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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题06 解一元二次方程：公式法
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的求根公式可得答案．
【详解】
解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴,,
∴则，，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
【答案】D
【解析】
【分析】
先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】
∵，
∴，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．（2022·福建·厦门市湖里中学九年级阶段练习）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．
【详解】
解：一元二次方程的求根公式是，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．
4．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，即可得到方程．
【详解】
解：根据得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，
∴这个一元二次方程是，
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
5．（2022·广东佛山·九年级开学考试）方程x2-6x+4=0的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的公式法求解即可得．
【详解】
解：，其中，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查解一元二次方程的公式法，熟练掌握运用公式法求解是解题关键．
6．（2022·江苏·泰州中学附属初中一模）小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0
【答案】D
【解析】
【详解】
x2-x=0，因式分解得：x（x-1）=0，可化为x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，
则被漏掉的一个根为0．故选D.
7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．
【详解】
解：是关于的一元二次方程，
，
由求根公式，得，
∴或，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+
【答案】D
【解析】
【分析】
用一元二次方程求根公式得x＝，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可求得．
【详解】
解：x2﹣x﹣1＝0，
∵，
∴，
∴x＝，且x2＝x+1，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．
9．（2022·全国·九年级课时练习）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公式法解一元二次方程的步骤求解判断即可．
【详解】
解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），
∴（第三步），
∴（第四步）
∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值
【详解】
解：化为一般形式为：
，，
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．
【详解】
解：A. 的两根为，故选项A不符合题意；
B. 的两根为，故选项B不符合题意；
C. 的两根为，故选项C不符合题意；
D. 的两根为，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．
12．（2022·河北唐山·九年级期末）是下列哪个一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程为（），
则方程的根为，
又因为 ，
则，，，
所以一元二次方程为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的系数．
13．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知m、n是两个不相等的实数根，若，则m满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用公式法求出方程的两根，可得 ，再求出的取值范围，即可求解．
【详解】
解：∵，
，
解得： ，
∵m、n是两个不相等的实数根， ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，即．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，无理数的估算，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（2022·江苏无锡·九年级期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据新定义列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】
解：由题意得，方程，化为，
整理得，，
，
∴，
解得：，，
故选A．
【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程，正确理解新运算、掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
15．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．BC＝8，则AC＝（ ）
A．44 B．44 C．16 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴AD=BD=BC=8．
∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
整理得：AC2-8AC-64=0，
解方程得：AC=4+4，或AC=4-4(舍去)，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC的长．
16．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】
【分析】
按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．
【详解】
解：
判别式
故选：C
【点睛】
此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
17．（2022·全国·九年级）若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可．
【详解】
∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
18．（2022·山东临沂·二模）方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
【答案】D
【解析】
【分析】
解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【详解】
方程移项并化简得x x 2=0，
a=1，b= 1，c= 2
△=1+8=9>0
∴x=
解得x1=-1，x2=2.
故选D
【点睛】
此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用判别式
19．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x的方程(x 2)(x 3)=m有两个不相等的实数根，运用根的判别式可判断A选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根公式可判断选项C、D．
【详解】
解：(x 2)(x 3)=m整理为x2 5x+6 m=0，
A、∵关于x的方程(x 2)(x 3)=m有两个不相等的实数根，
∴b2 4ac＞0，即( 5)2 4×1×(6 m)＞0，
解得：m＞，故此选项正确，不符合题意；
B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=，
∴，故此选项正确，不符合题意；
C、当m>0时，
，
，
∴当m>0时，x1<2<3D、由C可知此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式以及根与系数的关系．
20．（2022·全国·九年级课时练习）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可；
【详解】
设雕像的下部高为xm，则上部长为，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．
21．（2022·陕西西安·二模）已知函数，则下列说法正确的个数是（ ）
①若该函数图像与x轴只有一个交点，则
②方程有一个整数根是1
③存在实数a，使得对任意实数x都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
①分 两种情况分别讨论即可判断，②当时，方程分别为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可，③当时，不等式为，即可判断．
【详解】
①当 时， ，此时图像与x轴交于点 ，
当 时，令y=0，则有 ，
当 时，方程有两个相等的实数根，此时与x轴只有一个交点，
即 ，
，
故或者时，该函数图像与x轴都只有一个交点，故①错误，不符合题意；
②当 时，可得：，此时： ，
当 时，是一元二次方程，
由求根公式得： ，
解得： ，
∴方程有一个整数根是1，
故②正确，符合题意．
③当时，不等式为 ，
即 ，其恒成立，
即存在实数a，使得对任意实数x都成立，
故③正确，符合题意；
故有2个正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，函数与不等式的关系，对二次项系数分类讨论是解题的关键．
22．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【解析】
【分析】
A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
【详解】
解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点睛】
本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（ ）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
【答案】D
【解析】
【分析】
由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（2022·浙江宁波·九年级期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．
【详解】
解：由题意得，
当h=3时，，
解得，
∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．
25．（2022·全国·九年级课时练习）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】
解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】
本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
26．（2022·安徽亳州·九年级期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．
【详解】
解：根据题意，∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故选：B
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
27．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．
【详解】
解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c） c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t=，
∴2at+b=±，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
28．（2022·全国·九年级课时练习）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【详解】
A、的解为，不符合题意；
B、的解为，不符合题意；
C、的解为，符合题意；
D、的解为，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
29．（2022·全国·九年级课时练习）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
观察原方程，可用公式法求解.
