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2023年新教材高考数学全程考评特训卷考点过关检测(10份打包)(Word版含解析)
文档属性
名称
2023年新教材高考数学全程考评特训卷考点过关检测(10份打包)(Word版含解析)
格式
zip
文件大小
631.5KB
资源类型
教案
版本资源
人教新课标B版
科目
数学
更新时间
2022-08-02 17:38:29
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文档简介
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={x|log3(x-2)<0},N={x|x≥-2},集合M∩N=( )
A.{x|-2≤x<2}B.{x|-2≤x<3}
C.{x|2
2.[2021·新高考Ⅰ卷]已知z=2-i,则z=( )
A.6-2iB.4-2i
C.6+2iD.4+2i
3.[2022·山东春考]已知向量a=,b=,那么a·b等于( )
A.B.
C.1D.0
4.[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,C
C.B,C,DD.A,C,D
5.在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则=( )
A.8B.6
C.4D.2
6.[2022·福建三明模拟]在△ABC中,点D满足=3,点E为线段AD的中点,则向量=( )
A.+B.+
C.-D.-
7.[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a,b满足|b|=|a|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A.45°B.135°
C.60°D.120°
8.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(x)=f(-x)e2x,当x>0时,f′(x)>f(x)恒成立,则下列判断一定正确的是( )
A.e5f(2)
B.f(2)
C.e2f(-2)
D.f(-2)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.[2022·江苏无锡一中月考]若复数z满足z(1-2i)=10,则( )
A.|z|=2
B.z-2是纯虚数
C.复数z在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上,则sinα=
10.下列命题错误的是( )
A.命题“ x0∈R,x+1>3x0”的否定是“ x∈R,x2+1>3x”
B.函数“f(x)=cosax-sinax的最小正周期为π”是“a=2”的必要不充分条件
C.x2+2x≥ax在x∈[1,2]时有解 (x2+2x)min≥(ax)min在x∈时成立
D.“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”
11.[2022·山东师范大学附中月考]定义在R的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈(0,3)时f(x)=x2-3x,则以下结论正确的有( )
A.f(x)的周期为6
B.f(x)的图象关于对称
C.f(2021)=2
D.f(x)的图象关于x=对称
12.[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.[2022·天津静海一中月考]已知loga=m,loga3=n,则am+2n的值为________.
14.[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a5+a8=15,则S9=________.
15.[2022·江苏响水中学月考]函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,已知A,B分别是最高点、最低点,且满足⊥(O为坐标原点),则f(x)=________.
16.[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC中,D为AC上的一点,满足=.若P为BD上的一点,满足=m+n,则mn的最大值为________;+的最小值为________.
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a,b满足,=1,=2,且a与b不共线.
(1)若向量a+kb与ka+2b为方向相反的向量,求实数k的值;
(2)若向量a与b的夹角为60°,求2a+b与a-b的夹角θ.
18.(12分)[2022·山东日照模拟]向量m=(2sinx,),n=(cosx,cos2x),已知函数f(x)=m·n,
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f=,且sinB+sinC=,求b+c的值.
19.(12分)设{an}是公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,是公差为1的等差数列,已知a2=2,a4=a3+4,a3=b3+b1.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}的前n项和为Tn,求Tn.
20.(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sinB),n=(b-a,sinA+sinC),满足m∥n.
(1)求C;
(2)若c+3b=3a,求sinA.
21.(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1.
(1)求证:数列是常数数列;
(2)令bn=(-1)nan,Sn为数列{bn}的前n项和,求使得Sn≤-99的n的最小值.
22.(12分)已知函数f(x)=ax2+x-ex.
(1)若a=,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数
1.答案:C
解析:因为M={x|log3(x-2)<0}={x|2
2.答案:C
解析:因为z=2-i,故=2+i,故z==6+2i.
3.答案:A
解析:a=,b=,a·b=coscos+sinsin=cos=.
4.答案:A
解析:因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
5.答案:A
解析:由题设,a2a3=aq3=8,又a1=1,可得q=2,∴===8.
6.答案:D
解析:
由E为线段AD的中点,则=(+),又D满足=3,
∴==(-),
∴==-.
7.答案:B
解析:∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0,
即3a2-a·b-2b2=3|a|2-|a|·|b|cos〈a,b〉-2|b|2=0,又|b|=|a|且|a|≠0,
∴3|a|2-|a|2cos〈a,b〉-4|a|2=-|a|2-|a|2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-,又〈a,b〉∈,∴〈a,b〉=,即〈a,b〉=135°.
8.答案:B
解析:令g(x)=,则g′(x)=,
∵x>0时,f′(x)>f(x)恒成立,∴x>0时,g′(x)>0,即g(x)单调递增,又=,则g(-x)=g(x),g(x)为偶函数.
∴x<0时,g(x)单调递减.
=<=,即f(2)
e5f(-2)、ef(-3)>f(-2),∴A、C、D错误,B正确.
9.答案:AB
解析:由题意z===2+4i,|z|=2,A选项正确;
z-2=4i,B选项正确;
z在复平面内对应点为(2,4),对应点在第一象限,C选项错误;
sinα==,D选项错误.
10.答案:ACD
解析:对A:命题“ x0∈R,x+1>3x0”的否定是“ x∈R,x2+1≤3x,故A错误;对B:由函数f(x)=cosax-sinax=cos,则T==π,则a=±2,故B正确;对C:a=2时,x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<(2x)max=4,故C错误;对D,当“a·b<0”时,平面向量a与b的夹角是钝角或平角,∴“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”,故D错误.
11.答案:ACD
解析:因为f(x)满足f(x-3)=-f(x),
所以f(x-6)=-f(x-3)=f(x),故函数f(x)是周期为6的周期函数,故A选项正确;
由于函数为R的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),所以f(x-3)=-f(x)=f(-x),所以根据周期性得f(x+3)=f(-x),
所以f=f,
所以f(x)的图象关于x=对称,故B错误,D正确;
对于C选项,结合周期性得
f(2021)=f(336×6+5)=f(5)=f(-1)=-f(1)=-1+3=2,故正确.
故选ACD.
12.答案:AC
解析:A:=(cosα,sinα),=(cosβ,-sinβ),所以||==1,||==1,故||=||,正确;
B:=(cosα-1,sinα),=(cosβ-1,-sinβ),
所以||==
===2|sin|,
同理||==2|sin|,故||,||不一定相等,错误;
C:由题意得:·=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β),·=cosα·cosβ+sinα·(-sinβ)=cos(α+β),正确;
D:由题意得:·=1×cosα+0×sinα=cosα,·=cosβ×cos(α+β)+(-sinβ)×sin(α+β)=cos=cos,故一般来说·≠·,错误.
故选AC.
13.答案:
解析:由题设,m+2n=loga+2loga3=loga,∴am+2n=aloga=.
14.答案:45
解析:因为数列{an}为等差数列,所以a2+a8=2a5,又a2+a5+a8=15,所以a5=5,所以S9==9a5=45.
15.答案:2sin
解析:由图象知:=-1=,即T=6,则T==6,可得ω=,∴A,B的横坐标为1+=1+3=4,即B(4,-A),
∵⊥,∴(1,A)·(4,-A)=0,则1×4-A2=0,A>0,得A=2,∴f(x)=2sin,
由五点作图法知:×1+φ=,得φ=,综上,函数的解析式为f(x)=2sin.
16.答案: 16
解析:
如图所示,由=得=,所以=m+4n,所以m+4n=1(m>0,n>0),
所以mn=m·(4n)≤2=,等号成立当且仅当m=,n=,所以mn的最大值为.
因为+=(m+4n)=8++≥16,等号成立当且仅当m=,n=,
所以+的最小值为16.
17.解析:(1)因为向量a+kb与ka+2b为方向相反的向量,所以存在实数λ<0,使得a+kb=λ,且a与b不共线,所以,解得:或(舍);所以实数k的值为-;
(2)因为向量a与b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,
所以a·b=|a|·|b|·cos60°=1×2×=1,
(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=2|a|2-a·b-|b|2=2×12-1-22=-3,
|2a+b|====2,
|a-b|====,
所以cosθ===-,
因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.
18.解析:(1)f(x)=m·n=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin,
∴f(x)的最小正周期T=π;
令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得:+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)由f=2sinA=得:sinA=,又A为锐角,∴A=;
∴====,
∴b+c=(sinB+sinC)=×=13.
19.解析:(1)设{an}的公比为q,因为a2=2,a4=a3+4,所以a2q2=a2q+4,即2q2=2q+4,
所以q2-q-2=0,因为q>0,所以q=2,
所以an=a2qn-2=2·2n-2=2n-1,
所以a3=b3+b1=4,
设{bn}的公差为d,则d=1,
所以,解得,所以bn=1+(n-1)×1=n;
(2)因为an=2n-1,所以a1=20=1,所以an+bn=2n-1+n,
所以Tn=(20+22+…+2n-1)+(1+2+…+n)=+=2n+-1,所以Tn=2n+-1.
20.解析:(1)因为m∥n,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC===,因为C∈(0,π),故C=.
(2)由(1)知B=-A,由题设及正弦定理得sinC+3sin=3sinA,
即+cosA+sinA=sinA,可得sin=.
由于0
故sinA=sin=sincos+cossin=×+×=.
