考点过关检测16 三角恒等变换(2)
一、单项选择题
1．[2022·河北唐县一中月考]在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
2．[2022·天津新华中学月考]已知cos＝－，－π
A.B．－
C.D．－
3．[2022·湖南郴州月考]若cos＝，则sin＝( )
A．－B.
C.D．－
4．[2022·湖北武汉模拟]已知sin2α－＝－，则cos的值为( )
A.B．－
C.D．－
5．[2022·山东实验中学月考]已知θ∈，，且sin＝，则tanθ＝( )
A．7B.
C.D.
6．[2022·广东深圳月考]已知α、β∈(0，π)且tanα＝，cosβ＝－，则α＋β＝( )
A.B.
C.D.
7．[2022·山东胶州模拟]设a＝cos4°－sin4°，b＝，c＝，则a，b，c大小关系正确的是( )
A．cC．a8．[2022·湖北武汉模拟]若tanx＝2，则＝( )
A.B．－
C.D．－
9．[2022·河北沧州一中月考]已知sinα，cosα是方程x2－2kx＋k2＋k＝0的两根，则k的值为( )
A.B.
C．1±D．1＋
10．已知0<α<β<，cos(α－β)＝，sinβ＝，则sinα＝( )
A.B.
C．－D．－
二、多项选择题
11．[2022·辽宁大连一中月考]下列化简正确的是( )
A．tan25°＋tan35°＋tan25°·tan35°＝
B．sin50°(1＋tan10°)＝1
C.－＝2
D.＝
12．[2022·福建龙岩一中月考]已知cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．sin2α＝
B．cos(α－β)＝
C．cosαcosβ＝
D．tanαtanβ＝
三、填空题
13．[2022·江苏南通模拟]已知＝－2，则tan＝________.
14．[2022·湖北汉阳一中模拟](1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________.
15．已知sinαcosα＝，且α∈，则的值为________．
16．已知α，β为锐角，且tanα＝，sin(α－β)＝，则cos2α＝________，tan(α＋β)＝________.
考点过关检测16 三角恒等变换(2)
1．答案：B
解析：∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∵A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，即A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形．
2．答案：D
解析：因为－π<α<0，所以－<＋α<，又cos＝－<0，所以－<＋α<－，所以sin＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.
3．答案：A
解析：设α＋＝x，所以α＝x－，cosx＝，故sin＝sin＝－cos2x＝1－2cos2x＝1－2×2＝－.
4．答案：D
解析：∵sin＝－，∴sin＝，∴cos＝，
∴cos＝cos2＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
5．答案：A
解析：因为θ∈，所以θ＋∈，又sin＝，
所以cos＝－，则tan＝－，
所以tanθ＝tan＝＝＝7.
6．答案：B
解析：因α，β∈(0，π)且tanα＝，cosβ＝－可知α为锐角，β为钝角，故sinβ>0，
sinβ＝＝，tanβ＝＝－3，∴α∈，β∈，
∴α＋β∈，∴tan(α＋β)＝＝＝－1，
所以α＋β＝.
7．答案：D
解析：a＝cos4°－sin4°＝sin(30°－4°)＝sin26°，
b＝＝＝＝sin24°，
c＝＝＝＝sin25°.
因为sin26°>sin25°>sin24°，所以a>c>b.
8．答案：C
解析：＝
＝＝
＝＝4sinxcosx＝
因为tanx＝2，
所以分子分母同除以cos2x，可得：原式＝＝＝.
9．答案：B
解析：由题意得：，
∵sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝4k2－2(k2＋k)＝1，
即2k2－2k－1＝0，解得：k＝＝；
∵sinα＋cosα＝sin，∴sinα＋cosα∈，即2k∈，
∴k∈，∴k＝.
10．答案：A
解析：由0<α<β<，可得－<α－β<0，
因为cos(α－β)＝，sinβ＝，可得sin(α－β)＝－，cosβ＝，
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝－×＋×＝.
11．答案：ABD
解析：tan25°＋tan35°＋tan25°·tan35°＝tan(25°＋35°)[1－tan25°·tan35°]＋tan25°·tan35°＝，故A正确；
sin50°(1＋tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝sin50°·＝＝1，故B正确；
－＝＝＝＝4，故C错误；
＝·＝·tan45°＝，故D正确．
12．答案：AC
解析：因为cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，其中α，β为锐角，所以：sin2α＝＝，故A正确；
因为sin(α＋β)＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝，故B错误；
可得cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝＝，故C正确；
可得sinαsinβ＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝＝，
所以tanαtanβ＝，故D错误．
13．答案：3
解析：因为＝＝tanα＝－2，所以tan＝＝3.
14．答案：8
解析：注意到tan(α＋β)＝可化为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．证明一般结论如下：(1＋tanα)[1＋tan(45°－α)]＝1＋tanα＋tan(45°－α)＋tanα·tan(45°－α)＝1＋tan45°·[1－tanαtan(45°－α)]＋tanαtan(45°－α)＝1＋1＝2，由于20°＋25°＝21°＋24°＝22°＋23°＝45°，故原式＝2×2×2＝8.
15．答案：－
解析：由题意，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，又α∈，所以sinα＋cosα>0，则sinα＋cosα＝，所以＝＝＝－.
16．答案：
解析：∵α是锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝，sin2α＝2sinα·cosα＝2××＝，
∴tan2α＝，∵α、β是锐角，∴－<α－β<，∵sin(α－β)＝，∴cos(α－β)＝，tan(α－β)＝，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝＝.
综上：cos2α＝，tan(α＋β)＝.
7考点过关检测17 三角函数图象与性质(1)
一、单项选择题
1．[2022·广东江门模拟]下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间上单调递增的是( )
A．y＝|sinx|B．y＝cosx
C．y＝|tanx|D．y＝cos2x
2．[2022·山东嘉祥一中月考]将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为( )
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
3．[2022·广东潮州模拟]函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则( )
A．φ＝－B．φ＝－
C．φ＝D．φ＝
4．[2022·福建师大附中月考]函数f(x)＝sincos是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
5．[2022·河北邯郸模拟]函数f(x)＝的部分图象大致是( )
6．[2022·湖南湘潭模拟]已知函数f(x)＝sin2x，则( )
A．f(x)的周期为
B．将f(x)的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y＝cos2x
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
7．若f(x)＝sinxcos3x－sin3xcosx的最大值为( )
A.B.
