单元过关检测五 数列
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列{an}中，a1＝1，a2＝a4＋2a6，则a5＝( )
A.B.C.D.
2．在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a4＝6，a6＝4，则公差d＝( )
A．1B．2C.D.
3．已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5·a6＝a7，则T7的值是( )
A．1B．2C．3D．4
4．[2022·山东烟台模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝52，S4＝22，则a7＝( )
A．4B．5C．6D．7
5．[2022·湖南永州一中月考]设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝an－，则S5＝( )
A．81B．121C．243D．364
6．已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝15，且a1，a2，a3＋1成等比数列，则( )
A．a1＝0，S10＝45B．a1＝0，S10＝90
C．a1＝1，S10＝100D．a1＝1，S10＝55
7．[2022·广东深圳模拟]在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝( )
A．10B．9C．8D．7
8．5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数(单位：万个)约为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·江苏苏州模拟]已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＝S17，下列说法正确的是( )
A．a8＝0B．a9＝0
C．a1＝S16D．S8>S10
10．[2022·渤海大学附属高级中学月考]已知正项的等比数列中a1＝2，a4＝2a2＋a3，设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A．q＝2B．an＝2n
C．S10＝2047D．an＋an＋1
11．[2022·山东淄博实验中学月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，若an是Sn与λ(λ≠0)的等差中项，则下列结论中正确的是( )
A．当且仅当λ＝2时，数列{an}是等比数列
B．数列{an}一定是单调递增数列
C．数列是单调数列
D．anan＋2>0
12．[2022·湖南衡阳模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．则下列数列{bn}为“吉祥数列”的有( )
A．bn＝nB．bn＝(－1)n(n＋1)
C．bn＝4n－2D．bn＝2n
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2022·河北张家口模拟]在等差数列{an}中，a11＝2a8＋6，则a2＋a6＋a7＝________.
14．[2022·湖南长郡中学月考]已知an＝lg(n∈N*)，若数列{an}的前n项和Sn＝1，则n＝________.
15．已知等比数列{an}的公比为q，且16a1,4a2，a3成等差数列，则q的值是________．
16．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________dm2.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·福建厦门模拟]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令bn＝，证明：b＋b＋…＋b<1.
18．(12分)已知数列{an}，{bn}，{cn}满足 n∈N*，bn＝a2n－1，cn＝a2n，bn＋1＝bn＋2，cn＋1＝2＋c1＋c2＋…＋cn，a1＝a2＝2.
(1)求数列{bn}，{cn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前20项的和．
19．(12分)[2022·湖北武昌模拟]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1∈(0,2)，a＋3an＋2＝6Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．(12分)[2022·广东顺德模拟]已知数列{an}，{bn}的各项均为正数．在等差数列{an}中，a6＋a9＝a13＋3，a＝a5；在数列{bn}中，b1＝1,3b＋2bnbn＋1－b＝0.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
21．(12分)[2022·山东聊城模拟]在①a1，a3，a21成等比数列，②S4＝28，③Sn＋1＝Sn＋an＋4，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，a2＝5，________，{bn}是等比数列，b2＝9，b1＋b3＝30，公比q>1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和{bn}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求T80＝c1＋c2＋c3＋…＋c80.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(12分)[2022·衡水中学月考]对于正项数列{an}，定义Gn＝为数列{an}的“匀称”值．
(1)若数列{an}的“匀称”值Gn＝n，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的“匀称”值Gn＝2，设bn＝(－1)n＋1，求数列{bn}的前n项和Sn及S2n的最小值．
单元过关检测五 数列
1．答案：B
解析：设数列{an}的公比为q，因为a4＋2a6＝a2，所以a1q3＋2a1q5＝a1q，
即2q4＋q2－1＝0，解得q2＝，
所以a5＝a1q4＝.
2．答案：D
解析：数列{an}为等差数列，又∵a2＋a3＋a4＝6，根据等差数列性质得到
a2＋a3＋a4＝3a3＝6，a3＝2，又a6＝4，
∴a6－a3＝3d＝2，d＝.
3．答案：A
解析：因为数列{an}是等比数列，设公比为q，
由a5·a6＝a7得a1q4·a1q5＝a1q6，即a1q3＝1，即a4＝1，
由等比数列的性质可得，
T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝a＝1.
4．答案：C
解析：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝52，S4＝22，
设等差数列的首项为a1，公差为d，
由S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝52，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝22，
由两式相减可得(S9－S4)＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝52－22，
即5a1＋30d＝30，
a1＋6d＝6
即a7＝6.
5．答案：B
解析：∵Sn＝an－，∴当n≥2时，Sn－1＝an－1－，
∴an＝Sn－Sn－1＝an－－＝an－an－1，
化简可得：an＝3an－1，
当n＝1时，a1＝S1＝a1－，解得：a1＝1.
∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3，
∴S5＝＝＝121.
6．答案：D
解析：因为{an}是递增等差数列，S5＝15，
所以5a1＋d＝15，即a1＋2d＝3，①
由a1，a2，a3＋1成等比数列，
所以(a1＋d)2＝a1(a1＋2d＋1)，整理得a＋2a1d＋d2＝a＋2a1d＋a1，即d2＝a1，②
①②联立求得，或(舍去)
所以S10＝10×1＋×1＝55.
7．答案：B
解析：令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，
所以an＋1－an＝3，
所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，
an＝3＋3(n－1)＝3n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋ak＝＝＝135，
整理可得：k2＋k－90＝0，
解得：k＝9或k＝－10(舍)．
8．答案：B
解析：设每个工程队承建的基站数形成数列{an}，
则由题可得an＝an－1＝an－1，
故{an}是以为公比的等比数列，
可得S8＝＝10，解得a1＝.
9．答案：BC
解析：由题意可知，在等差数列{an}中，因为a9＝S17，所以a9＝＝＝17a9，
则a9＝0，故选项B正确；
因为公差d≠0，所以a8≠0，故选项A错误；
因为a9＝0，所以a1＋8d＝0，所以a1＝－8d，
所以S16＝16a1＋d＝16＝16×d＝－8d＝a1，所以选项C正确；
因为S10－S8＝a9＋a10＝a10＝a1＋9d＝－8d＋9d＝d，且d未知正负，所以选项D错误．
10．答案：ABD
解析：因为a4＝2a2＋a3，可得a1q3＝2a1q＋a1q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，
又由正项的等比数列{an}，可得q>0，所以q＝2，所以A正确；
数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所以B正确；
则S10＝＝211－2＝2046，所以C不正确；
由an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋111．答案：CD
解析：因为an是Sn与λ的等差中项，所以2an＝Sn＋λ，令n＝1，得2a1＝a1＋λ，
解得a1＝λ，
所以2a2＝a1＋a2＋λ，解得a2＝2λ.
又2an－1＝Sn－1＋λ(n≥2)，所以an＝2an－1，
所以数列{an}是以λ为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝λ·2n－1，选项A错误．
当λ<0时，数列{an}是单调递减数列，所以选项B错误．
因为an＝λ2n－1，所以＝，当λ>0时，数列是单调递减数列；
当λ<0时，数列是单调递增数列，所以选项C正确．
由于anan＋2＝(λ2n－1)(λ2n＋1)＝λ222n>0，所以选项D正确．
12．答案：BC
解析：对于A，Sn＝，S2n＝n(1＋2n)，S4n＝2n(1＋4n)，
所以＝＝不为常数，故A不正确；
对于B，由并项求和法知：S2n＝n，S4n＝2n，＝＝，故B正确；
对于C，Sn＝×n＝2n2，S2n＝8n2，S4n＝32n2，
所以＝，故C正确；
对于D，Sn＝＝2(2n－1)，S2n＝2(4n－1)，S4n＝2(16n－1)，
所以＝＝不为常数，故D错误．
13．答案：－18
解析：等差数列{an}中2a8＝a11＋a5，结合已知可得：2a8－a11＝a5＝－6，
∴a2＋a6＋a7＝3a5＝－18.
14．答案：9
解析：因为an＝lg，
所以Sn＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝lg(n＋1)，
又Sn＝1，即lg(n＋1)＝1，所以n＋1＝10，即n＝9.
15．答案：4
解析：因为{an}为等比数列，且公比为q，
所以a2＝a1·q，a3＝a1·q2且a1≠0，q≠0.
因为16a1,4a2，a3成等差数列，
所以16a1＋a3＝2×4a2，
有16a1＋a1·q2＝2×4a1·q，q2－8q＋16＝0，
解得q＝4.
16．答案：5 720－
解析：(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：×12,5×6,10×3,20×，共4种不同规格(单位dm2)；
故对折4次可得到如下规格：×12，×6,5×3,10×，20×，共5种不同规格；
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120，第n次对折后的图形面积为120×n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种，故得猜想Sn＝，
设S＝k＝＋＋＋…＋，
则S＝＋＋…＋＋，
两式作差得：
S＝240＋120－
＝240＋－
＝360－－＝360－，
因此，S＝720－＝720－.
17．解析：(1)因为an＋1＝，所以an＋1－1＝，
因为a1＝2，所以an－1≠0﹐
所以＝＝1＋，
所以－＝1，
又因为＝1.所以是以1为首项，公差为1的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋n－1＝n，所以an＝1＋，
所以a1a2…an＝·…＝n＋1，所以bn＝，
所以b＋b＋…＋b＝＋＋…＋<＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，
即b＋b＋…＋b<1.
18．解析：(1)由题意，bn＋1－bn＝2，
∴{bn}为等差数列，公差d＝2，b1＝a1＝2，
∴bn＝b1＋(n－1)d＝2n，
∵c1＝a2＝2，cn＋1＝2＋c1＋c2＋…＋cn，
∴c2＝2＋c1＝4，cn＝2＋c1＋c2＋…＋cn－1(n≥2)，
∴cn＋1＝cn＋cn，则＝2(n≥2)且＝2，
∴＝2(n≥1)，即{cn}为等比数列，公比q＝2，
∴cn＝c1qn－1＝2n.
(2)数列{an}的前20项的和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝b1＋c1＋b2＋c2＋…＋b10＋c10＝(b1＋b2＋…＋b10)＋(c1＋c2＋…＋c10)＝(b1＋b10)＋＝110＋2046＝2156.
19．解析：(1)当n＝1时，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6S1＝6a1，即a－3a1＋2＝0.
又a1∈(0,2)，解得a1＝1.
由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1，
两式相减，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，
由于an>0，可得an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an＝3n－2.
(2)因为an＝3n－2，所以bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.
20．解析：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得：
，解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1；
由3b＋2bnbn＋1－b＝0可得：(3bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)＝0，即有bn＋1＝bn或bn＋1＝－bn(舍)，从而有数列{bn}为首项为1，公比为的等比数列，即可得bn＝；
(2)由(1)得anbn＝，
Tn＝＋＋＋…＋＋ ①，
Tn＝＋＋＋…＋＋ ②，
①－②得：Tn＝1＋2－
＝1＋2×－＝2－－，故Tn＝3－.
21．解析：(1)选①，∵{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d，
由a1，a3，a21成等比数列，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋20d)，又d≠0，
∴4a1＝d，又a2＝5，即a1＋d＝5，解得a1＝1，d＝4，
∴an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
选②，由S4＝28，a2＝5，有4a1＋6d＝28，a1＋d＝5，可得a1＝1，d＝4，
∴an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
选③，由Sn＋1＝Sn＋an＋4，可得an＋1－an＝d＝4，又a2＝5，即a1＋d＝5，
∴a1＝1，故an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
∵{bn}是等比数列，由b2＝9，b1＋b3＝30，q>1，
∴b1q＝9，b1＋b1q2＝30，解得q＝3，b1＝3，即bn＝3n.
(2)a80＝317,35＝243<317<36＝729，
∴{cn}的前80项中，数列{bn}的项最多有5项，其中b2＝9＝a3，b4＝81＝a21为公共项，又a77＝305>243＝b5，
∴{cn}的前80项是由{an}的前77项及b1，b3，b5构成．
T20＝c1＋c2＋c3＋…＋c80＝a1＋a2＋…＋a77＋b1＋b3＋b5＝11781＋3＋27＋243＝12054.
22．解析：(1)当Gn＝n时，由Gn＝，
得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，
当n＝1时，T1＝a1＝1，
当n≥2时，Tn－Tn－1＝nan＝n2－(n－1)2＝2n－1，
即an＝，检验n＝1时，a1＝1成立，
∴an＝；
(2)当Gn＝2时，由Gn＝，
得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，
当n＝1时，T1＝a1＝2，
当n≥2时，Tn－Tn－1＝nan＝2n－2(n－1)＝2，
即an＝，检验n＝1时，a1＝2成立，
∴an＝，
∴bn＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1，
当n为奇数时，Sn＝－＋－＋…－＋＝1＋.当n为偶数时，Sn＝－＋－＋…＋－＝1－，∴Sn＝，
∵bn＝(－1)n＋1，
∴b2n－1＋b2n＝＋－＝－，
∴S2n＝＋＋…＋＝1－，
令Cn＝1－，则Cn＋1＝1－，
Cn＋1－Cn＝>0，
所以数列{Cn}为递增数列，即数列{S2n}为递增数列，
∴当n＝1时，(S2n)min＝S2＝1－＝.
13仿真模拟冲刺卷(二)
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1A．{x|1≤x<2}B．{x|x≥1}
C．{x|x>－1}D．{x|x≥－1}
2．在复平面内，复数z＝(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．抛物线x2＝y上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.B.C．0D.
4．函数y＝tan的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.C.D．以上选项都不对
5．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图——扇形的圆心角为( )
A．60°B．90°C．120°D．180°
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋α)＝－，则cos2α＝( )
A.B．－C．－D.
7．声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为N/m2)．已知声音大小y与声压x的关系式为y＝10×lg2，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的( )
A.倍B．2倍C．10倍D．20倍
8．曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝lnx公切线的条数是( )
A．0B．1C．2D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则( )
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
10．已知向量a＝(，1)，b＝(cosθ，sinθ)，则下列说法正确的是( )
A．存在θ∈，使得a⊥b
B．存在θ∈，使得a∥b
C．对于任意θ∈，a·b∈(1,2]
D．对于任意θ∈，|a－b|∈[1，)
11．设数列{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则( )
A．d>0B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值D．S5>S6
12．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4.E是DD1的中点，则( )
A．B1E⊥A1B
B．平面B1CE∥平面A1BD
C．三棱锥C1 B1CE的体积为
D．三棱锥C1 B1CD1的外接球的表面积为24π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
14．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(－1,3)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15．若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
16．已知函数f(x)＝，则当函数F(x)＝f(x)－ax恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，且a1＝1.
(1)若bn＝an＋n＋1，证明：数列{bn}是等比数列．
(2)求{an}的前n项和Sn.
18．(本小题满分12分)
电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了40个邮箱名称，得到如下2×2列联表：
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字 15 5 20
邮箱名称里无数字 5 15 20
总计 20 20 40
(1)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“邮箱名称里含有数字与国籍”是否有关？
(2)用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机抽取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含有数字”的概率为P1，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含有数字”的概率为P2，试比较P1与P2的大小．
参考公式和数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2－a2＝bccosA－ab.
(1)求角C；
(2)若c＝，求a＋b的取值范围．
20．(本小题满分12分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合)．
(1)求证：平面EMN⊥平面PBC；
(2)是否存在点N，使得二面角B EN M的余弦值为？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右顶点D到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且·＝0，O为坐标原点，点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
22．(本小题满分12分)
若f(x)＝x2＋bx＋alnx.
(1)当a>0，b＝－a－1时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若b＝－1，且f(x)有两个极值点x1，x2，证明f(x1)＋f(x2)>－－.
仿真模拟冲刺卷(二)
1．答案：C
解析：因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1－1}．
2．答案：A
解析：因为z＝＝＝＝1＋2i，所以复数z对应的点的坐标为(1,2)，位于第一象限．
3．答案：B
解析：抛物线x2＝y的准线方程为y＝－，设点M的纵坐标是y，则
∵抛物线y上一点M到焦点的距离为1
∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1，∴y＋＝1，∴y＝，∴点M的纵坐标是.