21.解析:(1)由n(an+1-an)=an+1得:nan+1=(n+1)an+1,即=+
∴=+-,即有=,∴数列是常数数列;
(2)由(1)知:=a1+1=3,∴an=3n-1,∴bn=(-1)n(3n-1),
即bn=,
∴当n为偶数时,Sn=(-2+5)+(-8+11)+…+=,显然Sn≤-99无解;
当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1=-=-,令Sn≤-99,解得:n≥,
结合n为奇数得:n的最小值为67.
22.解析:(1)当a=时,f(x)=x2+x-ex,
所以f′(x)=x+1-ex,
令g(x)=f′(x)=x+1-ex,则g′(x)=1-ex,
所以当x>0时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x<0时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≤g(0)=0,即f′(x)≤0,
所以函数f(x)为R上的单调递减函数.
(2)若f(x)≤1恒成立,即ax2+x-ex≤1恒成立,
显然,当x=0时成立,
当x≠0时,不等式等价于a≤恒成立,
令h(x)=,
则h′(x)=,
当h′(x)>0时,得x<0或x>2,即函数h(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,
当h′(x)<0时,得0
由于x→-∞时,h(x)由正数趋近于0,当x=2时,h(2)min=>0,
所以函数h(x)的草图如图,
所以a≤min恒成立,只需a≤0,
所以实数a的取值范围是(-∞,0].
13滚动过关检测一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2022·湖南湘潭模拟]已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|2x>2},则A∩B=( )
A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}
C.{2,3}D.{-1,0,1}
2.[2022·湖南武冈二中月考]已知a>b>0,下列不等式中正确的是( )
A.>B.<
C.-a2>-abD.ab>b2
3.设f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=-f(x+2),f(1)=1,则f(-1)+f(8)=( )
A.-2B.-1
C.0D.1
4.已知定义在R上的函数f(x)满足,①f(x+2)=f(x),②f(x-2)为奇函数,③当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立.则f、f(4)、f的大小关系正确的是( )
A.f>f(4)>f
B.f(4)>f>f
C.f>f(4)>f
D.f>f>f(4)
5.[2022·西南大学附中月考]给定函数f(x)=,g(x)=-x2+x,x∈R.用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min,则m(x)的最大值为( )
A. B.1 C.0 D.2
6.[2022·福建福州模拟]已知e是自然对数的底数,关于x的方程e|x-2|=x有两个不同的解x1,x2(x1
A.x1<1,x2>3B.x1>1,x2<3
C.x1>1,x2>3D.x1<1,x2<3
7.[2022·湖北宜昌模拟]若正实数x,y满足x+y=1,且不等式+
A.m<-3或m>B.-3
C.m≤-3或m≥D.-3≤m≤
8.[2022·重庆南开中学月考]函数f(x)=,则下列结论中错误的是( )
A.y=f(x)的图象关于点(-1,1)对称
B.f(x)在其定义域上单调递增
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.下列命题中,错误的命题有( )
A.函数f(x)=x与g(x)=()2是同一个函数
B.命题“ x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“ x∈[0,1],x2+x<1”
C.函数y=sinx+的最小值为4
D.设函数f(x)=,则f(x)在R上单调递增
10.[2022·河北保定模拟]下列条件中,其中p是q的充分不必要条件的是( )
A.p:a≥1,b≥1;q:a+b≥2
B.p:tanα=1;q:α=kπ+(k∈Z)
C.p:x>1;q:ln(ex+1)>1
D.p:a2<1;q:函数f(x)=x2+(2-a)x-2a在(0,1)上有零点
11.[2022·湖北恩施模拟]若a>b>1>c>0,则有( )
A.logca>logcbB.ac>bc
C.a(b+c)>b(a+c) D.<
12.[2022·山东潍坊月考]已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(-1,1)上单调递减
B.f(log23)>f(log25)
C.当x∈(-1,a]时,函数f(x)的值域为[1,5],则1≤a≤4
D.当1
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.函数y=的定义域为________.
14.若函数f(x)=2+为奇函数.则a=________.
15.[2022·天津河西区月考]已知x>0,y>0,x+y2=4,则log2x+2log2y的最大值为________.
16.[2022·北京育才中学月考]设函数f(x)=则f[f(0)]=________;若方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根,则实数b的取值范围是________.
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知命题p:“ x∈R,关于x的方程x2+mx+m+3=0有两个不相等的负实根”是假命题.
(1)求实数m的取值集合M;
(2)在(1)的条件下,设不等式(x-a)(x-2)<0的解集为N,其中a≠2.若x∈N是x∈M的充分条件,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=x2+ax-a-1(a∈R).
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(x)≤0.
19.(12分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
20.(12分)某厂家拟在2022年举行产品促销活动.经测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t万元(t≥0)满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,并求出最大利润.
21.(12分)[2022·广东佛山一中月考]已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且当0<x<1时,f(x)=,
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式和值域;
(2)求f+f+f+…+f的值.
22.(12分)[2022·重庆南开中学月考]设函数f(x)=(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数,且y=f(x)的图象过点.
(1)求t和a的值;
(2)若 x∈R,f(kx-x2)+f(x-1)<0,求实数k的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数g(x)=22x+2-2x-mf(x)在区间[1,log23]上的最大值为1.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
滚动过关检测一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数
1.答案:C
解析:因为B={x|2x>2}={x|x>1},所以A∩B={2,3}.
2.答案:D
解析:由a>b>0,∴<,而c≥0时,≤,因此A不正确;a-1,b-1与0的大小关系不确定,因此B不正确;由a>b>0,∴-a2<-ab,因此C不正确;由a>b>0,
∴ab>b2,因此D正确.
3.答案:B
解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,又f(x)=-f(x+2),则f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),即函数的周期T=4,∴f(8)=f(4)=f(0)=0,又f(-1)=-f(1)=-1,∴f(-1)+f(8)=-1.
4.答案:C
解析:由f(x+2)=f(x)可得f(x)的周期为2,
因为f(x-2)为奇函数,所以f(x)为奇函数,
因为x∈[0,1)时,>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,
所以f(x)在(-1,1)上单调递增,
因为f=f=f,f(4)=f(4-2×2)=f(0),
f=f=f,
所以f>f(0)>f,即f>f(4)>f.
5.答案:A
解析:令<-x2+x得0
当x∈时,m(x)max
当x∈(-∞,0]∪时,m(x)max=m=,
综上所述,m(x)max=.
6.答案:C
解析:令f(x)=e|x-2|-x,则函数f(x)的图象在R上连续,∵f(1)=e-1>0,f(2)=1-2=-1<0,f(3)=e-3<0,f(4)=e2-4>0,∴f(1)f(2)<0,f(3)f(4)<0,∴函数f(x)在区间(1,2),(3,4)上各有一个零点,即1
7.答案:A
解析:若不等式+
min,
+=(x+1+y)=
≥=(5+2×2)=,
当且仅当即时,+最小值为,
所以m2+m>,即2m2+3m-9>0,所以(2m-3)(m+3)>0,
解得:m<-3或m>.
8.答案:A
解析:f(x)的定义域为(-∞,+∞),因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,
在f(x)的图象上取点(0,0),它关于(-1,1)对称的点(-2,2)不在f(x)的图象上,故A不正确;当x>0时,f(x)==为增函数,又f(x)为奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在其定义域上单调递增,故B正确;当x>0时,f(x)==∈(0,1),又f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)∈(-1,0),又f(0)=0,所以f(x)的值域为(-1,1),故C正确;令g(x)=f(x)-x=0,得=x,得x=0,所以函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,故D正确.
9.答案:ACD
解析:函数f(x)=x定义域为R,函数g(x)=()2的定义域为[0,+∞),所以两个函数的定义域不相同,所以两个函数不是相同函数;所以A不正确;命题“ x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“ x∈[0,1],x2+x<1”,满足命题的否定形式,所以B正确;函数y=sinx+,因为0
2=4,所以函数没有最小值,所以C不正确;设函数f(x)=两段函数都是增函数,并且x<0时,x→0,f(x)→2,x≥0时,函数的最小值为1,两段函数在R上不是单调递增,所以D不正确.
10.答案:AC
解析:对于A,由a≥1,b≥1,显然可得a+b≥2,反之不成立,故正确;对于B,显然是充要条件,不正确;对于C,∵x>1,∴ex>e,ex+1>e,ln(ex+1)>1,反之不成立,正确;对于D,当a2<1即-1
11.答案:BC
解析:A.因为y=logcx在(0,+∞)上单调递减,所以logca
bc,故正确;C.因为a(b+c)-b(a+c)=(a-b)c>0,所以a(b+c)>b(a+c),故正确;D.因为-=,且ac-b2无法确定正负,故错误.
12.答案:BCD
解析:当x>0时,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),∴x∈(0,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0,x∈(1,3)时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,又1
f(log25),故A错误,B正确;
由解析式可得,f(x)图象如图:
对于C,由f(1)=f(4)=5,所以当1≤a≤4时,x∈(-1,a]上函数值域为[1,5],故C正确;对于D,由[f(x)]2-(t+5)f(x)+5t=0,即[f(x)-5][f(x)-t]=0,得f(x)=5或f(x)=t,∵y=f(x)与y=5有3个公共点,当1
13.答案:(-1,0)∪(0,2]
解析:由解得,所以定义域为:(-1,0)∪(0,2].
14.答案:4
解析:由题意,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),故2+=-,即2+=-2-,整理得4+=4-a=0,解得a=4.
15.答案:2
解析:因为x>0,y>0,x+y2=4,由基本不等式得4=x+y2≥2,化为xy2≤4,当且仅当x=2,y=时取等号.则log2x+2log2y=log2(xy2)≤log24=2.因此log2x+2log2y的最大值是2.