C.D．1
8．[2022·山东威海模拟]如果函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．[2022·湖南长沙模拟]已知函数f(x)＝sin2x，为了得到函数g(x)＝sinx＋的图象，可以( )
A．先将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
B．先将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C．先将f(x)图象所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
D．先将f(x)图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
10．已知g(x)＝2cos，则下列说法中正确的是( )
A．函数g(x)的最小正周期为π
B．函数g(x)在上单调递增
C．函数g(x)的图象可以由函数y＝2cos图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到
D.是函数g(x)图象的一个对称中心
11．[2022·广东湛江模拟]函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，且g(x)是奇函数，则( )
A．φ＝
B．g(x)在区间上的最大值为－3
C．φ＝
D．g(x)在区间上的最大值为－
12．[2022·河北安平中学月考]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝2
B．φ＝
C．f(x)在区间上单调递增
D．若x1＋x2＝，则f(x1)＝f(x2)
三、填空题
13．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为，且f＝－2，则φ＝________.
14．[2022·江苏如皋中学月考]已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)是奇函数，则φ＝________.
15．[2022·河北衡水第一中学月考]若函数y＝3sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为________．
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<与函数y＝g(x)的部分图象如图所示，且函数f(x)的图象可由函数y＝g(x)的图象向右平移个单位长度得到，则φ＝________，g(0)＝________.
四、解答题
17．[2022·天津杨村一中月考]已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
18．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，φ>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间．
考点过关检测17 三角函数图象与性质(1)
1．答案：D
解析：A.f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，则f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝sinx为减函数，不满足条件．B.y＝cosx是偶函数，当x∈时，f(x)＝cosx为减函数，不满足条件．C.f(－x)＝|tan(－x)|＝|－tanx|＝|tanx|＝f(x)，则f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝－tanx为减函数，不满足条件．D.y＝cos2x是偶函数，当x∈时，2x∈(π，2π)，f(x)＝cos2x为增函数，满足条件．
2．答案：A
解析：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，则C1的解析式为y＝sin2＝sin，
再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，
则C2的解析式为y＝sin.
3．答案：C
解析：由图可知：＝－＝，所以T＝π＝，故ω＝2，又f＝1，可求得φ＝2kπ＋，k∈Z，由|φ|<可得φ＝.
4．答案：D
解析：由题意可得
f(x)＝sincos＝sincos＝sin2，
∴f(x)＝－cos，故f(x)的最小正周期T＝＝π，
由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数．
5．答案：D
解析：因为cosx－1≠0，所以f(x)的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，则x≠0，故排除C；
而f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；
当x∈时，cosx－1<0，f(x)＝<0，所以排除A.
6．答案：B
解析：因为f(x)＝sin2x的周期为T＝＝＝π，A错；
将f(x)的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin2＝sin＝cos2x，B正确．
令2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，因此f(x)＝sin2x关于点(k∈Z)对称，令＝，得k＝ Z，所以不是f(x)的对称中心，C错；
令2x＝＋kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，令＋＝，得k＝ Z，所以x＝不是f(x)的对称直线，D错．
7．答案：B
解析：由题意得f(x)＝sinxcos3x－sin3xcosx＝sinxcosx(cos2x－sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，因为x∈R，y＝sinx的最大值为1，所以f(x)的最大值为.
8．答案：B
解析：由题意，cos＝0，则＋φ＝kπ＋，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴当k＝0时，|φ|的最小值为.
9．答案：AD
解析：先将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin的图象．或者先将f(x)图象所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，也可以得到g(x)＝sin的图象．
10．答案：AD
解析：T＝＝π，所以A正确．－≤x≤，－≤2x≤，0≤2x＋≤，所以函数g(x)在上单调递减，所以B错误．函数y＝2cos图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到y＝2cos，所以C错误．g＝2cos＝2cos＝0，所以D正确．
11．答案：AD
解析：因为函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，所以＝4π，
∵ω>0，∴ω＝，
f(x)＝3cos，因为将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)＝f＝3cos＝3cos，因为g(x)是奇函数，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z) φ＝kπ＋(k∈Z)，因为|φ|<，所以k＝0，
即φ＝，故选项A正确，C错误，
所以g(x)＝－3sin，当x∈时，x∈，
所以g(x)的最大值为：－3sin＝－，因此选项D正确，B错误．
12．答案：AD
解析：由图知：＝－＝，而T＝，可得ω＝2，A正确；
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f＝2sin＝0且f(0)＝2sinφ>0，有φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，
∴k＝0，即φ＝，B错误；
综上，f(x)＝2sin，
∴x∈，则2x＋∈，显然f(x)在上不单调，C错误；
若x1＋x2＝，则x2＝－x1，故f(x2)＝f＝2sin＝2sin＝2sin＝f(x1)，D正确．
13．答案：－
解析：由题意T＝2×＝π，ω>0，所以ω＝＝2，f＝2sin＝－2，－＋φ＝2kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－.
14．答案：－
解析：f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，因为f(x)是奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以k＝0，φ＝－.
15．答案：y＝3sin
解析：由题意，周期T＝＝2＝π，解得ω＝2，所以函数y＝3sin(2x＋φ)，又图象过点，
由－＝－＝，由图可知，图象过点，所以3＝3sin，得φ＋＝＋2kπ，k∈Z，
又0≤φ<2π，所以φ＝，故函数的解析式为y＝3sin.
16．答案：
解析：由题意可知将函数g(x)图象上的点向右平移个单位长度，
可得f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点，坐标为，
因为f(x)的图象与x轴正半轴的第一个交点为，
所以，解得，
所以f(x)＝sin，g(x)＝sin＝cos，
故g(0)＝.
17．解析：(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x－∈，
故当2x－＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1，
当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
18．解析：(1)由函数f(x)的图象，可得A＝2，T＝－＝，可得T＝π，
因为ω>0，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又因为f(x)图象过点，可得－2＝2sin，
解得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，
可得g(x)＝2sin＝2sin
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
10考点过关检测18 三角函数图象与性质(2)
一、单项选择题
1．[2022·广东肇庆一中月考]函数y＝sin2x的图象经过怎样的平移变换得到函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．[2022·辽宁抚顺模拟]要得到函数y＝3cos的图象，只需将y＝3sin2x的图象( )
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的大致图象如图，则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4．[2022·辽宁大连模拟]若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数g(x)为奇函数，则f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
5．[2022·福建师大附中月考]若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于( )
A.B．－C.D．－
6．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)ω>0,0<φ<的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，f(0)＝1，则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是( )
A．[0,2] B．[2,4]
C．[4,6] D．[6,8]
7．[2022·河北沧州模拟]把函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝2sin＋1
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在上单调递减
8．[2022·山东青岛模拟]若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )
A．2B.C．1D.