4．答案：B
解析：因为y＝tanx的对称中心为所以令x＋＝，
当k＝1时，x＝，即为函数y＝tan的一个对称中心．经检验，其他选项不成立．
5．答案：D
解析：由题设，若圆锥底面半径为r，母线长为l，∴由圆锥的全面积是底面积的3倍，则πrl＝2πr2，即l＝2r，
设圆锥的侧面积展开图——扇形的圆心角为θ，则θl＝2πr，可得θ＝π.
6．答案：A
解析：∵tan(π＋α)＝tanα＝－，∴cos2α＝＝＝＝.
7．答案：A
解析：声音大小y与声压x的关系式为y＝10×lg2，当y＝50时，
lg2＝5，即2＝105，解得x＝2×10－，
当y＝40时，lg2＝4，即2＝104，解得x＝2×10－3，
所以户外白昼噪声容许标准的声压与户外夜间噪声容许标准的声压比为＝10＝.
8．答案：C
解析：设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)，公切线与y＝lnx的切点为(x2，lnx2)，y＝x2的导数为y′＝2x；y＝lnx的导数为y′＝，
则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，
则在切点(x2，lnx2)处的切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝x＋lnx2－1，
∴，整理得到x－lnx1＝1＋ln2，
令f(x)＝x2－lnx，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝2x－＝，
f′(x)>0 x>；f′(x)<0 0∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f(x)min＝f＝＋ln2<1＋ln2，
即函数f(x)与y＝1＋ln2的图象，如图所示，
由图可知，函数f(x)与y＝1＋ln2有两个交点，则方程x－lnx1＝1＋ln2有两个不等正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝lnx公切线的条数有2条．
9．答案：ABC
解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标C1(0,0)，半径r＝1，
圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1的圆心坐标C2(3，－4)，半径R＝1，
∴圆心距|C1C2|＝＝5，
又∵P在圆C1上，Q在圆C2上，
则|PQ|的最小值为|PQ|min＝|C1C2|－R－r＝3，最大值为|PQ|max＝|C1C2|＋R＋r＝7.故A、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为kC1C2＝＝－，C正确；
圆心距|C1C2|＝＝5大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误．
10．答案：BCD
解析：a·b＝cosθ＋sinθ＝2sin，若a⊥b，则2sin＝0，因为θ∈，此时θ无解，故A错误；
若a∥b，则sinθ－cosθ＝0，因为θ∈，所以θ＝，故B正确；
a·b＝2sin，因为θ∈，所以θ＋∈，则sin∈，所以a·b＝2sin∈(1,2]，故C正确；
|a－b|＝＝，因为θ∈，则θ－∈，所以cos∈，则|a－b|∈[1，)，故D正确．
11．答案：BC
解析：由S6＝S9得，S9－S6＝0，即a7＋a8＋a9＝0，又a7＋a9＝2a8，∴3a8＝0，∴a8＝0，∴B正确；
由a8＝a1＋7d＝0，得d＝－，又a1>0，∴d<0，∴数列{an}是单调递减的等差数列，
∴，∴S7或S8为Sn的最大值，∴A错误，C正确；
∵S6－S5＝a6>0，∴S6>S5，所以D错误．
12．答案：CD
解析：长方体ABCD A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，
在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B1(2,0,4)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0)，＝(－2,2，－2)，＝(2,0，－4)，
∵·＝－4＋0＋8＝4≠0，∴B1E与A1B不垂直，故A错误；
在B中，B1(2,0,4)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
＝(0，－2,4)，＝(－2,0,2)，＝(－2,0,4)，＝(－2,2,0)，
设平面B1CE的法向量n＝(x，y，z)，则，取x＝1，得n＝(1,2,1)，设平面A1BD的法向量m＝(a，b，c)，
则，取a＝1，得m＝，∵m，n不共线，∴平面B1CE与平面A1BD相交，故B错误；
在C中，三棱锥C1 B1CE的体积为：VC1 B1CE＝VB1 C1CE＝××4×2×2＝，故C正确；
在D中，三棱锥C1 B1CD1的外接球就是长方体ABCD A1B1C1D1的外接球，
∴三棱锥C1 B1CD1的外接球半径R＝＝，
∴三棱锥C1 B1CD1的外接球的表面积为S＝4π×()2＝24π，故D正确．
13．答案：1
解析：由函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数 函数g(x)＝ln(x＋)为奇函数，g(0)＝lna＝0 a＝1.
14．答案：15
解析：由题意F2(3,0)，|MF2|＝5，
由椭圆的定义可得，|PM|＋|PF1|＝2a＋|PM|－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号．
15．答案：
解析：如图分别作出直线y＝k(x＋2)－与半圆y＝，由题意，知直线过定点A(－2，－)，
由b－a＝2，得b＝3，a＝1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入得y＝＝2，
所以直线y＝k(x＋2)－过点N(1,2)，所以k＝kAN＝＝＝.
16．答案：
解析：由题可知方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，所以y＝f(x)与y＝ax有2个交点，
因为a表示直线y＝ax的斜率，当x>1时，f′(x)＝，设切点坐标为(x0，y0)，k＝，
所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，而切线过原点，所以y0＝1，x0＝e，k＝，
所以直线l1的斜率为，直线l2与y＝x＋1平行，所以直线l2的斜率为，
所以实数a的取值范围是.
17．解析：(1)证明：因为an＋1＝3an＋2n＋1，且bn＝an＋n＋1，所以＝＝＝3.
又因为b1＝a1＋1＋1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)可得，an＋n＋1＝3n，即an＝3n－n－1，
则Sn＝31＋32＋…＋3n－(2＋3＋…＋n＋1)＝－＝.
18．解析：(1)零假设H0：“邮箱名称里含有数字与国籍”无关．
χ2＝＝＝10<10.828，
故没有充分的依据推断零假设H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为“邮箱名称里含有数字与国籍”无关．
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，
根据2×2列联表，中国人邮箱名称里含数字的概率为＝，
外国人邮箱名称里含数字的概率为＝.
设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ，“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量η，
根据题意得：ξ～B，η～B.
则P1＝C36－3＝C33，P2＝C36－3
＝C33.所以P1＝P2.
19．解析：(1)由余弦定理得cosA＝，又∵c2－a2＝bccosA－ab，
则c2－a2＝bc·－ab，得2c2－2a2＝b2＋c2－a2－ab，
即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝，又因为0(2)由(1)得C＝，则sinC＝，又c＝，由正弦定理得＝＝＝＝2＝2R，
∴a＋b＝2sinA＋2sinB＝2sinA＋2sin＝3sinA＋cosA＝2sin，
∵C＝，∴0∴<2sin≤2
∴a＋b的取值范围是(，2]．
20．解析：(1)证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，PE∩BE＝E，故BC⊥平面PEB，EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，
EM 平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；
(2)以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE＝EB＝2，设N(2，m,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,0,1)，
＝(1,0,1)，＝(2,0,0)，＝(2，m,0)，设平面EMN的法向量为m＝(x，y，z)，
由，得m＝(m，－2，－m)，平面BEN的法向量为n＝(0,0,1)，
故|cos〈m，n〉|＝＝，得m＝1，故存在N为BC的中点．
21．解析：(1)由题意，得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
右顶点为D(a,0)．又a2＋b2＝c2，
且＝＝＝，e＝＝2，
所以＝，故b＝.
又a2＋3＝4a2，解得a2＝1，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l和轴线平行时，|x1|＝|y1|，|x2|＝|y2|，解得|x1|＝|y1|＝|x2|＝|y2|＝，
所以点O到直线l的距离为.
当直线l和轴线不平行时，
设直线l的方程为x＝my＋t，
由得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0，
Δ＝(6mt)2－4(3m2－1)(3t2－3)＝12(3m2＋t2－1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
又x1＝my1＋t，x2＝my2＋t，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋t)(my2＋t)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
得＝0，
解得2t2＝3m2＋3.
又点O到直线l的距离为d＝，
则d2＝＝，故d＝，
所以点O到直线l的距离为定值.
22．解析：(1)当a>0，b＝－a－1时，f′(x)＝x－a－1＋＝＝，(x>0)，令f′(x)＝0，x＝a或1，
当a>1时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，f′(x)＝>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<1时，函数f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增；
(2)证明：当b＝－1时，f′(x)＝x－1＋＝(x>0)．
∵函数f(x)有两个极值点x1，x2，∴方程x2－x＋a＝0有两个根x1，x2，
∴，且Δ＝1－4a>0，解得0由题意得f(x1)＋f(x2)＝x－x1＋alnx1＋x－x2＋alnx2＝(x＋x)－(x1＋x2)＋aln(x1·x2)＝(x1＋x2)2－x1·x2－(x1＋x2)＋aln(x1·x2)＝－a－1＋alna＝alna－a－，
令h(a)＝alna－a－，
则h′(a)＝lna<0，∴y＝h(a)在上单调递减，∴h(a)>h＝－－，
∴f(x1)＋f(x2)>－－.
16仿真模拟冲刺卷(三)
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|(x＋1)(2－x)≥0}，则 RA＝( )
A．{x|－1≤x≤2}B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|x≤－1或x>2}D．{x|－12．已知复数z满足z(2＋i)＝|3＋4i|(其中i为虚数单位)，则复数＝( )
A．2－iB．－2＋iC．2＋iD．－2－i
3．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A校、B校、C校．现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是( )
A．测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍
B．测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上
C．测试成绩在51～100名学生中A校人数多于C校人数
D．测试成绩在101～150名学生中B校人数最多29人
4．函数f(x)＝的图象大致为( )
5．已知函数y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，则该函数的解析式可能为( )
A．f(x)＝cosx－|sinx|B．f(x)＝sinx－|cosx|
C．f(x)＝cosx＋|sinx|D．f(x)＝cos2x－|cosx|
6．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员，现从中选3人去甲村，若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有( )
A．35种B．30种C．28种D．25种
7．已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为( )
参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771
A．6B．7C．8D．9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知曲线C的方程为＋＝1(m∈R)，则( )
A．当m＝1时，曲线C为圆
B．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x
C．当m>1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
10．下列说法正确的是( )
A．直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8平行，则m＝－1
B．正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a4＝16，则S4＝15
C．在△ABC中，B＝30°，b＝1，若三角形有两解，则边长c的范围为1D．函数f(x)＝a－为奇函数的充要条件是a＝
11．已知函数f(x)＝(2cos2ωx－1)sin2ωx＋cos4ωx(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A．若f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则ω＝2
B．当ω＝时，f(x)在区间上的最小值为－
C．当ω＝1时，f(x)在区间上单调递增
D．当ω＝1时，将f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)＝sin的图象
12．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是( )
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D．三棱锥D1 APC的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．函数f(x)＝(x＋2)e－x的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
14．已知随机变量X～N(0，σ2)，且P(X>a)＝m，a>0，则P(－a15．将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为________．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝λ，·＝－2，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a10－a2＝8，求：
(1){an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，若Sn≤(m∈N＋)对任意n∈N＋恒成立，求m的最小值．
18．(本小题满分12分)
在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，满足BD＝2DC.
(1)求证：AB＝2AC；
(2)若AD＝BD＝2，求∠BAC的大小．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC中，AB⊥BC，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC中点．
(1)证明：直线PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，BM＝MC，且AB＝BC，求直线PC与平面PAM所成角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期．现统计了近七年每年(2015年用x＝1表示，2016年用x＝2表示)来篁岭旅游的人次y(单位：万人次)相关数据，如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
旅游人次y(单位：万人次) 29 33 36 44 48 52 59
(1)若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝x＋，并预测2022年篁岭的旅游的人次；
(2)为维持旅游秩序，今需A、B、C、D四位公务员去各景区值班，已知A、B、C去篁岭值班的概率均为，D去篁岭值班的概率为，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用X表示此4人中去篁岭值班人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：＝，＝－.
参考数据：i＝301，xi－)(yi－)＝140.
21．(本小题满分12分)
已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx＋y－＝0经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xlnx－ax2.
(1)若f(x)的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点m、n，且1<≤2，求mn的最大值．
仿真模拟冲刺卷(三)
1．答案：B
解析：由(x＋1)(2－x)≥0，解得－1≤x≤2，∴A＝{x|－1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<－1或x>2}．
2．答案：C
解析：∵z(2＋i)＝|3＋4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，则＝2＋i.
3．答案：C
解析：对于A，B校人数为200×34%＝68，C校人数为200×20%＝40，因为68>40×1.5＝60，所以A正确；对于B，A校前100名的人数有29＋25＝54>50，所以B正确；对于C，A校在51～100名的学生有25人，C校在1～200名的学生有40人，也有可能在51～100名的学生有25人，所以C错误；对于D，A校在1～100名和151～200名的学生共有29＋25＋17＝71人，A校在101～150的有21人，C校在1～200名的有40人，但在101～150的不一定有40人，而三个学校中在1～100名和151～200名内的人数至少有150人，所以B校至少有150－71－40＝39人在1～100名和151～200名内，则B至多有68－39＝29人在101～150内，所以D正确．
4．答案：A
解析：因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为f(π)＝>0，所以排除C.
5．答案：A
解析：取x＝0，对于A：f(0)＝cos0－|sin0|＝1－0＝1；对于B：f(0)＝sin0－|cos0|＝0－1＝－1；对于C：f(0)＝cos0＋|sin0|＝1＋0＝1；对于D：f(0)＝cos0－|cos0|＝1－1＝0，结合图象中f(0)＝1，故排除BD；取x＝，对于A：f＝cos－＝0－1＝－1，对于C：f＝cos＋＝0＋1＝1，结合图象，可排除C.
6．答案：B
解析：从7名党员选3名去甲村共有C种情况，3名全是男性党员共有C种情况，3名全是女性党员共有C种情况，3名既有男性，又有女性共有C－C－C＝30种情况．
7．答案：B
解析：F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，
P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，
令|PF1|＝3|PF2|＝3n，则3n＋n＝2a,9n2＋n2＝4c2，可得a2＝4c2，
所以椭圆的离心率为：e＝＝＝.
8．答案：D
解析：记an为第n次去掉的长度，a1＝，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为a2＝2×＝，
第n－1次操作后有2n－1条线段，每条线段长度为，因此第n次去掉的线段长度为an＝2n－1××＝，
所以Sn＝＝1－n≥，n≤，n(lg2－lg3)≤－3lg3，n≥≈8.13，n的最小值为9.
9．答案：AB
解析：对于A，m＝1时，方程为＋＝1，即x2＋y2＝2，曲线C是圆，A正确；对于B，m＝5时，方程为－＝1，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，B正确；对于C，m>1时，不妨令m＝5，由选项B知，曲线C为双曲线，C不正确；对于D，要曲线C为双曲线，必有(m＋1)(3－m)<0，即m<－1或m>3，
m<－1时，曲线C：－＝1，m>3时，曲线C：－＝1，
因双曲线离心率为时，它实半轴长与虚半轴长相等，而－(m＋1)≠3－m，m＋1≠m－3，D不正确．
10．答案：BCD
解析：若直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8平行，
则，解得：m＝－7，故选项A不正确；
数列{an}满足a1＝1，a2a4＝16，所以a＝16，所以a3＝a1q2＝q2＝4，可得q＝2，
所以S4＝＝＝15，故选项B正确；
在△ABC中，B＝30°，b＝1，由正弦定理可得＝，即c＝2sinC，
因为A＋C＝180°－30°＝150°，因为C有两个值，且两个值互补，
若C≤30°，则其补角大于150°，则B＋C>180°不成立，
所以30°所以30°函数f(x)＝a－为奇函数，则f(0)＝a－＝0，可得a＝，当a＝时，
f(x)＝－，
f(－x)＝－＝－＝－＝－1＋＝－＋＝－f(x)，
所以当a＝时，f(x)是奇函数，函数f(x)＝a－为奇函数的充要条件是a＝，故选项D正确．
11．答案：BD
解析：f(x)＝(2cos2ωx－1)sin2ωx＋cos4ωx＝cos2ωxsin2ωx＋cos4ωx＝sin4ωx＋cos4ωx＝sin，
A．f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则T＝2×＝，＝，ω＝1，A错；
B．当ω＝时，f(x)＝sin，x∈时，2x＋∈，f(x)的最小值为×＝－，B正确；
C．当ω＝1时，f(x)＝sin，x∈时，4x＋∈，
因此在此区间上，函数不单调，C错；
D．ω＝1时，f(x)＝sin，将f(x)图象向右平移个单位长度得到图象的解析式为g(x)＝sin＝sin，D正确．
12．答案：ABD
解析：根据正方体的性质，可得DB1⊥平面ACD1，又由DB1 平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；
连接A1B，A1C1，在正方体中，可得平面BA1C1∥平面ACD1，又由A1P 平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；
当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C错误；
VD1 APC＝VC AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C AD1P的体积不变，故D正确．
13．答案：x＋y－2＝0
解析：∵f(x)＝(x＋2)e－x，∴f′(x)＝e－x－(x＋2)e－x＝－(x＋1)e－x，则f′(0)＝－1.因为f(0)＝2，所以所求切线方程为y－2＝－x，即x＋y－2＝0.