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
30．（2022·全国·九年级课时练习）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【详解】
①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
31．（2022·浙江金华·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∽△BAC'，求得BP= C'A= C'B=，进一步计算即可求解．
【详解】
解：连接BC'，AC'，如图：
∵五边形A'B'BCD为正五边形，
∴∠CDA'==108°，
∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，且∠ADC=72°，
∴∠A'DC'=∠ADC=72°，
∴∠CDC'=∠ADA'=108°-72°=36°，
∴∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，
∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°，
由旋转的性质知AD=AB= DC'=2，
∴∠DC'A=∠DAC'=72°，
∴∠C'AB=36°，
∴C'A= C'B，
设C'A= C'B=x，则BD= x+2，
∵∠BDA=∠BAC'=36°，
∴△BDA∽△BAC'，
∴DA：AC'=BD：BA，即2：x=( x+2)：2，
整理得：x2+2x-4=0，
解得x=，(负值已舍)
∵∠C'BP=36°，∠BC'P=72°，
∴∠C'PB=72°，
∴BP= C'A= C'B=，
∴AP=3-，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
32．（2022·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次函数与四边形OABC的交点为各端点，求得对应a的值，进而确定a的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线过点A（-2，0）时，解得：a=-1或a=-4；
当抛物线过点B（-2，-2）时，解得：a=或a=；
当抛物线过点C（0，2）时，解得：a=或a=；
当抛物线经过原点（0，0）时，解得：a=0或a=-1；
抛物线y=2（x-a） +2a，
∵2＞0，开口向上，最小值为2a，直线BC为y=2，
∴2a≤2，即a≤1
∵＜-4＜＜-1＜＜0＜
∴当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值： ≤a≤
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、解一元二次方程、坐标与图形、二次根式的运算，利用二次函数与四边形的端点相交确定对应的a的临界值是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
33．（2022·全国·九年级专题练习）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】
解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
34．（2022·全国·九年级）一元二次方程的解为 __．
【答案】，
【解析】
【分析】
先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
【详解】
解：，
化为一般形式得：，
，
∴，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
35．（2022·江苏·九年级专题练习）已知y＝m+1是一次函数，则m＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用一次函数定义可得m2﹣2m+1＝1，且m≠0，进而可得m的值．
【详解】
解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的求解，一次函数的定义，系数不为0是本题的易错点．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP、AP、AB、BP是成比例线段．如果AB＝1，那么BP＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设BP=x，则AP=1-x，则根据即可求解．
【详解】
解：设BP=x，则AP=1-x，
由题意可知：，
∴，即，
∵x＞0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查比例线段，正确列出比例式是关键．
37．（2022·福建·模拟预测）定义：关于x的方程（a1≠0）与（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程与互为“对称方程”，则的值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】
由题可知，，求出的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：由题可知，
解得
∴
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了代数式求值，完全平方公式求一元二次方程的解．解题的关键在于求出的值．
38．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．
【详解】
解：根据题意知x2-3+(-x)=0，
整理，得：x2-x-3=0，
∵，，，
∴，
∴x=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
39．（2022·全国·九年级课时练习）已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为___________．
【答案】-5或或
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值．
【详解】
解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长，
当a=2时，即x=2，代入，
得：，
解得：k=-5，或k=1（舍），
当a=3时，即x=3，代入，
得：，
解得：k=，或k=，
故答案为：-5或或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．
40．（2022·全国·九年级专题练习）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
【答案】不存在
【解析】
【分析】
首先根据n=1、2、3、4时，“ ”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“ ”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】
解：∵n=1时，“ ”的个数是3=3×1；
n=2时，“ ”的个数是6=3×2；
n=3时，“ ”的个数是9=3×3；
n=4时，“ ”的个数是12=3×4；
……
∴第n个图形中“ ”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=；
n=2时，“○”的个数是，
n=3时，“○”的个数是，
n=4时，“○”的个数是，
……
∴第n个“○”的个数是，
由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
①，②
解①得：无解
解②得：
故答案为：不存在
【点睛】
本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
41．（2022·全国·九年级课时练习）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】
解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
42．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
由题意易得△CAB是等腰三角形，且△CAB∽△ABD，由相似三角形的性质可得关于AD的方程，解方程即可．
【详解】
∵AB=AD，，
∴．
∵AD=CD，
∴，
∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=72°=∠ABD．
∴BC=AC=2CA．
∵∠ABD=∠ADB=∠CAB=∠ABD=72°，
∴△CAB∽△ABD．
∴即．
∵AB=AD，，
∴．
解得：或（舍去）．
