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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题34正多边形的中心角
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72° B．60° C．48° D．36°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
2．（2022·河北唐山·九年级期末）正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
【详解】
解：正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
【详解】
解：，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．
4．（2022·福建·厦门市第十一中学九年级开学考试）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】
解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【解析】
【分析】
正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】
本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
6．（2022·江苏·九年级）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可．
【详解】
解：∵一个正多边形的中心角为45°，
∴这个正多边形的边数为8，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有△ABC，△ACF，△ACG共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提．
7．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角，计算即可．
【详解】
由题意得，45°，
解得n＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边形的中心角与内角混淆而造成错误计算．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
9．（2022·河北唐山·一模）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是（ ）
A．6 B． C． D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OF，根据中心角的定义求出∠AOE=120°，△AOF是等边三角形，设该正六边形的边长为r，根据弧长公式得到关于r的方程，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OF，则∠AOF=∠EOF==60°，AF=OA=OF，
∴∠AOE=2∠AOF=120°，
设该正六边形的边长为r，
则 ，
∴r=12．
∴AF=12，
故选：D
【点睛】
本题考查正多边形中心角、弧长公式等知识，添加辅助线，求出∠AOE是解题关键．
10．（2022·河北唐山·二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】
解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
11．（2022·广西河池·九年级期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，连接OC，证明△OCD是等边三角形，得到OD=CD=AB=2，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OC，
∵点O是正六边形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴点D的坐标为（2，0），
故选B．
【点睛】
本题主要考查了求正多边形中心角，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，正确推出△OCD是等边三角形是解题的关键．
12．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．
13．（2022·江苏常州·二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，
∵OA=1，
∴AC=OA=，
∴S△OAB=×1×=，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2022·吉林通化·九年级期末）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转度能与自身重合，则为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，O为正六边形的中心，由旋转的性质可得，将A绕点O旋转到B，∠OAB的度数即为所求，根据正六边形的性质求解即可.
【详解】
解：如图所示，O为正六边形的中心，
由旋转的性质可得，将A绕点O旋转到B，∠OAB的度数即为所求，
∵这是一个正六边形，
∴∠ABO=∠BAO=×（6-2）×180°÷6=60°，
∴∠AOB=60°，
∴α=60
故选B.
【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角和，图形的旋转，解题的关键在于能够找到∠AOB即为所求.
15．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心九年级期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
16．（2022·四川绵阳·九年级期末）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】
解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
17．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】
解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
【点睛】
本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．
18．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
19．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，由正六边形的特点可证得△OAB是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果．
【详解】
解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵⊙O的面积=πr2，
∴米粒落在正六边形内的概率为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△OAB的面积是解决问题的关键．
20．（2022·河北保定·模拟预测）如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与相等
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，OB，OC．根据多边形的内角和定理求出∠ABC，进而根据角的和差关系判断A选项不符合题意；根据正六边形的性质确定OA=OB并求出∠AOB和∠BOC，根据等边对等角确定∠OAM=∠OBC，根据全等三角形的判定定理和性质确定D选项不符合题意；结合正六边形的性质，线段的和差关系确定B选项不符合题意；结合正六边的性质确定C选项符合题意．
【详解】
解：如下图所示，连接OA，OB，OC．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．
∴，．
∴∠OAM=∠OBN．
∵∠GOK+∠ABC=180°，
∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．
故A选项不符合题意．
∵∠OMA+∠OMB=180°，
∴∠OMA=∠ONB．
∴．
∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．
故D选项不符合题意．
∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．
故B选项不符合题意．
∴．
∴．
故C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查多边形内角和定理，正多边形的性质，等边对等角，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
21．（2022·福建·一模）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（ ）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形
【答案】B
【解析】
【分析】
由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题．
【详解】
解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正八边形；
如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边形；
如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形，
而得不出十边形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关键．
22．（2022·浙江台州·一模）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设AC与BD相于O， EF与AC相较于Q，根据正六边形的性质，可得，，根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的性质可得，，可求得OE=2EQ，可得，根据对折的性质得， AC=4OQ，据此即可解答．
【详解】
解：如图：设AC与BD相交于O， EF与AC相交于Q，
∵六边形BGHDFE是正六边形，
∴，，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴OE=2EQ，
在中，
，
∴，
由对折的性质得， AC=4OQ，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
23．（2022·江苏宿迁·一模）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，则每一等分的圆弧都相等，每一等分的圆弧所对的圆心角相等，根据题意求得，继而求得，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求得，进而根据对称性可得则阴影部分面积为，根据三角形的面积公式计算即可求得
【详解】
添加字母如图，
根据题意，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形
则每一等分的圆弧都相等，每一等分的圆弧所对的圆心角相等
,
根据对称性可得
则是等腰直角三角形
同理可得是等腰直角三角形
则阴影部分面积为
故选C
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的旋转对称性，理解阴影部分的面积为是解题的关键．
24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质易证得是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=3，由此即可解题．