14．答案：1－2m
解析：由X～N(0，σ2)，且P(X>a)＝m，a>0，则P(X<－a)＝m，所以P(－a15．答案：36π
解析：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π，设正方体的边长为a，则V＝πa2·a＝27π，解得a＝3，∴该圆柱的全面积为S＝2π×3×3＋2×π×32＝36π.
16．答案：
解析：因为＝λ，所以∥，
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝120°，
所以·＝||·||cos120°＝－λ||·||＝－λ×6×2＝－2 λ＝；
建立如图所示的坐标系xOy，因为∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，可得A(0，)，D(2，)，
设M(m,0)，因为||＝1，则N(m＋1,0)，所以＝(m，－)，＝(m－1，－)，
·＝m(m－1)＋()2＝m2－m＋3＝2＋≥，
当m＝时等号成立，所以·的最小值为.
17．解析：(1)设数列{an}公差为d，则a10＝a1＋9d，a2＝a1＋d，则a10－a2＝a1＋9d－(a1＋d)＝8，解得d＝1.
∴{an}的通项公式为：an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)根据题意，Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋
＝×
＝×
＝×＝－<.
若Sn≤(m∈N＋)对任意n∈N＋恒成立，则≥，解得m≥9.∴m的最小值为9.
18．解析：(1)证明：因为AD为∠BAC的角平分线，故∠BAD＝∠DAC，
在△ABD中，由正弦定理可得：＝①，
在△ADC中，由正弦定理可得：＝②，
由①和②可得＝，
又∠ADC＋∠ADB＝180°，故sin∠ADC＝sin∠ADB，
可得：＝＝2，即AB＝2AC；
(2)由题意可知AD＝BD＝2，DC＝1，由(1)知AB＝2AC，不妨设AB＝2AC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
即4x2＝8－8cos∠ADB③，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，
即x2＝5－4cos∠ADC④，
由又∠ADC＋∠ADB＝180°，故cos∠ADC＝－cos∠ADB，
由③和④可解得：x＝，cos∠ADC＝，
从而可得AB＝2，AC＝，BC＝3，
在△ABC中，由余弦定理得：cos∠BAC＝＝，
又0°<∠BAC<180°，故∠BAC＝60°.
19．解析：(1)∵PA＝PC，且O为AC中点，∴PO⊥AC，∵AB⊥BC，且O为AC中点，
∴OB＝AC＝2，
∵PA＝PC＝AC＝4，且O为AC中点，∴PO＝2，∵PB＝4，OB＝2，PO＝2，
∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，
∵OB，AC 平面ABC，且OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，且O为AC中点，∴AC⊥OB，从而OB，OC，OP两两垂直，
如图，建立以O为原点，且OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则A(0，－2,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，
设M(x，y，z)，由BM＝MC，即＝，所以(x－2，y，z)＝(－x,2－y，－z)，所以，解得M，
∴＝(0,2，－2)，＝(0，－2，－2)，＝，
不妨设平面PAM的一个法向量为n＝(x，y，z)，故n⊥，n⊥，
∴令z＝1，则x＝2，y＝－，∴n＝(2，－，1)，
设直线PC与平面PAM所成角为θ，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
因为θ∈，所以cosθ＝＝＝，∴直线PC与平面PAM所成角的余弦值为.
20．解析：(1)由表知：＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝(29＋33＋36＋44＋48＋52＋59)＝43，
则＝＝＝5，
＝－＝－5×4＝23，
所以y＝5x＋23，
因为2015年用x＝1表示，所以2022年是x＝8时，得y＝5×8＋23＝63(万人次)；
(2)X的可能取值是0,1,2,3,4
则P(X＝0)＝C×3×＝，
P(X＝1)＝C×2××＋C×3×＝，
P(X＝2)＝C××2×＋C×2××＝，
P(X＝3)＝C×3×＋C××2×＝，
P(X＝4)＝C×3×＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
21．解析：(1)设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)．∵直线l：mx＋y－＝0经过抛物线C的焦点，
∴m×0＋－＝0，解得p＝3.∴抛物线C的方程为x2＝6y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2＋6mx－9＝0.
∵Δ＝36m2＋36>0，x1＋x2＝－6m，x1x2＝－9，∴|AB|＝·＝6(1＋m2)．
由x2＝6y得y＝.∴y′＝.∴抛物线C经过点A的切线方程是y－y1＝(x－x1)，
将y1＝代入上式整理得y＝x－.同理可得抛物线C经过点B的切线方程为y＝x－.
解方程组得，∴.
∴P到直线mx＋y－＝0的距离d＝＝3，
△ABP的面积S＝|AB|d＝×6×(1＋m2)×3＝9(m2＋1).
∵m2＋1≥1，∴S≥9.当m＝0时，S＝9.∴△ABP面积的最小值为9.
22．解析：(1)由题意可得，f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即ax2>xlnx，∴a>恒成立．
令h(x)＝，则h′(x)＝，由h′(x)>0得0e；
所以h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，因此h(x)max＝h(e)＝，∴只需a>；
(2)由xlnx－ax2＝0知lnx＝ax，由题意，可得：lnm＝am，lnn＝an，
所以lnm－lnn＝a(m－n)，即a＝，
又lnm＋lnn＝a(m＋n)＝(m＋n)＝ln
令t＝，t∈(1,2]，则lnmn＝lnt，
令g(t)＝，t∈(1,2]，则g′(t)＝，
令φ(t)＝t－2lnt－，则φ′(t)＝1－＋＝≥0显然恒成立，∴φ(t)递增，
∴t∈(1,2]时，φ(t)>φ(1)＝0，∴g′(t)>0，即g(t)在t∈(1,2]上递增，
因此g(t)max＝g(2)＝3ln2，∴lnm＋lnn最大值为3ln2，∴mn最大值为8.
18仿真模拟冲刺卷(一)
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|1A．(1,3] B．(－1，－5) C．{2,3}D．{1,2,3}
2．已知复数z＝(i为虚数单位)，其共轭复数为，则的虚部为( )
A．－1B.C．－iD.i
3．已知a>0且a≠1，则“a>2”是“loga2<1”的( )
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知a＝lg，b＝e0.2，c＝log3，d＝ln0.2(其中e为自然对数的底数)，则下列不等式正确的是( )
A．dC．c5．2021年7月20日，极端强降雨席卷河南，部分地区发生严重洪涝灾害，河北在第一时间调集4支抗洪抢险专业队、96辆执勤车、31艘舟艇及4000余件救灾器材，于7月21日4时23分出发支援河南抗洪抢险．若这4支抗洪抢险专业队分别记为A，B，C，D，从这4支专业队中随机选取2支专业队分别到离出发地比较近的甲、乙2个发生洪涝的灾区，则A去甲灾区B不去乙灾区的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知sin2α＝－，则sin2＝( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)为抛物线上一点，以M为圆心的圆经过原点O，且与抛物线的准线相切，切点为H，线段HF交抛物线于点B，则＝( )
A.B.C.D.
8．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上．此模型的体积为( )
A．304πcm3B．840πcm3C．912πcm3D．984πcm3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法中，正确的命题是( )
A．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.8，则P(2B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1
D．若样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x10＋1的方差为8，则数据x1，x2，…，x10的方差为2
10．已知双曲线W：－＝1( )
A．m∈(－2，－1)
B．若W的顶点坐标为(0，±)，则m＝－3
C．W的焦点坐标为(±1,0)
D．若m＝0，则W的渐近线方程为x±y＝0
11．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x－，则下列结论中错误的是( )
A．点是f(x)的一个对称中心点
B．f(x)的图象是由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
C．f(x)在上单调递增
D．x1，x2是方程f(x)－＝0的两个解，则|x1－x2|min＝
12．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有( )
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)在(1,2)上先减后增
D．函数f(x)既有最大值又有最小值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＋a8＝20，则S9＝________.
14．(1－2x)5(1＋2x)4的展开式中含x3的项的系数为________．
15．若函数f(x)＝，则f(2022)＝________.
16．已知正四面体A BCD内接于半径为的球O中，在平面BCD内有一动点P，且满足AP＝4，则|BP|的最小值是________；直线AP与直线BC所成角的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＝c，sinC＝sinB，________.
①sinC－cosAsinB＝sinA ②＝sinB ③a2＋c2－b2＝ac
从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题．
(1)求B；
(2)求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(2n－1)·an}的前n项和Tn.
19．(本小题满分12分)
如图，在多面体ABC A1B1C1中，A1A，B1B，C1C垂直于底面ABC，且满足A1A?B1B?C1C＝4?2?1，AB＝B1B＝BC＝4，AC＝4.
(1)求证：AB1⊥A1C1；
(2)求二面角B AB1 C1的余弦值．
20．(本小题满分12分)
2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80,90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在[90,100]的为A等级，成绩在[70,90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当k为何值时，P(η＝k)最大？
21．(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点F2，作直线l与椭圆交于A，B两点(A，B不为长轴顶点)，过点A，B分别作直线x＝4的垂线，垂足依次为E，F，且直线AF，BE相交于点G.
①证明：G为定点；
②求△ABG面积的最大值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝＋a.
(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有g(x)≤ex恒成立，求a的取值范围．
仿真模拟冲刺卷(一)
1．答案：C
解析：因为B＝{x∈N|－12．答案：B
解析：由复数的运算法则，可得z＝＝＝＝－i，则复数z的共轭复数为＝＋i，所以的虚部为.
3．答案：B
解析：由loga2<1，可得02，当a>2时，可得02成立，即充分性成立；
反之：当02时，则a>2不一定成立，即必要性不成立，所以“a>2”是“loga2<1”的充分不必要条件．
4．答案：D
解析：因为b＝e0.2>e0＝1,0＝lg1c＝log3>log3＝，d＝ln0.25．答案：A
解析：从这4支专业队中随机选取2支专业队，分别去甲乙灾区结果有12种，A去甲灾区B不去乙灾区的结果有2种，所以所求概率P＝＝.
6．答案：B
解析：由二倍角的降幂公式可得sin2＝＝＝＝.
7．答案：B
解析：根据题意，x0＋＝，又8＝2px0，解得x0＝1，p＝4，则抛物线方程为y2＝8x，所以M(1,2)，H(－2,2)，F(2,0)，
设B(x，y)，过点B向抛物线的准线作垂线，垂足为B′，根据抛物线的定义可知，|BB′|＝|BF|，因为∠HBB′＝∠HFO，
所以＝＝＝＝＝＝.
8．答案：C
解析：如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，
可知内层圆柱的高h1＝2＝16，
同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，
可知外层圆柱的高h2＝2＝12.此模型的体积为V＝π2×12＋π2×(16－12)＝912π.
9．答案：CD
解析：已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.8，则P(X≥4)＝1－0.8＝0.2，所以P(X≤0)＝0.2，所以P(0∴P(210．答案：BD
解析：因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(1＋m)>0，解得m>－1或m<－2，A错误；
因为W的顶点坐标为(0，±)，所以－m－1＝()2，解得m＝－3，B正确；
当m>－1时，c2＝(2＋m)＋(m＋1)＝2m＋3，当m<－2时，c2＝－(2＋m)－(m＋1)＝－2m－3，C错误；
当m＝0时，双曲线W的标准方程为－y2＝1，则渐近线方程为x±y＝0，D正确．
11．答案：BCD
解析：f(x)＝sinxcosx＋sin2x－＝sin2x＋－＝sin2x－cos2x＝sin
对于A，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以点是f(x)的一个对称中心点，故A正确；
对于B，y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为y＝sin＝sin，所以平移得到的图象不是f(x)的图象，故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，而函数y＝sinx在上单调递减，所以f(x)在上单调递减，故C错误；
对于D，令sin＝，解得2x－＝＋2kπ或2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ或x＝＋kπ(k∈Z)，所以|x1－x2|min＝，故D错误．
12．答案：BCD
解析：A显然错误；对于B，可验证f＝f，故B正确；
对于C，研究f(x)的导函数，对导函数的分子g(x)再次求导可知，g(x)在(1,2)上单调递增，又g(1)<0，g(2)>0，所以f(x)在(1,2)上先减后增，故C正确；
对于D，易知f为函数的最大值，又函数f(x)关于x＝对称，所以只研究x>的情况即可，又在(1,2)，(3,4)，…上f(x)<0，且在(1,2)上|f(x)|最大，所以f(x)在(1,2)上的极小值即为f(x)的最小值，故D正确．
13．答案：45
解析：由等差数列的性质且a2＋a4＋a6＋a8＝4a5＝20，可得a5＝5，因此S9＝＝9a5＝45.
14．答案：32
解析：由题意，含x3项为按x的升幂排列的第4项，可得T4＝C·(－2x)3＋C·(－2x)2·C·(2x)＋C·(－2x)·C·(2x)2＋C·(2x)3，即T4＝－80x3＋320x3－240x3＋32x3＝32x3，所以该项的系数为32，即展开式中含x3的项的系数为32.
15．答案：－
解析：因为x>1时，f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x＋4)＝f(x)．
∴f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－2－1＝－.
16．答案：2－2
解析：设A在面BCD内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体A BCD的棱长为x，球O的半径为R.
则BE＝×x×＝，AE＝＝，依题可得，球心O在AE上，R2＝BE2＋(AE－R)2，代入数据可得x＝6，则BE＝2，AE＝2，又AP＝4，PE＝＝2，
故P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，2为半径的圆，BE＝2，B，P，E三点共线时，且P在BE之间时，|BP|的最小值是2－2.
以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，A(0,0,2)，B(2，0,0)，C(－，3,0)，D(－，－3,0)，设P(2cosθ，2sinθ，0)，θ∈[0,2π)，故＝(2cosθ，2sinθ，－2)，＝(－3，3,0)，设直线AP与直线BC所成角为α，
∵cosα＝＝＝sin∈，
∴cosα∈，又α∈，故α∈.
17．解析：(1)∵sinC＝sinB，由正弦定理得：c＝b，又b2＝c，联立解之得b＝，c＝3.
选条件③a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝，所以B＝；
选条件②＝sinB可得tanB＝＝，所以B＝；
选条件①sinC－cosAsinB＝sinA，sin(A＋B)－cosAsinB＝sinA，
sinAcosB＝sinA，所以cosB＝，所以B＝.
(2)由(1)B＝，由正弦定理＝，所以sinC＝，
①当C＝时，A＝，此时△ABC的面积S＝bc＝，
②当C＝时，A＝，此时△ABC的面积S＝bcsinA＝，
综上，△ABC的面积为或.
18．解析：(1)∵Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝4＝2a1，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)据(1)可得(2n－1)·an＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
两式相减得－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1，化简得Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
19．解析：(1)证明：由题意得AB＝BC＝BB1＝4，A1A＝8，CC1＝2，
∵A1A，B1B，C1C垂直于底面ABC，
∴A1A⊥AB，BB1⊥AB，BB1⊥BC，CC1⊥AC，
可得AB1＝A1B1＝4，所以A1B＋AB＝AA，故AB1⊥A1B1.
由BC＝4，BB1＝4，CC1＝2，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝2.
又AC＝4，由CC1⊥AC，得AC1＝2，所以AB＋B1C＝AC，
故AB1⊥B1C1.
又A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1，
因为A1C1 平面A1B1C1，故AB1⊥A1C1.
(2)如图，以AC的中点O为坐标原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，
过点O作平行于BB1且向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz.
由题意知各点坐标如下：
A(0，－2，0)，B(2,0,0)，A1(0，－2，8)，
B1(2,0,4)，C1(0,2，2)，
因此＝(2,2，0)，＝(0,0,4)，
＝(2,2，4)，＝(0,4，2)．
设平面ABB1的法向量n＝(x，y，z)，所以，即，则n＝(－，1,0)；
同理可得，平面AB1C1的一个法向量m＝(3，1，－2)，cos〈m，n〉＝＝＝－，故二面角B AB1 C1的余弦值为.
