考点过关检测3 一元二次不等式
一、单项选择题
1．[2022·湖北九师联盟]不等式x2－2x－8≤0的解集为( )
A．{x|－4≤x≤2}
B．{x|－2≤x≤4}
C．{x|x≥4或x≤－2}
D．{x|x≥2或x≤－4}
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝( )
A．1 B．0 C．－1 D．－3
3．[2022·广东普师高级中学月考]函数y＝的定义域为( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
4．[2022·山东新泰一中月考]若不等式ax2－x－c>0的解集为，则函数y＝cx2－x－a的图象可以为( )
5．[2022·广东深圳月考]若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－2
A．－1，－7B．0，－8
C．1，－1D．1，－7
6．在R上定义运算 ：M N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,2)
C.D.
7．[2022·浙江五校联考]已知关于x的不等式ax2－2x＋3a＜0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A．－∞，B.
C.，＋∞D.
8．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．mC．m<0或0二、多项选择题
9．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)，则下列说法正确的是( )
A．若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，则k＝－
B．若不等式的解集为，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k＜－
D．若不等式的解集为 ，则k≥
10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)
11．[2022·福建龙岩模拟]已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是( )
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．[－1,2] D．[3，＋∞)
12．[2022·湖南长郡中学月考]已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是，则下列四个结论中正确的是( )
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b三、填空题
13．[2022·福建福清西山学校月考]x2＋2(m－1)x＋m2－2≥0对x∈R恒成立，则m的取值范围为________．
14．[2022·江苏苏州十中月考]已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________．
15．[2022·北京101中学模拟]若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x116．[2022·河北石家庄二中月考]若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合A＝{x|－t0}和集合B＝{x|x2－x－2<0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为________．
考点过关检测3 一元二次不等式
1．答案：B
解析：由x2－2x－8≤0，得(x－4)(x＋2)≤0，所以－2≤x≤4.
2．答案：D
解析：由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1,3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
3．答案：A
解析：由题可知，log0.5(4x2－3x)≥0，由对数函数的单调性，可得0<4x2－3x≤1，解得：－≤x<0或4．答案：C
解析：由题可得－1和是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，∴，解得a＝－2，c＝－1，则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，则函数图象开口向下，与x轴交于(－2,0)，(1,0)．
5．答案：D
解析：ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－26．答案：B
解析：因为(x－a) (x＋a)<1对任意实数x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即(1－a)2－x2<1恒成立，所以(1－a)2<1＋x2恒成立，所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，又因为(1＋x2)min＝1，所以(1－a)2<1，解得07．答案：A
解析：因为x∈(0,2]，所以不等式可化为ax＋＜2.当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意；当a＞0时，不等式化为x＋<，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，所以＞2，即0＜a＜；当a＜0时，x＋＞在x∈(0,2]时恒成立．综上所述，实数a的取值范围是.
8．答案：A
解析：若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为x＝.当m＝0时，－5<0恒成立，当m<0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减，∴在[1,3]上g(x)max＝g(1)＝m－5<0，得m<5，故有m<0.当m>0时，有g(x)开口向上且在[1,3]上单调递增，∴在[1,3]上g(x)max＝g(3)＝7m－5<0，∴09．答案：ACD
解析：对于A，∵不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，∴k＜0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.故A正确；对于B，∵不等式的解集为，∴解得k＝－，故B错误；对于C，由题意，得解得k＜－，故C正确；对于D，由题意，得解得k≥，故D正确．
10．答案：ABD
解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；
且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得
，则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；
不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．
11．答案：AD
解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
12．答案：ABD
解析：对于A，由题意，Δ＝a2－4b＝0，∴b＝，所以A正确；对于B，a2＋＝a2＋≥2＝4当且仅当a2＝，即a＝时等号成立，所以B正确；对于C，由韦达定理，知x1x2＝－b＝－<0，所以C错误；对于D，由韦达定理，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝－c，则|x1－x2|＝＝＝2＝4，解得c＝4，所以D正确．
13．答案：
解析：由題意可知Δ＝4(m－1)2－4(m2－2)≤0，即－8m＋12≤0，得m≥，故m的取值范围为.
14．答案：或
解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2＋bx＋c＝0的两根．所以可得：，所以cx2＋bx＋a<0可化为：8ax2－6ax＋a<0，因为a<0，所以8ax2－6ax＋a<0可化为8x2－6x＋1>0，即(2x－1)(4x－1)>0，解得：x>或x<，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为或.
15．答案：
解析：关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x10)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2>0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a>0，解得a＝.
16．答案：{t|1解析：由题意，可知集合A＝{x|－t0}，集合B＝{x|－16考点过关检测4 函数及其性质(1)
一、单项选择题
1．[2022·湖北武汉育才高级中学月考]函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为( )
A.
B.∪
C.
D.∪
2．[2022·广东肇庆模拟]已知函数f(x)＝，则f(f(1))＝( )
A．e B．－1 C．0 D．1
3．[2022·重庆模拟]已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)＝( )
A．－7B．－3C．3D．7
4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝( )
A. B．－ C. D．－
5．[2022·北大附中月考]下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上为增函数的是( )
A．y＝B．y＝x＋
C．y＝x＋exD．y＝2x－
6．[2022·广东佛山月考]已知函数f(x)对 x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0，且f(2－2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7．[2022·湖南十校联考]已知f(x)是R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，>0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为( )
A．[－1,0)∪(0,1]
B．[－3，－2)∪(0,1]
C．(－2，－1)∪(0,1]
D．(－2,0)∪(0,1]
8．[2022·福建龙岩模拟]已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为( )
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
二、多项选择题
9．下面各组函数中是同一函数的是( )
A．y＝与y＝x
B．y＝与y＝|x|
C．y＝·与y＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
10．[2022·辽宁营口二中月考]若f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．y＝f(x)f(－x)是偶函数
B．y＝f(x)|f(－x)|是偶函数
C．y＝f(x)＋f(－x)是偶函数
D．y＝|f(x)f(－x)|是偶函数
11．[2022·湖北武汉月考]已知函数f(x)＝，则有( )
A．存在x0>0，使得f(x0)＝－x0
B．存在x0<0，使得f(x0)＝x
C．函数f(－x)与f(x)的单调区间和单调性相同
D．若f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，则x1＋x2≤0
12．[2022·山东省实验中学月考]已知y＝f(x＋2)为奇函数，且f(3＋x)＝f(3－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x＋log4(x＋1)－1，则( )
A．f(x)的图象关于(－2,0)对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(2021)＝3＋log43
D．f(2021)＝
三、填空题
13．[2022·湖北十堰模拟]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝2，f(1)＝3.写出f(x)的一个解析式为________．
14．[2022·河北鸡泽一中月考]已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋，则x<0时，f(x)＝________.
15．[2022·湖北黄石模拟]已知函数f(x)＝(ex＋m·e－x)·sinx是偶函数，则m＝________.
16．[2022·江苏无锡六中月考]若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是________，满足<0的x的取值范围是________．
考点过关检测4 函数及其性质(1)
1．答案：B
解析：要使函数有意义，则1－2x>0且2x＋1≠0，解得x<且x≠－，故函数的定义域为∪.
2．答案：D
解析：f(1)＝ln1＝0，f(f(1))＝f(0)＝e0＝1.
3．答案：B
解析：设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
4．答案：A
解析：∵f(x)为定义在R上的周期为2的偶函数，∴f＝f＝f＝＋1＝.
5．答案：D
解析：函数y＝的定义域是[－1，＋∞)，函数不是奇函数，y＝x＋ex中x＝0时，y＝1，函数不是奇函数．f(x)＝x＋时，f(－x)＝－x－＝－f(x)，是奇函数，f＝＋2＝，f＝＋3＝>，f(x)在(0,1)上不是增函数，g(x)＝2x－＝2x－2－x，g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)是奇函数，且y＝2x是增函数，y＝2－x是减函数，因此y＝2x－2－x是增函数，在(0,1)上也是增函数．
6．答案：C
解析：因为对 x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2－2m)>f(1＋m)，所以，解得m∈.