16.答案:
解析:函数f(x)=,则f[f(0)]=f(e0)=f(1)=.x≤0时,f(x)≤1,x>0时,f(x)=-x2+x+,对称轴为:x=,开口向下,函数的最大值为f=-++=,x→0时,f(0)→,方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根,则实数b的取值范围是:.
17.解析:(1)根据题意,若 x∈R,关于x的方程x2+mx+m+3=0有两个不相等的负实根,则,解得m>6,故M={m|m≤6}.
(2)由(x-a)(x-2)<0且a≠2,得当a<2时,N={x|a
2时,N={x|2
因x∈N是x∈M的充分条件,所以,解得a<2或2
18.解析:(1)f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以-≤1,解得a≥-2.
(2)因为f(x)=(x+a+1)(x-1),
当a+1<-1,即a<-2时,解集为{x|1≤x≤-a-1};
当a+1=-1,即a=-2时,解集为{x|x=1};
当a+1>-1,即a>-2时,解集为{x|-a-1≤x≤1}.
19.解析:(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以log2=-log2,
即log2=log2,所以a=1,f(x)=log2,
令>0,解得x<-1或x>1,所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1.因为x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,所以m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].
20.解析:(1)由已知,当t=0时,x=1(万件),所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-.
由已知,每件产品的销售价格为1.5×(元),
所以2022年的利润y=1.5x·-8-16x-t=28--t(t≥0)
(2)因为y=29-,
所以(t+1)+≥2=8,当且仅当t+1=即t=3时取等号.
所以y≤29-8=21,即ymax=21(万元).
答:该厂家2022年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.
21.解析:(1)当-1<x<0时,0<-x<1,f(-x)==,
因为f(x)是(-1,1)上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=,
当x=0时,f(0)=0,
所以,f(x)在(-1,1)上的解析式为f(x)=;
当-1<x<0时,9x∈,1+3·9x∈,∈,
当0<x<1时,9x∈(1,9),1+∈,
所以,f(x)在(-1,1)上的值域为∪{0}∪;
(2)当0<x<1时,f(x)=,f(x)+f(1-x)=+=+=1,
所以f+f=f+f=f+f=…=1,
故f+f+f+…+f=.
22.解析:(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,∴f(0)==0,
∴t=2,经检验知符合题意,f(x)=ax-a-x,
∵函数f(x)的图象过点,∴a-a-1=,得2a2-3a-2=0,
解得:a=2或a=-,因为a>0且a≠1,
∴a=2.
(2)由(1)得f(x)=2x-2-x,
由f(kx-x2)+f(x-1)<0,得f(kx-x2)<-f(x-1),
∵f(x)为奇函数,∴f(kx-x2)
∵2>1,∴f(x)=2x-2-x为R上的增函数,
∴kx-x2<1-x对一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,
故Δ=(k+1)2-4<0,解得-3
(3)g(x)=22x+2-2x-m(2x-2-x),
设t=2x-2-x,则(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,
∵x∈[1,log23],∴t∈,记h(t)=t2-mt+2,
∴函数h(t)=t2-mt+2在有最大值为1,
①若对称轴t=>,
∴h(t)max=h=-m=1 m=,不合题意.
②若对称轴t=≤,
m=,
综上所述:故存在实数m=,使函数g(x)在上的最大值为1.
13考点过关检测1 集合与常用逻辑用语
一、单项选择题
1.[2021·新高考Ⅰ卷]设集合A={x|-2
A.{2}B.{2,3}
C.{3,4}D.{2,3,4}
2.[2022·湖北宜昌月考]已知命题p: a∈N, b∈N,a>b,则綈p为( )
A. a∈N, b∈N,a≤b
B. a∈N, b∈N,a≤b
C. a∈N, b∈N,a≤b
D. a∈N, b∈N,a≤b
3.[2022·河北邢台模拟]已知集合A={x|-1
A.[-2,0) B.(-∞,-2]∪(0,+∞)
C.(-2,0) D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
4.已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是( )
A.P=QB.P Q
C.P QD.P∩Q=
5.已知集合A={-1,0,1,4,5},B={2,3,4},C={x∈R|0<x<2},则(A∩C)∪B=( )
A.{4}B.{2,3}
C.{-1,2,3,5}D.{1,2,3,4}
6.[2022·广东茂名五校联考]已知集合A={x|x2-6x-16<0},B={y|y-2≤0},则A∩B=( )
A. B.[2,8)
C.(-∞,2] D.(-2,2]
7.[2022·山东日照模拟]“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.[2022·湖南长郡中学月考]已知全集为R,集合A={x|0
3},则( )
A.A BB.B A
C.A∪B=RD.A∩( RB)=A
9.[2022·三湘名校联考]已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则“a>b>c”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.下列命题中为真命题的是( )
A.“a-b=0”的充要条件是“=1”
B.“a>b”是“<”的充分不必要条件
C.命题“ x∈R,x2-2x<0”的否定是“ x∈R,x2-2x≥0”
D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件
二、多项选择题
11.[2022·福建龙岩模拟]已知集合A={x∈R|x2-3x-18<0},B={x∈R|x2+ax+a2-27<0},则下列命题中正确的是( )
A.若A=B,则a=-3
B.若A B,则a=-3
C.若B= ,则a≤-6或a≥6
D.若B?A时,则-6
12.[2022·湖北武汉月考]关于充分必要条件,下列判断正确的有( )
A.“m>2”是“m>3”的充分不必要条件
B.“log2a+log2c=2log2b”是“a,b,c成等比数列”的充分不必要条件
C.“f(x)的图象经过点(1,1)”是“f(x)是幂函数”的必要不充分条件
D.“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的倾斜角相等”的充要条件
三、填空题
13.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.
14.[2022·山东潍坊月考]已知a,b都是实数,那么“a3>b3”是“________”的充要条件.(请在横线处填上满足要求的一个不等式)
15.若存在量词命题“ x0∈R,使得4mx+4mx0-3≥0成立”是假命题,则实数m的取值范围是________.
16.设集合A={x|x2-2x-8>0},B={x|x≤a或x≥a+5},若A∩( RB)= ,则a的取值范围是________.
考点过关检测1 集合与常用逻辑用语
1.答案:B
解析:由题设有A∩B={2,3},故选B.
2.答案:A
解析:根据全称量词命题与存在量词命题的否定可知:綈p: a∈N, b∈N,a≤b.
3.答案:B
解析:∵A={x|-1
RB=(-∞,-2]∪(0,+∞).
4.答案:C
解析:因为集合P代表的是函数的定义域,Q代表函数的值域,P={x|x≥-1},Q={y|y≥0}.所以P Q.
5.答案:D
解析:设集合A={-1,0,1,4,5},C={x∈R|0<x<2},
则A∩C={1},
∵B={2,3,4},
∴(A∩C)∪B={1}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
6.答案:D
解析:由x2-6x-16<0 A=(-2,8),B=(-∞,2],∴A∩B=(-2,2].
7.答案:B
解析:由|x-1|<2解得:-2+1<x<2+1,即-1<x<3.由x(x-3)<0,解得0<x<3.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件.
8.答案:D
解析:因为A={x|0
3},故集合A,B不存在包含关系,故A,B选项错误;对于C选项,A∪B=(0,1)∪(3,+∞)≠R,故错误;对于D选项,A∩( RB)={x|0
9.答案:A
解析:一方面,若a+b+c=0,a>b>c,则a>0,c<0.∴b2-4ac>0,∴函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点,∴“a>b>c”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的充分条件.另一方面,若a=-1,b=0,c=1,则函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点,但不满足a>b>c,即“a>b>c”不是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的必要条件.
10.答案:C
解析:对于A,当b=0时,不存在,A错;对于B,充分性:因为a>b,当a=1,b=-1时,<不成立,充分性不成立.B不对;对于C,根据存在量词命题的否定的定义知C对;对于D,充分性:若a>2,b>2,由不等式的性质可得ab>4,充分性成立.必要性:若ab>4,取a=b=-3,则“a>2,b>2”不成立,必要性不成立.故“a>2,b>2”是“ab>4”的充分条件,不是必要条件,D错.
11.答案:ABC
解析:A={x∈R|-3
12.答案:BC
解析:因为“m>2”是“m>3”的必要不充分条件,所以A错误;因为log2a+log2c=2log2b ac=b2(a,b,c均大于0),所以“log2a+log2c=2log2b”是“a,b,c成等比数列”的充分不必要条件,所以B正确;幂函数的图象都经过点(1,1),反之不成立,比如:y=2x-1,所以C正确;若直线l1与l2平行,则直线l1与l2的倾斜角相等;若直线l1与l2的倾斜角相等,则直线l1与l2平行或重合,所以D错误.
13.答案:5
解析:集合A∪B={1,2,3,4,5}中有5个元素.
14.答案:a>b
解析:幂函数y=x3在R上是增函数,所以由a3>b3可得a>b,反之亦成立.所以a3>b3是a>b的充要条件.
15.答案:(-3,0]
解析:此题等价于全称量词命题“ x∈R,4mx2+4mx-3<0成立”是真命题.①当m=0时,原不等式化为“-3<0”, x∈R显然成立;②当m≠0时,只需即解得-3<m<0.综合①②得-3<m≤0.
16.答案:[-2,-1]
解析:A={x|x2-2x-8>0}={x|(x-4)(x+2)>0}={x|x<-2或x>4},
因为B={x|x≤a或x≥a+5},所以 RB={x|a
若A∩( RB)= ,则,解得-2≤a≤-1.