20．解析：(1)由题意得：(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，解得m＝0.012，因为(0.004＋0.022)×10＝0.26<0.5，(0.004＋0.022＋0.030)×10＝0.56>0.5，所以中位数在[60,70)内，设中位数为x，则(0.004＋0.022)×10＋(x－60)×0.03＝0.5，解得x＝68，所以这50名学生成绩的中位数为68.
(2)[70,80)，[80,90)，[90,100]三组数据频率比为0.28?0.12?0.04＝7?3?1，
所以从[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中分别抽取7人，3人，1人，则ξ可取0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4，所以P(η＝k)＝C0.4k0.6100－k，
k＝0,1,2，…，100，
所以，
即，
解得39.4≤k≤40.5，所以当k＝40时，P(η＝k)有最大值．
21．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意得解得a＝2，c＝1，所以椭圆的方程为C：＋＝1.
(2)①由(1)知F2(1,0)，当直线l斜率不存在时，直线l方程为x＝1，
可得A，B，E，F，即有AF，BE相交于点G；
当直线l斜率存在且不为零时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(4，y1)，F(4，y2)，
直线l方程为y＝k(x－1)，联立可得3x2＋4k2(x－1)2＝12.
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，由韦达定理x1＋x2＝，x1x2＝，
而直线AF：y－y2＝(x－4)，BE：y－y1＝(x－4)相交时，联立作差可得
x－4＝＝＝－ x＝，
且2y－(y1＋y2)＝－(y1－y2)，
则代入x1＋x2＝，x1x2＝，化简得
2y＝－(y1－y2)＋(y1＋y2)＝－k(x1－x2)＋k(x1＋x2－2)＝0
即AF，BE相交于点G，综上可证G为定点.
②直线l斜率不存在时，可知S△ABG＝；而当斜率不为零时，由①可得
S△ABG＝|F2G||y1－y2|＝|y1－y2|＝|k(x1－x2)|
＝＝＝
<＝.故△ABG面积的最大值为.
22．解析：(1)令g(x)＝，则g′(x)＝，
当00；当x>e时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当x→0时，g(x)→－∞；当x＝e时，g(x)＝；当x→＋∞时，g(x)→0，
要使得函数f(x)有两个零点，即g(x)＝与y＝－a的图象有两个交点，如图所示，
可得0<－a<，即－所以f(x)有两个零点时，a的范围是.
(2)因为对任意的x>0，不等式g(x)≤ex恒成立，
即a≤在(0，＋∞)上恒成立，
令F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝，
令h(x)＝x2ex＋lnx，则h′(x)＝(x2＋2x)ex＋>0，所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又因为h(1)＝e>0，h＝－1＝－1<0，所以 x0∈，使得h(x0)＝0，即xex0＋lnx0＝0，
当0当x>x0时，h(x)>0，可得F′(x)>0，所以F(x)在(x0，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F(x0)＝，
由xex0＋lnx0＝0，可得x0ex0＝－＝ln＝，
令t(x)＝xex，则t(x0)＝t，
又由t′(x)＝(x＋1)ex>0，所以t(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以x0＝ln，可得lnx0＝－x0，所以＝，即x0ex0＝1，
所以F(x)min＝F(x0)＝＝＝1，所以a≤1，
综上所述，满足条件的a的取值范围是(－∞，1]．
17滚动过关检测八 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何、概率与统计
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·辽宁沈阳模拟]设集合A＝，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝( )
A．[－3,2) B．(2,3]
C．[－1,2) D．(－1,2)
2．复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i，(a∈R)为纯虚数，则a的取值是( )
A．3B．－2
C．－1D．1
3．[2022·河北唐山模拟]已知多项选择题的四个选项A、B、C、D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )
A.B.
C.D.
4．已知tan＝－3，则sin2α＝( )
A.B.
C．－D．－
5．已知a＝3，b＝()3，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞a＞bB．a＞b＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
6．[2022·湖北武汉模拟]已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x4的项，则n的值为( )
A．7B．8
C．9D．10
7．圆O：x2＋y2＝9与圆O1：(x－2)2＋(y－3)2＝16交于A、B两点，则|AB|＝( )
A．6B．5
C.D.
8．[2022·湖南衡阳模拟]如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，AB＝2，∠AFC＝60°，则多面体ABCDEF的体积为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法不正确的是( )
A．等比数列{an}，a2＝4，a10＝8，则a6＝±4
B．抛物线y＝－4x2的焦点F
C．命题“ x>0,2x>x2”的否定是：“ x≤0,2x≤x2”
D．两个事件A、B，“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件
10．[2022·江苏南京模拟]2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩(卷面成绩均为整数)Z服从正态分布N(82.5,5.42)，则(人数保留整数)( )
参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9973.
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上(含95)人数和70分以下(含70分)人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150人
D．超过98分的人数为1人
11．[2022·广东中山模拟]已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈(0,2π))的图象如图，则( )
A．ω＝2
B．φ＝
C．A＝2
D．x＝时，f(x)取最小值
12．[2022·福建福州模拟]矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影F恰落在CD上，则( )
A．平面A′BD⊥平面A′CD
B．平面A′BD⊥平面A′BC
C．A′D与BC所成角为60°
D．三棱锥A′ BCD的外接球直径为5
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M，|F1F2|＝10，|MF1|＝2|MF2|，则双曲线的标准方程为________________．
14．[2022·山东肥城市模拟]某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长．甲、乙、丙、丁分别来自A、B、C、D四个地区．现在该新闻采访组要到A、B、C、D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同．则所有采访的不同安排方法有________种．
15．[2022·湖北荆门模拟]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝，点O为△ABC的外心，若＝λ＋μ，λ、μ∈R，则λ＝________.
16．已知函数f(x)＝，f(x)＝m(m∈R)恰有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4且满足x1＜x2＜x3＜x4，则＋＝________；x1＋x2＋2x3＋x4的最小值为________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知数列{an}中，a1＝2，________，其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
从①前n项和Sn＝n2＋n；②an＋1－2＝an；③a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
18.(12分)[2022·山东德州模拟]已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB－sinC＝sinC－cosB，且b>c.
(1)求A；
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．(12分)四棱锥P ABCD中，AB∥CD，∠PDA＝∠BAD＝90°，PD＝DA＝AB＝CD，S为PC中点，BS⊥CD.
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)平面SAD交PB于Q，求CQ与平面PCD所成角的正弦值．
20．(12分)[2022·河北邯郸模拟]暑假期间，学生居家生活和学习，教育部门特别强调，身体健康与学习成绩同样重要．某校对300名学生的锻炼时间进行调查，数据如表：
平均每天锻炼的时间(分钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
总人数 30 50 60 70 55 35
将学生日均锻炼的时间在[40,60]的学生评价为“体育合格”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关．
体育不合格 体育合格 合计
男 60 160
女
合计
(2)从上述体育合格的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)(2ex－1)．
(1)求曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程；
(2)证明f(x)有唯一的极值点x0，且－22．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，若平面上一点A(2,3)到焦点F与到准线l：x＝－的距离之和等于7.
(1)求抛物线C的方程；
(2)又已知点P为抛物线C上任一点，直线PA交抛物线C于另一点M，过M作斜率为k＝的直线MN交抛物线C于另一点N，连接PN.问直线PN是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由．
滚动过关检测八 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何、概率与统计
1.答案：C
解析：∵A＝，∴2－1≤2x≤23，∴A＝{x|－1≤x≤3}，
∵B＝{x|y＝ln(2－x)}，∴2－x>0，∴B＝{x|x<2}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤3}∩{x|x<2}＝[－1,2)．
2．答案：D
解析：依题意可得，，解得a＝1.
3．答案：A
解析：由题得从4个选项里选两个选项，共有C＝6种方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C＝3种方法．由古典概型的概率公式得所求的概率为P＝＝.
4．答案：A
解析：由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，可得：
sin2α＝－cos＝－cos＝sin2－cos2
＝＝＝＝.
5．答案：B
解析：∵a＝3＞b＝()3＝3＝3＞5，c＝log9＝log()5＝5，∴a＞b＞c.
6．答案：B
解析：(1－x)n＝x(1－x)n－(1－x)n，
(1－x)n的展开式的通项为C(－1)kxk，
x(1－x)n中x4的系数为C(－1)3，
(1－x)n中x4的系数为C(－1)5，
故(1－x)n的展开式中x4的项系数为C(－1)3－C(－1)5＝0，故C＝C，故n＝8.
7．答案：D
解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝9与圆O1：(x－2)2＋(y－3)2＝16，即x2＋y2－4x－6y－3＝0，
联立可得：，可得：2x＋3y－3＝0，
即AB所在直线的方程为2x＋3y－3＝0，
圆O：x2＋y2＝9，圆心为(0,0)，半径r＝3，
圆心O到直线AB的距离d＝＝，
则|AB|＝2×＝.
8．答案：D
解析：∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD＝BD，BF⊥BD，
∴BF⊥平面ABCD，可得BF⊥AB，BF⊥BC，
∴AF＝，CF＝，
又AB＝BC，∴AF＝CF，
在正方形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
在△AFC中，由AF＝CF，∠AFC＝60°，知△AFC为正三角形，
∴AF＝AC＝2，则BF＝＝＝2.
S矩形BDEF＝BD×BF＝4，
∴VABCDEF＝VA BDEF＋VC BDEF＝×4×2＝.
9．答案：ACD
解析：A.等比数列{an}，a2＝4，a10＝8，所以a＝a2a10＝32，则a6＝±4，又a6＝a2q4>0，所以a6＝4，故A错误；
B．抛物线y＝－4x2化成标准式得：x2＝－y，所以其焦点F，故B正确；
C．命题“ x>0,2x>x2”的否定是：“ x>0,2x≤x2”，故C错误；
D．两个事件A，B，若A与B互斥，则A与B不一定相互对立，但若A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故D错误．
10．答案：ABD
解析：因为Z～N(82.5,5.42)，所以μ＝82.5，σ＝5.4，
由正态分布概念可知：年级平均成绩μ＝82.5，故A正确；
因为＝82.5＝μ，所以成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等，故B正确；
因为77≈82.5－5.4＝μ－σ，所以P(Z＜77)≈P(Z＜μ－σ)＝＝0.15865，因为1000×0.15865≈159＞150，所以成绩不超过77分的人数多于150人，故C错误；
因为82.5＋5.4×3＝98.7≈99，所以P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝＝0.00135，因为1000×0.00135≈1，所以超过98分的人数为1人，故D正确．
11．答案：AB
解析：由题意知：＝－＝，则T＝π，故ω＝＝2，故A正确；
函数图象由y＝Asinωx的图象向左平移而得，故f(x)＝Asin
＝Asin，故φ＝，故B正确；
f(0)＝Asin＝1，解得：A＝，故C错误；
x＝时，2x＋＝2π，f(x)不取最小值，故D错误．
12．答案：BD
解析：对于A，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故A错误；
对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD＝F，A′F、CD 平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D 平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′＝B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′ 平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；
对于C，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角(或所成角的补角)，
∵A′C＝＝，∴A′F＝，DF＝＝，
AF＝＝，AA′＝＝3，
∴cos∠ADA′＝＝0，∴∠ADA′＝90°，∴A′D与BC所成角为90°，故C错误；
对于D，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E＝BE＝DE＝CE＝＝.
∴三棱锥A′ BCD的外接球直径为5，故D正确．
13．答案：－＝1
解析：由双曲线的定义知，|MF1|－|MF2|＝2a，
∵|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
又M在以F1F2为直径的圆上，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即16a2＋4a2＝100，∴a2＝5，
∵|F1F2|＝10＝2c，∴c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－5＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
14．答案：44
解析：分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有(3×3×1×1)×4＝36；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有(2×1×1)×4＝8.所以总数36＋8＝44.
15．答案：
解析：如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点O为△ABC的外心，于是得DO⊥AB，EO⊥AC，
·＝||·||cosA＝6，
＝＋＝＋，·＝·＝2＝8，
＝＋＝＋，·＝·＝2＝，
依题意，·＝(λ＋μ)·＝λ2＋μ·＝16λ＋6μ＝8，
·＝(λ＋μ)·＝λ·＋μ2＝6λ＋9μ＝，
解得λ＝，μ＝，所以λ＝.
16．答案：1 2＋1
解析：
∵函数f(x)＝，
画出函数f(x)的图象和直线y＝m，
f(x)＝m(m∈R)恰有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4且满足x1＜x2＜x3＜x4，
故0＜m≤4，
∴x1，x2满足：(x＋1)2＝m x1＋x2＝－2，
x3，x4满足|log2(x－1)|＝m x3＝1＋2－m，x4＝1＋2m，
∴＋＝＋＝＋＝1，
x1＋x2＋2x3＋x4＝－2＋2(1＋2－m)＋1＋2m＝＋2m＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝2m即m＝时，等号成立．
17．解析：(1)选①：因为a1＝2，Sn＝n2＋n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
当n＝1时，等式也成立所以an＝2n，n∈N*；
选②：由a1＝2，an＋1－2＝an，所以数列{an}是以2为首项2为公差的等差数列，
所以an＝2n，n∈N*；
选③：由a1＝2，a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，设公差为d，
则d＝＝2，所以an＝2n，n∈N*；
(2)bn＝＝＝，
Tn＝＋＋…＋
＝＝＝.
18．解析：(1)因为sinB－sinC＝sinC－cosB，所以sinB＋cosB＝2sinC，
即sin＝sinC，
因为b>c，所以B>C，所以B＋＋C＝π，B＋C＝，即A＝.
(2)因为△ABC的面积为，所以bcsinA＝，
又因为A＝，所以sinA＝，bc＝2，
又由余弦定理可得，cosA＝＝＝，
所以＝，可得b＋c＝3，
所以三角形ABC周长为3＋.
19．解析：
(1)证明：取CD的中点M，则DM＝AB且DM∥AB，所以四边形ABMD为平行四边形，
故BM∥AD，所以BM⊥CD，又BS⊥CD，BM∩BS＝B，BM，BS 平面BSM，
所以CD⊥平面BSM，又SM 平面BSM，所以CD⊥SM，
因为SM∥PD，所以CD⊥PD，又AD⊥PD，CD∩AD＝D，CD，AD 平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD；
(2)延长CB，DA交于点N，连结SN与PB交于点Q，
因为B为CN的中点，S为PC的中点，所以Q为△PNC的重心，所以＝2，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
不妨设AB＝1，则B(1,1,0)，P(0,0,1)，设Q(x，y，z)，且＝2，
则有，解得，所以＝，
因为AD⊥PD，AD⊥CD，且PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以AD⊥平面PCD，则平面PCD的一个法向量为＝(1,0,0)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，故CQ与平面PCD所成角的正弦值为.
20．解析：(1)列联表如下：
体育不合格 体育合格 合计
男 100 60 160
女 110 30 140
合计 210 90 300
χ2＝≈9.184<10.828，
所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关；
(2)易知，所抽取的9名学生中，男生为9×＝6名，女生为3名．
X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
21．解析：(1)∵f(x)＝(x＋1)(2ex－1)，f(－1)＝0，∴f′(x)＝(x＋2)·2ex－1，f′(－1)＝－1，
∴切线方程是：y－0＝(x＋1)，即y＝x＋－1；
(2)证明：由(1)记g(x)＝f′(x)＝(x＋2)·2ex－1，g′(x)＝(x＋3)·2ex，
令g′(x)>0，解得：x>－3，令g′(x)<0，解得：x<－3，
故f′(x)在(－∞，－3)递减，在(－3，＋∞)递增，
故f′(x)min＝f′(－3)＝－－1<0，
当x<－3时，f′(x)＝(x＋2)·2ex－1<0，
当x>－3时，f′＝－1>0，f′(－1)＝－1<0，
∴f′(x)存在唯一零点x0∈，
故f′(x0)＝0即(x0＋2)·2ex0＝1，
故f(x)在(－∞，x0)递减，在(x0，＋∞)递增，
∴f(x)极小值＝f(x0)，f(x)有唯一的极值点x0，f(x0)f(x0)＝(x0＋1)(2ex0－1)＝(x0＋2)·2ex0－(x0＋1)－2ex0＝－x0－2ex0，
显然h(x)＝－x－2ex在单调递减，x0∈，h(x0)>h
h(x0)>h＝－>－＝－，所以f(x0)＝－x0－2ex0>－.