7．答案：D
解析：∵当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，>0，∴f(x)在区间[0,1]上是增函数．∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(x)在区间[－1,0]上是增函数．∴当－1≤x<0时，f(x)<0，当00.∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，且f(x)在区间[1,3]上是减函数．又f(x)＝－f(－x)＝－f[1－(1＋x)]＝－f[1＋(1＋x)]＝－f(2＋x)，∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.∴f(x)是区间[－3，－1]上的减函数，且f(－2)＝0.综上所述，不等式xf(x)>0的解集为(－2,0)∪(0,1]．
8．答案：A
解析：根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有＝1，即b＝2，又由f(0)＝3，则c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x，若x<0，则有cx0，则有19．答案：BD
解析：选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数．故选BD.
10．答案：ACD
解析：对于A，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，A正确；对于B，令g(x)＝f(x)|f(－x)|，则g(－x)＝f(－x)|f(x)|，∵f(x)为R上的任意函数，∴g(x)与g(－x)不满足偶函数定义，B错误；对于C，令g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，C正确；对于D，令g(x)＝|f(x)f(－x)|，则g(－x)＝|f(－x)f(x)|＝g(x)，∴g(x)为偶函数，D正确．
11．答案：BC
解析：因为f(x)＝，当x0>0时，f(x0)＝x，由f(x0)＝－x0可得x＝－x0，解得x0＝0或－1，显然都不满足x0>0，故A错；当x0<0时，f(x0)＝－x0，由f(x0)＝x可得－x0＝x，解得x0＝0或－1，显然x0＝－1满足x0<0，故B正确；当x<0时，f(x)＝－x显然单调递减，即f(x)的减区间为(－∞，0)；当x>0时，f(x)＝x2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0，＋∞)；又f(－x)＝＝，因此f(－x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；即函数f(－x)与f(x)的单调区间和单调性相同，故C正确；D选项，若不妨令x10，故D错．
12．答案：ABD
解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于(2,0)对称，故选项B正确，由f(2＋x)＝－f(2－x)可得f(4＋x)＝－f(－x)，由f(3＋x)＝f(3－x)可得f(－x)＝f(6＋x)，所以－f(4＋x)＝f(6＋x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)周期为4，所以f(x)的图象关于(－2,0)对称，故选项A正确，f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝2＋log42－1＝，故选项D正确，选项C不正确．
13．答案：f(x)＝x2＋2(答案不唯一)
解析：二次函数f(x)＝ax2＋b，显然满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，由f(0)＝2 b＝2，由f(1)＝3 a＋2＝3 a＝1，所以f(x)＝x2＋2.
14．答案：－x2＋
解析：当x<0时，－x>0，又因为当x＞0时，f(x)＝x2＋，所以f(－x)＝(－x)2－＝x2－，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋.
15．答案：－1
解析：因为函数f(x)＝(ex＋m·e－x)·sinx是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，即(e－x＋m·ex)·sin(－x)＝(ex＋m·e－x)·sinx对于x∈R恒成立，所以－e－x－m·ex＝ex＋m·e－x对于x∈R恒成立，所以(ex＋e－x)(m＋1)＝0对于x∈R恒成立，因为ex＋e－x≠0，所以m＋1＝0，解得：m＝－1.
16．答案：[－1,1]∪[3，＋∞) (－2,0)∪(0,2)
解析：若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，可得f(－2)＝－f(2)＝0，f(0)＝0，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x－1)≥0等价于－2≤x－1<0或x－1＝0或x－1≥2，解得－1≤x<1或x＝1或x≥3，即满足f(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,1]∪[3，＋∞).<0等价于或，解得05考点过关检测5 函数及其性质(2)
一、单项选择题
1．设函数f(x)＝x3－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
2．已知f(x)＝，则f(4)＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
3．[2022·辽宁丹东模拟]若f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝a＋2cosx，则f＝( )
A．－3B．1C．3D．2＋
4．已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．[2022·湖北武汉一中月考]已知函数f(x)＝是R上的单调函数，那么实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,3)
C.D.
6．[2022·湖南长沙九中月考]函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[－2，＋∞)
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
7．[2022·河北石家庄一中月考]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
8．[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f＝0B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0D．f(4)＝0
二、多项选择题
9．下列函数定义域和值域相同的是( )
A．f(x)＝5x＋1B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝D．f(x)＝
10．[2022·福建福州模拟]定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1,2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是( )
A．当x∈[－2，－1]时，有f(x)<0
B．f(x)在[－2，－1]上单调递增
C．f(－x)在[－2，－1]上单调递减
D．|f(x)|在[－2，－1]上单调递减
11．[2022·山东郓城一中月考]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且在[0,2]上是增函数，下面判断正确的是( )
A．f(x)的周期是4
B．f(2)是函数的最大值
C．f(x)的图象关于点(－2,0)对称
D．f(x)在[2,6]上是减函数
12．[2022·福建福州四中月考]已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则( )
A．f(x)关于点(－2,0)对称
B．f(x)关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
三、填空题
13．[2022·广东徐闻一中月考]函数f(x)＝，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
14．[2022·湖南雅礼中学月考]若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
15．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2a－1)>f(1)，则实数a的取值范围为________．
16．[2022·山东济宁市育才中学月考]已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝－1，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(2022)＝________，(3i＋1)＝________(n∈N*)．
考点过关检测5 函数及其性质(2)
1．答案：A
解析：方法一 由函数y＝x3和y＝－都是奇函数，知函数f(x)＝x3－是奇函数．由函数y＝x3和y＝－都在区间(0，＋∞)上单调递增，知函数f(x)＝x3－在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝x3－是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.
方法二 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)，故f(x)＝x3－是奇函数．∵f′(x)＝3x2＋>0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.
2．答案：B
解析：因为f(x)＝，则f(4)＝f(6)＝6－5＝1，所以f(4)＝1.
3．答案：C
解析：因为f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝a＋2cosx，所以f(0)＝a＋2cos0＝0，解得：a＝－2.所以当x≤0时，f(x)＝2cosx－2.所以f＝－f＝－2cos＋2＝3.
4．答案：A
解析：若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝2，但f(x)＝2在为减函数，在为增函数，故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0,1]上单调递增，故“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件．
5．答案：C
解析：若f(x)为增函数，则，解得：≤a<3.若f(x)为减函数，则，此时实数a不存在．综上所述：实数a的取值范围为.
6．答案：D
解析：∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(a)≤f(2)等价于f(|a|)≤f(2)，∴|a|≥2，∴a≤－2或a≥2，∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
7.
答案：D
解析：∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图：
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0；故f(－1)＜0；当x＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价于f(x－1)≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价于f(x－1)≤0，即，得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
8．答案：B
解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，
故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．故选B.
9．答案：ACD
解析：对于A，f(x)＝5x＋1定义域及值域都为R，对于B，f(x)＝x2＋1的定义域为R，值域为[1，＋∞)，对于C，f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于D，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．
10．答案：AC
解析：偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1,2]时，f(x)<0，所以当x∈[－2，－1]时，有f(x)<0，故A正确；偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1,2]时，f(x)为增函数，所以f(x)在[－2，－1]上单调递减，故B错误；∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．由B知f(x)在[－2，－1]上单调递减，故C正确；|f(x)|的图象是将f(x)下方的图象，翻折到x轴上方，由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，所以|f(x)|在[－2，－1]上单调递增，故D错误．综上可知，正确的结论是AC.
11．答案：BD
解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，所以函数的图象关于直线x＝2对称，得f(x＋2＋2)＝f(2－x－2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的周期为8.所以函数f(x)的图象如图．由图可得，正确答案为：BD.
12．答案：AD
解析：因为f(x＋2)是奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0，即f(2－x)＋f(2＋x)＝0，故f(x)关于(2,0)对称．又f(x)是偶函数，所以f(－2＋x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)关于(－2,0)对称，故A正确，B错误．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为8，即C错误，D正确．
13．答案：2或
解析：∵f(x)＝，∴f(－1)＝＝－1，∴f(a)＝3.当a≥1时，f(a)＝a2－1＝3，∴a＝2；当a<1时，f(a)＝＝3，∴a＝.∴a＝2或.