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，判定△CAB是等腰三角形从而有三角形相似是关键．
43．（2022·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点AB，若∠AOB＝120°，则k的值为 _____．
【答案】8
【解析】
【分析】
运用直线与反比例函数的解析式表达A，B两点的坐标，从而证得OA=OB，再根据图象的几何性质求得k值．
【详解】
解：设直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，过O作OE⊥AB于E，
对于直线y＝x+4，令y＝0，得，
令x＝0，得，则，
故是等腰直角三角形，
∵OE⊥AB，
∴，
联立直线y＝x+4与反比例函数y＝的解析式，得，
整理得，，
故，
设，则，，
∵，，
∴，
∵∠AOB＝120°，，
∴∠ABO＝30°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∵，∠ABO＝30°，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，即
∵B在反比例函数y＝图象上，
∴，
故k值为8．
答案为：８．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，通过数形结合的方法分析函数图象的特征点，是解题的关键．
44．（2022·全国·九年级课时练习）方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；
【详解】
解：方程两边都乘（x-2）（x+2），得：x（x+2）+6（x-2）=0，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：当时，（x+2）（x-2）≠0，
当时，（x+2）（x-2）≠0，
∴是原方程的解．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验．
三、解答题
45．（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】
【解析】
【分析】
直接通过公式法求解即可，步骤：先算根的判别式，再代入求解．
【详解】
解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
∴x，
∴x1，x2．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
46．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程．
(1)x2＋2x＝0；
(2)2x2－3x－1＝0．
【答案】(1)x1＝－2，x2＝0．
(2)x1＝，x2＝
【解析】
【分析】
（1）采用因式分解法即可求解；
（2）直接用公式法即可求解．
(1)
原方程左边因式分解，
得：，
即有：x1＝－2，x2＝0；
(2)
∵，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，掌握求根公式是解答本题的关键．
47．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得： ，
解得： ，，
经检验 ，是分式方程的解．
∴原分式方程的解为 ，．
【点睛】
本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是不是分式方程的解．
48．（2022·福建泉州·九年级期末）解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】
把方程化为，然后用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
原方程可化为，
∵，，，
∴，
∴，
即，．
【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的步骤是解题的关键．
49．（2022·甘肃·兰州市第十九中学九年级期末）用你喜欢的方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】
利用公式法解一元二次方程即可得．
【详解】
解：方程中的，
则方程根的判别式为，
所以方程的解为，
即．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
50．（2022·甘肃兰州·九年级期末）解方程：2x2﹣8x+3＝0．
【答案】x1＝，x2＝
【解析】
【分析】
方程利用公式法求出解即可．
【详解】
解：这里，，，
∵>0，
∴ == =
∴x1＝ ，x2＝．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能熟记公式法解一元二次方程的步骤是解此题的关键．
51．（2022·全国·九年级课时练习）解方程．
(1)3x2﹣1＝4x；
(2)（x＋4）2＝5（x＋4）．
【答案】(1)
(2)x1=-4，x2=1
【解析】
【分析】
（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；
（2）先移项得到（x+4）2-5（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程．
(1)
解： 3x2-4x-1=0，
∵a=3，b=-4，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．
∴，
∴
(2)
解：（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2-5（x+4）=0，
（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0或x-1=0，
∴x1=-4，x2=1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
52．（2022·甘肃·兰州十一中九年级阶段练习）解方程：2x2+4＝7x．
【答案】x1=，x2=．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的公式法即可求出答案．
【详解】
解：整理得2x2-7x+4=0，
这里a=2，b=-7，c=4，
∴△=（-7）2-4×2×4=17＞0，
∴x==，
∴x1=，x2=．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
53．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)
(2)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用平方差公式及因式分解法解方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
(1)
解：，
，
，
，
∴或，
∴，；
(2)
解：，
其中，，，
∴，
，
∴，．
【点睛】
题目主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法与公式法，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
54．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单；
（2）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
(1)
解：
因式分解得：，
，，
∴；；
(2)
解：
，，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程及公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
55．（2022·河南南阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）把代入，得到，再解这个方程即可；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求的取值范围．
(1)
解：∵关于的一元二次方程，
∴当时，方程为，
∴，
∴，．
(2)
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
∴的取值范围为．
【点睛】
本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式用表示，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
56．（2022·辽宁大连·九年级期末）解方程：
(1)4x2﹣9＝0；
(2)x2﹣2x﹣5＝0．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法解方程即可．