∴f(x)有唯一的极值点x0，且－22．解析：(1)由已知，定点A(2,3)到焦点F与到准线l：x＝－的距离之和等于7.
有＋＝7，则p＝4，即抛物线的方程y2＝8x.
(2)当直线PM的斜率存在时，设P(x1，y1)，M(x2，y2)，N(x3，y3)，
则kPM＝＝＝，同理：kMN＝，kPN＝，
由kMN＝＝知：y2＋y3＝6，即y2＝6－y3，①
直线PM：y－y1＝(x－x1)，即(y1＋y2)y－y1y2＝8x过A(2,3)
求得y2＝，②
同理求直线PN方程(y1＋y3)y－y1y3＝8x，③
由①②得y1y3＝3(y1＋y3)－2，
代入③得(y1＋y3)y－3(y1＋y3)＋2＝8x，
即(y1＋y3)(y－3)＋2－8x＝0，
故y＝3且2－8x＝0时，直线PN恒过点.
当直线PM的斜率不存在时，其方程为x＝2，
可得P(2,4)，M(2，－4)或P(2，－4)，M(2,4)．
当P(2,4)，M(2，－4)时，直线MN的方程为y＋4＝(x－2)与y2＝8x联立得y2－6y－40＝0得y1＝10，y2＝－4，所以N(12.5,10)，则直线PN的方程为y－4＝(x－2)，可知过点.
当P(2，－4)，M(2,4)时，同理可得直线PN过点.
综上可知，直线PN过定点.
15滚动过关检测二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·河北沧州一中月考]已知集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，y)|y＝x2－3}，则A∩B的真子集个数为( )
A．3B．4
C．7D．8
2．[2022·福建厦门一中月考]已知a，b＞0，则“≤1”是“ab≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( )
A．f(x)＋g(x)为奇函数
B．f(x)＋g(x)为偶函数
C．f(x)g(x)为奇函数
D．f(x)g(x)为偶函数
4．[2022·山东实验中学月考]设a＝0.540.45，b＝0.450.54，c＝log0.540.45，则下列不等关系成立的是( )
A．a>b>cB．c>b>a
C．b>a>cD．c>a>b
5．[2022·湖北孝感模拟]已知函数f(x)＝x·(x－a)2在x＝2处有极小值，则a的值为( )
A．2B．6
C．2或6D．－2或6
6．[2022·湖北武汉一中月考]若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)≤0的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[5，＋∞)
B．[－1,0]∪[5，＋∞)
C．[－1,0]∪[2,5]
D．(－∞，－1]∪[2,5]
7．[2022·湖南长沙麓山国际实验学校月考]若两个正实数x，y满足＋＝1，且存在这样的x，y使不等式x＋A．(－1,4)
B．(－4,1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
8．[2022·山东济宁模拟]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)
B．ef(2)>f(1)，f(2)C．ef(2)ef(1)
D．ef(2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·重庆八中月考]若lnaA.
C．3a＋a<3b＋bD．3a＋a>3b＋b
10．[2022·福建厦门模拟]已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A．f(x1)B．f(x3)C．f(x)在(a，b)内有2个极值点
D．f(x)的图象在点x＝0处的切线斜率小于0
11．[2022·湖北恩施模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x|－cosx，则以下说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．当x≤0时，f(x)≤－1
D．方程f(x)＝0有且只有两个实根
12．[2022·福建福州外国语学校月考]已知函数f(x)＝，函数g(x)＝xf(x)，下列选项正确的是( )
A．点(0,0)是函数f(x)的零点
B． x1∈(0,1)，x2∈(1,3)，使f(x1)>f(x2)
C．函数f(x)的值域为[－e－1，＋∞)
D．若关于x的方程[g(x)]2－2ag(x)＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是∪
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．ax2－2x＋1≥0， x>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
14．[2022·江苏镇江模拟]曲线y＝ln(2x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．
15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)．
16．[2022·浙江金华模拟]设函数f(x)＝已知不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，则a＝________，若方程f(x)＝m有3个不同的解，则m的取值范围是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－2，x∈[1,3]．
(1)当a＝4时，求函数f(x)的值域；
(2)若f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝2x－，g(x)＝，且f(x)的图象关于坐标原点成中心对称．
(1)求实数a的值；
(2)若在y轴的右侧函数f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，求实数m的取值范围．
19.(12分)[2022·北京十五中月考]已知函数f(x)＝＋alnx，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，求a的值；
(2)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．
20．(12分)已知x＝0是函数f(x)＝ln(a＋x)＋－ax的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)≥1.
21．(12分)[2022·湖北武汉模拟]北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2件．
(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)求出L的最大值Q(a)．
22．(12分)[2022·山东莱西模拟]已知函数f(x)＝ax＋elnx(a∈R)，g(x)＝.
(1)讨论函数F(x)＝f(x2)的单调性；
(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
滚动过关检测二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
1．答案：A
解析：联立方程，解得或，即A∩B＝{(3,6)，(－1，－2)}，有2个元素，故A∩B的真子集有22－1＝3个．
2．答案：B
解析：充分性：取a＝，b＝10，满足≤1，但是ab＝2，不满足ab≤1.故充分性不满足；必要性：ab≤1 ≤＝≤1.故必要性满足．故“≤1”是“ab≤1”的必要不充分条件．
3．答案：C
解析：令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，
∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，
∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选C.
4．答案：D
解析：因为f(x)＝0.54x在R上递减，所以1＝0.540>0.540.45>0.540.54，
又因为f(x)＝x0.54在[0，＋∞)上单调递增，所以0.540.54>0.450.54>0，
由1＝0.540>0.540.45>0.540.54,0.540.54>0.450.54>0，所以1>0.540.45>0.450.54>0，
因为g(x)＝log0.54x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.540.45>log0.540.54＝1，
所以c>a>b.
5．答案：A
解析：∵函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2，
又f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极值，∴f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或6，
又由函数在x＝2处有极小值，故a＝2，a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，
所以函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极大值，不符合题意．
6．答案：C
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，
所以由xf(x－2)≤0可得：或或x＝0，
解得－1≤x≤0或2≤x≤5.
7．答案：C
解析：因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝且＋＝1，即x＝2，y＝8时取等号，所以min＝4，
因为存在x，y使不等式x＋所以m2＋3m>4，解得：m>1或m<－4，所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
8．答案：C
解析：由题意可知，函数f(x)在R上单调递减．f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.
构造h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，即>，f(2)>ef(1)，故D错误．
9．答案：BC
解析：∵lna，故A错误，B正确；令f(x)＝3x＋x，易得f(x)是单调递增函数，∴f(a)10．答案：AC
解析：由y＝f′(x)的图象可知：当a0，当x30，根据导数的几何意义可知f(x)的图象在点x＝0处的切线斜率大于0，故选项D不正确．
11．答案：ABD
解析：A.f(x)的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝|－x|＋|－x|－cos(－x)＝|x|＋|x|－cosx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确；B.当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋x－cosx，f′(x)＝1＋＋sinx,1＋sinx≥0，>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C.因为f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以x≤0，f(x)≥f(0)＝－1，故错误；D.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝2－cos1>0，f(0)·f(1)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又因为f(x)为偶函数，所以方程f(x)＝0有且仅有两根，故正确．
12．答案：BC
解析：对于A,0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于B，当x<1时，f′(x)＝(x＋1)ex，则当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－10，f(x)单调递增，所以，当01时，f′(x)＝，则当13时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，当1
所以对于选项D，关于x的方程[g(x)]2－2ag(x)＝0有两个不相等的实数根 关于x的方程g(x)[g(x)－2a]＝0有两个不相等的实数根 关于x的方程g(x)－2a＝0有一个非零的实数根 函数y＝g(x)的图象与直线y＝2a有一个交点，且x≠0，则g(x)＝
当x<1时，g′(x)＝exx(x＋2)，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：
x x<－2 －2 －2g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 增 极大值 减 极小值 增
极大值g(－2)＝，极小值g(0)＝0；
当x≥1时，g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：
x 1 12
g′(x) －e － 0 ＋
g(x) e 减 极小值 增
极小值g(2)＝.画出图象如图2，综上可得，<2a<或2a>e，解得a的取值范围是∪.故D错误．
13．答案：[1，＋∞)
解析：由ax2－2x＋1≥0， x>0恒成立，可得，a≥－对 x>0恒成立，令y＝－，则y＝1－2，，当＝1时，ymax＝1，所以a≥ymax＝1.
14．答案：y＝2x
解析：函数y＝ln(2x＋1)的导数为y′＝，
所以切线的斜率k＝＝2，切点为(0,0)，则切线方程为y＝2x.
15．答案：6876
解析：∵样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2，
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，
∴N0·2＝N0，
即2＝，两边同时取以2为底的对数，得：
＝log23－log27＝－≈－＝－1.2.
∴T＝1.2×5730＝6876年．
∴推测良渚古城存在的时期距今约6876年．
16．答案：0 (0,2)
解析：由y＝x3－3x，得y′＝3x2－3；
由y′>0得x>1或x<－1；由y′<0得－1所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
因此，当x＝－1时，函数y＝x3－3x取得极大值2；当x＝1时，函数y＝x3－3x取得极小值－2；
由x3－3x＝0可得x＝0或x＝±；
在同一直角坐标系中，作出函数y＝x3－3x与y＝x的大致图象如图，
由图象可得，当x∈[－，0]∪[，＋∞)时，x3－3x≥0；
因为f(x)＝，为使不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，
结合图象可知，只有a＝0；
所以f(x)＝
因为方程f(x)＝m有3个不同的解，等价于函数y＝f(x)与直线y＝m有三个不同的交点，
作出函数f(x)＝的大致图象如图：
由图象可得，017．解析：(1)当a＝4时，函数f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.
因为x∈[1,3]，所以x－2∈[－1,1]，(x－2)2∈[0,1]，－(x－2)2＋2∈[1,2]，所以函数f(x)的值域为[1,2]．
(2)由－x2＋ax－2<0，得：ax因为x∈[1,3]，所以a<＝x＋.
因为x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，所以min＝2，所以a<2.
18．解析：(1)∵f(x)的图象关于坐标原点成中心对称，∴f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，2－1－＝－，解得a＝1.
又a＝1时，f(x)＝2x－，f(－x)＝2－x－＝－＝－f(x)，所以a＝1.
(2)∵在y轴的右侧函数f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，∴2x－>，即m＋1<2x－对x∈(0，＋∞)恒成立．
∵y＝2x与y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，∴y＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，
∴当x>0时，2x－>－1，∴m＋1≤－1，
解得m≤－2，故所求实数m的取值范围为(－∞，－2]．
19．解析：(1)∵曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，
又直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的导数为f′(x)＝－＋，
∴f′(1)＝－＋＝－1，∴a＝1.
(2)∵f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)，
①当a＝0时，在区间(0，e]上f′(x)＝<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，
则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝.
②当<0即a<0时，在区间(0，e]上f′(x)<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，
则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋a.
③当0<时，在区间上f′(x)<0，此时函数f(x)在区间上单调递减，在区间上f′(x)>0，此时函数f(x)在区间上单调递增，
则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln.
④当≥e，即0则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝a＋.
综上所述，当a≤时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a＋，当a>时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln.
20．解析：(1)由题意，f′(x)＝＋－a，因为x＝0是函数f(x)的一个极值点，所以f′(0)＝－a＝0，解得a＝±1.又因为a＋0>0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝ln(x＋1)＋－x的定义域为(－1，＋∞)，
则f′(x)＝＋－1＝，
令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥0；当x∈(－1,0)时，g′(x)<0，
故g(x)在(－1,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
从而对于 x∈(－1，＋∞)，g(x)≥g(0)＝0，
所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－1,0)上单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故对于 x∈(－1，＋∞)，f(x)≥f(0)＝1.
21．解析：(1)由题可知，预计每件产品的售价为x元(13≤x≤17)，
而每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，
所以商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
L＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．
(2)∵L＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴L′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令L′＝0，解得：x＝或x＝18，
∵10≤a≤13，∴16≤≤18，所以
①当13≤<17，即10≤a≤11.5时，
当x∈时，L′(x)≥0，L(x)单调递增，
当x∈时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
∴Lmax＝L＝(13－a)3；
②当17≤≤18，即11.5≤a≤13时，则L′(x)≥0恒成立，所以L(x)在[13,17]单调递增，
∴Lmax＝L(17)＝12－a，
所以Q(a)＝.
22．解析：(1)F(x)＝f(x2)＝ax2＋elnx2＝ax2＋2elnx(x>0)
则F′(x)＝2ax＋＝，
当a≥0时，F′(x)≥0，则F(x)为单调递增函数，
当a<0时，令F′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，F′(x)>0，则F(x)为单调递增函数，
当x∈时，F′(x)<0，则F(x)为单调递减函数，
综上：当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，F(x)的增区间为，减区间为.
(2)由ax＋elnx＝(x>0)，可得a＋＝，
令t＝h(x)＝，则a＋t＝，
所以t2＋(a－1)t－a＋1＝0 ①，
由h′(x)＝＝0，得x＝e，
所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
又x→＋∞时，h(x)→0，作出h(x)图象，如图所示，
由题意可得方程①的根，有一个t1必在(0,1)内，令一个根t2＝1或t2＝0或t2∈(－∞，0)，
当t2＝1时，方程①无意义，
当t2＝0时，a＝1，t2＝0不满足题意，
所以当t2∈(－∞，0)时，由二次函数的性质可得，
解得a>1.
综上：实数a的取值范围为(1，＋∞)．
15滚动过关检测六 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·湖南师大附中月考]已知全集U＝{x∈N*|1≤x≤6}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{3,4,5}，则A∩( UB)＝( )
A．{1,6}B．{2,6}
C．{1,2}D．{1,2,6}
2．[2022·湖北武汉模拟]若复数z满足＝i＋2，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．[2022·山东济宁模拟]“直线m垂直平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2022·广东中山模拟]数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a4＋a6＝10，则S9＝( )
A．40 B．42 C．43 D．45
5．[2022·河北石家庄模拟]函数f(x)＝的图象大致为( )
6．[2022·福建福州模拟]将曲线C1：y＝2sinx上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的曲线C2，把C2向左平移个单位长度，得到曲线C3：y＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为4π
B．x＝是f(x)的一条对称轴
C．f(x)在上的最大值为
D．f(x)在上单调递增
7．[2022·山东师范大学附中月考]已知定义在R上的函数f(x)＝3|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c8．[2022·辽宁抚顺二中月考]已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2，CD＝PC＝PD＝2，若点M为PC的中点，则下列说法正确的是( )
A．BM⊥平面PCD
B．PA∥平面MBD
C．四棱锥P ABCD外接球的表面积为44π
D．四棱锥M ABCD的体积为6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·江苏如皋模拟]已知函数f(x)＝sin(ω>0)，下列命题正确的是( )
A．函数y＝f(x)的初相位为
B．若函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝2
C．若ω＝1，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为1
10．[2022·广东蛇口育才中学月考]已知函数f(x)＝，则( )
A．f(log23)＝
B．f(x)是R上的减函数
C．f(x)的值域为(－∞，1)
D．不等式f(1＋2x)＋f(x)>1的解集为
11．[2022·重庆八中月考]等比数列{an}的公比为q，且满足a1>1，a1010a1011>1，(a1010－1)(a1011－1)<0.记Tn＝a1a2a3…an，则下列结论正确的是( )
A．0B．a1010a1012－1>0
C．TnD．使Tn<1成立的最小自然数n等于2021
12．[2022·河北唐山模拟]如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则( )
A．AP⊥EF
B．点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心
C．二面角A EF P的余弦值为
D．若四面体P AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2022·广东顺德一中月考]已知向量a＝(1,3)，向量b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
14．[2022·清华附中月考]若α∈，cos＝－，则sinα＝________.
15．[2022·山东潍坊模拟]圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3，则该圆台的体积为________．
16．[2022·福建厦门模拟]已知a，b为正实数，直线y＝2x－a与曲线y＝ln(2x＋b)相切，则a与b满足的关系式为________.＋的最小值为________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b－c)2＝a2－bc.(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，sinC＝2sinB，求△ABC的面积．
18．(12分)如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝1，BB1＝2，B1C＝.
