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绝密★启用前
专题15二次函数y=a（x－h） ＋ｋ的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
2．（2022·湖南长沙·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（，4） B．（，） C．（4，） D．（，）
3．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·九年级期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当＝1时，y有最大值－2 B．当＝－1时，y有最小值－2
C．当＝1时，y有最小值－2 D．当＝－1时，y有最大值－2
5．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·九年级）若点，在同一个函数图象上，这个函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·九年级）二次函数的大致图象是( )
A． B． C． D．
9．（2022·福建·福州立志中学九年级期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）对于二次函数，下列说法中正确的是( )
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
11．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）抛物线y＝（x 2）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
12．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）抛物线y＝（x 2）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
13．（2022·福建南平·九年级期末）关于抛物线，下列说法错误的是( )
A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线 D．顶点
14．（2022·山西吕梁·九年级期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3 B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
15．（2022·辽宁大连·九年级期末）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的对称轴是( )
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣5 D．直线x＝5
16．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线y＝3（x﹣2）2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为( )
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
17．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·浙江·九年级专题练习）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
20．（2022·浙江杭州·九年级期末）一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·全国·九年级专题练习）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
22．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
23．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
24．（2022·浙江金华·三模）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
25．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
26．（2022·全国·九年级专题练习）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当时，y随x增大而减小
C．函数最小值为﹣2
D．顶点坐标为（1，﹣2）
27．（2022·四川广元·二模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）．若恒成立，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x＋1）2﹣2
C．y＝3（x＋1）2＋2 D．y＝3（x﹣1）2＋2
29．（2022·全国·九年级专题练习）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y=（x m）2 m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
30．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
31．（2022·全国·九年级专题练习）在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是( )
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
32．（2022·安徽合肥·九年级期末）二次函数图像的顶点坐标为____________
33．（2022·广西河池·九年级期末）已知函数，当时，y随x的增大而______（填写“增大”或“减小”）．
34．（2022·云南大理·九年级期末）若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
35．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝3（x+5）2+8的顶点坐标是 _____．
36．（2022·江苏无锡·模拟预测）抛物线的顶点坐标是______．
37．（2022·河北石家庄·九年级期末）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为__________．
38．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线的顶点坐标为_____．
39．（2022·全国·九年级课时练习）请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线解析式______．
三、解答题
40．（2022·安徽合肥·九年级期末）通过配方，求抛物线y=-x+6x-5的对称轴和顶点坐标．
41．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图像经过两点
(1)求二次函数的解析式：
(2)将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴
42．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
43．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
44．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线y=ax2-2ax-6+a2（a≠0）
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数的解析式．
45．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；
（3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？
46．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
47．（2022·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
48．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
49．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
50．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
51．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
52．（2022·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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绝密★启用前
专题15二次函数y=a（x－h） ＋ｋ的图象
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
因为顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴是直线x=h，所以抛物线y=（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1．
【详解】
解：∵y=a（x-h）2+k，对称轴是直线x=h
∴抛物线y=（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1
故选：B．
【点睛】
本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
2．（2022·湖南长沙·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（，4） B．（，） C．（4，） D．（，）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的顶点坐标是（h，k），可得答案；
【详解】
抛物线的顶点坐标是（-3，4）
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用的顶点坐标是（h，k）是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】
∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·九年级期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当＝1时，y有最大值－2 B．当＝－1时，y有最小值－2
C．当＝1时，y有最小值－2 D．当＝－1时，y有最大值－2
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，即可求得答案.
【详解】
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-2），
∴当x=-1时，y有最小值-2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）.