所以a的取值范围是[-2,-1].
4考点过关检测2 不等式的性质与基本不等式
一、单项选择题
1.设a,b,c∈R,且a>b,则( )
A.ac>bcB.a3>b3
C.a2>b2D.<
2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为( )
A.p≤q B.p≥q C.p<q D.p>q
3.[2022·北京101中学模拟]下列结论正确的是( )
A.若ac
B.若a>b,c<0,则ac
C.若a2
D.若<,则a>b
4.[2022·湖北九师联盟]下列函数中,最小值为4的是( )
A.y=x+
B.y=sinx+(0<x<π)
C.y=ex+4e-x
D.y=+
5.[2022·河北石家庄二中月考]下列命题为真命题的是( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>b2
C.若a
D.若a
6.[2022·福建连城一中月考]已知x>0,y>0,若x+y=1,则的最小值为( )
A.4B.C.2D.
7.[2022·福建龙岩模拟]已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,6) B.(-∞,6]
C.(-∞,8] D.(-∞,8)
二、多项选择题
9.[2022·山东日照模拟]若0<a<b<c,则下列结论正确的是( )
A.lna<lnbB.b2<a2
C.
10.[2022·河北石家庄一中月考]以下结论正确的是( )
A.x2+≥2
B.+的最小值为2
C.若a2+2b2=1,则+≥3+2
D.若a+b=1,则+≥4
11.[2022·山东广饶一中月考]已知关于a>0,b>0且a+b=2.下列不等式正确的是( )
A.若a>b,则<
B.若a>b,则>
C.a2+b2>2
D.+≥2
12.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则可能取的值有( )
A.9B.10C.11D.12
三、填空题
13.已知a≠b,则a2-ab与ba-b2的大小关系为________.(用“<”连接)
14.直线+=1(a>0,b>0)过点(2,3),则a+b的最小值为________.
15.[2022·江苏高邮月考]已知一个矩形的周长为16cm,则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为________.
16.[2022·辽宁沈阳模拟]已知正数x、y满足xy2(x+6y)=1,当x=________时,x+3y取得最小值,最小值是________.
考点过关检测2 不等式的性质与基本不等式
1.答案:B
解析:当c>0时,ac>bc,当c=0时,ac=bc,当c<0时,ac<bc,排除A;由a>b得a3>b3,B正确;当a>b≥0时,a2>b2,当0≥a>b时,a2<b2,排除C;当a>b,ab<0时,有>,排除D,故选B.
2.答案:D
解析:p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,所以p>q,故选D.
3.答案:B
解析:对于A,当c<0时,若ac
b,故选项A错误;对于B,若a>b,c<0,则ac
b,故选项C错误;对于D,若<,则0
4.答案:C
解析:对于A,当x<0时,y=x+<0,故A项不符合题意.对于B,当0
0,所以根据基本不等式可以得出y=ex+4e-x≥2=4,当且仅当ex=2时取得最小值4,故C项符合题意.对于D,由于>0,所以根据基本不等式可以得出y=+≥2,当且仅当x2=±1时取得最小值2,故D项不符合题意.
5.答案:D
解析:对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以不是真命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2
ab>b2,所以不是真命题;对于D,若a
,所以是真命题.
6.答案:A
解析:因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤2=,当且仅当x=y=时取等号,则≥4,即最小值为4.
7.答案:D
解析:由a>0,b>0,可得==,又由a+b=1,可得+=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=时,即a=,b=时,等号成立,所以≤=,即的最大值为.
8.答案:D
解析:x+2y=(x+2y)·=4++≥4+2=8.所以x+2y>m恒成立,只需(x+2y)min>m.所以m<8.
9.答案:AC
解析:由于0<a<b<c,lna<lnb,故A正确;由于0<a<b<c,所以b2-a2=(a+b)(b-a)>0,故B错误;-==<0,故C正确;由于0<a<b<c,故a>b,故D错误.
10.答案:AC
解析:x2+≥2=2,当且仅当x2=1时等号成立,故A正确;+≥2=2,当且仅当=1时等号成立,但≥≠1,故B错误;+=(a2+2b2)=3++≥3+2,当且仅当a2=-1,b2=时等号成立,故C正确;当a>0,b>0,a+b=1时,+=(a+b)=2++≥4,但a+b=1,不一定a>0,b>0,故D错误.
11.答案:BD
解析:对于A,当c=0时,不等式显然不成立,故A错误;对于B,∵a>b且a+b=2,
∴a>1且b<1,∴a-1>0且b-1<0,∴>,故B正确;对于C,∵=≥=2=1,∴a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时等号成立,故C错误;对于D,∵a+b=2,∴+=1,∴+==++1≥2+1=2,当且仅当a=b=1时等号成立,故D正确.
12.答案:BCD
解析:因为x>0,y>0,且2x+y=1,
所以==+=(2x+y)=++5≥2+5=2+5,当且仅当=,即y=x时取等号.5+2≈9.9,所以可能取值10、11、12.
13.答案:ba-b2
解析:依题意,因a≠b,则ba-b2-(a2-ab)=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2<0,
所以ba-b2
14.答案:5+2
解析:由题意,+=1,且a>0,b>0,故a+b=(a+b)=5++≥5+2=5+2,当且仅当=,即a=+2,b=+3时等号成立.
15.答案:32π
解析:设矩形的长与宽分别为a,b,则2a+2b=16,即a+b=8,所以8≥2,当且仅当a=b=4时取等号,所以ab≤16,则旋转形成的圆柱的侧面积为π·2ab≤2π×16=32π.
所以矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为32π.
16.答案:-
解析:由xy2(x+6y)=1,可得x(x+6y)=,故(x+3y)2=x2+6xy+9y2=x(x+6y)+9y2=+9y2≥2=6,当且仅当=9y2即y=时,等号成立.此时x+3y取得最小值,x=-3y=-.
5考点过关检测10 导数及其运算
一、单项选择题
1.已知函数f(x)=e2x+1-3x,则f′(0)=( )
A.0B.-2
C.2e-3D.e-3
2.若函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2f′(1)lnx+2x,则f′(1)=( )
A.0B.-1
C.-2D.2
3.[2022·河北邯郸模拟]曲线y=(x-3)ex在x=0处的切线方程为( )
A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0
C.2x-y+3=0D.2x-y-3=0
4.[2022·辽宁东北育才中学月考]函数f(x)=exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.B.
C.D.π
5.[2022·北京一六一中月考]已知函数f(x)=xsinx+cosx图象上在点(x,y)处的切线的斜率为k,若k=g(x),则函数g(x)在原点附近的图象大致为( )
6.[2022·重庆南开中学月考]若曲线y=-ax2(a∈R)在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=( )
A.- B.- C. D.2
7.[2022·山东莱西模拟]若曲线y=aex+xlnx在点处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=2e,b=-1B.a=2e,b=1
C.a=,b=1D.a=,b=-1
8.[2022·河北衡水中学月考]已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a的值为( )
A.0B.0或8
C.8D.1
9.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则f2021(x)=( )
A.-sinx-cosxB.sinx-cosx
C.-sinx+cosxD.sinx+cosx
10.[2021·新高考Ⅰ卷]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb
C.0
二、多项选择题
11.[2022·山东肥城月考]下列函数求导正确的是( )
A.(2x3-3x2+5)′=6x2-6x
B.(ex+lnx)′=ex+
C.′=sin
D.′=-+
12.[2022·重庆万州纯阳中学二月考]已知曲线f(x)=,则过点(-1,3),且与曲线y=f(x)相切的直线方程可能为( )
A.y=-x+2B.y=-7x-4
C.y=-8x-5D.y=-9x-6
三、填空题
13.已知函数f(x)=sinx+2xf′,则f′=________.
14.设a∈R,函数f(x)=ex+e-ax的导数是f′(x),若g(x)=xf′(x)是偶函数,则a=________.
15.[2022·福建上杭月考]已知函数f(x)=lnx+x2,则f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为________.
16.[2022·天津南开区模拟]曲线y=ex在x=0处的切线方程为________;若该切线也是曲线y=lnx+b的切线,则b=________.
四、解答题
17.[2022·河北石家庄月考]已知函数f(x)的导函数是f′(x),且f(x)=f′(1)x2+2f(1)x-4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求经过点(0,-6)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.
18.[2020·北京卷]已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
考点过关检测10 导数及其运算
1.答案:C
解析:因为f(x)=e2x+1-3x,则f′(x)=2e2x+1-3,所以f′(0)=2e-3.
2.答案:C
解析:由题意f′(x)=+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2.
3.答案:A
解析:设f(x)=(x-3)ex,则f′(x)=(x-2)ex,则切线斜率为f′(0)=-2,
又f(0)=-3,所以切线方程为y-(-3)=-2(x-0),即2x+y+3=0.
4.答案:B
解析:由f(x)=exsinx,得f′(x)=(exsinx+excosx),∴f′(0)=(e0sin0+e0cos0)=,设f(x)=exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为θ(0≤θ<π),∴tanθ=,即θ=.
5.答案:A
解析:由题意知:g(x)=f′(x)=(xsinx+cosx)′=xcosx,因为g(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,故排除B,C选项,又x→0+时,x>0,cosx>0,故此时g(x)>0,故A正确,D错误.
6.答案:A
解析:由y=-ax2可得y′=-2ax,又曲线在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行,且直线2x-y+1=0的斜率为2,则1-2a=2,解得a=-.
7.答案:D
解析:由题意得y′=aex+lnx+1,所以切线的斜率k=y′|x=1=ae+1=2,所以a=,又切点在切线上,代入可得ae=2+b,解得b=-1.