(1)证明：BC⊥A1C；
(2)若A1C＝2，求三棱柱ABC A1B1C1的体积．
19．(12分)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且满足nSn＋1－(n＋1)Sn－n2－n＝0.
(1)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn＝2n·an，求{bn}的前n项和Tn.
20．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的上底面内有一点E，点F为线段AA1的中点．
(1)经过点E在上底面画一条直线l与CE垂直，并说明画出这条线的理由；
(2)若＝2，求CE与平面FB1D1所成角的正切值．
21．(12分)[2022·山东淄博模拟]在图1所示的平面图形ABCD中，△ABD是边长为4的等边三角形，BD是∠ADC的平分线，且BD⊥BC，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起得到四棱锥A BCDM(如图2)．
(1)设平面ABC和ADM的交线为l，在四棱锥A BCDM的棱AC上求一点N，使直线BN∥l；
(2)若二面角A BM D的大小为60°，求平面ABD和ACD所成锐二面角的余弦值．
22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点．
①2a；②0滚动过关检测六 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何
1.答案：C
解析：U＝{x∈N*|1≤x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，因为B＝{3,4,5}，可得 UB＝{1,2,6}，因为A＝{1,2,3,5}，所以A∩( UB)＝{1,2}．
2．答案：A
解析：由题得i＋z＝zi＋2z，∴z(1＋i)＝i，∴z＝，所以z＝＝＝＋i，复数z对应的点为，在第一象限．
3．答案：B
解析：因为当直线m垂直平面α内的所有直线时，才能得到m⊥α，所以由直线m垂直平面α内的无数条直线不一定能推出m⊥α，但是由m⊥α一定能推出直线m垂直平面α内的无数条直线，所以直线m垂直平面α内的无数条直线是m⊥α的必要不充分条件．
4．答案：D
解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d＝10，所以a1＋a9＝2a1＋8d＝10，所以S9＝＝＝45.
5．答案：A
解析：由解析式知：f(－x)＝＝－＝－f(x)且x≠0，则f(x)为奇函数，排除B、C；而当x→0时，cos(πx)→1，ex－e－x→0，所以f(x)→＋∞，排除D.
6．答案：B
解析：由题意得f(x)＝2sin，所以函数的最小正周期T＝＝π，故A错误；
当x＝时，f(x)＝2sin＝2，所以x＝是f(x)的一条对称轴，故B正确；
当x∈时，则2x＋∈，所以f(x)在上的最大值为2，故C错误；
当x∈时，则2x＋∈，所以函数在不具有单调性，故D错误．
7．答案：C
解析：∵f(x)＝3|x－m|－1(m为实数)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝3|x|－1，∴f(x)＝3|x|－1在(0，＋∞)上是单调增函数，∵a＝f(log0.53)＝f(log3)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(2m)＝f(0)，且log25>log23>0，∴f(log25)>f(log0.53)>f(0)，∴c8．答案：B
解析：在四棱锥P ABCD中，因为侧面PCD⊥平面ABCD，面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接AC交BD于O，连接MO，在△PAC中，OM∥PA，MO 面MBD，PA 面MBD，所以PA∥面MBD，所以选项B正确；
取CD中点N，连接PN，在矩形ABCD中，易得AC＝6，OC＝3，ON＝，在△PCD中，NM＝PC＝，在Rt△MNO中，MO＝＝3，所以OM＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱锥M ABCD外接球的球心，半径为3，所以其体积为36π，所以选项C不正确；
四棱锥M ABCD的体积是四棱锥P ABCD的体积的一半，因为PN⊥CD，侧面PCD⊥平面ABCD，面PCD∩平面ABCD＝CD，所以PN⊥平面ABCD，PN＝3，所以四棱锥M ABCD的体积VM ABCD＝××2×2×3＝12，所以选项D错误．
9．答案：ACD
解析：根据解析式，可得y＝f(x)的初相位为，故A正确；
若f(x)的最小正周期为π，则π＝，解得ω＝1，故B不正确；
若ω＝1，则f(x)＝sin，当x＝时，2×＋＝，sin＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则2ω×＋＝kπ＋，(k∈Z)，解得ω＝6k＋1，(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为1，故D正确．
10．答案：ABD
解析：f(log23)＝＝＝，A正确；y＝1＋2x恒正且在R上递增，故y＝是R上的减函数，B正确；
y＝1＋2x的值域是(1，＋∞)，故f(x)＝的值域是(0,1)，C错误；
注意到f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝1，故不等式f(1＋2x)＋f(x)>1等价于f(1＋2x)＋f(x)>f(x)＋f(－x)，即f(1＋2x)>f(－x)，又f(x)是R上的减函数，故1＋2x<－x，解得x<－，D正确．
11．答案：AD
解析：∵a1010a1011>1，若q<0，则a1010a1011＝aq<0，矛盾；若q≥1，则a1011≥a1010≥a1>1，从而(a1010－1)(a1011－1)>0，矛盾．综上，0由A选项可知，00且a1011>0，且a1011＝a1010q1>a1011>0，故a1010a1012＝a<1，B错误；
因为当n≤1010时，an>1，n≥1011时，an<1，则Tn的最大值为T1010，C错误；
T2019＝(a1010)2019>1，T2020＝(a1010a1011)1010>1，T2021＝(a1011)2021<1，D正确．
12．答案：ABC
解析：∵AP⊥PF，AP⊥PE，PE∩PF＝P，∴AP⊥平面PEF，∵EF 平面PEF，∴AP⊥EF，故A正确；
设P在底面AEF上的射影为O，则PO⊥底面AEF，∴PO⊥EF，由A知，PA⊥EF，连接AO并延长，交EF于G，∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，则AG⊥EF，同理可证EO⊥AF，∴点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心，故B正确；
由B知，AG⊥EF，∵AE＝AF，∴G为EF的中点，连接PG，又PE＝PF，∴PG⊥EF，则∠PGA为二面角A EF P的平面角．
在等腰直角三角形PEF中，由PE＝PF＝1，得PG＝，则AG＝，在Rt△APG中，有cos∠PGA＝＝，故C正确；
由已知可得三棱锥P AEF的三条侧棱PA、PE、PF两两互相垂直，且PA＝2，PE＝PF＝1.
把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为＝，则其外接球的表面积S＝4π×＝6π，故D错误．
13．答案：
解析：由题得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.
14．答案：
解析：∵α∈，∴α＋∈，
∵cos＝－，∴sin＝，
∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
15．答案：π
解析：圆台的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝2，
据此可得圆台的体积：V＝π×2×(32＋3×1＋12)＝π.
16．答案：a＋b＝1 5＋2
解析：由y＝ln(2x＋b)，得y′＝，因此曲线y＝ln(2x＋b)在切点处的切线的斜率等于2，∴＝2，即x＝，此时y＝0.则切点为，所以相应的切线方程为y＝2＝2x－1＋b，则－a＝－1＋b，∴a＋b＝1.又a>0，b>0，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2.当且仅当＝时上式等号成立．
17．解析：(1)因为(b－c)2＝a2－bc可得：b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得，cosA＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由sinC＝2sinB可得c＝2b，
由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，
4＝b2＋4b2－2b·2b×，
解得b＝，c＝.
S△ABC＝bcsinA＝×××＝.
18．解析：(1)∵BC＝1，BB1＝2，B1C＝.∴BC2＋B1C2＝BB，∴BC⊥B1C.∵AB⊥BC，AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC.
又∵B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1 平面A1B1C，∴BC⊥平面A1B1C.∵A1C 平面A1B1C，∴BC⊥A1C.
(2)∵A1C＝2，A1B1＝AB＝1，B1C＝，∴B1C2＋A1B＝A1C2，∴B1C⊥A1B1，
∴B1C⊥AB，
由(1)可得BC⊥B1C，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，∴B1C⊥平面ABC.
∴VABC A1B1C1＝B1C·S△ABC＝××1×1＝.
19．解析：(1)证明：因为nSn＋1－(n＋1)Sn－n2－n＝0，所以nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，所以－＝，＝a1＝1，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，＝n－，所以Sn＝n2－n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝3n－2，
当n＝1时，等式也成立，所以an＝3n－2；
(2)bn＝2n·an＝(3n－2)·2n，Tn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)·2n,2Tn＝1×22＋4×23＋7×24＋…＋(3n－2)·2n＋1，
两式相减得－Tn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3·2n－(3n－2)·2n＋1＝3(2＋22＋23＋…＋2n)－4－(3n－2)·2n＋1＝－(3n－5)·2n＋1－10，所以Tn＝(3n－5)·2n＋1＋10.
20.
解析：(1)连接C1E，在上底面过点E作直线l⊥C1E即可，则l⊥CE.
理由：∵CC1⊥平面A1B1C1D1，且l 平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥l.
又∵l⊥C1E，C1E∩CC1＝C1，∴l⊥平面CC1E，∵CE 平面CC1E，∴l⊥CE；
(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则C(0,2,0)，E，∴＝.
又F(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，则＝(0,2,1)，＝(－2,0,1)．
设平面FB1D1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，∴，∴m＝(1，－1,2)．
设CE与平面FB1D1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝，
∴CE与平面FB1D1所成角的正切值为4.
21．解析：(1)延长CB，DM，其交点为E，如图所示，
因为点A，E既在平面ABC内，又在平面AMD内，所以直线AE为平面ABC与AMD的交线l，
因为BD是∠ADC的平分线，且BD⊥BC，所以B为EC的中点，取AC中点N，连接BN，则BN为△AEC的中位线，
所以直线BN∥AE，即BN∥l，故N为棱AC的中点．
(2)因为BM⊥AM，BM⊥MD，所以∠AMD＝60°，又因为AM＝MD，所以△AMD为等边三角形，取MD的中点O为坐标原点，以OM所在直线为x轴，在平面BCDM内过点O且和MD垂直的直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以D(－1,0,0)，A(0,0，)，C(－5,4，0)，B(1,2，0)
所以＝(1,0)，＝(－4,4，0)，＝(2,2，0)，
设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则，
即，令z＝－，则x＝3，y＝，
所以m＝(3，，－)，
设平面ABD的法向量为n＝(a，b，c)，则，
即，令c＝－，则a＝3，b＝－，
所以n＝(3，－，－)，
设平面ABD和ACD所成锐二面角的大小为θ，
所以cosθ＝＝，
所以平面ABD和ACD所成锐二面角的余弦值为.
22．解析：(1)由函数的解析式可得：f′(x)＝x(ex－2a)，
①当a≤0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
②当a>0时，令ex－2a＝0，则x＝ln(2a)
当00，f(x)单调递增，
若x∈(ln(2a)，0)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
当a>时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
若x∈(0，ln(2a))，则f′(x)<0，f(x)单调递减；
若x∈(ln(2a)，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
当0当a＝时，f(x)在R上单调递增；
当a>时，f(x)在(－∞，0)，(ln(2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(2a))上单调递减．
(2)若选择条件①：由于2a>1，f(0)＝b－1>0，
而f(－b)＝(－1－b)e－b－ab2－b<0，
而函数在区间(－∞，0)上单调递增，故函数在区间(－∞，0)上有一个零点．
f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b
>2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a
＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2
＝aln(2a)[2－ln(2a)]，
由于结合函数的单调性可知函数在区间(0，＋∞)上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
若选择条件②：由于0当b≥0时，e2>4,4a<2，f(2)＝e2－4a＋b>0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．
当b<0时，构造函数H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增，
注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立，从而有：ex≥x＋1，此时：
f(x)＝(x－1)ex－ax2－b≥(x－1)(x＋1)－ax2＋b＝(1－a)x2＋(b－1)，
当x>时，(1－a)x2＋(b－1)>0，
取x0＝＋1，则f(x0)>0，
即：f(0)<0，f>0，
而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点．
f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b
≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a
＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2
＝aln(2a)[2－ln(2a)]，
由于0结合函数的单调性可知函数在区间(－∞，0)上没有零点．
综上可得，题中的结论成立．
16滚动过关检测七 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·辽宁实验中学月考]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|x－3<0}，则( RB)∩A＝( )
A．[1,3] B．[3,5]
C．[3,5) D．(1,3]
2．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－iB．－1＋i
C．－＋iD．－－i
3．[2022·河北石家庄实验中学月考]等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，则a9＋a10＝( )
A．28B．29
C．210D．211
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝2，E为BC的中点，则＝( )
A.＋B.＋
C.－D.－
5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0，f(x)＝10ax，(a为常数)，若f＝－25，则实数a＝( )
A．2B．－2
C.D．－
6．[2022·江苏如皋模拟]已知椭圆＋y2＝1与双曲线－y2＝1有相同的焦点F1、F2，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则( )
A．e1e2＝1B．e－e＝1
C．e＋e＝2eeD．e2＝2e1
7．[2022·山东济南历城二中月考]已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．5B．6
C．7D．8
8．[2022·湖北汉阳一中模拟]在正四棱锥P ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面PCD的交线长度为( )
A.πB.π
C.πD.π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·山东烟台模拟]下列命题正确的是( )
A．若a0，则<
B．若a>0，b>0，则≥
C．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则a2＋b2≥
D．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋≥4
10．[2022·江苏南通模拟]已知方程－＝1(k∈R)，则下列说法中正确的有( )
A．方程－＝1可表示圆
B．当k>9时，方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆
C．当－16D．当方程－＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．关于函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在上单调递增
12．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且在区间I是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．则下列函数是区间[1，]上的“缓增函数”的是( )
A．f(x)＝ex
B．f(x)＝lnx
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2＋2x＋3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，S7＝35，则a6＝________.
14．[2022·湖南常德模拟]已知向量a＝(1，k)，b＝(2－k,3)，若a⊥(2a－b)，且k≠0，则cos〈a，b〉＝________.
15．已知函数f(x)＝ex－ax在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是________．
16．[2022·北京昌平模拟]已知抛物线C：y2＝4x与椭圆D：＋＝1(a>b>0)有一个公共焦点F，则点F的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则椭圆D的离心率e＝________.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A＋4cos(B＋C)＋3＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
18．(12分)[2022·辽宁实验中学月考]已知等比数列{an}的公比和等差数列{bn}的公差为q，等比数列{an}的首项为2，且a2，a3＋2，a4成等差数列，等差数列{bn}的首项为1.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn<3.
19．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点M到焦点F的距离为5.
(1)求p的值；
(2)如图，已知AB为抛物线上过焦点F的任意一条弦，弦AB的中点为D，DP垂直AB与抛物线准线交于点P，若|PD|＝|AB|，求直线AB的方程．
20．(12分)[2022·河北唐山模拟]如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC，四边形BCC1B1为菱形，BC＝2，∠BCC1＝，D为B1C1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面A1DB；
(2)若AC1＝2，求二面角C1 A1B1 C的余弦值．
21．(12分)[2022·山东潍坊模拟]已知函数f(x)＝xsinx.
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在内有且只有一个极值点；
(3)求函数g(x)＝在区间(1，π]上的最小值．
22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
滚动过关检测七 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何
1.答案：B
解析：∵A＝＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}，
∵U＝R，∴ RB＝{x|x≥3}，
∴∩A＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤5}＝[3,5]．
2．答案：B
解析：(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，
z＝＝＝＝－1＋i.
3．答案：B
解析：设等比数列的公比为q，则，解得q＝2，
所以a9＋a10＝(a1＋a2)q8＝2×28＝29.
4．答案：A
解析：
因为＝2，E为BC的中点，
所以＝＋＝＋＝＋＝＋.
5．答案：A
解析：由题意可知，函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f＝f(－lg5)＝－f(lg5)＝－25，
所以f(lg5)＝25
又当x>0时，f(x)＝10ax，
所以f(lg5)＝10alg5＝10lg5a＝5a＝25，所以a＝2.
6．答案：C
解析：设F1(－c,0)、F2(c,0)，由已知可得a－1＝c2＝a＋1，
所以，a＋a＝2c2，则＋＝2，即＋＝2，变形可得e＋e＝2ee.
7．答案：D
解析：由题意得F(1,0)．又因为k＝tan30°＝，故直线AB的方程为x＝y＋1，
与抛物线方程y2＝4x联立，消x，得y2－4y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，
所以x1＋x2＝(y1＋y2)＋2＝14，所以Q(7,2)．
过P作PH垂直于准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|.