5．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
已知抛物线顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵抛物线y= 2(x 1)2+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查由抛物线的顶点式与抛物线顶点的坐标的关系，熟练掌握顶点式是解答此题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式所对应的顶点坐标是，可作出选择．
【详解】
解：对照抛物线的顶点式可得，，
把，代入顶点坐标公式中，得此抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：公式要记清楚．顶点式中的m与顶点坐标中的－m是互为相反数的关系．
7．（2022·全国·九年级）若点，在同一个函数图象上，这个函数可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把点A坐标和点B坐标代入四个选项中的解析式中求出m并验证即可．
【详解】
解：A，把代入中得，把代入中得，因为13=13，故A符合题意；
B，把代入中得，把代入中得，因为，故B不符合题意；
C，把代入中得，把代入中得，因为，故C不符合题意；
D，把代入中得，把代入中得，因为，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据自变量求二次函数值，熟练掌握该知识点是解题关键．
8．（2022·全国·九年级）二次函数的大致图象是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断．
【详解】
解：∵二次函数，
则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，
∴图像开口向上，
所以选项B图像符合．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数顶点式，通过顶点式写出顶点坐标和对称轴是解题关键．
9．（2022·福建·福州立志中学九年级期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
∴其顶点坐标为：（1，-4）．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．注意：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）．
10．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）对于二次函数，下列说法中正确的是( )
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵2＞0，
∴抛物线开口向上，故A错误；
∵抛物线的顶点坐标为（3，1），
∴当x=3时，函数有最小值，最小值为1故B错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故C正确；D错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
11．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）抛物线y＝（x 2）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
【答案】A
【解析】
【分析】
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】
解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
12．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）抛物线y＝（x 2）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
【答案】A
【解析】
【分析】
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】
解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
13．（2022·福建南平·九年级期末）关于抛物线，下列说法错误的是( )
A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线 D．顶点
【答案】B
【解析】
【分析】
二次函数的图像和性质，根据解析式画出图像，即可得到答案．
【详解】
接：根据解析式，画出二次函数图像，如图所示，
A．开口向上，说法正确，不符合题意；
B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C．对称轴是直线，说法正确，不符合题意；
D．顶点，说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，图像的开口方向、图像的增减性、对称轴、顶点坐标是本题的关键．
14．（2022·山西吕梁·九年级期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3 B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【详解】
解：A．当x＝1时，y有最大值4，该选项说法不正确，符合题意；
B．当x≥1时，y随x的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C．开口向下，该选项说法正确，不符合题意；
D．令y＝0，则，解得，，所以函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），该选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数表达式与图象的关系是解答本题的关键．
15．（2022·辽宁大连·九年级期末）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的对称轴是( )
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣5 D．直线x＝5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的对称轴．
【详解】
解：∵二次函数数y＝﹣（x﹣3）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（2022·全国·九年级课时练习）将抛物线y＝3（x﹣2）2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为( )
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平移的规律“上加下减，左加右减”解答即可．
【详解】
由平移的规律“上加下减，左加右减”可知，
将抛物线y＝3（x﹣2）2+1，向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
所得新抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2+3）2+1+2，即y＝3（x+1）2+3．
故选：A
【点睛】
本题考查利用平移的规律求二次函数的解析式，解题关键是正确掌握平移的规律 “上加下减，左加右减” ．
17．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
18．（2022·浙江·九年级专题练习）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】
解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
19．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
【详解】
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
20．（2022·浙江杭州·九年级期末）一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求解即可求解．
【详解】
解：根据题意，设一个月可以获利为，则
根据顶点式即可求得最大获利润和此时销售价格，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级专题练习）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】
解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
23．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴当x=2时，y有最大值为5；
∴选项A，B，D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
24．（2022·浙江金华·三模）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定函数的顶点坐标，由此得到答案．
【详解】
由可得，函数图象的顶点坐标为（1,-1），
由图可知，函数的顶点在线段CD上，
∴C、D的纵坐标为-1，D点的横坐标大于1，
∵由图可知B、D的横坐标相等，
∴B点的横坐标也大于1，
∴坐标原点只有可能是点A，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及二次函数的图象，熟练确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
25．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当D点横坐标最大值时，抛物线顶点必为，可得此时抛物线的对称轴为直线，求出间的距离；当C点横坐标最小时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断C点横坐标的最小值．
【详解】
解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，
∴对称轴为直线，；
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点C的横坐标最小值为，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD的长度是定长是解题的关键．
26．（2022·全国·九年级专题练习）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当时，y随x增大而减小
C．函数最小值为﹣2
D．顶点坐标为（1，﹣2）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．
【详解】
解：抛物线解析式可知，
A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；
B、抛物线对称轴为，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；
C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；
D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．
27．（2022·四川广元·二模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）．若恒成立，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由恒成立，即点M要在线段PQ上，即抛物线在x=1时的函数值要比B的纵坐标大和x=-2时函数值要比A的纵坐标大，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，∵恒成立，即点M要在线段PQ上，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解恒成立，即点M要在线段PQ上是解题的关键．
28．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x＋1）2﹣2
C．y＝3（x＋1）2＋2 D．y＝3（x﹣1）2＋2
【答案】A
【解析】
【分析】
抛物线y＝3x2向右平移1个单位，得到y=3(x_1)２，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2．
【详解】
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，解决问题的关键是熟练掌握“左加右减，上加下减”．
29．（2022·全国·九年级专题练习）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y=（x m）2 m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x上，结合图象求解．
【详解】
解：∵ y=（x-m）2-m，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），
∴抛物线顶点在直线y=﹣x上，
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB=BC=2，
∴点B坐标为（2，2），
将（2，2）代入y=（x-m）2-m得2=（2-m）2-m，
解得m=或m=（不符合题意，舍去）．
如图，当抛物线经过点A时，m取最小值，
将（0，2）代入y=（x-m）2-m得2=m2-m，
解得m=﹣1或m=2（不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
30．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(，y3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；(，y3)关于直线x=1的对称点是(，y3)，
∵-2<<0<1
∴y1＞y3＞y2，
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
31．（2022·全国·九年级专题练习）在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据A、C可知，k＜0，故选A.