8.答案:C
解析:y′=1+,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切,ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解即ax2+ax+2=0,故,解得a=8,故选C.
9.答案:D
解析:∵f1(x)=sinx+cosx,∴f2(x)=f′1(x)=cosx-sinx,f3(x)=f′2(x)=-sinx-cosx,f4(x)=f′3(x)=-cosx+sinx,f5(x)=f′4(x)=sinx+cosx,…,即fn(x)是周期为4的周期函数,∴f2021(x)=f1(x)=sinx+cosx.
10.答案:D
解析:在曲线y=ex上任取一点P,对函数y=ex求导得y′=ex,
所以,曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=et,即y=etx+et,
由题意可知,点在直线y=etx+et上,可得b=aet+et=et,
令f(t)=et,则f′(t)=et.
当t
0,此时函数f(t)单调递增,当t>a时,f′(t)<0,此时函数f(t)单调递减,所以,f(t)max=f=ea,
由题意可知,直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点,则b
当t
0,当t>a+1时,f(t)<0,作出函数f(t)的图象如图所示:
由图可知,当0
故选D.
解法二 画出函数曲线y=ex的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0
故选D.
11.答案:AB
解析:(2x3-3x2+5)′=6x2-6x,故A正确;(ex+lnx)′=ex+,故B正确;令u=,则′=(cosu)′=-sinu·u′=-sin,故C错误;′=-2x-2+=--,故D错误.
12.答案:AD
解析:设过点(-1,3)的直线与曲线y=f(x)相切的切点为,由f(x)=求导得f′(x)=-,
于是得切线方程为y-=-(x-x0),即y=-x+,则3=+,解得x0=1或x0=-,
因此得切线方程为y=-x+2或y=-9x-6,
所以所求切线的方程是y=-x+2或y=-9x-6.
13.答案:-
解析:因为函数f(x)=sinx+2xf′,所以f′(x)=cosx+2f′,则f′=cos+2f′,解得f′=-.
14.答案:1
解析:由已知f′(x)=ex-ae-ax,g(x)=x(ex-ae-ax),g(-x)=-x(e-x-aeax),g(x)是偶函数,则x(ex-ae-ax)=-x(e-x-aeax)恒成立,即ex-ae-ax=-e-x+aeax恒成立,令x=0得1-a=-1+a,a=1,此时g(x)=x(ex-e-x),满足g(-x)=g(x).
15.答案:4x-2y-3=0
解析:由f(x)=lnx+x2,得f′(x)=+x(x>0),由+x≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,∴x=1满足题意,此时f′(1)=2,又f(1)=,∴所求切线方程为y-=2(x-1),即4x-2y-3=0.
16.答案:y=x+1 2
解析:由y=ex求导得:y′=ex,则曲线y=ex在x=0处的切线斜率为k=y′|x=0=e0=1,而切点为(0,1),所以所求切线方程为y=x+1;
设直线y=x+1与曲线y=lnx+b相切的切点为(x0,y0),由y=lnx+b求导得:y′=,于是得=1,x0=1,显然有,即lnx0+b=x0+1,ln1+b=1+1,解得b=2,所以b=2.
17.解析:(1)因为f(x)=f′(1)x2+2f(1)x-4,所以f′(x)=f′(1)x+2f(1),则,解得,所以f(x)=2x2+4x-4.
(2)设该切线的切点坐标为(x0,2x+4x0-4),因为f′(x0)=4x0+4,所以该切线方程为y-(2x+4x0-4)=(4x0+4)(x-x0),将(0,-6)代入方程整理得x=1,解得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=-6;当x0=1时,切线方程为y=8x-6,所以经过点(0,-6)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=-6或y=8x-6.
18.解析:(1)函数f(x)=12-x2的定义域为R,f′(x)=-2x,令f′(x)=-2x=-2,
得x=1,∴f′(1)=-2,又f(1)=11,
∴曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.
(2)由(1)知f′(x)=-2x,则f′(t)=-2t,又f(t)=12-t2,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+12.若t=0,则围不成三角形,故t≠0.
令x=0,得y=t2+12,记A(0,t2+12),O为坐标原点,则|OA|=t2+12,令y=0,
得x=,记B,则|OB|=,
∴S(t)=|OA||OB|=,∵S(t)为偶函数,∴仅考虑t>0即可.
当t>0时,S(t)=,
则S′(t)==(t2-4)(t2+12),
令S′(t)=0,得t=2,
∴当t变化时,S′(t)与S(t)的变化情况如表:
t (0,2) 2 (2,+∞)
S′(t) - 0 +
S(t) ? 极小值 ?
∴S(t)min=S(2)=32.
7考点过关检测11 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(1)
一、单项选择题
1.[2022·广东湛江月考]函数f(x)=2x-5lnx+x2的单调递减区间是( )
A.B.
C.(1,+∞) D.(0,1)
2.[2022·山东肥城模拟]函数f(x)=x3-27x在区间[-4,2]上的最大值是( )
A.-46B.-54
C.54D.46
3.[2022·湖南雅礼中学月考]函数f(x)=e|x-1|-2cos(x-1)的部分图象可能是( )
4.[2022·福建莆田模拟]已知函数f(x)=ln(ax3+bx+c)(a,b,c∈R)的定义域为(-3,+∞),其图象大致如图所示,则( )
A.b
C.a
5.[2022·河北沧州模拟]已知函数f(x)=-x,则( )
A.f(x)的单调递减区间为(0,1)
B.f(x)的极小值点为1
C.f(x)的极大值为-1
D.f(x)的最小值为-1
6.[2022·北京十二中月考]已知函数f(x)=(a>0)在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≤1或a≥2B.a≥2
C.a≥2或a=1D.a≥1
7.[2022·湖北十堰模拟]已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=( )
A.5B.3
C.-2D.-2或5
8.[2022·重庆八中月考]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2)=0,当x>0时,2xf(x)+x2f′(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-2)
B.(2,+∞)
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
二、多项选择题
9.[2022·福建上杭月考]如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是( )
A.当x=-1时,f(x)取得极小值
B.f(x)在[-2,1]上是增函数
C.当x=1时,f(x)取得极大值
D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
10.[2022·河北藁城新冀明中学月考]若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则下列结论不正确的是( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
11.[2022·辽宁实验中学月考]已知f(x)=,下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1
B.若方程f(x)=a有两个不相等的实数根,则0
C.f(x)的极大值为
D.f(x)的极小值点为x=e
12.[2022·广东广州月考]已知函数f(x)=2x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1,则a的值可以是( )
A.0B.4
C.3D.3
三、填空题
13.[2022·山东潍坊模拟]写出一个存在极值的奇函数f(x)=________.
14.若函数f(x)=x3-2x2+ax+1在区间[-1,4]上具有单调性,则a的取值范围是________.
15.[2021·新高考Ⅰ卷]函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为________.
16.[2022·北京房山模拟]已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)=(x-a)(x-2),若函数f(x)无极值,则a=________;若x=2是f(x)的极小值点,则a的取值范围是________.
四、解答题
17.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
18.[2022·首都师范大学附中月考]已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值.
考点过关检测11 利用导数研究函数的
单调性、极值与最值(1)1.答案:D
解析:函数f(x)=2x-5lnx+x2的定义域为:{x|x>0},f(x)=2x-5lnx+x2 f′(x)=2-+3x=,当f′(x)<0时,函数单调递减,因为x>0,所以解得0
2.答案:C
解析:由f(x)=x3-27x,得f′(x)=3x2-27,由f′(x)=0,得x=-3或x=3(舍去),当-4≤x<-3时,f′(x)>0,当-3
3.答案:A
解析:∵f(1)=-1,∴舍去B,∵f(0)=e-2cos1>0,∴舍去D,∵x>2时,f(x)=ex-1-2cos(x-1),∴f′(x)=ex-1+2sin(x-1)≥e-2>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.
4.答案:A
解析:设g(x)=ax3+bx+c,可得g′(x)=3ax2+b,由图象可知,函数f(x)先递增,再递减,最后递增,且当x=1时,g(x)取得极小值,所以函数g(x)既有极大值,也有极小值,所以g′(x)=3ax2+b=0有两个根,即x=±,所以=1,可得a>0,b<0且3a=-b,又由f(0)=lnc>0,可得c>1,由f(1)=ln(a+b+c)>0=ln1,可得a+b+c>1,所以c>1-a-b=1-a+3a=1+2a>a,所以c>a>b.
5.答案:C
解析:f′(x)=-1=.令φ(x)=1-lnx-x2,
则φ′(x)=--2x<0,
所以φ(x)=1-lnx-x2在(0,+∞)上单调递减.因为φ(1)=0,
所以当0
0;当x>1时,φ(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),
故f(x)的极大值点为1,f(x)的极大值为f(1)=-1.
6.答案:D
解析:由题意,f′(x)==(x≠a),∴f′(x)≤0在(1,2)恒成立,∴x2-2ax≤0即a≥在(1,2)恒成立,∴a≥1.
7.答案:A
解析:f′(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以,即,解得或.
当时,f′(x)=6x2+30x-36=(x+6)(6x-6),则f(x)在(-∞,-6)上单调递增,在(-6,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x=1处有极小值6.
当时,f′(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2,则f(x)在R上单调递增,f(x)无极值.