【详解】
解：连接OB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=3，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握圆内接正多边形性质，正确作出辅助线得出是等边三角形是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
25．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角和为360°，先求出正多边形的边数，再用内角和除以边数即可．
【详解】
解：∵n＝＝10，
∴它的一个内角的度数为：，
故答案为：144°
【点睛】
此题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．
26．（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】
根据题意有：，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
27．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
【答案】十二
【解析】
【分析】
根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】
解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
28．（2022·上海嘉定·二模）正八边形的中心角等于______度
【答案】45
【解析】
【分析】
已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出．
【详解】
∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于．
29．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．
【答案】72°
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
30．（2022·辽宁大连·九年级期末）正八边形的中心角的度数是 _____°．
【答案】45
【解析】
【分析】
利用正n边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】
解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为：45．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正n边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
31．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
【答案】12
【解析】
【分析】
连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】
连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
32．（2022·四川省渠县中学二模）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出，根据勾股定理得出即可．
【详解】
解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示：
∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形，
∴，
∵OB=OC，
为等边三角形，
∴，
，
∴，
，
即弦心距是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
33．（2022·江西赣州·九年级期末）已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．
（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）不变；（3），四边形OMPN是菱形．
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S△AOM=S△BON， 所以S=S△ABO= S正方形ABCD=×4=1；
（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，故S的大小不变；
（3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的，则S是原正六边形面积的；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形．
【详解】
（1）解：如图1，连接OA、OB，
当n=4时，四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠MON=∠α=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠BON=∠AOM，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAM=∠ABO=45°，
在△AOM和△BON中，
∵ ，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴S△AOM=S△BON，
∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON，
即S四边形ANDM=S△ABO=S，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD=2×2=4，
∴S=S△ABO=S正方形ABCD=×4=1；
（2）解：如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，
理由如下：连接OA、OB，
则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，
∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，
∴△OAM≌△OBN，
∴四边形OMBN的面积：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，
故S的大小不变；
（3）解：猜想：S是原正六边形面积的，理由是：
如图3，连接OB、OD，
同理得△BOM≌△DON，
∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：
如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，
连接OA、OB、OC、OD、PM、PN，
∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，
∴△OAM≌△OBP≌△OCN，
∴OM=OP=ON，
∴△OMP和△OPN都是等边三角形，
∴OM=PM=OP=ON=PN，
∴四边形OMPN是菱形．
【点睛】
本题考查了正n边形的性质、全等三角形的性质和判定、正n边形的中心角、中心等定义以及旋转等知识，明确正n边形的中心角=，熟练掌握全等三角形的性质和判定，难度适中，本题还运用了类比的思想解决数学问题．
试卷第1页，共3页
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绝密★启用前
专题34正多边形的中心角
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72° B．60° C．48° D．36°
2．（2022·河北唐山·九年级期末）正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022·福建·厦门市第十一中学九年级开学考试）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022·江苏·九年级专题练习）正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．（2022·江苏·九年级）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北唐山·一模）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是（ ）
A．6 B． C． D．12
10．（2022·河北唐山·二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
11．（2022·广西河池·九年级期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
13．（2022·江苏常州·二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
14．（2022·吉林通化·九年级期末）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转度能与自身重合，则为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
15．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心九年级期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
16．（2022·四川绵阳·九年级期末）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
17．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
19．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
20．（2022·河北保定·模拟预测）如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与相等
21．（2022·福建·一模）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（ ）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形
22．（2022·浙江台州·一模）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·江苏宿迁·一模）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
25．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为______．
26．（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．
27．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
28．（2022·上海嘉定·二模）正八边形的中心角等于______度
29．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．
30．（2022·辽宁大连·九年级期末）正八边形的中心角的度数是 _____°．
31．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
32．（2022·四川省渠县中学二模）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是______．
三、解答题
33．（2022·江西赣州·九年级期末）已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．
（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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