14．答案：1
解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠－1且x≠a}，∵函数f(x)＝为奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，∴a＝1.
15．答案：(0,1)
解析：由题意，函数f(x)为偶函数，故f(2a－1)>f(1) f(|2a－1|)>f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，|2a－1|≥0,1>0，故f(|2a－1|)>f(1) |2a－1|<1，∴－1<2a－1<1，∴016．答案：1 －1
解析：g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(x)的图象关于点(－1,0)对称，又f(x)是偶函数，f(x)＝－f(－2－x)＝－f(x＋2)，同理f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期，f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，又f(－1)＝f(1)，所以f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，f(－1)＝0.f(0)＝－1，则f(－2)＝－f(0)＝1＝f(2)，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝1，k∈N，i＝4k＋1时，f(3i＋1)＝f(12k＋4)＝f(0)，i＝4k＋2时，f(3i＋1)＝f(12k＋7)＝f(－1)，i＝4k＋3时，f(3i＋1)＝f(12k＋10)＝f(2)，i＝4k＋4时，f(3i＋1)＝f(12k＋13)＝f(1)，所以f(3i＋1)关于i也是周期函数，周期为4，而f(0)＋f(－1)＋f(2)＋f(1)＝0，所以(3i＋1)＝f＋f(12n＋4)＝f(0)＝－1.
6考点过关检测6 基本初等函数(1)
一、单项选择题
1．[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( )
A．cC．a2．[2022·湖北襄阳四中月考]若幂函数f(x)的图象过点(64,2)，则f(x)＜f(x2)的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
3．[2022·重庆一中月考]已知f(x)＝，则f(log23)＝( )
A.B.
C.D．3
4．[2022·山东日照模拟]指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为( )
A．单调递增
B．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增
C．单调递减
D．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减
5．[2022·福建龙岩模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：t＝－ln(t为时间，单位分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100℃，环境温度θ0＝20℃，常数k＝0.2，大约经过多少分钟水温降为40℃？(结果保留整数，参考数据：ln2≈0.7)( )
A．9B．8
C．7D．6
6．[2022·衡水中学模拟]已知loga<1，<1，<1，则实数a的取值范围为( )
A．(0，) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
7．[2022·皖南八校联考]函数f(x)＝，a＝f(lg3)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>cB．c>a>b
C．b>a>cD．b>c>a
8．[2022·河北石家庄一中月考]已知函数y＝log(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－5，－4] D．[－4，＋∞)
二、多项选择题
9．[2022·湖南十校联考]给出8个函数：①y＝2x，②y＝x，③y＝log2x，④y＝log0.5x，⑤y＝x2，⑥y＝，⑦y＝sinx，⑧y＝tanx．下列说法正确的是( )
A．定义域是R的函数共有6个
B．偶函数只有1个
C．图象都不经过第三象限的函数共有6个
D．满足f(x＋2π)＝f(x)的函数只有2个
10．[2022·河北正定中学月考]以下说法正确的是( )
A．a＝
B．log427·log258·log95＝
C．若y＝(m2－3m－3)x是幂函数，则m的值为4
D．若函数f(x)＝，则对于任意的x1、x2∈[0，＋∞)有≤f
11．[2022·山东安丘月考]已知正实数x、y满足2x＝3y，则下列结论正确的是( )
A.1
C.x－y－1>2D．x312．[2022·湖北武汉光谷二中月考]已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是( )
A．x＋y>z
B．xy>2z2
C.＋＝
D．3x>4y>6z
三、填空题
13．[2022·福建龙岩模拟]计算求值：－(π－3)0＋＋lg5＋lg2＋eln2＋lg0.01＝________.
14．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f＝x3是偶函数，则a＝________.
15．[2022·山东嘉祥一中月考]函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为________．
16．[2022·浙江宁波月考]已知函数f(x)＝，则f(f(2))＝______，函数f(x)的单调递减区间是________．
四、解答题
17．[2022·北京四中月考]已知函数f(x)＝a2x－ax＋2a(a>0且a≠1)的图象经过点A(1,6)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的最小值；
(3)设g(x)＝，若g(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6＋loga2.
(1)求实数a的值；
(2)对于任意的x∈[2，＋∞)，不等式kf(x)－1≥0恒成立，求实数k的取值范围．
考点过关检测6 基本初等函数(1)
1．答案：C
解析：a＝log522．答案：C
解析：设幂函数f(x)＝xα，由于它的图象过点(64,2)，∴2＝64α，∴α＝，f(x)＝x.则f(x)＜f(x2)，即x3．答案：D
解析：f(log23)＝2f＝4f＝4×2log2＝3.
4．答案：C
解析：∵指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴－2＜a－2＜－1，
∴函数g(x)＝(a－2)x3在R上递减．
5．答案：C
解析：由题意知：t＝－ln＝－5ln＝10ln2≈7分钟．
6．答案：A
解析：由loga<1，得a>1或00，由a<1，得07．答案：B
解析：∵f(x)＝＝x－，易知f(x)在R上单调递增，因为0＝lg120＝1.所以2>lg3>ln，所以f(2)>f(lg3)>f，即c>a>b.
8．答案：A
解析：令t＝x2＋ax＋6，∵外层函数y＝logt为减函数，∴要使函数y＝log(x2＋ax＋6)在(－∞，2)上单调递增，则二次函数t＝x2＋ax＋6在(－∞，2)上单调递减且恒大于0，即，解得－5≤a≤－4.∴实数a的取值范围是[－5，－4]．
9．答案：BCD
解析：这8个函数中定义域均为R的函数是①②⑤⑦，共4个，∴A错误．只有⑤是偶函数，∴B正确．①②③④⑤⑥这6个函数的图象不经过第三象限，⑦⑧这两个函数图象都经过第三象限，∴C正确．这8个函数中，满足f(x＋2π)＝f(x)的函数只有⑦⑧，故D正确．
10．答案：CD
解析：因为－>0，所以a<0，所以a＝－(－a)·＝－，A错；log427·log258·log95＝··＝＝，B错；因为函数y＝(m2－3m－3)x是幂函数，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，因为m≥0，解得m＝4，C对；任意的x1，x2∈[0，＋∞)，＝≥0，f＝≥0，因为2＝2＝，则2－2＝－＝－＝－≤0，所以，≤f，D对．
11．答案：AB
解析：设2x＝3y＝t>1，则x＝log2t，y＝log3t，所以，＝logt2，＝logt3，因为函数f(x)＝logtx在(0，＋∞)上为增函数，则logt3>logt2>0，即<，A对；＝＝＝>1，B对；由B选项可知，x>y，则x－y－1<－1＝2，C错；因为函数g(x)＝x3为R上的增函数，且x>y，故x3>y3，D错．
12．答案：ABC
解析：x，y，z>0，令3x＝4y＝6z＝t(t>1)，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.＝＋＝＋＝＋＝＋>＋2＝＋，故A正确；＝·＝·＝＝1＋>1＋＝2，故B正确；＋＝＋＝logt3＋logt4＝logt6＝，故C正确；＝4logt3＝logt81，＝3logt4＝logt64，因为t>1，所以>，即3x<4y，故D错误．
13．答案：11
解析：因为－(π－3)0＋－＝－1＋－＝－1＋－2＝－1＋9＝，lg5＋lg2＋eln2＋lg0.01＝lg(5×2)＋2＋×(－2)＝lg10＋2－＝1＋2－＝，所以原式＝＋＝11.
14．答案：1
解析：因为f＝x3，故f＝－x3，
因为f为偶函数，故f＝f，
即x3＝－x3，整理得到＝0，故a＝1.
15．答案：－
解析：函数定义域是(0，＋∞)，log2x∈R，f(x)＝log2·log4(4x2)＝(log2x－2)(1＋log4x2)＝(log2x－2)(1＋log2x)＝logx－log2x－2＝2－，所以x＝时，f(x)min＝－.