8.答案:C
解析:设g(x)=x2·f(x),g′(x)=x2·f′(x)+2x·f(x),由条件可知当x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)单调递增;因为f(x)是奇函数,所以g(x)也是奇函数,且在(-∞,0)单调递增,因为f(2)=0,所以g(-2)=g(2)=0,所以函数g(x)>0的解集是(-2,0)∪(2,+∞),而x2f(x)>0 f(x)>0,f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,所以f(x)>0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).
9.答案:AD
解析:由导函数f′(x)的图象可知,当-2
0,则f(x)单调递增,当x=2时,f′(x)=0,当2
4时,f′(x)>0,则f(x)单调递增,所以当x=-1时,f(x)取得极小值,故选项A正确;f(x)在[-2,1]上是有减有增函数,故选项B错误;当x=2时,f(x)取得极大值,故选项C错误;f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,故选项D正确.
10.答案:BCD
解析:因为x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,所以f′(1)=0,∴a+=0,∴a=-1,
∴f′(x)=-1+==0 x=1,
当x>1时,f′(x)<0,当0
0,因此f(x)有极大值-1,无极小值.
11.答案:BC
解析:f′(x)=,所以f′(1)=1,f(1)=0,
∴f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y-0=f′(1)(x-1),
即y=1·(x-1)=x-1,故选项A不正确;
在(0,e)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(e,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的极大值也是最大值为f(e)==,且当x→0时,f(x)→-∞,
当x→+∞时,f(x)→0,所以方程f(x)=a有两个不相等的实数根,则0
故选项BC正确;
因为在(0,e)上,f(x)单调递增,在(e,+∞)上,f(x)单调递减,所以函数没有极小值点,故选项D错误.
12.答案:AB
解析:f′(x)=6x2-2ax=6x,令f′(x)=6x=0,解得x=0或.
①当a≤0时,可知f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.
此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,
即a=0,b=-1.故A正确.
②当a≥3时,可知f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.
此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,
即a=4,b=1.故B正确.
③当0
最大值为b或2-a+b或-+b=-1,b=1,
则a=3,与0
若-+b=-1,2-a+b=1,
则a=3或a=-3或a=0,与0
13.答案:sinx(答案不唯一)
解析:由于正弦函数f(x)=sinx为奇函数,且存在极值.
14.答案:(-∞,-16]∪[2,+∞)
解析:f′(x)=2x2-4x+a,函数f(x)在区间[-1,4]上具有单调性等价于f′(x)=2x2-4x+a≤0或f′(x)=2x2-4x+a≥0在[-1,4]上恒成立,即a≤(-2x2+4x)min或a≥(-2x2+4x)max,即a≤-16或a≥2.
15.答案:1
解析:由题设知:f(x)=|2x-1|-2lnx定义域为(0,+∞),
∴当0
当
当x>1时,f(x)=2x-1-2lnx,有f′(x)=2->0,此时f(x)单调递增;
又f(x)在各分段的界点处连续,
∴综上有:0
1时,f(x)单调递增;
∴f(x)≥f(1)=1.
16.答案:2 a<2
解析:当a<2时,f(x)在区间(-∞,a),(2,+∞)上f′(x)>0,f(x)递增,在区间(a,2)上f′(x)<0,f(x)递减.f(x)的极大值点为a,极小值点为2.
当a=2时,f′(x)=(x-2)2≥0,f(x)在R上递增,无极值.
当a>2时,f(x)在区间(-∞,2),(a,+∞)上f′(x)>0,f(x)递增,在区间(2,a)上f′(x)<0,f(x)递减.f(x)的极大值点为2,极小值点为a.
17.解析:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,则f′(x)=(-x2+2)ex.
令f′(x)>0,得-x2+2>0,解得-
(2)方法一 若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,
则f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.即f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex≥0在(-1,1)上恒成立,
令g(x)=-x2+(a-2)x+a,则g(x)=-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立.
所以解得a≥.
方法二 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,令f′(x)>0,即-x2+(a-2)x+a>0,解得
所以函数f(x)的单调递增区间为,
又因为f(x)在(-1,1)上单调递增,所以(-1,1) ,
即解得a≥.
18.解析:(1)由f(x)=可得f′(x)==,
所以函数f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)==0,切点为,
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为:y-=0×(x-1)即y=.
(2)因为f′(x)==,
由f′(x)>0可得x<1;由f′(x)<0可得x>1;
所以函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以x=1时,f(x)取得极大值为f(1)=,无极小值.
综上所述:f(x)的单调递增区间为(-∞,1),f(x)的单调递减区间为(1,+∞),
f(x)的极大值为f(1)=,无极小值.
8考点过关检测12 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(2)
一、单项选择题
1.[2022·广东广州模拟]设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(x-1)3f′(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f (x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
2.[2022·北大附中月考]设函数f(x)=,则“f(x)存在极值点”是“a≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2022·天津四十三中月考]若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.
C.D.(-2,+∞)
4.若函数f(x)=x3+ax2+2x+4有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.(-2,8)
B.∪
C.(-∞,-2)∪(8,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
5.[2022·辽宁沈阳月考]设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)
A.(-∞,e) B.(-∞,1)
C.(e,+∞) D.(1,+∞)
6.[2022·河北邢台月考]若函数f(x)=2x3-3bx2在区间(-1,1)有最小值,则实数b的取值范围为( )
A.B.
C.(-∞,-1] D.
7.[2022·湖南长郡中学模拟]已知实数a,b,c∈R满足==-,b>1,则a,b,c大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>c>aD.b>a>c
8.[2022·辽宁东北育才中学模拟]若ex2≥ex2+lnk在R上恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.k≤1B.0
C.k≥1D.1≤k≤e
二、多项选择题
9.已知函数f(x)的导函数f′(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3),则下列结论正确的是( )
A.f(x)在x=1处有极大值
B.f(x)在x=2处有极小值
C.f(x)在[1,3]上单调递减
D.f(x)至少有3个零点
10.[2022·河北秦皇岛月考]已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)有极小值
B.函数f(x)在x=0处切线的斜率为4
C.当k∈时,f(x)=k恰有三个实根
D.若x∈[0,t]时,f(x)max=,则t的最小值为2
11.若f(x)满足f′(x)+f(x)>0,则对任意正实数a,下列不等式恒成立的是( )
A.f(a)
B.f(a)e2a>f(-a)
C.f(a)>f(0)
D.f(a)>
12.[2022·辽宁沈阳月考]已知函数f(x)=,( )
A.f(x)在x=处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f()
D.若f(x)
三、填空题
13.[2022·重庆南开中学月考]函数f(x)=在x=处取得极值,则a=________.
14.[2022·北京十五中月考]函数f(x)=-k有两个零点,则k的取值范围是________.
15.[2022·福建莆田十五中月考]若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值为________.
16.[2022·西南大学附中月考]函数f(x)=的单调增区间为________;若对 a,b∈[1,e],a≠b,均有
四、解答题
17.[2022·广东佛山一中月考]已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a∈R,试讨论函数f(x)的单调性.
18.函数f(x)=xlnx-a(x-1)(a∈R),已知x=e是函数f(x)的一个极小值点.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,3]上的最值.(其中e为自然对数的底数)
考点过关检测12 利用导数研究函数的
单调性、极值与最值(2)1.答案:D
解析:由题意,x∈(-∞,-3)时,y>0,(x-1)3<0 f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈(-3,1)时,y<0,(x-1)3<0 f′(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(1,3)时,y>0,(x-1)3>0 f′(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(3,+∞)时,y<0,(x-1)3>0 f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
2.答案:C
解析:如图所示:
当a≤0时,函数f(x)有极大值点x=1,
当a>0时,函数f(x)无极值点,
则“f(x)存在极值点”是“a≤0”的充分必要条件.
3.答案:D
解析:若f(x)在区间内存在单调递增区间,则f′(x)>0,x∈有解,
故a>-,
令g(x)=-,g(x)=-在递增,∴g(x)>g()=-2,故a>-2.
4.答案:C
解析:f′(x)=3x2+2ax+2a+,根据题意知方程3x2+2ax+2a+=0有两个不等实根,
于是得Δ=4a2-12>0,整理得a2-6a-16>0,解得a>8或a<-2,
所以a的取值范围是(-∞,-2)∪(8,+∞).
5.答案:D
解析:令g(x)=,则g′(x)=>0,故g(x)在R上递增,不等式ex-1f(x)
6.答案:D
解析:f′(x)=6x2-6bx=6x(x-b),①当b>0时,可得函数f(x)的增区间为(-∞,0),(b,+∞),
减区间为(0,b),若函数f(x)在区间(-1,1)有最小值,必有,
有,由b<1,有b3<1,b3-3b-2<0,不合题意;
②当b≤-1时,此时函数f(x)的增区间为(-∞,b),(0,+∞),减区间为(b,0),f(x)在区间(-1,1)最小值为f(0)=0,符合题意;
③当-1
④当b=0时,f(x)=2x3在区间(-1,1)单调递增,不合题意,故实数b的取值范围为.
7.答案:D
解析:∵b>1,∴>0,∴->0,∴c<0,∴b>c,∵=>0,∴lna>0,∴a>1,
∴a>c,∵=,
设f(x)=(x>1),∴f′(x)=<0,∴函数f(x)在(1,+∞)单调递减,
设g(x)=(x>1),h(x)=x-lnx(x>1),
∴h′(x)=1-=>0,h(x)>h(1)=0,∴x-lnx>0,
∴g(x)=>0,∴>,∴>=,
∵函数f(x)在(1,+∞)单调递减,∴a
8.答案:B
解析:由题意可得:lnk≤ex2-ex2在R上恒成立,令f(x)=ex2-ex2,则lnk≤f(x)min,f′(x)=ex2·2x-2ex=2x(ex2-e).