当Q、P、H共线时，|QH|最小等于7＋1＝8，所以|PF|＋|PQ|的最小值为8.
8．答案：A
解析：
如图，取CD的中点为E，则有OE⊥CD，PE⊥CD，
PA＝AB＝2，可得OE＝1，PE＝，故OP＝，
△PCD为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即为△PCD的中心，
OM＝＝，球的半径OF＝，
在Rt△OMF中，则截面圆半径MF＝＝，
在正三角形PCD中，以点M为圆心，作半径为的圆，圆与三角形截得的三部分，
圆心角都为90°，故该球的球面与侧面PCD的交线长度为截面圆周长的，即为×2π×MF＝π.
9．答案：BC
解析：对于A，因为a0，则－＝>0，即>，故A错误；
对于B，因为a>0，b>0，则≥≥≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；
对于C，因为a＋b＝1，则a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝22＋≥，当a＝b＝时等号成立，故C正确；
对于D，当a＝b＝1时，满足a>0，b>0，且ab＝1，但＋＋＝3<4，故D错误．
10．答案：BCD
解析：当方程－＝1可表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误．
当k>9时，－＝＋＝1,16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确．
当－160,9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确．
当方程－＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25；当方程－＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．
11．答案：ACD
解析：因为f(＋x)＝＋＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，
所以是f(x)的一个周期，故B错误；
当x∈时，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，所以当x＝时，f(x)max＝，故A正确；
因为f(－x)＝＋＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
当x∈时，f(x)＝sinx－cosx＝sin，
因为x－∈，所以f(x)在上单调递增，故D正确．
12．答案：CD
解析：f(x)＝ex在[1，]单调递增，
设g(x)＝＝，g′(x)＝，
x∈[1，]，g′(x)＝>0，g(x)为增函数，故A错误；
f(x)＝lnx在[1，]单调递增，
设h(x)＝＝，h′(x)＝，
x∈[1，]，h′(x)>0，h(x)为增函数，故B错误；
f(x)＝x2－2x＋3在[1，]单调递增，
设k(x)＝＝x－2＋，k′(x)＝，
x∈[1，]，k′(x)<0，k(x)为减函数，故C正确；
f(x)＝－x2＋2x＋3在[1，]单调递增，
设q(x)＝＝－x＋2＋，q′(x)＝－1－，
x∈[1，]，q′(x)<0，q(x)为减函数，故D正确．
13．答案：7
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝2，S7＝35，∴7a1＋21d＝35，∴d＝1，∴a6＝a1＋5d＝7.
14．答案：
解析：根据题意，向量a＝(1，k)，b＝(2－k,3)，则2a－b＝(k,2k－3)，
若a⊥(2a－b)，则a·(2a－b)＝k＋k(2k－3)＝0，
解可得：k＝0或k＝1，
又由k≠0，则k＝1，所以a＝(1,1)，b＝(1,3)，
则有|a|＝，|b|＝，a·b＝1＋3＝4，
故cos〈a，b〉＝＝＝.
15．答案：(－∞，e)
解析：由f(x)＝ex－ax，
得f′(x)＝ex－a，f″(x)＝ex>0
故f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝1－a，
当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝1>0，
函数无零点成立，
当a>1时，f′(0)＝1－a<0，所以令f′(x)＝0，x＝lna，故函数f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝1>0且函数在(0，＋∞)无零点，故f(lna)＝a－alna>0，
解得a综上所述，a∈(－∞，e)．
16．答案：(1,0)
解析：由抛物线的方程得，其焦点坐标为(1,0)，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点F(1,0)．
且抛物线准线方程为x＝－1，椭圆左焦点为(－1,0)，
联立x＝－c与椭圆＋＝1，可得|yA|＝|yB|＝，
因为△AOB是直角三角形，所以＝c，即b2＝ac，
又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，
左右同除a2可得e2＋e－1＝0，解得e＝，
又e∈(0,1)，所以椭圆D的离心率e＝.
17．解析：(1)∵2cos2A＋4cos(B＋C)＋3＝0，
由二倍角公式得到2(2cos2A－1)－4cosA＋3＝0，
化简得到4cos2A－4cosA＋1＝0 cosA＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)根据余弦定理得到cosA＝＝ b2＋c2－3＝bc，
配方得到：(b＋c)2－3＝3bc bc＝2，b＋c＝3，
解得：b＝2，c＝1或b＝1，c＝2.
18．解析：(1)根据题意，2(a3＋2)＝a2＋a4 2(2q2＋2)＝2q＋2q3，
则(q－2)(q2＋1)＝0 q＝2，所以an＝2n，bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)，＝＝(2n－1)n，
所以Tn＝1×1＋3×2＋5×3＋…＋(2n－1)n……①
则Tn＝1×2＋3×3＋5×4＋…＋(2n－1)n＋1……②，
①－②得，Tn＝＋2－(2n－1)n＋1＝－(2n＋3)n＋1，
所以Tn＝3－(2n＋3)n<3.
19．解析：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，准线方程为x＝－，由抛物线定义得：
5＝4＋，所以p＝2.
(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，
设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得：y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有，
则弦长|AB|＝x1＋x2＋2＝my1＋my2＋4＝4m2＋4，弦AB中点(2m2＋1,2m)
故弦AB的垂直平分线方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)
令x＝－1得y＝2m3＋4m，即P(－1,2m3＋4m)
故点P到直线AB的距离d＝＝.
所以＝4m2＋4，所以m＝±，直线方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
20．解析：(1)证明：由AB＝AC，则有A1B1＝A1C1.
∵D为B1C1的中点，∴A1D⊥B1C1.
由BC＝2，则有B1D＝1，BB1＝2，
∵∠C1B1B＝∠BCC1＝，
∴BD＝＝＝，
∴BD2＋B1D2＝BB，∴BD⊥B1C1，
∵A1D∩BD＝D，∴B1C1⊥平面A1DB.
(2)取BC中点为E，连接AE，C1E，由AB⊥AC，得AE＝BC＝1，
由题意得C1E＝BD＝，
∴AE2＋C1E2＝4＝AC，∴AE⊥C1E，
又可知AE⊥BC，AE∩C1E＝E，则AE⊥平面BB1C1C，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0，－1,0)，B1(，2,0)，A1(，1,1)，B(0,1,0)，D(，1,0)，
由A1D∥AE，得A1D⊥平面BB1C1C，∴BD⊥B1C1，
∵BD⊥B1C1，A1D∩B1C1＝D，∴BD⊥平面A1B1C1，
∴平面A1B1C1的法向量＝(，0,0)，
设平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)，
则，不妨取x＝－3，得n＝(－3，，)，
设二面角C1 A1B1 C的平面角为θ，由图示θ为锐角．
则cosθ＝＝＝，
∴二面角C1 A1B1 C的余弦值为.
21．解析：(1)因为f(x)＝xsinx，所以f′(x)＝sinx＋x·cosx，
因为00，所以函数f(x)在区间上为增函数．
(2)设h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝cosx＋cosx－x·sinx＝2cosx－x·sinx，
当又h()＝1>0，h(π)＝－π<0，所以存在唯一x0∈，使得h(x0)＝0，即存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0，
f(x)与f′(x)在区间内的变化情况如下：
x x0 (x0，π)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 增函数 极大值 减函数
所以函数f(x)在内有且只有一个极值点．
(3)由(1)(2)知，f(x)在(1，x0)内单调递增，在(x0，π)内单调递减，
又因为f(1)＝sin1>0，f(π)＝0，所以当x∈(1，π]时，f(x)＋1≥1，
又因为当x∈(1，π]时，022．解析：(1)由题意，椭圆半焦距c＝且e＝＝，所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1；
(2)由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立可得4x2－6x＋3＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b，(kb<0)即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝·＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或，所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
14滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·河北保定模拟]已知P＝{1,2,3}，Q＝{y|y＝2cos θ，θ∈R}，则P∩Q＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{2,3} D．{1,2,3}
2．[2022·广东清远一中月考]“cos α＝”是“cos 2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知a＝log35，b＝log23，c＝2－0.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．c4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
5．[2022·山东淄博模拟]函数f(x)＝(ex＋e－x)tan x的部分图象大致为( )
6．[2022·河北衡水中学模拟]已知cos θ－sin θ＝，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．[2022·湖南株洲模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
8．[2022·皖南八校联考]已知函数f(x)＝(3a)x－x3a(a>1)，当x≥2e时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为
A. B.
C．(1，e) D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法正确的有( )
A．终边在y轴上的角的集合为θ＋2kπ，k∈Z
B．已知3a＝4b＝12，则＋＝1
C．已知x，y∈R＋，且＋＝1，则x＋y的最小值为8
D．已知幂函数f(x)＝kxa的图象过点(2,4)，则k＋a＝3
10．[2022·辽宁丹东模拟]已知a，b∈R，且3a<3b<1，则( )
A．a2ln|b|
C.＋>2 D．a＋b＋2>0
11．[2022·河北石家庄一中月考]对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，则sin A＞cos B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
12．[2022·辽宁沈阳模拟]函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝x[f(x)－f(2)]，则( )
A．函数h(x)＝f(x)cos x为奇函数
B．f(x)的解析式可能是f(x)＝ex＋e－x－x2
C．函数g(x)有且只有3个零点
D．不等式g(x)≤0的解集为[－2,2]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．设函数f(x)＝，则f＝________.
14．[2022·湖北石首一中月考]在△ABC中，已知sin A?sin B?sin C＝3?5?7，则此三角形最大内角度数为________．
15．已知cos＝，则cos－sin2＝________.
16．[2022·浙江杭州模拟]函数f(x)＝2x－x2的零点个数为________，若函数f(x)＝ax－x2(a>1)恰有两个零点，则a＝________.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·北京海淀模拟]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A.
(1)求角A的大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
第①组条件：a＝，c＝5；
第②组条件：cos C＝，c＝4；
第③组条件：AB边上的高h＝，a＝3.
18．(12分)[2022·山东日照模拟]已知函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
19．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD ＝ b；
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
20．(12分)已知：f(x)＝sin(π＋x)sin＋cos2－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．
21.(12分)[2022·湖北九师联盟]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－x＋1.
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；
(2)证明：有且只有两条直线与函数f(x)，g(x)的图象都相切．
22．(12分)[2022·广东茂名五校联考]已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax.
(1)当a＝3时，求曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；
(2)若x1，x2(x1ln＋.
滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形
1.答案：B
解析：因为P＝{1,2,3}，Q＝{y|y＝2cosθ，θ∈R}＝{y|－2≤y≤2}，所以P∩Q＝{1,2}．
2．答案：A
解析：由cos2α＝可得2cos2α－1＝，解得：cosα＝±，
所以“cosα＝”是“cos2α＝”的充分不必要条件．
3．答案：C
解析：因为1log22＝1.5，所以a4．答案：B
解析：∵f(x)max＝2，f(x)min＝－2，A>0，∴A＝2；
∵f(x)最小正周期T＝×＝π，∴ω＝＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，
∵f＝2sin＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
5．答案：D
解析：因为f(x)＝(ex＋e－x)tanx，x≠kπ＋，k∈Z，定义域关于原点对称，
且f(－x)＝(ex＋e－x)tan(－x)＝－f(x)，
所以函数为奇函数，故排除C选项，
当x＝0时，f(0)＝0，故排除B选项；
当x＝1时，f(1)>0，故排除A.
6．答案：D
解析：由cosθ－sinθ＝，平方得：sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝，则1－sin2θ＝，即sin2θ＝－<0，则2kπ＋π<2θ<2kπ＋π或2kπ＋π<2θ<2kπ＋2π，k∈Z，即有kπ＋<θ当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，cosθ－sinθ<0，不成立，
当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．
∴角θ的终边在第四象限．
7．答案：A
解析：因为2acosC－3bcosC＝3ccosB，所以2sinAcosC－3sinBcosC＝3sinCcosB，所以2sinAcosC＝3sin(C＋B)＝3sinA，因为A，C∈(0，π)，所以sinA≠0，cosC＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
8．答案：D
解析：f(x)≥0即(3a)x≥x3a，则xln(3a)≥3alnx，则≥，令g(x)＝(x≥1)，g′(x)＝(x≥1)，当x∈(1，e)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，∵a>1，∴3a>3>e，又g(3a)≥g(x)，∴3a≤x(x≥2e)恒成立，∴a∈.
9．答案：BD
解析：终边在y轴上的角的集合为，故选项A不正确；因为3a＝4b＝12，所以a＝log312，b＝log412，则＋＝log123＋log124＝log1212＝1，故选项B正确；因为x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当y＝2x＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为9，故选项C不正确；因为幂函数f(x)＝kxa的图象过点(2,4)，所以k＝1,2a＝4，即a＝2，所以k＋a＝3，故选项D正确．
10．答案：BC
解析：已知a，b∈R，且3a<3b<1，所以ab2，故错误；对于B选项，|a|>|b|，y＝lnx为增函数，所以ln|a|>ln|b|，故正确；对于C选项，，均为正数，且不相等，所以＋>2，故正确；对于D选项，a＋b＝－(－a－b)<－2，所以a＋b＋2＜0，故错误．
11．答案：ABD
解析：若cosA＝cosB，则＝，整理得：a＝b，故△ABC为等腰三角形，故A正确；若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，整理得A>－B，故sinA>sin，则sinA＞cosB，故B正确；由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理求出b＝＝2，故△ABC唯一，故C错误；sin2A＋sin2B＜sin2C，利用正弦定理：a2＋b2＜c2，故cosC＝<0，故C∈，故△ABC是钝角三角形，故D正确．
12．答案：BC
解析：对A，因为y＝cosx是偶函数，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以h(x)＝f(x)cosx为偶函数，故A错误；对B，f(x)＝ex＋e－x－x2，f(－x)＝e－x＋ex－x2＝f(x)，则此函数满足f(x)是偶函数，f′(x)＝ex－e－x－2x，f″(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，所以f′(x)为R上的增函数，在[0，＋∞)上，f′(x)≥f′(0)＝0，所以此函数也满足在[0，＋∞)上单调递增，故B正确；对C，设函数h(x)＝f(x)－f(2)，h(2)＝f(2)－f(2)＝0＝h(－2)，所以h(x)在R上有且只有两个零点，当x＝0时，g(0)＝0，所以g(x)＝x[f(x)－f(2)]在R上有且只有三个零点，故C正确；对D，因为x[f(x)－f(2)]≤0，所以当x<0时，f(x)－f(2)≥0，则x≤－2；当x≥0时，f(x)－f(2)≤0，即f(x)≤f(2)，可得0≤x≤2，故x[f(x)－f(2)]≤0的解集为(－∞，－2]∪[0,2]，故D错误．
13．答案：
解析：因为f(x)＝，所以f＝log2＝－1，则f＝f＝.
14．答案：120°
解析：在△ABC中，利用正弦定理可得：a?b?c＝3?5?7，∴△ABC的最大内角为∠C，
不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k，则cosC＝＝＝－，
∵0°<∠C<180°，∴∠C＝120°.
15．答案：－
解析：∵cos＝，∴sin2＝1－cos2＝1－cos2＝，∴cos＝cos＝－cos＝－.∴cos－sin2＝－－＝－.
16．答案：3 e
解析：函数f(x)＝2x－x2的零点个数，即y＝2x与y＝x2两个函数图象的交点个数，
根据指数函数与二次函数的图象，当x≤0时，y＝2x单调递增，值域为(0,1]，而y＝x2单调递减，值域为[0，＋∞)，两个函数图象有一个交点；
当x>0时，f(2)＝22－22＝0，f(4)＝24－42＝0，函数f(x)有两个零点；
综上，函数f(x)＝2x－x2的零点个数为3个．
函数f(x)＝ax－x2(a>1)恰有两个零点，等价于y＝ax(a>1)与y＝x2两个函数图象恰有两个交点．
因为指数函数y＝ax(a>1)图象与抛物线y＝x2在(－∞，0]上有且只有一个交点，
即函数f(x)＝ax－x2(a>1)在(－∞，0]上有且只有一个零点，
所以问题转化为：当x>0时，f(x)＝0，即ax＝x2有且只有一个实根，
方程两边取对数，可得xlna＝2lnx，从而问题等价于该方程有且只有一个实根，
即直线y＝xlna与曲线y＝2lnx有且只有一个公共点，
所以直线y＝xlna为曲线y＝2lnx的切线，
设切点为(m,2lnm)，由y′＝，则切线的斜率为＝lna，
又切点(m,2lnm)在切线y＝xlna上，则2lnm＝mlna，
联立求解得a＝.