16．答案：5 (－1，＋∞)
解析：因为函数f(x)＝，则f(2)＝log2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝5；当x≤1时，f(x)＝－x2－2x＋4在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1]上单调递减，f(1)＝1，当x>1时，f(x)＝logx在(1，＋∞)上单调递减，且log1＝0<1，所以函数f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)．
17．解析：(1)将A(1,6)代入f(x)得：a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)，故f(x)＝22x－2x＋4；
(2)易知f(x)＝2＋≥，当x＝－1时取等号，故f(x)的最小值为；
(3)由题意得g(x)＝2x＋－1≥2－1＝3，当且仅当2x＝，即x＝1时取等号，故要使g(x)≥m恒成立，只需m≤3成立，故m的取值范围是(－∞，3]．
18．解析：(1)因为函数y＝ax，y＝logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的单调性相同，所以函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上是单调函数，
所以函数f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为a＋a2＋loga2＝6＋loga2，
所以a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)，
所以实数a的值为2.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋log2x，因为对于任意的x∈[2，＋∞)，不等式kf(x)－1≥0恒成立，
所以对于任意的x∈[2，＋∞)，k≥恒成立，
当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝2x＋log2x为单调递增函数，
所以f(x)≥f(2)＝5，所以≤，即k≥，
所以实数k的取值范围是.
7考点过关检测8 函数的图象及应用
一、单项选择题
1．[2022·北京大峪中学月考]下列函数的图象关于y轴对称的是( )
A．f(x)＝|lnx|B．f(x)＝lg|x|
C．f(x)＝xcosxD．f(x)＝x2sinx
2．[2022·广东阳春一中月考]已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
3．若函数f(x)＝3ax－k＋1(a＞0，且a≠1)过定点(2,4)，且f(x)在定义域R内是增函数，则函数g(x)＝loga(x－k)的图象是( )
4．[2022·河北石家庄一中月考]函数f(x)＝的大致图象为( )
5．[2022·福建漳州模拟]函数f(x)＝xln|x|＋sinx的部分图象大致为( )
6．[2022·河北邢台高三月考]如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为( )
A．y＝|x|B．y＝x
C．y＝D．y＝
7．[2022·山东潍坊月考]函数f(x)＝的图象大致为( )
8．[2022·重庆开州中学月考]函数f(x)＝在[－2,0)∪(0,2]上的大致图象是( )
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有<0，且f(2)＝0，则满足(x－1)f(x)>0的x的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0,1)∪(2，＋∞)
B．(－2,0)∪(1,2)
C．(－2,1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1,2)
10．[2022·北京一六一中学月考]若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是( )
A.B.
C．2D．4
二、多项选择题
11．[2022·广东深圳第二外国语学校月考]若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则需同时满足( )
A．a>1B．0C．b>0D．b≤0
12．[2022·江苏连云港模拟]函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为( )
三、填空题
13．关于x的方程|2x－1|＝a有两个解，则a的取值范围是________．
14．若函数f(x)＝，则不等式|f(x)|≥的解集为________．
15．[2022·江苏高邮月考]我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为________．
16．[2022·广东广州月考]函数int(x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如int(－3.9)＝－4，int(2.4)＝2.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是________．
考点过关检测8 函数的图象及应用
1．答案：B
解析：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝|lnx|，其定义域为(0，＋∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝lg|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，是偶函数，符合题意；对于C，f(x)＝xcosx，其定义域为R，有f(－x)＝－xcosx＝－f(x)，是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x2sinx，其定义域为R，有f(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，是奇函数，不符合题意．
2．答案：A
解析：由图象可知： ，因为a>b，所以由①可得：a>0>b，由③可得：－1－b>0 b<－1，由②可得：1－a>0 a<1，因此有1>a>0>－1>b，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合．
3．答案：A
解析：根据题意可知f(2)＝4，即3a2－k＋1＝4，解得k＝2，所以f(x)＝3ax－2＋1.又因为f(x)在R上是增函数，所以a＞1.因此g(x)＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递增，且过定点(3,0)．故选A.
4．答案：B
解析：f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除A；f(1)＝3－＝＞0，排除D；当x→＋∞，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C.
5．答案：A
解析：由解析式知：x≠0，且f(－x)＝－xln|－x|＋sin(－x)＝－xln|x|－sinx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除C、D；当x→＋∞时，xln|x|→＋∞，sinx∈[0,1]，则f(x)→＋∞.
6．答案：C
解析：由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D.又“心形”函数的最大值为1，且>1，排除A.
7．答案：B
解析：函数f(x)＝的定义域是{x|x≠0}，当x>1时，f(x)>0，排除A、D.又f(－x)＝＝＝－f(x)，即函数为奇函数．排除C.
8．答案：D
解析：由题可知函数f(x)的定义域关于原点对称，且当x>0时，－x<0，f(－x)＝e－(－x)·ln[－(－x)]＝ex·lnx＝f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝e－x·ln(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，排除A，B；而f(2)＝e2ln2>e2ln＝>3，排除C.
9．答案：B
解析：因为对任意两个正数x1，x2，都有<0，所以在x∈(0，＋∞)上，f(x)单调递减；又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则在x∈(－∞，0)上，f(x)单调递减；如图所示．由于(x－1)f(x)>0，当x>1时，有f(x)>0，得10的x的取值范围是(－2,0)∪(1,2)．
10．答案：A
解析：(1)当a>1时，画出两个函数在同一坐标系下的图象
若有两个交点，则0<2a<1，∴01，所以此种情况不存在；
(2)当0若有两个交点，则0<2a<1，∴011.
答案：AD
解析：因为函数y＝ax＋b－1 (a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，即可知图象过第一、三、四象限，或过第一、三象限及原点，所以其大致图象如图所示：
由图象可知函数为增函数，所以a>1，
当x＝0时，y＝1＋b－1＝b≤0.
12．答案：ACD
解析：当a<0时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1开口向下，对称轴为x＝－>0，f(0)＝1，故A符合；当a＝2n(n∈N＋)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝－<0，Δ＝4－4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合；当a＝(n∈N＋)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝－<0，Δ＝4－4a>0，图象和x轴有两个交点且均在x轴的负半轴上，故C符合．
13．答案：(0,1)
解析：设f(x)＝|2x－1|＝，当x<0时，2x∈(0,1)，则f(x)＝1－2x∈(0,1)，由题意可知，直线y＝a与函数f(x)的图象有两个交点，作出函数y＝a与函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当014．答案：[－3,1]
解析：函数f(x)＝的图象如图中的“实线”所示．
从而|f(x)|＝的图象如图中的“实线”所示，为解不等式|f(x)|≥，需观察图象，易解得y＝与y＝|f(x)|的交点为(－3，)和.
故不等式|f(x)|≥的解集为{x|－3≤x≤1}，即[－3,1]．
15．答案：(1，－2)
解析：根据题意，设f(x)＝x3－3x2的对称中心为点P(a，b)，则函数y＝f(x＋a)－b是奇函数，则有f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，变形可得f(－x＋a)＋f(x＋a)－2b＝0，则有(－x＋a)3－3(－x＋a)2＋(x＋a)3－3(x＋a)2＝2b，必有a＝1，b＝－2.即函数的对称中心为(1，－2)．
16．答案：
解析：根据新定义，作出f(x)的图象如图：
要使f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称，
则y＝－logax＝logx与y＝x－int(x)的图象恰有3个交点，如图所示，
则解得≤a<.
8考点过关检测9 函数的应用
一、单项选择题
1．[2022·湖北襄阳五中月考]下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( )
A．y＝x2－x－3B．y＝－0.2x
C．y＝sin2xD．y＝x－
2．函数f(x)＝ex－1－2的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．[2022·山东临沂一中月考]方程log4x＝2－的解所在的区间是( )
A.B.
C.D.