二、多项选择题
9．[2022·江苏高邮月考]将函数y＝sin2x＋的图象向右平移个单位，可得下列哪些函数( )
A．y＝sin2xB．y＝sin
C．y＝cosD．y＝sin
10．[2022·辽宁锦州模拟]已知函数f(x)＝|cosx|－sin|x|，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的最大值为1
11．[2022·广东惠州月考]已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)，若|f(x1)－f(x2)|＝2，且|x1－x2|的最小值为，则下列说法正确的是( )
A．ω＝2
B．函数f(x)在上单调递增
C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
D．对 x∈R，都有f＝f
12．[2022·福建福州月考]如图所示，点M，N是函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M(－1,0)，且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则( )
A．f(0)＝
B．ω＋φ＝
C．f(x)的单调增区间为[－1＋8k,1＋8k](k∈Z)
D．f(x)的图象关于直线x＝5对称
三、填空题
13．[2022·山东济南模拟]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，函数f(x)的对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则f(x)＝________.
14．[2022·湖南长郡中学模拟]已知x＝是函数f(x)＝asinx＋bcosx(a>0)的对称轴，则f(x)的对称中心为________．
15．[2022·广东茂名模拟]把函数y＝3sin2x－的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则实数m的最小值为________．
16．[2022·浙江台州模拟]已知函数f(x)＝sinωx·(cosωx－sinωx)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________，当x∈时，f(x)的取值范围是________．
四、解答题
17．[2022·山东临沂模拟]在①x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，②是函数f(x)的一个零点，③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数f(x)＝2sinωxcos－(0<ω<2)，________，求f(x)在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．[2022·江苏扬州月考]已知函数f(x)＝6cosxsin＋.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数y＝f(x)－a在x∈－，存在零点，求实数a的取值范围．
考点过关检测18 三角函数图象与性质(2)
1．答案：B
解析：由题得y＝sin＝sin＝sin＝sin2，所以函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin2的图象．
2．答案：A
解析：由题意y＝3cos＝3sin＝3sin＝3sin，
故要得到函数y＝3cos的图象，只需将y＝3sin2x的图象向左平移个单位．
3．答案：A
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的大致图象知，f(0)＝2sinφ＝，所以sinφ＝，应取φ＝，
又f＝2sin＝0，所以sin＝0，应取·ω＋＝2π，解得ω＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝＝.
4．答案：D
解析：由函数f(x)的最小正周期T＝π可得ω>0，所以T＝＝π，可得ω＝2，
这时f(x)＝2sin(2x＋φ)，向左平移可得g(x)＝2sin＝2sin，
要使函数g(x)为奇函数，则＋φ＝kπ，k∈Z，
而|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，
对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，可得A，C不正确；
对称中心满足2x－＝kπ，k∈Z，所以x＝＋，可得D正确，B不正确．
5．答案：B
解析：f(x)＝5cosx＋12sinx＝13sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，
依题意，当x＝θ时f(x)取得最小值，即sin(θ＋φ)＝－1，θ＋φ＝2kπ－，θ＝2kπ－－φ，
所以cosθ＝cos＝－sinφ＝－.
6．答案：D
解析：因为函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，
所以f(x)的周期T＝2π×2＝，可得ω＝，所以f(x)＝2cos，
因为f(0)＝2cosφ＝1，所以cosφ＝，
因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2cos，
令π＋2kπ≤x＋≤2π＋2kπ(k∈Z)，可得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，
所以f(x)在单调递增，在上单调递减，
因为[0,2] ，[2,4] ，所以选项A，B不正确；
f(x)在上单调递减，在上单调递增，故选项C不正确；
因为[6,8] ，所以f(x)在[6,8]上单调递增，故选项D正确．
7．答案：D
解析：将函数y＝2sin2x图象向左平移个单位长度得到y＝2sin2＝2sin的图象，
再向上平移1个单位长度可得到f(x)＝2sin＋1的图象，故A错误．
T＝＝π，故B错误；
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝π，故C错误．
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)在上单调递减，故D正确．
8．答案：A
解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：g(x)＝2sin＝2sin，
由g(x)关于y轴对称，则＋φ＝kπ＋，
可得φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，
所以当2x＋＝时，即x＝时，f(x)max＝f＝2sin＝2.
9．答案：BC
解析：将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到y＝sin＝sin，
而y＝cos＝cos＝－sin＝sin，
y＝sin＝sin＝－sin.
10．答案：AC
解析：对于A，f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝|cos(－x)|－sin|－x|＝|cosx|－sin|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，故A正确；
对于B，因为y＝|cosx|是周期为π的周期函数，y＝sin|x|关于y轴对称，不是周期函数，
所以f(x)＝|cosx|－sin|x|不是周期函数，故B错误；
对于C，当x∈时，f(x)＝－cosx－sinx＝－sin，
x＋∈，f(x)单调递增，故C正确；
对于D，当x＝时，f(x)＝－sin＝＋＝>1，
故f(x)的最大值不为1，故D错误．
11．答案：CD
解析：f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(ω>0)，
由相邻最高点与最低点的水平距离为，得＝，即T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝sin.
ω＝1，所以选项A错误；
由x∈，得t＝2x＋∈，
因为函数y＝sint在单调递增，在单调递减，
所以选项B错误；
C项，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为
g(x)＝sin＝sin＝－cos2x，
因为函数g(x)＝－cos2x是偶函数，
所以函数g(x)的图象关于y轴对称；
D项，因为f＝sin＝，
所以直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，
所以对 x∈R，都有f＝f，故正确答案为CD.
12．答案：AD
解析：由题意可知，当△MPN的面积最大时，点P为函数y＝f(x)图象上的一个最高点，
设点P的坐标为(x0,2)，由余弦型函数的对称性可知|PM|＝|PN|，又PM⊥PN，
则△PMN为等腰直角三角形，且∠PMN＝，则直线PM的斜率为kPM＝＝1，
得x0＝1，则点P的坐标为(1,2)，
所以，函数y＝f(x)最小正周期为T＝4×(1＋1)＝8，
∴ω＝＝，
∵f(1)＝2cos＝2，得cos＝1，
∵－<φ<，∴－<＋φ<，
∴＋φ＝0，得φ＝－，则f(x)＝2cos，
∴f(0)＝2cos＝2cos＝，A选项正确；
∴ω＋φ＝0，B选项错误；
解不等式2kπ－π≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，
所以，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)，C选项错误；
∵f(5)＝2cosπ＝－2，所以，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝5对称，D选项正确．
13．答案：2sin
解析：由函数f(x)的对称中心与对称轴x＝的最小距离为，∴＝，
即T＝＝，∴ω＝3，
由x＝是函数f(x)的对称轴，∴3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，令k＝0，则φ＝－，故f(x)＝2sin.