当x>0时f′(x)=2x(ex2-e)=0可得x=1,
当0
1时,f′(x)>0,
因为f(x)=ex2-ex2是偶函数,关于原点对称的区间单调性相反,
所以f(x)=ex2-ex2在(-∞,-1)和(0,1)单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)单调递增,
所以f(x)min=f(±1)=e1-e×1=0,所以lnk≤0,可得k≤1,
又因为k>0,所以0
9.答案:AC
解析:当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞)
f′(x) + 0 + 0 - 0 - 0 +
f(x) 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
由上表可知,f(x)在x=1处有极大值,故A正确;x=2不是f(x)的极值点,故B错误;f(x)在[1,3]上单调递减,故C正确;f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3),若f(1)<0或f(3)>0,则f(x)有1个零点;若f(1)=0或f(3)=0,则f(x)有2个零点;若则f(x)有3个零点,故D错误.
10.答案:ABD
解析:由已知f′(x)==,f′(x)=0 x=±2,
当x<-2或x>2时,f′(x)<0,-2
0,
所以f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上递减,在(-2,2)上递增,
f(x)min=f(-2)=-2e2,f(x)max=f(2)=,A正确;
x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,f′(0)=4,B正确;
当-2e2
若x∈[0,t]时,f(x)max=,则t≥2,t的最小值为2,D正确.
11.答案:BD
解析:设h(x)=exf(x),则h′(x)=ex[f′(x)+f(x)],因为f′(x)+f(x)>0,
所以h′(x)>0,h(x)在R上是增函数,因为a是正实数,所以a<2a,
所以eaf(a)
1,故f(a),f(2a)大小不确定,故A错误.
因为-a
f(-a),故B正确.
因为a>0,所以eaf(a)>e0f(0)=f(0),即f(a)>,又ea>1,
所以f(a),f(0)大小不确定,故C错误,D正确.
12.答案:ACD
解析:易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=,当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,+∞)时,
f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值f()=,A正确;
令f(x)=0,则lnx=0,即x=1,故f(x)只有一个零点,B错误;
显然<<,因此f()
设h(x)=,则h′(x)=,当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,而e<π<4,所以h(π)>h(4),即>,所以f()
令g(x)=+(x>0),则g′(x)=-,当x∈时,g′(x)>0,当x∈时,g′(x)<0,所以g(x)在x=处取得极大值也是最大值g=,因为f(x)+
,D正确.
13.答案:1
解析:由题意,f′(x)=,∵f(x)=在x=处取得极值,∴f′==0,解得,a=1.
14.答案:
解析:由题知,y=g(x)=与y=k有两个交点,
g′(x)=(x>0),
由g′(x)>0得0
e,
∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
又g(1)=0,g(x)max=g(e)=,且当x>e时,g(x)>0,函数图象如图所示:
所以k∈.
15.答案:1
解析:∵函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
∴f′(x)=2x(3x-a),x∈(0,+∞),
①当a≤0时,f′(x)=2x(3x-a)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,
f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;
②当a>0时,f′(x)=2x(3x-a)>0的解为x>,∴f(x)在上递减,在上递增,又f(x)只有一个零点,∴f=-+1=0,解得a=3,f(x)=2x3-3x2+1,f′(x)=6x(x-1),x∈[-1,1],f′(x)>0的解集为(-1,0),f(x)在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,f(-1)=-4,f(0)=1,f(1)=0,所以f(x)max=f(0)=1,∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1.
16.答案:(0,1) [1,+∞)
解析:函数f(x)=定义域为(0,+∞),f′(x)=,当0
0,当x>1时,f′(x)<0,
则有f(x)在(0,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,
所以f(x)的单调增区间是(0,1);
因 a,b∈[1,e],a≠b,均有
于是得alnb-blna
令g(x)=,x∈[1,e],则有 a,b∈[1,e],a
g(b)恒成立,从而得g(x)在[1,e]上单调递减,
因此, x∈[1,e],g′(x)=≤0 m≥1-lnx,而1-lnx在[1,e]上单调递减,则当x=1时,(1-lnx)max=1,即m≥1,
所以m的取值范围是[1,+∞).
17.解析:由题设,f′(x)=+2ax-(2a+1)=(x>0)
①当a≤0时,令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
②当a>0时,令f′(x)=0,得x1=1,x2=,
ⅰ)当a=时,f′(x)=≥0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
ⅱ)当a>时,令f′(x)>0,得0
∴f(x)在和(1,+∞)单调递增,在单调递减;
ⅲ)当0
;令f′(x)<0,得1
∴f(x)在(0,1)和单调递增,在单调递减;
综上:当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减;
当a=时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>时,f(x)在和(1,+∞)单调递增,在单调递减;
当0
18.解析:(1)∵f(x)=xlnx-a(x-1),∴f′(x)=x′lnx+x(lnx)′-a=lnx+1-a,
∴f′(x)=lnx+1-a.
∵x=e是函数f(x)的一个极小值点.∴f′(e)=0,∴f′(e)=lne+1-a=0,∴a=2.
当a=2时f(x)=xlnx-2(x-1),∴f′(x)=lnx-1,
令f′(x)>0,lnx-1>0,∴x>e,∴f(x)在(e,+∞)上单调递增;
令f′(x)<0,lnx-1<0,∴0
∴x=e是函数f(x)的一个极小值点,∴a=2满足题意.
(2)由(1)可知:f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,∵x∈[1,3],
∴f(x)在[1,e]上单调递减,在[e,3]上单调递增,
∴当x=e时,f(x)取f(x)min=f(e)=-e+2,
∵f(3)=3ln3-2(3-1)=3ln3-4,且3ln3<4,∴f(3)=3ln3-4<0.
又∵f(x)max=max{f(1),f(3)},f(1)=0>f(3)=3ln3-4,∴f(x)max=f(1)=0.
综上:函数f(x)在区间[1,3]上的f(x)min=-e+2,f(x)max=0.
1考点过关检测13 利用导数研究不等式
1.[2022·湖南益阳模拟]已知函数f(x)=x3+4x.
(1)若曲线y=f(x)在x=m处的切线经过点(0,-2),求m.
(2)已知-2
1时,f(x)>alnx+a2(x-1)+5.
2.[2022·重庆国维外国语学校月考]已知函数f(x)=xlnx.
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)对任意x>1,f(x)
3.[2022·河北邢台模拟]已知函数f(x)=xex-2lnx-x2+x-2.
(1)求函数f(x)图象在x=1处的切线方程.
(2)证明:f(x)>0.
4.[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)=x(1-lnx).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<+
考点过关检测13 利用导数研究不等式
1.解析:(1)因为f′(x)=3x2+4,
所以曲线y=f(x)在x=m处的切线斜率为f′(m)=3m2+4,
又f′(m)=,
所以=3m2+4,整理得m3=1,即m=1.
(2)证明:设函数g(x)=f(x)-alnx-a2(x-1)-5=x3+(4-a2)x-alnx+a2-5,
则g′(x)=3x2+4-a2-=,
设函数h(x)=3x3+(4-a2)x-a,则h′(x)=9x2+4-a2.
显然h′(x)=9x2+4-a2在(1,+∞)为增函数,
因为-2
0,
所以h′(x)>0对x∈(1,+∞)恒成立,则h(x)在(1,+∞)上单调递增,
从而h(x)>h(1)=-a2-a+7.
因为-2
0,则h(x)>0,
从而g′(x)>0对x∈(1,+∞)恒成立,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(1)=0,从而f(x)>alnx+a2(x-1)+5.
2.解析:(1)∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1,∴f′(1)=1,
又∵f(1)=0,∴切线方程为:y=x-1.
(2)设函数h(x)=xlnx-a(x2-1),由题知f(x)
1,即h(x)<0在x>1时恒成立,
又∵h′(x)=lnx+1-2ax,
当h′(x)<0时,即<2a时,函数h(x)单调递减,
设g(x)=,则g′(x)=<0,
∴g(x)max=g(1)=1,即1<2a,则a>符合题意,
当a≤0时,h′(x)=lnx+1-2ax>0恒成立,
此时,函数h(x)单调递增,即h(x)>h(1)=0对任意x∈(1,+∞)恒成立,不合题意.
当0
则m′(x)=-2a=0,故x=>1,
x∈时,函数m′(x)>0,此时m(x)单调递增,故h′(x)>h′(1)=1-2a>0,
∴x∈时,函数h(x)单调递增,
∴x∈时,h(x)>0成立,不合题意,
综上,实数a的取值范围为.
3.解析:(1)因为f(x)=xex-2lnx-x2+x-2,所以f′(x)=(x+1)ex--2x+1,
则f′(1)=(1+1)e-2-2+1=2e-3.
因为f(1)=e-1+1-2=e-2,所以所求切线方程为y-(e-2)=(2e-3)(x-1),
即y=(2e-3)x-e+1.
(2)证明:设g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.
由g′(x)>0,得x>0;由g′(x)<0,得x<0.
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
故g(x)≥g(0)=0,即ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号.
因为ex≥x+1,所以elnx≥lnx+1,
所以x≥lnx+1,所以2x≥2lnx+2.
当x>0时,xex>x2+x,所以xex+2x>x2+x+2lnx+2,则xex-2lnx-x2+x-2>0,即f(x)>0.