4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
5．[2022·辽宁朝阳模拟]某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤7，x∈N)天进店消费的人数为y，且y与([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )
A．74B．76
C．78D．80
6．[2022·江苏省镇江中学月考]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(x)且f(1)＝0，当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)－lg|x|＝0的实根个数为( )
A．6B．8
C．10D．12
7．[2022·北京丰台模拟]已知函数f(x)＝，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－2,0)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
8．[2022·福建福州月考]根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N*)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t)＝eat＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A．5周B．6周
C．7周D．8周
二、多项选择题
9．已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是( )
A．f(x)可能有三个零点
B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)D．f(0)10．[2022·广东揭阳一中月考]函数f(x)＝a－cosx的零点个数可能为( )
A．1B．3
C．4D．5
11．[2022·河北衡水中学月考]地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lg(其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是( )
A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E也增加到原来的100倍
D．若最大振幅Amax增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍
12．[2022·海南昌茂花园学校月考]已知函数f(x)＝，下列是关于函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数的判断，其中不正确的是( )
A．当k>0时，有3个零点
B．当k<0时，有2个零点
C．当k>0时，有4个零点
D．当k<0时，有1个零点
三、填空题
13．设函数f(x)＝ax＋b，其中a>0，a≠1，b∈R.若f(x)无零点，则b的取值范围是________．
14．[2022·广东肇庆一中月考]若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．
15．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋l(k为正的常数)，假定车身长为4m，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长．应规定车速为________km/h时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
16．[2022·湖南师大附中模拟]设f(x)＝且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则①m的取值范围是__________；②x1x2x3的取值范围是________．
四、解答题
17．[2022·河北张家口模拟]已知函数f(x)＝lnx－m.
(1)若函数g(x)＝f(x)＋ex在区间内存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的方程f＝有实数根，求实数m的取值范围．
18.[2022·北京四中月考]已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝f(x)，其中f(x)＝.某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度；
(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
考点过关检测9 函数的应用
1．答案：D
解析：y＝x2－x－3在上单调递减，不合题意，A错误；令－0.2x＝0，方程无解，不合题意，B错误；y＝sin2x在上单调递减，不合题意，C错误；y＝x与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增；令x－＝0，解得：x＝±1，则y＝x－在(0，＋∞)上存在零点x＝1，D正确．
2．答案：B
解析：因为函数f(x)为单调递增函数，且f(2)＝e－2>0，f(1)＝－1<0，所以零点所在的区间是(1,2)．
3．答案：B
解析：令f(x)＝log4x＋－2，则f(x)为连续函数，又因为f＝log4＋3－2＝log4＋1>0，f＝log4＋2－2＝log4<0，ff<0，所以方程的解所在区间为.
4．答案：C
解析：由题得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，即a(a－3)<0，解得05．答案：C
解析：由题可设y＝k(k≠0)，当x＝1时，y＝10代入可得10＝k＝5k，解得k＝2，所以y＝2，令x＝4，则y＝2＝2＝2×39＝78.
6．答案：D
解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)为周期为2的奇函数，
可得f(－x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝0，∴f(2k－1)＝0(k∈N)，
画出函数y＝f(x)与y＝lg|x|的图象，如图所示，
当x>0时，y＝f(x)与y＝lg|x|有5个交点，
当x<0时，y＝f(x)与y＝lg|x|有7个交点，
故方程f(x)－lg|x|＝0有12个实数根，故D正确．
7．答案：B
解析：分情况讨论，
当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则 0当m<0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，同理可知，需要 m<－2.
当m＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．
∴m的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)．
8．答案：B
解析：由题意可知，ρ(1)＝ea＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a＋b＝1，＝e2a＝，解得ea＝.设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t0)＝eat0＋b＝ea＋b·ea(t0－1)＝6.25×t0－1≤0.1，整理得62.5≤t0－1，设62.5＝m－1，因为4<62.5<5，所以49．答案：AC
解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．
10．答案：AB
解析：因为f(x)＝a－cosx的零点个数即函数y＝a，y＝cosx图象交点的个数，
由图可知，当a＝1时，交点只有1个；
当a＝时，交点有3个．正数a越大，交点个数越少．
故零点个数可能为1，或2，或3.
11．答案：AD
解析：因为M′＝M＋1＝lg＋1＝lg＝lg，所以A′max＝10Amax，故A正确；因为E′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E，所以B错误；因为M′＝lg＝2＋lg＝2＋M，E′＝104.8×101.5(M＋2)＝104.8×101.5M＋3＝103E，所以C错误，D正确．
12．答案：AB
解析：函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数，即方程f[f(x)＋1]＝0的解的个数，x≤0时，
由kx＋1＝0得x＝－，k≠0，若k>0，则x＝－是f(x)＝0的一个解，k<0时，x＝－不是f(x)＝0的解，
x>0时，由f(x)＝log2x＝0，得x＝1是f(x)＝0的一个解．
所以若k<0，则由f[f(x)＋1]＝0得f(x)＋1＝1得f(x)＝0，x＝1，D正确；
若k>0，则由f[f(x)＋1]＝0得f(x)＋1＝1，或f(x)＋1＝－，
f(x)＋1＝1即f(x)＝0 x＝1或x＝－，
f(x)＋1＝－即f(x)＝－－1，－－1<0，log2x＝－－1有一解x＝2－－1，
kx＋1＝－－1，x＝－－是一解，
综上方程f[f(x)＋1]＝0共4个解．C正确．
13．答案：[0，＋∞)
解析：因为指数函数y＝ax的值域为(0，＋∞)，故函数f(x)＝ax＋b的值域为(b，＋∞)，
因为函数f(x)无零点，则0 (b，＋∞)，所以，b≥0.
14．答案：
解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
15．答案：50
解析：由题设，2.66×4＝4×602k＋×4，解得k＝6×10－4，∴d＝2.4×10－3v2＋2，要使大桥上每小时通过的车辆最多，则使y＝最大，∴由题意，y＝＝≤＝，当且仅当0.0024v＝，即v＝50km/h时等号成立．
16．答案：①0解析：当x<0时，由复合函数的单调性知：y＝log2(x2－3x＋1)单调递减，作出函数f(x)的图象，如图所示：
由图可知，当00，且x2＋x3＝2×2＝4≥2，∴0令log2(x2－3x＋1)＝2，解得x＝(舍去)或x＝.∴∴2(3－)17．解析：(1)因为函数f(x)＝lnx－m与y＝ex在都是增函数，
所以函数g(x)＝f(x)＋ex＝lnx＋ex－m在也是增函数，
因为函数g(x)在区间内存在零点，所以
解得0所以实数m的取值范围为(0，e)．
(2)关于x的方程f＝有实数根等价于关于x的方程2m＝2ln(ex＋1)－x有实数根，所以存在实数x使2m＝ln(ex＋1)2－lnex＝ln＝ln(ex＋＋2)成立．
因为ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，x＝0时取等号)，
所以ln(ex＋＋2)≥ln＝2ln2，
所以实数m的取值范围是[ln2，＋∞)．
18．解析：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝f(x)，
其中f(x)＝.
所以若只投放1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f(3)＝－1＝3.8(克/升)；
(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3(克/升)时，它能起到去污的作用．
当0≤x≤4时，－1≥3，解得2≤x≤4，
当4≤x≤14,7－x≥3，解得4综上所述，有效去污时间为6分钟；
(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×＋1×＝5>3，
所以在第12分钟起(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．
9考点过关检测25 平面向量的线性运算
一、单项选择题
1．[2022·山东春考题]如下图，M是线段OB的中点，设向量＝a，＝b，那么能够表示为( )
A．a＋bB．－a＋b
C．a－bD．－a－b
2．[2022·河北邢台月考]已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，－2)，c＝(t,2－t)，若(2a＋b)∥c，则t＝( )
A．－B.
C．－D.
3．[2022·湖北武汉模拟]△ABC中，＝2，＝3，设＝a，＝b，则＝( )
A.a－bB.a＋b
C.a＋bD.a－b
4．在平行四边形ABCD中，E为AC的三等分点(靠近点A)，连接BE并延长，交AD于H，则＝( )
A.－B.－
C.－D.－
5.
[2022·福建长汀一中月考]如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝λ＋，则实数λ的值为( )
A.B.
C.D.
6.
