时练习）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
51．（2022·全国·九年级课时练习）按要求解方程：
(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；
(2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；
(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
(6)用配方法求最值：6x2-x-12．
52．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
53．（2022·宁夏·银川市第十中学二模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)当MN＝x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)是否存在x，使y等于S△ABC的四分之一？如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由．
54．（2022·天津河西·九年级阶段练习）已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D．
(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当a>0时，点E（0，a），若DE=2DC，求a的值；
(3)当a<-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