（2）根据公式法解方程即可．
(1)
原方程可变形为（2x+3）(2x-3)=0
2x+3=0，或2x-3=0
解得
(2)
这里a=1，b= -2，c= -5
△=b2-4ac=(-2)2-41(-5)=24>0
∴
∴
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
57．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）用先用平方差公式展开，先用判别式判断存在实数根，再求根公式求得x；
（2）把x+3，1-2x 看成整体，利用平方差公式进行因式分解，解得x。
【详解】
（1），
整理得：，
∵
∴
（2）
变形为，
，即
解得：
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟记平方差公式，一元二次方程的判别式b2-4ac，求根公式是解一元二次方程的关键．
58．（2022·湖南长沙·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
(1)先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；
(2)先把方程化为，然后利用因式分解法解方程．
(1)
，
a=1,b=3,c=-2,
，
，
．
(2)
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程中因式分解法：就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，同时也考查了公式法．
59．（2022·辽宁阜新·九年级期末）解方程
(1)x2﹣6x＝﹣5；
(2)2x2﹣5x+1＝0；
(3)x2+4x＝5（x+4）．
【答案】(1)x1＝5，x2＝1
(2)x1，x2
(3)x1＝﹣4，x2＝5
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
（2）利用公式法求解即可；
（2）先移项，然后提公因式分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
(1)
解： x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝5，x2＝1．
(2)
2x2﹣5x+1＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
(3)
x2+4x＝5（x+4），
x（x+4）﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
60．（2022·江苏·九年级）解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法求解方程即可；
（2）根据公式法进行求解方程即可．
(1)
解：x2﹣4x﹣5＝0
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
(2)
解：3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
61．（2022·湖北襄阳·九年级期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）根据公式法解方程即可求解．
(1)
解：，
，
，
∴；
(2)
解：方程化为：，
．
，
方程有两个不相等的根
，
∴．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—公式法与因式分解法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
62．（2022·云南大理·九年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先求解再利用求根公式解方程即可；
（2）把原方程化为再利用因式分解的方法解方程即可．
(1)
则
(2)
解：，
∴
∴
解得，
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用公式法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．
63．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：（x＋1）（x－1）＝2x．
【答案】x1＝＋，x2＝－
【解析】
【分析】
根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可．
【详解】
解：（x＋1）（x－1）＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握会用公式法求解一元二次方程是解题的关键．
64．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可；
（2）根据因式分解法进行解答即可．
(1)
．
移项得，，
，
∴，
∴，．
(2)
．
，
，
∴，．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键．
65．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)（用配方法解）
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【解析】
【分析】
（1）根据配方法步骤，先将常数项移到等式右边，方程两边都加一次项系数一半的平方，转化为直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法因式分解为，转化为一元一次方程，来解即可；
（3）先将常数项移到左边，将一元二次方程化为一般式，确定出,计算判别式的值△=，然后代入求根公式即可；
（4）利用提公因式法因式分解，转化为一元一次方程，来解即可．
(1)
（用配方法解）
方程两边都加一次项系数8的一半4的平方得：，
化为，
∴，
∴，，
解得，；
(2)
，
因式分解得，
∴，，
解得，；
(3)
，
移项得，
，
△=，
，
∴，；
(4)
，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，指定配方法解一元二次方程，因式分解法，公式法，灵活掌握一元二次方程的的各种解法与步骤是解题关键．
66．（2022·全国·九年级专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【解析】
【分析】
（1）利用直接开方法来求解；
（2）利用求根公式法来求解；
（3）利用因式分解法来求解；
（4）利用配方法来求解．
（1）解：将移项得，开平方得，解得，；
（2）解：在中，∴，解得，；
（3）解：由得，∴或，解得，；
（4）解：将两边加上1得，即，开平方得，解得，．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，灵活运用一元二次方程的解法是解答关键．
67．（2022·江苏南京·二模）（1）解方程：．
（2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；（2）（，0），（，0）；（3）x＜或x＞
【解析】
【分析】
（1）通过配方法解一元二次方程．
（2）由一元二次方程的解可得抛物线与x轴的交点．
（3）由抛物线开口方向及抛物线与x轴交点求解．
【详解】
解：（1）x2+x1=0
x2+x=1，
x2+x+=1+，
（x+）2=，
x1=，x2=．
（2）令x2+x-1=0，
解得x1=，x2=．
∴抛物线y=x2+x-1与x轴交点坐标为（，0），（，0）．
（3）∵抛物线开口向上，
∴x＜或x＞．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
专题06 解一元二次方程：公式法
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
3．（2022·福建·厦门市湖里中学九年级阶段练习）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东佛山·九年级开学考试）方程x2-6x+4=0的根是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·泰州中学附属初中一模）小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0
7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+
9．（2022·全国·九年级课时练习）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）
∴（第三步）
∴（第四步）