[2022·山东潍坊模拟]如图，在平行四边形ABCD中，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．－B．1
C.D.
7.
[2022·江苏南通模拟]如图，O为正六边形ABCDEF的中心，则下列的终点P落在△ODE内部(不含边界)的是( )
A.＝－
B.＝＋
C.＝＋
D.＝－
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为AF的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9.
已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，则下列等式中正确的是( )
A.＋＝
B.＋＋＝0
C.＋＝
D.＋＝
10．[2022·河北张家口一中月考]若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2,1) B．(2,2)
C．(3,1) D．(3,2)
11．[2022·重庆一中月考]在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝＋
12．[2022·广东广州模拟]如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若＝λ＋μ，则下列判断正确的是( )
A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ＋μ＝4的点P有两个
C．满足λ＋μ＝3的点P有且只有一个
D．满足λ＋μ＝1的点P有两个
三、填空题
13．在△ABC中，已知＝(2,8)，＝(－3,2)，若＝，则的坐标为________．
14．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝－a＋4b，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
15．[2022·湖南雅礼中学月考]在△ABC中，O，D分别为边AB，BC的中点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
16．[2022·广东实验中学月考]如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝________，λ2－2μ的最小值是________．
考点过关检测25 平面向量的线性运算
1．答案：B
解析：由题意，＝－＝b－a.
2．答案：D
解析：由2a＋b＝(1,2)，又(2a＋b)∥c，∴2t＝2－t，可得t＝.
3．答案：A
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝a－b.
4．答案：C
解析：因为△AHE∽△CBE，所以＝＝，所以点H是线段AD的中点，
所以＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－.
5．答案：B
解析：由题意及图：＝＋＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m)，
又＝，所以＝，所以＝m＋(1－m)，又＝λ＋，
所以，解得：m＝，λ＝.
6．答案：D
解析：＝－＝－＝－(＋)＝－，
又∵＝λ＋μ，，不共线，
根据平面向量基本定理可得λ＝，μ＝－，∴λ＋μ＝.
7．答案：B
解析：对于A：＝－＝＋，以O为公共起点，，为邻边作平行四边形，得对角线＝＋，显然点P不在△ODE内部；
对于B：＝＋，以O为公共起点，，为邻边作平行四边形，得对角线＝＋，显然点P在△ODE内部；
对于C：＝＋，以O为公共起点，，为邻边作平行四边形，得对角线＝＋，显然点P不在△ODE内部；
对于D：＝－＝＋，以O为公共起点，，为邻边作平行四边形，得对角线＝＋，显然点P不在△ODE内部．
8．答案：D
解析：
以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，设|EF|＝1，由E为AF的中点，
∴E(0,0)，G(1,1)，A(－1,0)，B(1，－1)，D(0,2)，
则＝(1,1)，＝(2，－1)，＝(1,2)，
由＝λ＋μ，得：(1,1)＝λ(2，－1)＋μ(1,2)，
∴，解得，则λ＋μ＝.
9．答案：ABC
解析：对于A选项，＋＝，正确；
对于B选项，＋＋＝＋＝0，正确；
对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知＋＝＝，正确；
对于D选项，＋＝≠，所以D错误．
10．答案：BC
解析：由题意，＝或＝，
由于＝(3，－3)，设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)
则当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，∴x＝2，y＝2，即P(2,2)；
＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，∴x＝3，y＝1，即P(3,1)．
11．答案：BD
解析：
易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，
N是线段OD的中点，∴DE＝AB，
∴＝＋＝＋
∴D说法错误；
∵＝＝＋
∴C说法正确；
∵＝＋＝(＋)＋(－)＝＋
∴A说法正确，B说法错误．
故选BD.
12.
答案：CD
解析：设AB＝1，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则＝(1,0)，＝(－1,1)，设点P(x0，y0)，则有
得故λ＋μ＝x0＋2y0，
对于A选项，若λ＋μ＝2，则x0＋2y0＝2，可知直线x0＋2y0＝2与正方形边界交于点D和BC的中点，故A选项错误；同理可得，C，D选项正确；对于B选项，若λ＋μ＝4，则x0＋2y0＝4，可知直线x0＋2y0＝4与正方形边界没有交点，故错误．
13．答案：
解析：由题设，点M是线段BC的中点，
∴＝(＋)＝[(2,8)＋(－3,2)]＝.
14．答案：－8
解析：由题得＝λ，2a＋kb＝－λa＋4λb，∴，∴k＝－8，λ＝－2.
15.
答案：
解析：如图所示：
因为O，D分别为边AB，BC的中点，
所以＝＋＝＋＝＋，
所以＝－＋2，即x＝－，y＝2，x＋y＝.
16．答案：2 －
解析：因为在△ABC中，＝，所以＝2.
由向量定比分点公式得＝＋，
即＝＋.
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设＝x(0所以＝＋，
对比＝λ＋μ可得λ＝，μ＝.
代入λ＝，μ＝，得＝＝2；
代入λ＝，μ＝可得λ2－2μ＝－2×＝－(0根据二次函数性质知当x＝－＝时，min＝×－×＝－.
9考点过关检测26 平面向量的数量积
一、单项选择题
1．设平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·＝( )
A．1B．2C．3D．4
2．[2022·湖北汉阳一中月考]已知＝(1,3)，＝(2，t)，||＝1，则·＝( )
A．5B．7C．9D．11
3．[2022·河北保定模拟]已知向量a＝(x,1)，b＝(－2，y)，若2a＋b＝(2,6)，则向量a与b的夹角为( )
A.B.C.D.
4．[2022·福建龙岩一中月考]已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－2b|的值为( )
A.B．2C．4D.
5．已知单位向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为( )
A.B.C.D.
6．若向量a＝(3，)，|b|＝5，a·b＝10，a与b的夹角为60°，则x＝( )
A．16B．4C．7D.
7．[2022·北京丰台二中月考]已知等边三角形ABC的边长为1，若＝a，＝b，＝c，则a·b－b·c＋c·a等于( )
A．－B.C．－D.
8．[2022·辽宁沈阳模拟]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若＝3，则与的夹角为( )
A．30°B．45°
C．60°D．135°
二、多项选择题
9．[2022·湖南湘潭模拟]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－4)，且a与b的夹角为α，则( )
A．a－b＝(1，－2) B．|b|＝2|a|
C．a∥bD．cosα＝－
10．[2022·广东深圳月考]已知平面向量＝(－1，k)，＝(2,1)，若△ABC是直角三角形，则k的可能取值是( )
A．－2B．2C．5D．7
11．[2022·湖南雅礼中学月考]设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|b－2a|＝，则以下结论正确的是( )
A．a⊥b
B．|a＋b|＝2
C．|a－b|＝
D．向量a，b夹角为60°
12.
[2022·山东济南模拟]已知四边形OABC和四边形ODEF为正方形＋3＝0，·＝12，则下列说法正确的是( )
A．||＝3B．||＝1
C.·＝3D.·＝－2
三、填空题
13．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，若(3a＋kb)⊥a，则实数k＝________.
14．设向量a＝(1，m)，b＝(2,1)，且b·(2a＋b)＝7，则m＝________.
15．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
16．[2022·天津杨村一中月考]在平面四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝4，连接AC，∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，则·＝________；E为线段AD上的动点，则·的最小值为________．
考点过关检测26 平面向量的数量积
1．答案：A
解析：由题意，a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×12＋1×2×cos120°＝2－1＝1
则a·＝1.
2．答案：D
解析：由已知，得＝－＝(2，t)－(1,3)＝(1，t－3)，又||＝1，
所以＝1，解得t＝3，
所以·＝(1,3)·(2,3)＝2＋9＝11.
3．答案：B
解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2，y)，且2a＋b＝(2,6)，所以得x＝2，y＝4，即a＝(2,1)，b＝(－2,4)，
则cos〈a，b〉＝＝＝0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
即a与b的夹角为.
4．答案：B
解析：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，所以a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，
所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝22＋4－4×1＝4，所以|a－2b|＝2.