17．解析：(1)由asinB＝bcosA sinAsinB＝sinBcosA，因为sinB≠0，化简得tanA＝，A＝.
(2)若选①，则a＝，c＝5，A＝，由余弦定理可得2bccosA＝b2＋c2－a2，代入数据化简得b＝2或3，根据大边对大角原则判断，b＝2或3都成立，故选①不成立；
若选②，则cosC＝，c＝4，A＝，求得sinC＝，由正弦定理可得＝，解得a＝3，由sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝，
因为A＝，cosC＝，C唯一，则B唯一，三角形存在且唯一确定，S△ABC＝acsinB＝×3×4×＝3＋4；
若选③，由AB边上的高h＝可得sinA＝，解得b＝2，又a＝3，由余弦定理可得2bccosA＝b2＋c2－a2，代值化简得c＝1＋或1－(舍去)，三角形存在且唯一确定，S△ABC＝bcsinA＝×2×(1＋)×＝.
18．解析：(1)由图可知，函数f(x)图象过点，故cosφ＝，
由于0＜φ＜，所以φ＝，
所以f(x)＝cos，
令πx＋＝kπ(k∈Z)，则x＝k－(k∈Z)，令k＝1，得x＝，
由图可知，与关于直线x＝对称，所以＝，解得x0＝.
(2)g(x)＝f(x)＋f＝cos＋cos
＝cos＋cos＝cos－sinπx
＝cosπxcos－sinπxsin－sinπx
＝－sinπx＋cosπx
＝sin，
由－≤x≤得－≤πx≤，≤πx＋≤，
所以g(x)的最大值为sin＝，最小值为sin＝－.
19．解析：(1)由题设，BD＝，由正弦定理知：＝，即＝，
∴BD＝，又b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)由题意知：BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cos∠ADB＝＝，同理cos∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知：cos∠ABC＝＝－，
当＝时，cos∠ABC＝>1不合题意；当＝时，cos∠ABC＝；
综上，cos∠ABC＝.
20．解析：(1)因为f(x)＝sin(π＋x)sin＋cos2－，
所以f(x)＝(－sinx)(－cosx)＋sin2x－
＝sin2x＋－＝sin2x－cos2x＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)；
(2)因为f(A)＝1，所以f(A)＝sin＝1，
又因为A∈(0，π)，所以A＝，
在三角形ABC中，利用余弦定理得：cosA＝＝，整理得：b2＋c2－4＝bc，
又因为b2＋c2≥2bc，所以b2＋c2－4≥2bc－4，即bc≥2bc－4，
所以bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立，S△ABC＝bcsinA＝bc，
所以S△ABC≤，
当且仅当a＝b＝c＝2时，S△ABC取得最大值.
21．解析：(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x2＋x－1的定义域为(0，＋∞)，
且h′(x)＝－2x＋1＝＝－.
当00；当x>1时，h′(x)<0，
所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是h(x)的极大值点，
故h(x)的极大值为h(1)＝－1，没有极小值.
(2)证明：设直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，lnx1)，(x2，x－x2＋1)，
由f′(x)＝，得l的方程为y－lnx1＝(x－x1)，即l：y＝·x＋lnx1－1；
由g′(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x－x2＋1)＝(2x2－1)(x－x2)，
即l：y＝(2x2－1)x－x＋1.
比较l的方程，得，
消去x2，得lnx1＋－2＝0.
令F(x)＝lnx＋－2(x>0)，则F′(x)＝－＝.
当01时，F′(x)>0，
所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以F(x)min＝F(1)＝－1<0.
因为F(e2)>ln(e2)－2＝0，所以F(x)在(1，＋∞)上有一个零点；
由F(x)＝lnx＋＋－，得F(e－2)＝－2＋＋－＝＋>0，
所以F(x)在(0,1)上有一个零点．
所以F(x)在(0，＋∞)上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数f(x)，g(x)的图象都相切．
22．解析：(1)a＝3时，f(x)＝lnx＋x2－3x，f(1)＝－2，
所以切点坐标为P(1，－2)．
f′(x)＝＋2x－3，f′(1)＝0，于是所求切线的斜率k＝0.
又因为所求切线过点P(1，－2)，
所以曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝－2.
(2)f′(x)＝，
∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，
∴x1，x2是函数f′(x)两个大于0的零点，
∴x1，x2是方程2x2－ax＋1＝0的两个不同正解，
则，且 a>2.
由①，②可得x1－x2＝x1－，x1＋x2－a＝x1＋x2－2(x1＋x2)＝－(x1＋x2)＝－，
所以f(x1)－f(x2)＝lnx1＋x－ax1－lnx2－x＋ax2＝ln＋(x1－x2)(x1＋x2－a)＝ln(2x)－＝ln(2x)－＝ln(2x)＋.
又∵x1令2x＝t，则f(x1)－f(x2)＝lnt＋.
构造函数h(t)＝lnt＋，h′(t)＝－＝≤0，
∴h(t)是上的减函数．∴h(t)>h，且t→时，h(t)→h，h＝ln＋，
∴f(x1)－f(x2)>ln＋.
13滚动过关检测四 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝，则( RA)∩B＝( )
A．{x|x<－1}B．{x|－1C．{x|x≥0}D．{x|x≥－1}
2．[2022·北京101中学月考]设f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，f(1)＝0，则<0的解集是( )
A．{x|－1B．{x|x<－1或0C．{x|－11}
D．{x|x<－1或x>1}
3．[2022·辽宁丹东模拟]已知当且仅当n＝6时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，若a1＝30，则公差为d的取值范围为( )
A．(－6，－5)
B．[－6，－5]
C．(－∞，－6)∪(－5，＋∞)
D．(－∞，－6]∪[－5，＋∞)
4．曲线y＝lnx＋1在(1,1)处的切线也为y＝ex＋a的切线，则a＝( )
A．0B．1
C．－1D．2
5．[2022·湖北黄冈中学月考]已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，则(S10－S8)?(S8－S6)＝( )
A．1＋B．1－
C．3＋2D．3－2
6．点P(4,1)在函数y＝ax＋b(a>0，b>0)的图象上，则＋( )
A．有最小值9B．有最大值9
C．有最小值6D．有最大值6
7．已知Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．[2022·山东德州模拟]英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f(x)＝x2－x－2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln且a1＝1，xn>2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝( )
A．22021－1B．22021－2
C.2021－D.2021－2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·西南大学附中月考]下列选项一定正确的是( )
A．若>，则a2024>b2024
B．若ab<0，>，则a>b
C．若a>b，a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b>0，则>
10．[2022·广东实验中学月考]已知无穷等差数列{an}的公差d∈N*，且5,17,23是{an}中的三项，则下列结论正确的是( )
A．d的最大值是6
B．2a2≤a8
C．an一定是奇数
D．137一定是数列{an}中的项
11．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位后，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是( )
A．g(x)＝2sin2x
B．g(x)的图象关于点中心对称
C．g(x)的图象关于x＝－对称
D．g(x)在区间上单调递增
12．[2022·广东惠来一中月考]设数列{an}的前n项和Sn＝a·2n＋1＋bn＋c(a，b，c为常数)，则下列命题中正确的是( )
A．若a≠0，则{an}不是等差数列
B．若a＝0，b≠0，c＝0，则{an}是等差数列
C．若a＝0，b≠0，c＝0，则{an}是等比数列
D．若a＝1，b＝0，c＝－1，则{an}是等比数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2022·江苏徐州模拟]若tanα＝，则cos＝________.
14．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝________.
15．[2022·河北保定模拟]已知等比数列{an}中，首项a1＝2，公比是q>1，a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是________．
16．[2022·山东实验中学模拟]任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)，若m＝5，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·北京东直门中学月考]已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间[m,0]上的最小值为－1，求m的最大值．
18．(12分)[2022·山东莱芜一中月考]已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若acosC＋(c＋2b)cosA＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
19.(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]已知数列满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
20．(12分)[2022·湖南益阳模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－c)cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为3，求△ABC外接圆面积的最小值．
21．(12分)[2022·广东茂名模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a＋3cn(a，c∈R，c≠0，c≠1)．
(1)求a的值；
(2)若c＝且bn＝an，问n取何值时，bn取得最小值，并求此最小值．
22．(12分)[2022·河北石家庄模拟]设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.
(1)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(2)若对任意的b>a>0，<1恒成立，求m的取值范围．
滚动过关检测四 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列
1.答案：A
解析：因为A＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，所以 RA＝(－∞，－1)，又因为B＝＝(－∞，0)，
所以( RA)∩B＝{x|x<－1}．
2．答案：D
解析：当x<0时，<0得出f(x)>0＝f(－1)，因为f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x<－1；当x>0时，<0得出f(x)<0＝f(1)，因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以x>1即<0的解集是{x|x<－1或x>1}．
3．答案：A
解析：由已知可得a6>0，a7<0，，又a1＝30，所以，解得－64．答案：C
解析：由y＝lnx＋1求导得：y′＝，则曲线y＝lnx＋1在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y＝x，
设直线y＝x与曲线y＝ex＋a相切的切点为(t，et＋a)，由y＝ex＋a求导得y′＝ex，
于是得，解得，
所以a＝－1.
5．答案：C
解析：因为a1，a3,2a2成等差数列，
所以有2×＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，消去a1，得q2－2q－1＝0，
解得q＝1＋或q＝1－(舍)所以(S10－S8)?(S8－S6)＝(a10＋a9)?(a8＋a7)＝q2(a8＋a7)?(a8＋a7)＝q2，
所以q2＝(1＋)2＝3＋2.
6．答案：A
解析：由点P(4,1)在函数y＝ax＋b(a>0，b>0)的图象上，可得2a＋b＝1，所以＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b，即a＝，b＝时取等号，此时＋取得最小值9.
7．答案：B
解析：若Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)，则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an(n≥2)，
根据等比数列的定义，{an}是公比为2的等比数列不成立；
若{an}是公比为2的等比数列，则an＋1＝2an(n≥2)，即Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，
所以Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)成立；
所以“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．
8．答案：A
解析：由题可知：f′(x)＝2x－1，xn＋1＝xn－＝，
所以＝＝2，
则两边取对数可得ln＝2ln，即an＋1＝2an，
所以数列是以1为首项2为公比的等比数列，
所以S2021＝＝22021－1.
9．答案：BD
解析：对于A，取a＝0，b＝－1可知a2024>b2024不成立，故A错误；对于B，由ab<0，>得，a>0>b，故B正确；对于C，取a＝3，b＝0，c＝1，d＝2可知c>d不成立，故C错误；对于D，∵a>b>0，∴－＝>0，∴>成立，故D正确．
10．答案：ABD
解析：因为无穷等差数列{an}的公差d∈N*，且5,17,23是{an}中的三项，
所以设，
解得d＝，
所以d的最大值为6，故A正确；因为a1≤5，d∈N*，所以2a2－a8＝a1－5d≤0，故B正确；因为d＝，所以m－n＝2时，d＝3，数列可能为5,8,11,14,17,20,23，…，故C错误；因为137＝23＋19×6，所以137一定是等差数列{an}中的项，故D正确．
11．答案：BCD
解析：g(x)＝2sin＝2sin，故A错误；
令x＝－可得g＝2sin0＝0，故B正确；
令x＝－可得g＝2sin＝－2，故C正确；
x∈，所以2x＋∈，
易知y＝sinx在上单调递增，所以g(x)在上单调递增，故D正确．
12．答案：ABC
解析：对于A，数列{an}的前n项和Sn＝a·2n＋1＋bn＋c(a，b，c为常数)，而{an}是等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，不可能是Sn＝a·2n＋1＋bn＋c，所以若a≠0，则{an}不是等差数列，故A正确；对于B，若a＝0，b≠0，c＝0，则Sn＝bn，所以n＝1时，a1＝S1＝b；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝bn－b(n－1)＝b，对n＝1也成立，所以an＝b，所以{an}是等差数列，故B正确；对于C，若a＝0，b≠0，c＝0，则Sn＝bn，所以n＝1时，a1＝S1＝b≠0；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝bn－b(n－1)＝b≠0，对n＝1也成立，所以an＝b≠0，所以{an}是等比数列，故C正确；对于D，若a＝1，b＝0，c＝－1，则Sn＝2n＋1－1，所以n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，a2＝4，a3＝8，所以≠，所以{an}不可能是等比数列，故D不正确．
13．答案：－
解析：∵tanα＝，∴cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝＝＝－.
14．答案：－
解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin为奇函数，
∴φ＋＝kπ，即φ＝kπ－，又|φ|<，
∴k＝0，有φ＝－.
15．答案：1022
解析：由f(x)＝x3－6x2＋32x得f′(x)＝x2－12x＋32，
又因为a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，
所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，
故，因为q>1所以a2＝4，a3＝8，
故q＝2，则前9项和S9＝＝210－2＝1022.
16．答案：5 41
解析：(1)当m＝5时，a1＝5，a2＝5×3＋1＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，
所以需5次步骤后变成1；
(2)若第5次步骤后变成1，则a6＝1，a5＝2，a4＝4，a3＝8或1，
当a3＝8时，a2＝16，a1＝32或a1＝5；
当a3＝1时，a2＝2，a1＝4，
所以m的可能值是{4,5,32}，m的可能值的和是4＋5＋32＝41.
17．解析：(1)因为f(x)＝－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，
所以，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当x∈[m,0]时，2m＋≤2x＋≤，
因为函数y＝sinu在直线u＝左侧的第一个最小值点为u＝－，
故－∈，即2m＋≤－，解得m≤－.
因此，实数m的最大值为－.
18．解析：(1)∵acosC＋(c＋2b)cosA＝0，
∴由正弦定理可得：sinAcosC＋(sinC＋2sinB)cosA＝0，
整理得sinAcosC＋sinCcosA＋2sinBcosA＝0，
即：sin(A＋C)＋2sinBcosA＝0，
所以sinB＋2sinBcosA＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝－，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由a＝2，b＋c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴12＝(b＋c)2－2bc－2bccos，即有12＝16－bc，
∴bc＝4，
∴△ABC的面积为S＝bcsinA＝×4×sin＝.
19．解析：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5
又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，
故a2k＋2＝a2k＋3即bn＋1＝bn＋3即bn＋1－bn＝3
所以为等差数列，故bn＝2＋×3＝3n－1.
(2)设的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，
因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，
所以S20＝2－10
＝2－10
＝2×－10＝300.
20．解析：(1)因为(2b－c)cosA－acosC＝0，
所以2sinBcosA－sinCcosA－cosCsinA＝0，
所以2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即2sinBcosA－sinB＝0.
因为0因为0(2)由(1)可知A＝，则sinA＝.
因为△ABC的面积为3，所以bcsinA＝bc＝3，所以bc＝12.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥bc＝12，则a≥2.
设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝≥＝4，即r≥2，
故△ABC外接圆的面积S＝πr2≥4π，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
即当b＝c＝2时，△ABC外接圆面积的最小值为4π.
21．解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a＋3cn－a－3cn－1＝3(c－1)cn－1，
∴an＋1＝3(c－1)cn.(*)
则an＋1＝can.
当n＝1时，a1＝S1＝a＋3c，
因为{an}为等比数列，所以a2＝a1·c＝(a＋3c)c.
由(*)式可知，a2＝3(c－1)c，
∴3c(c－1)＝c(a＋3c)，解得a＝－3；
(2)c＝时，an＝n－1.∵bn＝an，∴bn＝n－1，bn＋1＝n.
bn＋1≥bn，即n≥n－1 n≥4，bn＋1于是b1>b2>b3>b4＝b5所以n＝4或5时，bn取得最小值，最小值为b4＝b5＝.
22．解析：(1)函数g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
所以当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减；
所以φ(x)的最大值为φ(1)＝－＋1＝，
又φ(0)＝0，可知：
①当m>时，函数g(x)没有零点，
②当m＝时，函数g(x)有且仅有1个零点，
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有1个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)没有零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且仅有1个零点；
当0(2)对任意b>a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x>0)，则h(b)可得h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
分离m可得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
所以m≥，所以m的取值范围是.
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