14．答案：(k∈Z)
解析：∵x＝是函数f(x)的对称轴，∴f(0)＝f，∴b＝a，∴f(x)＝asin，
x＋＝kπ，则x＝kπ－，k∈Z，
即对称中心为(k∈Z)．
15．答案：
解析：将y＝3sin向左平移m(m>0)个单位可得：y＝3sin，
∵y＝3sin图象关于y轴对称，∴2m－＝＋kπ(k∈Z)，
解得：m＝＋(k∈Z)，又m>0，∴mmin＝.
16．答案：1
解析：f(x)＝sinωx·(cosωx－sinωx)＝sinωxcosωx－sin2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx－＝sin－，
因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝sin－，
当x∈时，2x＋∈，sin∈
所以f(x)∈.
17．解析：f(x)＝2sinωxcos－＝2sinωx－
＝cosωxsinωx＋sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx
＝sin.
若选①若x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，
则－－＝kπ＋，k∈Z，即－＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝－3k－2，k∈Z，
又0<ω<2，当k＝－1时，ω＝1，f(x)＝sin.
若选②若是函数f(x)的一个零点，
则×2ω－＝kπ，即ω＝kπ＋，k∈Z，得ω＝6k＋1，k∈Z，
又0<ω<2，∴当k＝0时，ω＝1，所以f(x)＝sin.
若选③若f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为，
则T＝π＝，故ω＝1，所以f(x)＝sin.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤.令k＝－1，得－≤x≤－.
又－≤x≤，所以f(x)在上单调递减区间为，.
18．解析：(1)f(x)＝6cosxsin＋＝6cosx＋
＝3sinxcosx－3cos2x＋＝sin2x－＋＝3sin
所以f(x)的最小正周期T＝π，
由题意2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)令y＝f(x)－a，得a＝f(x)，由函数y＝f(x)－a在x∈存在零点，
只需求f(x)＝3sin在x∈的值域．
∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，
故f(x)∈，∴a∈.
11考点过关检测19 正弦定理和余弦定理
一、单项选择题
1．[2022·福建上杭模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，B＝60°，则A＝( )
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或120°
2．[2022·河北保定月考]在△ABC中，sinA＝sinBcosC，则△ABC是( )
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．[2022·山东莱芜一中月考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinA＝acosB，b＝2，c＝，则角C为( )
A.B.
C.或D.或
4．[2022·北京顺义模拟]在△ABC中，b＝3，c＝a，B＝，则cosC＝( )
A.B.
C．－D．－
5．[2022·广东河源模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(a＋b)(sinA－sinB)＝csinC＋b(1＋cosA)sinC，则cosA＝( )
A．－B．－
C.D.
6．[2022·山东济南模拟]在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝2，且b＋c＝6若bcosA＝sinB，则△ABC等于( )
A．2B．4
C．2D．4
7．[2022·天津十四中月考]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S,3c2＝16S＋3(b2－a2)，则tanB＝( )
A.B.
C.D.
8．[2022·江苏盐城中学月考]在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，则cos∠BAC的值是( )
A.B．－
C．－D.
二、多项选择题
9．[2022·江苏扬州月考]不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
A．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
B．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．a＝，b＝，A＝60°，无解
10．[2022·山东淄博实验中学月考]在△ABC中，下列结论中正确的是( )
A．若AB．若AC．若AcosB
D．若A11．已知△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC，下列结论正确的是( )
A．sinC＝2sinB
B．若∠B＝30°，则△ABC为直角三角形
C．若∠BAC＝60°，则△ADC为等边三角形
D．若∠BAD＝30°，则△ABD为等腰三角形
12．[2022·广东顺德模拟]在△ABC中，A、B、C所对的边为a、b、c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，下列选项正确的是( )
A．若A＝，则S＝3
B．S的最大值为3
C．AM＝3
D．角A的最小值为
三、填空题
13．[2022·清华附中月考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝120°，a＝7，cosB＝，则b＝________.
14．[2022·浙江金华一中月考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝B，b＋acosC＝c＝1，则b＝________.
15．[2022·辽宁大连模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＝，c＝，且＝，则△ABC的面积等于________．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC，则角C＝________，若c＝2，则a2＋b2的最大值为________．
四、解答题
17．[2022·山东青岛模拟]在①2bsinA＝atanB，②a2－b2＝ac－c2，③sinB＝cosB＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．[2021·新高考Ⅱ卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
考点过关检测19 正弦定理和余弦定理
1．答案：A
解析：∵在△ABC中，B＝60°，∴根据正弦定理＝，可得sinA＝＝＝，又∵在△ABC中a2．答案：A
解析：因为sinA＝sinBcosC，所以a＝b·，整理为2a2＝a2＋b2－c2，即a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形．
3．答案：D
解析：因为bsinA＝acosB，结合正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB，即sinB＝cosB，又因为B∈(0，π)，所以B＝，＝，即＝，所以sinC＝，故角C为或.
4．答案：D
解析：在△ABC中，b＝3，c＝a，B＝，由余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(a)2－2a2×＝a2，解得a＝3，则A＝，所以，C＝，因此，cosC＝cos＝－.
5．答案：A
解析：由正弦定理得：(a＋b)(a－b)＝c2＋bc(1＋cosA)，整理得：a2＝b2＋c2＋bc(1＋cosA)，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，∴－2cosA＝1＋cosA，解得：cosA＝－.
6．答案：C
解析：因为bcosA＝sinB，可化为＝.由正弦定理可知＝，即＝，解得tanA＝，
又A∈(0°，180°)，所以∠A＝60°，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，即(2)2＝62－3bc，解得bc＝8，
所以三角形的面积S＝bcsinA＝×8×＝2.
7．答案：D
解析：由3c2＝16S＋3(b2－a2)，则3c2＋3a2－3b2＝16S，即3×2accosB＝16×acsinB，所以3cosB＝4sinB，且cosB≠0，所以tanB＝.
8.
答案：A
解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝22＋12－2×2×1×cos120°＝7，即AC＝，
又由cos∠BAC＝＝＝.
9．答案：AD
解析：由正弦定理sinB＝＝，又0由正弦定理sinB＝＝1，又01，显然B无解，C错误；由正弦定理sinB＝＝>1，显然B无解，D正确．
10．答案：AC
解析：若A1－2sin2B＝cos2B，B错；因为0cosB，C对；
取A＝，B＝，则sin2A＝sin＝，sin2B＝sin＝－，此时，>，D错．
11.
答案：ABD
解析：做出图形：由已知设BD＝2DC＝2x，∠BAD＝∠CAD＝α，
在△ABD，△CAD中，由正弦定理得＝，＝，
两式相除得＝＝2，所以sinC＝2sinB.