5．答案：C
解析：由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，所以|a＋b|＝|－c|，
即|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以a·b＝－，
由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－，得〈a，b〉＝.
6．答案：C
解析：由题可知：a·b＝10，a与b的夹角为60°，|b|＝5，
所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝·|a|＝10 |a|＝4，则|a|＝＝4，由x≥0，所以x＝7.
7．答案：A
解析：
如图，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos120°＝－，
b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1×1×cos120°＝－，
c·a＝|c||a|cos〈c，a〉＝1×1×cos120°＝－，所以a·b－b·c＋c·a＝－.
8．答案：B
解析：
如图：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝1，＝3，
则B(3,0)，D(0,1)，C(3,1)，E(1,0)，则＝(－3,1)，＝(－2，－1)，
故cos〈，〉＝＝＝，
因为0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝45°.
9．答案：BD
解析：对于A中，由a－b＝(1－2,2＋4)＝(－1,6)，所以A不正确；对于B中，由|a|＝＝，|b|＝＝2，所以B正确；对于C中，由a＝(1,2)，b＝(2，－4)，可得≠，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公式，可得cosα＝＝＝－，所以D正确．
10．答案：BD
解析：＝(－1，k)，＝(2,1)，＝－＝(3,1－k)，
若A＝90°，则·＝0，∴－2＋k＝0，解得k＝2；
若B＝90°，则·＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，此时方程无解；
若C＝90°，则·＝0，∴6＋(1－k)＝0，解得k＝7.
结合选项可知BD正确．
11．答案：AC
解析：|b－2a|2＝|b|2＋4|a|2－4a·b＝5，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以A正确，D不正确；|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝，所以B不正确，同理C正确．
12.
答案：ACD
解析：如图建立平面直角坐标系，
因为＋3＝0，所以OC＝3OD，
设OD＝a(a>0)，则A(0,3a)，O(0,0)，B(3a,3a)，D(－a,0)，C(3a,0)，
因为·＝(a,3a)·(3a,3a)＝3a2＋9a2＝12a2＝12，所以a＝1，
对于A，||＝3a＝3，所以A正确，
对于B，||＝＝，所以B错误，
对于C，·＝(0，－3)·(－3，－1)＝3，所以C正确，
对于D，·＝(1,3)·(1，－1)＝－2，所以D正确．
13．答案：－3
解析：因为a＝(2,1)，b＝(1,3)，所以3a＋kb＝(6＋k,3＋3k)
因为(3a＋kb)⊥a，所以2×(6＋k)＋1×(3＋3k)＝0，解得k＝－3.
14．答案：－1
解析：2a＋b＝(4,2m＋1)，∵b·(2a＋b)＝7，∴2×4＋2m＋1＝7，解得：m＝－1.
15．答案：－
解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
16．答案：－3
解析：
由于∠ABC＝90°，如图以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
由于AD＝4，∠CAD＝30°，故CD＝2，AC＝2，
又AB＝BC，故BC＝，AB＝3，
∴B(0,0)，C(，0)，A(0,3)，D(2，1)，
∴·＝(－，0)·(，1)＝－3.
不妨设＝t(0≤t≤1)，
∴＝＋＝＋t＝(0,3)＋t(2，－2)＝(2t,3－2t)，
＝＋＝(－，0)＋(2t,3－2t)＝(2t－，3－2t)，
∴·＝2t×(2t－)＋(3－2t)2＝16t2－18t＋9，
故当t＝时，·取得最小值为.
6考点过关检测27 平面向量的综合应用
一、单项选择题
1．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于( )
A．－B．－3
C．3D.
2．[2022·山东济南模拟]在四边形ABCD中，＝－，且·＝0，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形B．菱形
C．正方形D．梯形
3．[2022·湖北恩施模拟]圆内接四边形ABCD中AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝( )
A．12B．－12
C．20D．－20
4．[2022·辽宁大连模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋(b－2c)＋c＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
5．[2022·福建福州外国语学校月考]在△ABC中，设||2－||2＝2·，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心B．内心
C．重心D．外心
6．过点P(2,1)的直线l与函数f(x)＝的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则(＋)·＝( )
A.B．2
C．5D．10
7．[2022·广东高州模拟]已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O l，若正实数x、y满足4＝2x＋y，则的最小值为( )
A．1B．2
C．3D．4
8．[2022·河北衡水中学月考]窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．[2022·辽宁沈阳模拟]已知点O为平面直角坐标系原点，角α，β的终边分别与以O为圆心的单位圆交于A，B两点，若sinα>0，β为第四象限角，且cosβ＝，则( )
A.·＝cos(α＋β)
B．当||＝时，·＝－1
C．||最大值为2
D．当||＝1时，cosα－sinα＝
10．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( )
A．|a|＝|b|B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥bD．a与b的夹角为
11.
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝
D．||2＝·
12．[2022·山东肥城月考]已知向量a＝(sinx，
cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋，则( )
A．当x∈时，存在着实数x，使得a∥b
B．当x∈时，存在着实数x，使得a⊥b
C．当x∈时，函数f(x)的最大值为
D．当x∈时，函数f(x)的最小值为－
三、填空题
13．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，其中0<θ<2π，若a⊥b，则θ＝________.
14．[2022·江苏省天一中学月考]等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝＋，则△ABC的面积为________．
15．[2022·广东龙岗模拟]已知点P在圆x2＋y2＝4上，已知A(3,0)，B(0,4)，则·的最小值为________．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a＋c＝2bcosC，则角B的大小为________；设D为边AC上一点，且∠ABD＝∠CBD，BD＝1，则·的最小值为________．
四、解答题
17．已知：＝(1，sinx－1)，＝(sinx＋sinxcosx，sinx)，f(x)＝·(x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
18．[2022·福建大同中学月考]已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝3，c＝4，＝2，求AD的长．
考点过关检测27 平面向量的综合应用
1．答案：A
解析：由已知，cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，故5sin2α＝1，
所以2sinαcosα＝－4sin2α＝－.
2．答案：B
解析：由＝－＝可知，四边形ABCD为平行四边形；又由·＝0可知，四边形对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形．
3．答案：B
解析：
由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||cos∠BDA－||||cos∠BDC＝||2－||2＝4－16＝－12.
4．答案：B
解析：因为a＋(b－2c)＋c＝0，所以(a－c)＋(b－c)＝0，所以a－c＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．
5．答案：D
解析：
设BC的中点是O，||2－||2＝2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，
所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心．
6．答案：D
解析：f(x)＝＝＋1，函数f(x)的图象关于点P对称，直线l与函数f(x)的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有＋＝2，于是(＋)·＝22＝2×(22＋12)＝10.
7．答案：B
解析：∵4＝2x＋y，∴＝＋，由于A、B、P是直线l上三个相异的点，所以＋＝1，又x>0，y>0，由基本不等式得＝＋＝＝＋＋1≥2，当且仅当y＝2x时取等号．
8．答案：C
解析：
如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为边长为4的等边三角形，
当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，
当点P为正六边形各边的中点时，||取最小值，即||min＝4sin＝2，所以，||∈[2，4]．
所以，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－4∈[8,12]．
9．答案：CD
解析：易知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，
·＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，故A错误；
当||＝时，⊥，∴·＝0，故B错误；
由于sinα>0，故AB过原点时，||最大且最大值为2，故C正确；
因为cosβ＝，且β为第四象限角，所以sinβ＝－.
∵||＝1，∴∠AOB＝，即α－β＝＋2kπ，k∈Z，
∴cosα－sinα＝－2sin＝－2sinβ＝，故D正确．
10．答案：CD
解析：因为|a|＝2，|b|＝，故A错误；因为a－b＝(1，－1)，b＝(1,1)，且1×1＋1×(－1)＝0，所以(a－b)⊥b，故B错误，C正确；因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为.故D正确．故选CD.