【详解】
由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；
根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D；
根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A.
【点睛】
本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.
第II卷（非选择题）
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二、填空题
32．（2022·安徽合肥·九年级期末）二次函数图像的顶点坐标为____________
【答案】（0，-3）
【解析】
【分析】
根据顶点式的顶点坐标是（h，k），找出h，k即可得出答案．
【详解】
解：二次函数图像的顶点坐标为（0，-3）.
故答案：（0，-3）
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，还考查了顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为（h，k），掌握二次函数的性质是解题的关键．
33．（2022·广西河池·九年级期末）已知函数，当时，y随x的增大而______（填写“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：∵该函数的对称轴为直线x=1，a=－1＜0，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
本题考查二次函数的增减性，掌握二次函数的性质是解答的关键．
34．（2022·云南大理·九年级期末）若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向下，可知a为负数，取a= -2，再由顶点坐标为(0，1)，即可得出二次函数的解析式．
【详解】
∵二次函数的图象开口向下，
∴可知a为负数，取a= -2，
∵顶点坐标为(0，1)，
∴二次函数的解析式为：
y=-2(x-0)2+1=-2x2+1，
故答案为： y= -2x2 + 1(答案不唯一)．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键．
35．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝3（x+5）2+8的顶点坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：由，根据顶点式的坐标特点知，顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．
36．（2022·江苏无锡·模拟预测）抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的顶点式解析式读取即可．
【详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式解析式，解题关键是掌握的顶点坐标为．
37．（2022·河北石家庄·九年级期末）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为__________．
【答案】0或6##6或0
【解析】
【分析】
分别将（2，5），（4，5）代入解析式求解．
【详解】
解：∵y＝（x h）2＋1，
∴抛物线开口向上，函数最小值为y＝1，
∵2≤x≤4时，函数最小值为y＝5，
∴h＜2或h＞4，
当h＜2时，x＝2时，y＝（2 h）2＋1＝5，
解得h＝0或h＝4（舍），
h＞4时，x＝4，y＝（4 h）2＋1＝5，
解得h＝6或h＝2（舍），
故答案为：0或6．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
38．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线的顶点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：抛物线解析式为，
二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．
39．（2022·全国·九年级课时练习）请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线解析式______．
【答案】y＝-x2＋5（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，c＝5即可．
【详解】
解：开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为y＝-x2＋5，
故答案为：y＝-x2＋5（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数y＝a（x－h）2＋k（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
三、解答题
40．（2022·安徽合肥·九年级期末）通过配方，求抛物线y=-x+6x-5的对称轴和顶点坐标．
【答案】对称轴：直线x=3； 顶点（3，4）
【解析】
【分析】
通过配方将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】
∵y=-x2+6x-5=-x2+6x-9+4=-（x-3）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，4）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方的方法．
41．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图像经过两点
(1)求二次函数的解析式：
(2)将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴
【答案】(1)
(2)，二次函数图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线
【解析】
【分析】
（1）将两点坐标代入解析式，解得的值，表达二次函数的解析式；
（2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，顶点坐标为，对称轴为直线．
(1)
解：将，代入
有
解得
∴二次函数的解析式为．
(2)
解：
∴
∴，二次函数图像开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线．
【点睛】
本题考查了二次函数的不同表达方式与函数图像．解题的关键在于正确表示解析式的形式．
42．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
【答案】（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【解析】
【分析】
（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
【详解】
解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．
43．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【答案】的面积为12，周长为
【解析】
【分析】
令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出、的长度，由勾股定理得出的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案．
【详解】
∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，，
解得：，
令，，
，，
，，
由勾股定理得：
，
．
的面积为12，周长为．
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
44．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线y=ax2-2ax-6+a2（a≠0）
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数的解析式．
【答案】（1）直线；（2）或
【解析】
【分析】
（1）把解析式化为顶点式，其中对称轴为直线，即可得出答案；
（2）把解析式化为顶点式，顶点坐标为，当抛物线顶点在x轴上时，求解即可算出，代入即可写出函数解析式．
【详解】
（1），
对称轴为直线；
（2）由题可知，当抛物线顶点在x轴上时，
，
，
解得：或，
当时，函数解析式为；
当时，函数解析式为．
【点睛】