由以上可知，A正确；
若B＝30°，结合已知得sinC＝2sinB＝1，故C＝90°，故B正确；
若∠BAD＝30°，则∠BAC＝60°，所以C＝120°－B，代入sinC＝2sinB得sin(120°－B)＝2sinB，
即sin120°cosB－cos120°sinB＝2sinB，即cosB＝sinB，所以tanB＝，所以B＝30°，C＝90°，故△ABD为等腰三角形，
△ADC为直角三角形，故C错误，D正确．
12．答案：ABC
解析：对于A，由余弦定理可得12＝a2＝b2＋c2－2bccosA＝24－bc，得bc＝12，
故S＝bcsinA＝3，A对；
对于B，由基本不等式可得24＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
由余弦定理可得cosA＝＝＝，
则S＝bcsinA＝bc＝≤＝3，B对；
对于C，∵∠AMB＋∠AMC＝π，则cos∠AMB＝cos(π－∠AMC)＝－cos∠AMC，
由余弦定理可得cos∠AMB＝，cos∠AMC＝，
所以，＝－，整理可得AM2＝－＝9，
则AM＝3，C对；
对于D，由余弦定理可得cosA＝＝≥＝，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，
因为A∈(0，π)且函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，故013．答案：5
解析：由题意，由于B为△ABC的内角，故B∈(0，π)，∴sinB>0，∴sinB＝＝，
由正弦定理，＝，∴b＝，代入可得：b＝＝5.
14．答案：
解析：∵A＝B，∴a＝b，又b＋acosC＝c＝1，由余弦定理可得：b＋a·＝c＝1，即b＋b·＝1，∴4b2－2b－1＝0，又b>0，∴b＝.
15．答案：
解析：由条件可知＝＝，即sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，即A＝B，
根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝2a2－a2＝6，解得：a＝2，
∵cosC＝，∴sinC＝＝，
∴S△ABC＝a2sinC＝.
16．答案：60° 8
解析：因为csinA＝acosC，结合正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC，因为A∈(0，π)，所以sinA>0，故sinC＝cosC，显然cosC≠0，所以tanC＝，故C＝60°，
结合余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab，故4＋ab＝a2＋b2，因为a2＋b2≥2ab，即4＋ab≥2ab，故4≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，此时a2＋b2＝8，所以，a2＋b2的最大值为8.
17．解析：(1)选①：因为2bsinA＝atanB＝，所以2ab＝，
所以cosB＝，所以B＝；
选②：因为a2－b2＝ac－c2，所以(a2＋c2)－b2＝ac，所以2accosB＝ac，
所以cosB＝，所以B＝；
选③：因为sinB＝cosB＋1，所以sinB－cosB＝1，
所以2sin＝1，所以sin＝，
因为∈，所以B－＝，所以B＝；
(2)因为b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝4，
又因为S△ABC＝acsinB＝，所以ac＝2，
所以(a＋c)2－3ac＝4，所以(a＋c)2＝10，所以a＋c＝，
所以△ABC的周长为2＋.
18．解析：(1)因为2sinC＝3sinA，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，
cosC＝＝，所以C为锐角，则sinC＝＝，
因此，S△ABC＝absinC＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cosC＝＝＝<0，
解得－1由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.
8考点过关检测20 三角函数与解三角形的综合
1．[2022·福建龙岩一中月考]已知函数f(x)＝cos＋cos＋sin2x＋－sin.
(1)求函数f(x)在区间上的值域；
(2)设在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f(A)＝1，a＝1，求△ABC的面积S的最大值．
2．[2022·辽宁抚顺模拟]在①ac＝4；②sinB＝2sinA；③csinA＝，这三个条件中任选一个(将序号填在横线上，多填则默认为所填的第一个序号)，补充在下面的问题中．
在△ABC中，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA＋acosB＋2ccosC＝0，△ABC的面积是2，________.若问题中的三角形存在，求c值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC＋ccosB＋c＝0.
(1)求角B；
(2)若b＝2，求c＋2a的取值范围．
4．[2022·湖南永州模拟]如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AD＝2，AC＝3，sin∠ADC＝.
(1)求∠ACD；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
考点过关检测20 三角函数与解三角形的综合
1．解析：(1)由函数f(x)＝cos＋cos＋sin－sin＝2sin，
因为x∈，所以2x＋∈，即f(x)的值域为[－，2]；
(2)由题意知，在锐角△ABC中，f(A)＝2sin＝1 A＝，又a＝1，
由余弦定理和基本不等式可得a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc(1－cosA)，
有bc≤＝1＋，当且仅当b＝c时等号成立，所以S＝bcsinA≤×＝，
即△ABC的面积S的最大值为：.
2．解析：∵bcosA＋acosB＋2ccosC＝0，∴由正弦定理可得sinBcosA＋sinAcosB＋2sinCcosC＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosC＝0，
∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)＝sinC，∴sinC＋2sinCcosC＝0，
∵sinC≠0，∴1＋2cosC＝0，即cosC＝－，
又C∈(0，π)，∴C＝.
∵△ABC的面积S＝absinC＝absin＝2，∴ab＝8.
选择条件①：
由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－2×8×cos＝a2＋b2＋8，
又ac＝4，∴c2＝2＋2＋8，化简得，3c4－56c2－784＝0，
解得c2＝28或－(舍负)，∴c＝2.
选择条件②：
∵sinB＝2sinA，∴由正弦定理得b＝2a，又ab＝8，∴a＝2，b＝4，
由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4×cos＝28，∴c＝2.
选择条件③：
由正弦定理知，＝，∴asinC＝csinA＝，∵C＝，∴a＝2，又ab＝8，∴b＝4.
下面的步骤同②.
3．解析：(1)∵bsinC＋·ccosB＋c＝0，由正弦定理可得sinBsinC＋·sinCcosB＋sinC＝0，
∵sinC≠0，则sinB＋cosB＋1＝0，即sinB＋cosB＝－1，
即2sin＝－1，∴sin＝－，又0则(2)由正弦定理知：＝＝＝4，
∴c＋2a＝4＝4
＝4
＝4＝4sin，
∵0∴c＋2a的取值范围为.
4．解析：(1)由正弦定理得，＝，又AD＝2，AC＝3，sin∠ADC＝.
∴sin∠ACD＝＝＝，又BC⊥CD，∴∠ACD＝30°.
(2)由BC⊥CD，∠ACD＝30°可得∠ACB＝60°，
在△ABC中，S△ABC＝·AC·BC·sin∠ACB＝×3·BC×＝·BC
由正弦定理得，＝，
∴BC＝＝＝3，
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°<∠BAC＝120°－B<90°，0°∴30°，
∴0<<，<＋<2，
∴∴S△ABC＝·BC∈.