11．答案：ABC
解析：·＝||·||cosA，由||·cosA＝||可得||2＝·，即选项A正确，·＝||·||cosB，由||·cosB＝||可得||2＝·，即选项B正确，
∵||·||＝||·||，由选项A，B可得||2＝，即选项C正确，
由·＝||·||cos(π－∠ACD)<0，又||2>0，知选项D不正确．
12．答案：BD
解析：向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，
若a∥b，则－sinxcosx－cos2x＝0，又x∈，∴tanx＝－，
显然当x∈时，不存在实数x，使得a∥b，故A错误；
若a⊥b，则sinxcosx－cos2x＝0，
又x∈，∴tanx＝，∴x＝，故B正确；
∵向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，
∴f(x)＝a·b＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin，
当x∈时，2x－∈，函数f(x)的最大值为1，此时x＝；
函数f(x)的最小值为－，此时x＝0，故C错误，D正确．
13．答案：π或π
解析：由于a⊥b，所以sinθ＋cosθ＝0，sinθ＝－cosθ，tanθ＝－1，
由于0<θ<2π，所以θ的值为π或π.
14．答案：
解析：
如图，由于＝＋，所以＝，
＝，
则||＝4，||＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，
BE＝1，所以AB＝5，
即腰长为5，故△ABC的面积S＝×5×5＝.
15．答案：－6
解析：因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以设点P(2cosθ，2sinθ)，θ∈R，
则＝(3－2cosθ，－2sinθ)，＝(－2cosθ，4－2sinθ)，
所以·＝－2cosθ×(3－2cosθ)－2sinθ×(4－2sinθ)，
化简得·＝4－8sinθ－6cosθ＝4－10sin(θ＋φ)，tanφ＝，
所以当sin(θ＋φ)＝1时，·取得最小值－6.
16．答案： 2
解析：由正弦定理，得2sinA＋sinC＝2sinBcosC，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
得2cosBsinC＋sinC＝0，由0得B＝.
由题意，得acsin＝a×1×sin＋c×1×sin，化简得ac＝a＋c，由基本不等式，得ac＝a＋c≥2，
即ac≥4(当且仅当a＝c＝2时取等号)．
所以·＝accos≥2(当且仅当a＝c＝2时取等号)．
17．解析：(1)f(x)＝·＝sinx＋sinxcosx＋sinx(sinx－1)＝sinx＋sinxcosx＋sin2x－sinx＝sin2x＋＝(sin2x－cos2x)＋＝sin (2x－)＋，x∈R，所以f(x)max＝，最小正周期是T＝＝π；
(2)2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
18．解析：(1)因为2bcosA＝acosC＋ccosA，所以由正弦定理可得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
即2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以2cosA＝1，cosA＝，
∵A∈，故A＝；
(2)由＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以2＝2＋·＋2＝＋×4×3cos＋×9＝，
所以||＝.
9考点过关检测28 复数
一、单项选择题
1．[2021·新高考Ⅱ卷]复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．[2022·广东汕头模拟]设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2＝( )
A．－10B．10C．－8D．8
3．已知复数z1＝a－i，z2＝2＋i(i为虚数单位)，若z1z2是纯虚数．则实数a＝( )
A．－B.C．－2D．3
4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝( )
A．1B.C.D.
5．[2022·山东青岛模拟]已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，则＝( )
A．1－iB．1＋iC．－iD．i
6．[2022·湖北武汉一中月考]已知复数z满足＝2＋ai，|z|＝5，则正数a＝( )
A．1B．2C.D.
7．[2022·福建泉州模拟]若z＝1＋i，则()2020＋()2021的虚部为( )
A．iB．－iC．1D．－1
8．[2022·江苏如皋模拟]已知复数z满足|z－1|＝|z－i|，则在复平面上z对应点的轨迹为( )
A．直线B．线段
C．圆D．等腰三角形
二、多项选择题
9．[2022·辽宁朝阳模拟]下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝
B．z－z2＝1＋i
C．z的共轭复数为－1＋i
D．z的虚部为1
10．[2022·湖南师大附中月考]已知实数a满足＝2－i(i为虚数单位)，设复数z＝(a＋1)＋(a－1)i，则下列结论正确的是( )
A．z为纯虚数B．z2为虚数
C．z＋＝0D．z·＝4
11．[2022·山东德州模拟]已知复数z1＝(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．z＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上
12．[2022·湖南长郡中学月考]下列命题为真命题的是( )
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若∈R，则z∈R
C．复数的共轭复数为－2－i
D．关于复数z的方程z2＋(2＋i)z＋b＋i＝0(b∈R)有实数根，则b＝1
三、填空题
13．[2022·北师大实验中学月考]若复数(a＋i)(3＋4i)的实部与虚部相等，则实数a＝________.
14．已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i3)(1－ai)为实数，则z＝________.
15．已知O是复平面内的坐标原点，Z1，Z2两点对应的复数分别是1＋2i,3＋i，则△OZ1Z2的面积是________．
16．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx＋isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则eiπ＋1＝________；＝________.
考点过关检测28 复数
1．答案：A
解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限．
2．答案：A
解析：∵z1＝3－i，z1，z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.
3．答案：A
解析：由已知得z1z2＝(a－i)(2＋i)＝(2a＋1)＋(a－2)i是纯虚数，所以2a＋1＝0且a－2≠0，可得a＝－.
4．答案：B
解析：z＝＝＝＝i－1，∴|z|＝＝.
5．答案：C
解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以＝＝＝＝－i.
6．答案：A
解析：＝2＋ai，∴z＝6－a＋(2＋3a)i，∵|z|＝5，∴＝5，解得正数a＝1.
7．答案：D
解析：因为z＝1＋i，所以＝＝＝i，＝＝＝－i，所以()2020＋()2021＝i2020＋(－i)2021＝1－i，
故其虚部为－1.
8．答案：A
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
根据复数的几何意义知：|z－1|表示复平面内点P(x，y)与点A(1,0)的距离，
|z－i|表示复平面内点P(x，y)与点B(0,1)的距离，
因为|z－1|＝|z－i|，即点P(x，y)到A，B两点间的距离相等，
所以点P(x，y)在线段A，B的垂直平分线上，所以在复平面上z对应点的轨迹为直线．
9．答案：AD
解析：由已知z＝＝＝＝1＋i，
∴|z|＝，z－z2＝1＋i－(1＋i)2＝1＋i－2i＝1－i，共轭复数为1－i，z的虚部为1.
其中真命题为AD，BC为假命题．
10．答案：ACD
解析：由已知，3－ai＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，则a＝－1，所以z＝－2i为纯虚数，z2＝－4为实数，因为＝2i，则z＋＝0，z·＝4.
11．答案：AB
解析：由题意，复数z1＝＝＝－1－i，
所以复数z1在复平面内对应的点(－1，－1)位于第三象限，所以A正确；
由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；
由z＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；
由|z1|＝＝，所以满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，所以D不正确．
12．答案：ABD
解析：设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，则z1z2＝a2＋b2为实数，A选项正确．
设＝a∈R，(a≠0)，则z＝∈R，B选项正确．
＝＝－2－i，其共轭复数是－2＋i，C选项错误．
设a∈R是方程的实根，则a2＋2a＋b＋(a＋1)i＝0，∴a＝－1，b＝1，D选项正确．
13．答案：－7
解析：∵(a＋i)(3＋4i)＝(3a－4)＋(3＋4a)i的实部与虚部相等，∴3a－4＝3＋4a，即a＝－7.
14．答案：
解析：∵z＝(2＋i3)(1－ai)＝(2－i)(1－ai)＝2－a－(2a＋1)i且z∈R，∴2a＋1＝0，可得a＝－，因此，z＝.
15．答案：
解析：依题意可得Z1(1,2)、Z2(3,1)
|OZ1|＝＝，|OZ2|＝＝，|Z1Z2|＝＝，
所以|OZ1|2＋|Z1Z2|2＝|OZ2|2，所以OZ1⊥Z1Z2，
所以S△OZ1Z2＝|OZ1|·|Z1Z2|＝××＝.
16．答案：0 －1
解析：eiπ＋1＝cosπ＋isinπ＋1＝－1＋1＝0，＋i＝cos＋isin＝，
因此，＝＝eπi＝cosπ＋isinπ＝－1.
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