本题考查了函数的性质，由通过一般式化为顶点式，找出对称轴和顶点坐标是解题的关键．
45．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；
（3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为2
【解析】
【分析】
（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设顶点式，将代入解析式，即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，进而求得当时，最值为2．
【详解】
（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
设顶点式，将代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即时，随的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，
当时，有最大值，最大值为2．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握的图象与性质是解题的关键．
46．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【解析】
【分析】
首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系．
【详解】
解：如图所示，即为三者的函数图像：
由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）；
由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
47．（2022·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m＝2，c＝5；（2）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．
【解析】
【分析】
（1）依题意，先求得点的坐标，即可求得的值，再将的坐标代入二次函数即可求得的值；
（2）根据（1）的结论得到二次函数的解析式，将二次函数解析式化为顶点式即可求得对称轴和顶点坐标．
【详解】
（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，
∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴点A坐标为（﹣1，2），
∵点A在二次函数图象上，
∴﹣1﹣2+c＝2，
解得c＝5；
（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，
∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义，二次函数的性质，求得点的坐标是解题的关键．
48．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值；
（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；
（3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围．
(1)
当，时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴
∴，
∴，
∴的值为1；
(2)
当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为；
(3)
由（1）可知，当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴点离抛物线的对称轴最远，
∴h的取值范围是
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
49．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
【答案】(1)；
(2)3；2
【解析】
【分析】
（1）把点代入，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（2）把C代入可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
(1)
将代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，，
∴顶点坐标为；
(2)
把C代入得，
，
设直线AB的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵顶点的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．
50．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】(1)对的，理由见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．
(1)
解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数（是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
(2)
证明：点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入，得
∴c≤15．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
51．（2022·全国·九年级）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
【答案】见解析；三条抛物线都开口向上，对称轴依次是y轴、直线x＝－2，直线x＝2，顶点坐标依次是（0，0），（－2，0），（2，0）．
【解析】
【分析】
用描点法画函数图像，先列表，描点，平滑曲线连线可依次得到，，，根据平移的性质可得出三函数关系，结合函数图像可得出三函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．
【详解】
解：列表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2 0 2
0 2 8
8 2 0
描点（-3，），（-2，2），（-1，），（0，0），（1，），（2，2），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
描点（-3，），（-2，0），（-1，），（0，2），（1，），（2，8），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
描点（-3，），（-2，8），（-1，），（0，2），（1，），（2，0），（3，），
用平滑曲线连线可得的图形如图；
将抛物线向左平移2个单位得，向右平移2个单位得
函数 开口方向 对称轴 顶点
向上 y轴 （0，0）
向上 x=-2 （-2，0）
向上 x=2 （2，0）
【点睛】
本题考查在平面直角坐标系中画二次函数图像，掌握描点法，列表，描点，连线，二次函数的性质开口方向，对称轴，顶点坐标是解题关键．
52．（2022·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
【答案】(1)，
(2)或
(3)（n为正整数），m的值可以为3．
【解析】
【分析】
由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．
分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．
设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．
(1)
∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，
∴，
(2)
①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得
把代入得，
解得或（舍），
∴；
②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），
∴，
将代入得，
解得，
∴，
综上，或；
(3)
如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，
则DE为△ABC的中位线，
∴，点D坐标为，点E坐标为，
由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，
则，，
解得（n为正整数）．
∴m的值可以为3．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