5考点过关检测21 等差数列与等比数列(1)
一、单项选择题
1．[2022·福建福州四中月考]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S2＝S1＋S3，a4＝4，则a9＝( )
A．11B．9
C．6D．4
2．[2022·湖北武汉模拟]在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若为等差数列，则a5＝( )
A.B.
C.D.
3．[2022·河北邢台模拟]在等差数列{an}中，a2＝1,3A．(6,11) B．(5,11)
C．(6,12) D．(5,10)
4．[2022·江苏如皋模拟]在等比数列{an}中，公比为，前6项的和为，则a6＝( )
A.B.
C.D．24
5．[2022·山东泰安模拟]设Sn为等比数列{an}的前n项和，若an>0，a1＝，Sn<2，则等比数列{an}的公比的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．[2022·北京海淀模拟]已知等比数列{an}的公比为q，若{an}为递增数列且a2<0，则( )
A．q<－1B．－1C．01
7．[2022·广东汕头模拟]在正项等比数列{an}中，a2a4＝16，a4＋a5＝24，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－1B．an＝2n
C．an＝3nD．an＝3n－1
8．[2022·山东济南模拟]若等差数列{an}的公差为d，bn＝can(c为常数且c≠0)，则下列描述正确的是( )
A．数列{bn}是公差为d的等差数列
B．数列{bn}是公差为cd的等差数列
C．数列{bn}是公比为d的等比数列
D．数列{bn}是公比为c的等比数列
二、多项选择题
9．[2022·广东惠州模拟]记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有( )
A．a1＝－5B．a4<0
C．S6＝0D．S310．已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是( )
A．a3＋a7≥2B．a4＋a6≥2
C．a7－2a6＋1≥0D．a3－2a4－1≥0
11．已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，下列判断错误的有( )
A.为等比数列
B.为等差数列
C.为等比数列
D．若Sn＝3n－1＋r，则r＝－
12．[2022·山东淄博实验中学月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )
A．若Sn＝n2＋1，则{an}的通项公式an＝2n－1
B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5
D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S1·S3>S
三、填空题
13．[2022·河北沧州模拟]已知正项等差数列{an}满足a1a2＝3，a2a3＝15，则a5＝________.
14．[2022·河北唐山模拟]设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和．若a3a4＋a5＝0，则S6＝________.
15．[2022·福建厦门外国语学校月考]将数列{2n＋1}与{4n－3}的公共项从小到大排列得数列{an}，则an＝________.
16．[2022·北京西城模拟]在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，则公比q＝________；若an>1，则n的最大值为________．
四、解答题
17．[2022·福建师大附中月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________.
从①S6＝51，②an＝an－1－3(n≥2，n∈N*)，③S5＝a3a5中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值．
18．[2021·新高考Ⅱ卷]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
考点过关检测21 等差数列与等比数列(1)
1．答案：D
解析：设等差数列{an}的公差为d，由，得，解得，所以{an}是常数列，故a9＝4.
2．答案：A
解析：∵＝，＝1，且数列是等差数列，∴d＝＝，∴＝，
∴an＝，∴a5＝＝.
3．答案：A
解析：设公差为d，因为a2＝1,34．答案：B
解析：S6＝a1＝a1＝，故a1＝24，故a6＝a1q5＝24×5＝＝.
5．答案：A
解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为an>0，a1＝，Sn<2，所以0Sn＝<2 <0 <0，因为0所以有－3＋4q<0 －3＋4q因为0因此要想－3＋4q所以06．答案：C
解析：因为等比数列{an}为递增数列且a2<0，所以a1即07．答案：A
解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，对任意的n∈N*，an>0，q>0，
由等比中项的性质可得a＝a2·a4＝16，解得a3＝4，
所以，a4＋a5＝a3(q＋q2)＝4(q＋q2)＝24，整理可得q2＋q－6＝0，
∵q>0，解得q＝2，因此，an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.
8．答案：B
解析：由题意可知bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd，
∴{bn}是以cd为公差的等差数列，故B正确，A错误；
当{an}不是常数列时，比如an＝n，c＝1时，明显{bn}不是等比数列，故CD错误．
9．答案：ACD
解析：由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，得a2＝－3，
设等差数列{an}的公差为d，则有a5＝a2＋3d，
所以d＝＝＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝－3＋(n－2)×2＝2n－7，
所以a1＝2－7＝－5，a4＝8－7＝1>0，
S6＝6×(－5)＋×2＝0，
由S4－S3＝a4＝1>0，得S4>S3.
10．答案：AC
解析：因为等比数列{an}的公比为q，且a5＝1
所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2，
因为a3＋a7＝＋q2≥2，故A正确；
因为a4＋a6＝＋q，当q<0时式子为负数，故B错误；
因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；
因为a3－2a4－1＝－－1＝2－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．
11．答案：BC
解析：令bn＝，则＝＝(n∈N＋)，所以是等比数列，选项A正确；
若an<0，则log2an无意义，所以选项B错误；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，所以选项C错误；
若Sn＝3n－1＋r，则a1＝S1＝1＋r，a2＝S2－S1＝3＋r－(1＋r)＝2，a3＝S3－S2＝9＋r－(3＋r)＝6，
由{an}是等比数列，得a＝a1a3，即4＝6(1＋r)，解得r＝－，所以选项D正确．
12．答案：BC
解析：A.当n＝1时，S1＝2，a1＝1，S1≠a1，故错误；
B．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝2，符合n≥2的情况，
所以an＝2·3n－1，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，故正确；
C．因为{an}是等差数列，所以S9＝＝＝9a5，故正确；
D．当a1＝q＝1时，S1·S3＝1×3＝3，S＝22＝4，所以S1·S3>S显然不成立，故错误．
13．答案：9
解析：设等差数列{an}的公差为d，而{an}是正项数列，则a1>0，
因，则，整理得d＝2a1，而a1(a1＋d)＝3，
解得a1＝1，d＝2，则有a5＝1＋(5－1)·2＝9，
所以a5＝9.
14．答案：
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1q2·a1q3＋a1q4＝0，将a1＝2代入得2q＋1＝0，得q＝－，所以S6＝＝＝.
15．答案：4n＋1
解析：因为数列{2n＋1}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
数列{4n－3}是以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以5为首项，以4为公差的等差数列，
所以{an}的通项公式为an＝5＋(n－1)4＝4n＋1.
16．答案：－ 3
解析：因为a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，所以q＝＝＝－，所以a1＋a3＝a1＋q2a1＝10，即a1＝8，所以an＝a1qn－1＝8×n－1；所以当n为偶数时，an<0，当n为奇数时，an＝8×n－1＝8×n－1＝24－n>0
要使an>1，所以4－n>0且n为奇数，即n<4且n为奇数，所以n＝1或n＝3.n的最大值为3.