小明解答过程开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
10．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·河北唐山·九年级期末）是下列哪个一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知m、n是两个不相等的实数根，若，则m满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·江苏无锡·九年级期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
15．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．BC＝8，则AC＝（ ）
A．44 B．44 C．16 D．12
16．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
17．（2022·全国·九年级）若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
18．（2022·山东临沂·二模）方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
19．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
20．（2022·全国·九年级课时练习）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A． B． C． D．
21．（2022·陕西西安·二模）已知函数，则下列说法正确的个数是（ ）
①若该函数图像与x轴只有一个交点，则
②方程有一个整数根是1
③存在实数a，使得对任意实数x都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A B C D
两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3
A．A B．B C．C D．D
23．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（ ）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
24．（2022·浙江宁波·九年级期末）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒
25．（2022·全国·九年级课时练习）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·安徽亳州·九年级期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
28．（2022·全国·九年级课时练习）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
29．（2022·全国·九年级课时练习）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国·九年级课时练习）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
31．（2022·浙江金华·二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（ ）
A．1 B． C． D．
32．（2022·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤0 B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
33．（2022·全国·九年级专题练习）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
34．（2022·全国·九年级）一元二次方程的解为 __．
35．（2022·江苏·九年级专题练习）已知y＝m+1是一次函数，则m＝_____．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP、AP、AB、BP是成比例线段．如果AB＝1，那么BP＝_______．
37．（2022·福建·模拟预测）定义：关于x的方程（a1≠0）与（a2≠0），如果满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程与互为“对称方程”，则的值为_____．
38．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．
39．（2022·全国·九年级课时练习）已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为___________．
40．（2022·全国·九年级专题练习）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
41．（2022·全国·九年级课时练习）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
42．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，则________．
43．（2022·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点AB，若∠AOB＝120°，则k的值为 _____．
44．（2022·全国·九年级课时练习）方程的解为________．
三、解答题
45．（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
46．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程．
(1)x2＋2x＝0；
(2)2x2－3x－1＝0．
47．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：．
48．（2022·福建泉州·九年级期末）解方程：．
49．（2022·甘肃·兰州市第十九中学九年级期末）用你喜欢的方法解方程：．
50．（2022·甘肃兰州·九年级期末）解方程：2x2﹣8x+3＝0．
51．（2022·全国·九年级课时练习）解方程．
(1)3x2﹣1＝4x；
(2)（x＋4）2＝5（x＋4）．
52．（2022·甘肃·兰州十一中九年级阶段练习）解方程：2x2+4＝7x．
53．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)
(2)（公式法）
54．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：
(1)；
(2)．
55．（2022·河南南阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
56．（2022·辽宁大连·九年级期末）解方程：
(1)4x2﹣9＝0；
(2)x2﹣2x﹣5＝0．
57．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)；
(2)．
58．（2022·湖南长沙·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
59．（2022·辽宁阜新·九年级期末）解方程
(1)x2﹣6x＝﹣5；
(2)2x2﹣5x+1＝0；
(3)x2+4x＝5（x+4）．
60．（2022·江苏·九年级）解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
61．（2022·湖北襄阳·九年级期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
62．（2022·云南大理·九年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
63．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：（x＋1）（x－1）＝2x．
64．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)．
65．（2022·全国·九年级课时练习）解方程：
(1)（用配方法解）
(2)
(3)
(4)
66．（2022·全国·九年级专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)．
67．（2022·江苏南京·二模）（1）解方程：．
（2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
试卷第1页，共3页
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