4.解析:(1)函数的定义域为,
又f′=1-lnx-1=-lnx,
当x∈时,f′>0,当x∈时,f′<0,
故f的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)因为blna-alnb=a-b,故b=a,即=,
故f=f,
设=x1,=x2,由(1)可知不妨设0
因为x∈时,f=x>0,x∈时,f=x<0,
故1
先证:x1+x2>2,
若x2≥2,x1+x2>2必成立.
若x2<2,要证:x1+x2>2,即证x1>2-x2,而0<2-x2<1,
故即证f>f,即证:f>f,其中1
设g=f-f,1
则g′=f′+f′=-lnx-ln=-ln,
因为1
故-lnx>0,
所以g′>0,故g在上为增函数,所以g>g=0,
故f>f,即f>f成立,所以x1+x2>2成立,
综上,x1+x2>2成立.
设x2=tx1,则t>1,
结合=,=x1,=x2
可得:x1=x2,
即:1-lnx1=t,
故lnx1=,
要证:x1+x2
即证:ln+<1,
即证:ln-tlnt<0,
令S=ln-tlnt,t>1,
则S′=ln+-1-lnt
=ln-,
先证明一个不等式:ln≤x.
设u=ln-x,则u′=-1=,
当-1
0;当x>0时,u′<0,
故u在上为增函数,在上为减函数,故umax=u=0,
故ln≤x成立.
由上述不等式可得当t>1时,ln≤<,故S′<0恒成立,
故S在上为减函数,故S
故ln-tlnt<0成立,即x1+x2
综上所述,2<+
6考点过关检测14 利用导数研究函数的零点(或方程的根)
1.[2022·广东福田外国语学校月考]已知函数f(x)=lnx-ax在x=2处的切线与直线x+2y-3=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)+m=2x-x2在上恰有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
2.[2022·中国人民大学附中月考]已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)若a=3,求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(2)若函数f(x)有三个零点,求实数a的取值范围.
3.[2022·辽宁丹东模拟]已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.
(1)证明:当x>1时,f(x)>(1-a)x2-(1-b);
(2)若0
4.[2022·湖北十堰模拟]已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若对一切x∈(0,+∞),都有f(x)≤x2-ax+2恒成立,求实数a的取值范围;
(3)试判断函数y=lnx-+是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明理由.
考点过关检测14 利用导数研究函数的零点(或方程的根)
1.解析:(1)函数f(x)=lnx-ax的导数为f′(x)=-a,
即在x=2处的切线l的斜率为-a,
由切线l与直线x+2y-3=0平行,
即有-a=-,解得a=1;
(2)关于x的方程f(x)+m=2x-x2在上恰有两个不相等的实数根,
即有-m=lnx-3x+x2在上恰有两个不相等的实数根.
令g(x)=lnx-3x+x2,
g′(x)=-3+2x==,
当
0,g(x)递增.
即有x=1时g(x)取得最小值,且为-2,
又g=-ln2-,g(2)=ln2-2,
g(2)-g=ln4->0,
∴-2<-m≤-ln2-,解得ln2+≤m<2.
2.解析:(1)当a=3时,f(x)=2x3-3x2+2,所以f′(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f′(x)>0,解得x>1或x<0,令f′(x)<0,解得0
(2)由f(x)=2x3-ax2+2,所以f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),
当a=0时f′(x)=6x2≥0,所以函数在定义域上单调递增,则f(x)只有一个零点,故舍去;
所以a≠0,令f′(x)=0得x=0或x=,
函数f(x)有三个零点,等价于f(x)的图象与x轴有三个交点,函数的极值点为x=0,
x=,
当a>0时,令f′(x)>0得x<0或x>,所以函数在(-∞,0)和上单调递增,
令f′(x)<0得0
3;
当a<0时,令f′(x)>0得x>0或x<,所以函数在和(0,+∞)上单调递增,
令f′(x)<0得
综上可得a>3,即a∈(3,+∞).
3.证明:(1)当x>1时,f(x)>(1-a)x2-(1-b)等价于ex>x+1.
设g(x)=ex-x-1,当x>1时,g′(x)=ex-1>0,g(x)单调递增,
故g(x)>g(1),ex-x-1>e-2>0,即ex>x+1.
于是当x>1时,f(x)>(1-a)x2-(1-b).
(2)f(x)定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x(ex-2a).
若0
0时,f′(x)>0,当ln2a
f(ln2a)=(ln2a-1)2a-a(ln2a)2+b≤aln2a(2-ln2a)<0,
所以函数f(x)在(-∞,0)上没有零点;
因为0
∴f(0)=b-1<0,
当x0满足x0>1且x0>时,由(1)可知f(x0)>(1-a)x-(1-b)>0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
综上所述,f(x)有且仅有一个零点.
4.解析:(1)f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
故x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴x=时,f(x)取得最小值f(x)min=f=-;
(2)由f(x)≤x2-ax+2得:xlnx≤x2-ax+2,
∵x>0,∴a≤x-lnx+,
令g(x)=x-lnx+,
g′(x)=1--==(x>0),
当x∈(0,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;
∴[g(x)]min=g(2)=3-ln2,
∵对一切x∈(0,+∞),都有a≤x-lnx+恒成立,
∴a∈(-∞,3-ln2];
(3)令lnx-+=0,则xlnx=-,即f(x)=-,
由(1)知当x∈(0,+∞)时,f(x)min=f=-,
设h(x)=-(x>0),则h′(x)=,
当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.
∴h(x)max=h(1)=-.∴对一切x∈(0,+∞),f(x)>h(x),即lnx-+>0.
∴函数y=lnx-+没有零点.
5考点过关检测15 三角恒等变换(1)
一、单项选择题
1.[2022·广东顺德模拟]cos1875°=( )
A.B.
C.D.
2.若点M在角α的终边上,则tan2α=( )
A.B.-
C.D.-
3.已知cosθ=-(θ∈(0,π)),则cos=( )
A.-B.-
C.D.
4.[2022·江苏东海月考]计算:=( )
A.-1B.-2
C.-D.-
5.[2022·辽宁实验中学月考]已知cosα=-,则sin=( )
A.-B.
C.-D.
6.[2022·福建永安三中月考]已知α的终边在第四象限,若sinα=-,则sin=( )
A.-B.
C.-D.
7.已知sin=,-<α<0,则cos的值是( )
A.B.-
C.D.1
8.[2022·河北邯郸模拟]若sin=-,则cos4α的值为( )
A.B.
C.D.
9.[2021·新高考Ⅰ卷]若tanθ=-2,则=( )
A.-B.-
C.D.
10.已知sinα+cosα=,且α∈,则cosα-sinα=( )
A.B.-
C.±D.
二、多项选择题
11.[2022·山东实验中学月考]下列式子正确的是( )
A.sin15°+cos15°=
B.cos75°=
C.2tan15°+tan215°=1
D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1
12.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈
B.cosθ=-
C.tanθ=-
D.sinθ-cosθ=
三、填空题
13.[2022·福建福州模拟]已知tan(π-α)=-,则sin2α的值为________.
14.[2022·湖南师大附中月考]已知sin(π+α)=2sin,则tan的值为________.
15.[2022·广东湛江月考]已知x∈,2sin2x=3sinx,则cos2x=________.
16.[2022·浙江丽水模拟]已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,则tanα=________,sin=________.
考点过关检测15 三角恒等变换(1)
1.答案:D
解析:cos1875°=cos(360°×5+75°)=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=.
2.答案:D
解析:由已知tanα==-,所以tan2α===-.
3.答案:A
解析:因为cosθ=-(θ∈(0,π)),所以sinθ==,
故cos=-sinθ=-.
4.答案:D
解析:==
==-.
5.答案:A
解析:sin=-cos2α=1-2cos2α=1-2×=-.
6.答案:A
解析:α的终边在第四象限,sinα=-,
所以cosα==,
则sin==×=-.
7.答案:B
解析:由sin=可得cosα=,
因为-<α<0,所以sinα=-=-=-,
所以cos=cosαcos+sinαsin=×-×=-.
8.答案:B
解析:由sin=-,得cos2α=-,则cos4α=2cos22α-1=2×2-1=.
9.答案:C
解析:将式子进行齐次化处理得:
==sinθ====.故选C.
10.答案:B
解析:∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=,
∵(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-=,∴cosα-sinα=±,
又∵α∈,∴0
11.答案:ACD
解析:因为sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=,
cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=,
所以sin15°+cos15°=,所以A正确,
因为cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,所以B错误,
因为tan15°=tan(45°-30°)===2-,
所以2tan15°+tan215°=2×(2-)+(2-)2=1,所以C正确;
因为tan45°=tan(33°+12°)==1,
所以tan33°+tan12°=1-tan33°tan12°,
所以tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1,所以D正确.
12.答案:ABD
解析:∵sinθ+cosθ= ①,∴(sinθ+cosθ)2=2,即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,∴2sinθcosθ=-.∵θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴θ∈,故A正确.(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,∴sinθ-cosθ= ②,故D正确.①+②得sinθ=,①-②得cosθ=-,故B正确.tanθ===-,故C错误.
13.答案:
解析:因tan(π-α)=-,则tanα=,sin2α=2sinαcosα====.
14.答案:
解析:由题意知,-sinα=2cosα,则tanα=-2,所以tan===.
15.答案:
解析:因为x∈,所以sinx≠0,因此由2sin2x=3sinx 4sinxcosx=3sinx cosx=,所以cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.
16.答案:-2
解析:由三角函数定义知:tanα==-2;
|OP|==1,则sinα=,cosα=-,
sin=sinαcos+cosαsin=·-·=.
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