17．解析：方案一 选条件①.
(1)设等差数列{an}的公差为d.由题设知，解得，∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由(1)，知数列{an}是递增数列，且a1>0，∴Sn的最小值为S1＝1，无最大值．
方案二 选条件②.
(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题设知d＝an－an－1＝－3.
∵a3＝a1＋2×(－3)＝7，∴a1＝13.∴an＝13－3(n－1)＝16－3n.
(2)由(1)知，{an}是递减数列．
令an>0，可得n≤5，故Sn的最大值为S5＝＝35，无最小值．
方案三 选条件③.
(1)设等差数列{an}的公差为d.由S5＝＝5a3＝a3a5，得a5＝5，∴d＝＝－1，∴an＝a3＋(n－3)×(－1)＝10－n.
(2)由(1)知，{an}是递减数列，令an＝0，得n＝10，故Sn的最大值为S9＝S10＝＝45，无最小值．
18．解析：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
7考点过关检测22__等差数列与等比数列(2)
一、单项选择题
1．[2022·福建师大附中月考]在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝( )
A．288B．144
C．572D．72
2．已知等比数列{an}中，a2＋a6＝5，a3·a5＝4，则tan＝( )
A.B．－
C.或－D．－
3．[2022·河北邯郸一中月考]在等差数列{an}中，a1＝－2021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2021等于( )
A．2021B．－2021
C．－2020D．2020
4．若等比数列{an}中的a5，a2017，是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2021＝( )
A.B．1010
C.D．1011
5．[2022·湖北恩施模拟]数列{an}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与a4的等差中项，则{an}的公比等于( )
A．2B.
C．3D.
6．[2022·山东淄博实验中学月考]已知{an}为等比数列，若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1＝( )
A．35B．33
C．16D．29
7．[2022·山东泰安模拟]在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为4的等比数列，则k3＝( )
A．84B．86
C．88D．96
8．[2022·江苏南通模拟]已知正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，a8是b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是( )
A．a100>b100B．a1024＝b11
C．a10>b5D．a99>b9
二、多项选择题
9．[2022·广东省模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，n∈N＋，则( )
A．{an}一定是递增数列
B．{an}可能是递增数列也可能是递减数列
C．a3、a7、a11仍成等比数列
D． n∈N＋，Sn≠0
10．[2022·湖南雅礼中学模拟]已知等比数列{an}的公比为q，a3＝4且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为( )
A.B．1
C．2D．3
11．已知数列的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )
A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S2n－1＝(2n－1)an
D．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
12．[2022·重庆南开中学月考]已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有( )
A．a9·a10＜0B．a9＞a10
C．b10＞0D．b9＞b10
三、填空题
13．[2022·河北安平中学月考]若无穷等比数列{an}的各项均大于1，且满足a1a5＝144，a2＋a4＝30，则公比q＝________.
14．[2022·广东深圳外国语学校月考]已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________.
15．已知－1，a1，a2，－4成等差数列；－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．
16．[2022·湖南郴州模拟]依次将一数列的每相邻两项之积及原数列首尾项(仍为新数列的首尾项)，构造新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,2,2；第2次得到数列1,2,22,2；第3次得到数列1,2,23,23,2；依次构造，第n(n∈N*)次得到数列1，a1，a2，…，ak,2；记bn＝1·a1·a2·…·ak·2，则b4＝________，设数列{bn}的前n项积为Hn，则Hn＝________.
四、解答题
17．[2022·山东昌乐二中月考]已知公差不为零的等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．[2022·江苏如皋模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋1＝2＋λan，a1＝1.
(1)若a1，a2，a3成等差数列，求λ的值；
(2)若{an}为等比数列，求an.
考点过关检测22 等差数列与等比数列(2)
1．答案：B
解析：∵a2＋a5＋a12＋a15＝2(a2＋a15)＝36，∴a1＋a16＝a2＋a15＝18，∴S16＝＝8×18＝144.
2．答案：B
解析：由等比数列性质可知a2·a6＝a3·a5＝4＝a，所以a4＝2或a4＝－2，但a2＋a6>0，可知a4>0，所以a4＝2，则tan＝tan＝－.
3．答案：B
解析：∵数列{an}为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d，又－＝2d＝2，解得：d＝1，又＝a1＝－2021，∴＝－2021＋2020＝－1，∴S2021＝－2021.
4．答案：C
解析：由题得a5a2017＝3，根据等比数列性质知：a1a2021＝a2a2020＝…＝a1010a1012＝a1011a1011＝3，于是a1011＝，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2021＝log3(a1a2a3…a2021)＝log331010·＝.
5．答案：A
解析：因为3a2是a3与a4的等差中项，所以a3＋a4＝6a2，所以a1q2＋a1q3＝6a1q，
又因为a1>0，q≠0，所以q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3，
又因为an>0，所以q>0，所以q＝2.
6．答案：C
解析：设等比数列{an}的公比为q，
由等比数列的性质，知a2a3＝a1a4＝2a1，所以a4＝2，
由a4与2a7的等差中项为，知a4＋2a7＝2×，所以a7＝，
所以q3＝＝，则a1＝＝16.
7．答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d.
因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为4的等比数列，所以a2＝4a1，所以a1＋d＝4a1，得d＝3a1.
所以ak3＝44a1＝256a1，所以a1＋(k3－1)d＝256a1.即(k3－1)·3a1＝255a1，解得k3＝86.
8．答案：B
解析：设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得： ，∴an＝n，bn＝2n－1，
a100＝100，b100＝299，b100>a100，故A不正确；a1024＝1024，b11＝210＝1024，故B正确；a10＝10，b5＝24＝16，故C不正确；a99＝99，b9＝28＝256，故D不正确．
9．答案：BCD
解析：对于A，当a1<0，q>1时，{an}为递减数列，故A错误；对于B，当a1<0，q>1时，{an}为递减数列，当a1>0，q>1时，{an}为递增数列，故B正确；对于C，{an}是等比数列，则a3、a7、a11仍成等比数列，故C正确；对于D，等比数列{an}中，q>1，则Sn＝必不为0，故D正确．
10．答案：AC
解析：因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2(a3＋1)，因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2(a3＋1)，得a3＝2(a3＋1)，即q＋＝，解得q＝2或.
11．答案：BC
解析：当Sn＝(n＋1)2时，a1＝S1＝4；an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1(n≥2)，
a1＝4不满足上式，所以数列{an}不是等差数列，选项A错误；
当Sn＝2n－1时，a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
且a1＝1满足上式，所以此时数列{an}是等比数列，选项B正确；
根据等差数列的性质可知：S2n－1＝(a1＋a2n－1)＝·(2an)＝(2n－1)an，故选项C正确；
当an＝(－1)n时，{an}是等比数列，而S2＝－1＋1＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不能构成等比数列，选项D错误．
12．答案：AD
解析：数列{an}是公比q为－的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则a9＝a1，a10＝a1，∴a9·a10＝a＜0，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则a1＞12＋8d，a1＞12＋9d，
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确．
13．答案：2
解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝144，
又因为a2＋a4＝30，解得：或，
由无穷等比数列{an}的各项均大于1可知q≥1，所以，因为a4＝a2·q2，即24＝6q2，解得：q＝2.
14．答案：
解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，
所以设Sn＝kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，(k≠0)，
则a7＝S7－S6＝7k·(7＋5)－6k·(6＋5)＝18k，b6＝T6－T5＝6k·(2×6－1)－5k·(2×5－1)＝21k，∴＝＝.
15．答案：－
解析：由－1，a1，a2，－4成等差数列，可得公差d＝＝－1，所以a1－a2＝1，
又由－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，可得b＝－1×(－4)＝4，
设等比数列的公比为q，可得b2＝－1×q2<0，所以b2＝－2，
所以＝－.
16．答案：216 22n＋1－2
解析：第四次构造得到的数列为1,2,24,26,24,2，故b4＝216
因为bn＝1·a1·a2·…·ak·2，所以由数列的构造方式可得bn＋1＝(bn)2
所以lgbn＋1＝2lgbn，因为lgb1＝2lg2
所以数列{lgbn}是首项为2lg2，公比为2的等比数列
所以lgbn＝2(lg2)·2n－1＝2nlg2＝lg22n，所以bn＝22n
所以Hn＝b1b2…bn＝22·222·223…22n＝22＋22＋23＋…＋2n＝2＝22n＋1－2.
17．解析：(1)由题意知，
解得a1＝－2，d＝3，或a1＝，d＝0(舍去)，所以an＝3n－5.
(2)bn＝3n－5＋2n，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：
Sn＝＋＝＋2n＋1－2＝2n＋1＋n2－n－2.
18．解析：(1)由Sn＋1＝2＋λan得：
当n＝1时，S2＝2＋λa1，所以a2＝λ＋1；
当n＝2时，S3＝2＋λa2，所以a3＝λ2，
因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即2(λ＋1)＝1＋λ2，
所以λ＝1±；
(2)因为{an}为等比数列，所以a1，a2，a3成等比数列，
所以(λ＋1)2＝λ2，即λ＝－，所以等比数列的公比q＝，所以an＝a1qn－1＝n－1，
经验：当an＝n－1时，Sn＋1＝＝2－n＝2－an满足题意，
综上所述：an＝n－1.
7考点过关检测24 数列通项与数列求和(2)
1．[2022·辽宁锦州模拟]已知等差数列{an}满足a5＝12，a10－a7＝6.等比数列{bn}各项均为正数且满足：b1＝a1，b4＝a15.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
2．[2022·福建福州模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3an＋，求数列{bn}的前n项和Tn.
3．[2022·山东实验中学模拟]已知{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1,5a2,3a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且________，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn.
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．①bn＝2－1；②2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，b2＝3；③Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．[2022·湖南长郡中学月考]已知数列{an}满足：an＋1－2an＝0，a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.若2Tn>m－2021对n∈N*恒成立．求正整数m的最大值．
考点过关检测24 数列通项与数列求和(2)
1．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a5＝12，a10－a7＝6，可得a1＋4d＝12，a1＋9d－(a1＋6d)＝6，
解得a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2；
设等比数列{bn}的公比为q，q>0，
由b1＝a1＝4，b4＝a15＝32，
可得4q3＝32，解得q＝2，所以bn＝4·2n－1＝2n＋1；
(2)anbn＝(n＋1)·2n＋2，
前n项和Sn＝2·23＋3·24＋…＋(n＋1)·2n＋2，
2Sn＝2·24＋3·25＋…＋(n＋1)·2n＋3，
上面两式相减可得－Sn＝23＋(23＋24＋…＋2n＋2)－(n＋1)·2n＋3
＝8＋－(n＋1)·2n＋3，
化简可得Sn＝n·2n＋3.
2．解析：(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－3，解得a1＝3，
当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3，则2Sn－2Sn－1＝2an＝(3an－3)－(3an－1－3)，
即an＝3an－1，
又a1≠0，则an≠0，
∴＝3(常数)，故{an}是以a1＝3为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n(n∈N*)．
(2)由(1)可得：bn＝log3an＋＝n＋，
∴Tn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋，
设Pn＝＋＋＋…＋，则Pn＝＋＋＋…＋
∴Pn＝＋＋＋…＋－＝－＝－，
∴Pn＝＝－，又1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Tn＝n2＋n＋－(n∈N*)．
3．解析：(1)设数列{an}的公比为q，
由题意有，所以，
所以＋3q＝10，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝或q＝3
因为{an}是递增的等比数列，所以q>1，所以q＝3，
所以a1＝1，所以an＝3n－1.
(2)选择①：因为bn＝2－1，
所以4Sn＝b＋2bn＋1,4Sn－1＝b＋2bn－1＋1(n≥2)，
两式相减得4bn＝b－b＋2(bn－bn－1)(n≥2)，即(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0(n≥2)，
因为bn＋bn－1≠0(n≥2)，所以bn－bn－1＝2(n≥2)
所以数列{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，
故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，因此cn＝(2n－1)·3n－1，
Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，
3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
两式相减得－2Tn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n，
即－2Tn＝1＋2－(2n－1)·3n＝1－3(1－3n－1)－(2n－1)·3n
＝－2＋3n－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)·3n，
所以Tn＝1＋(n－1)·3n.
选择②：由2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，b2＝3，
所以数列{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
因此cn＝(2n－1)·3n－1，以下同①；
选择③：由Sn－Sn－1＝＋得－＝1，
∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列，＝n，
∴Sn＝n2，所以bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，检验n＝1时也满足，
所以bn＝2n－1，cn＝(2n－1)·3n－1，以下同①.
4．解析：(1)因为数列{an}满足：an＋1－2an＝0，a3＝8，
所以an＋1＝2an，设{an}的公比为q，可得q＝2，
又a3＝8，即4a1＝8，解得a1＝2，
所以an＝2n；
(2)bn＝＝，
Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
上面两式相减可得Tn＝＋＋＋…＋－＝－，
化简可得Tn＝2－，
因为Tn＋1－Tn＝2－－2＋＝>0，
所以{Tn}递增，T1最小，且为，所以2×>m－2021，
解得m<2022，则m的最大值为2021.
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