考点过关检测30 空间中的位置关系
一、单项选择题
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
2．[2022·江苏苏州模拟]已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，γ⊥β，且α∩γ＝m，则m⊥β
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
3．[2022·湖北武汉一中月考]已知直线m，n及平面α，β，下列命题中正确的是( )
A．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
4．[2022·河北辛集中学月考]如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是( )
5．[2022·湖南雅礼中学月考]在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( )
A．相交但不垂直 B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直D．无法判断
6．[2022·辽宁大连模拟]在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P满足＝λ＋(λ∈[0,1])，若平面BDP∥平面B1CD1，则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
7.
[2022·山东青岛模拟]如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上B．直线AB上
C．直线BC上D．△ABC内部
8.
[2022·湖南湘潭模拟]如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．AC与BD1是两条相交直线
B．AA1∥平面BB1D1
C．B1C∥BD1
D．A，C，B1，D1四点共面
二、多项选择题
9.
如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
10．[2022·辽宁铁岭模拟]设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则正确命题是( )
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
11．[2021·新高考Ⅱ卷]如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
12．在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法正确的是( )
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面
D．直线BC与平面AFH平行
三、填空题
13．正方体ABCD A1B1C1D1，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
14.
如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
15．[2022·广东深圳模拟]已知α、β是两个不同的平面，m、n均为α、β外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题________．(示例：请将答案写成如下形式：“①②③ ④”)
16.
如图，已知斜三棱柱ABC A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若BC1∥平面AB1D1，则＝________；若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝________.
四、解答题
17.
[2022·山东安丘月考]如图，平面ABCD⊥平面AEBF，四边形ABCD为矩形，△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAF＝∠AEB＝90°.
(1)求证：平面BCE⊥平面ADE；
(2)若点G为线段FC上任意一点，求证：BG∥平面ADE.
18.
[2022·河北石家庄模拟]如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，E为AB上一点，且DC＝2AA1＝2AD＝4AE＝4.
(1)求证：平面B1DE⊥平面AA1C1C；
(2)求三棱锥C1 A1DE的体积．
考点过关检测30 空间中的位置关系
1．答案：C
解析：由已知得，直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．
2．答案：B
解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；对于选项B，若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β，因此正确；对于选项C，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α与β不一定平行，因此不正确；对于选项D，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n不一定垂直，因此不正确．综上，正确的命题是B.
3．答案：D
解析：若m⊥α，n∥β，且m∥n，∴n⊥α，n∥β，∴α⊥β，故A不正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或α∩β，故B不正确；若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则有可能α∥β，不一定α⊥β，所以C不正确；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n可以判断α⊥β是正确的，故D正确．
4．答案：D
解析：A：由正方体性质有AB∥NQ，NQ 面MNQ，AB 面MNQ可知：AB∥面MNQ，排除；B、C：由正方体性质有AB∥MQ，MQ 面MNQ，AB 面MNQ可知：AB∥面MNQ，排除；D：由正方体性质易知：直线AB不平行于面MNQ，满足题意．
5．答案：B
解析：
如图，作AO⊥平面BCD，O为垂足，由AB⊥CD，知CD⊥平面ABO，
∴BO⊥CD.同理可证DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，∴BD⊥平面ACO，故BD⊥AC.
6．答案：D
解析：如图，由正方体性质知：面B1CD1∥面BDA1，要使面BDP∥面B1CD1，
∴P在面BDA1上，即P，B，A1共面，又＝λ＋，λ∈[0,1]，
∴P∈面ABB1A1，
又∵面BDA1∩面ABB1A1＝A1B，
∴P∈A1B，
∴λ＋＝1，可得λ＝.
7．答案：B
解析：
连接AC1，如图．
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，
∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥面ABC1，又AC在平面ABC内，
∴由面面垂直的判定知，面ABC⊥面ABC1，
由面面垂直的性质知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．
8．答案：B
解析：BD1 面ABD1，AC∩面ABD1＝A，A BD1，所以AC与BD1是异面直线，A错；因为AA1∥BB1，AA1 面BB1D1，BB1 面BB1D1，所以AA1∥面BB1D1，B正确；BD1 面BB1D1，B1C∩面BB1D1＝B1，B1 BD1，所以B1C与BD1是异面直线，C错；因为A，C，D1三点在面ACD1上，B1D1与面ACD1相交，所以A，C，B1，D1四点不共面，D错．
9．答案：CD
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C、D正确．
10．答案：AD
解析：因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，选项A正确．当α，β，γ是某三棱柱的三个侧面时，可以满足α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，但是α与β相交，选项B错误．垂直于同一个平面的两个平面可以相交，选项C错误．因为m⊥α，α∥β，所以m⊥β，因为β∥γ，所以m⊥γ，选项D正确．
11．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，故MN⊥OP不成立，故A错误．
对于B，如图2所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ 平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN 平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．
对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO2
12．答案：ABC
解析：A.连接EF，FG，GH，EH，如图1所示，
因为F，G为A1C1，B1C1中点，所以FG∥A1B1，
又因为E，H为AA1，BB1中点，所以EH∥A1B1，所以FG∥EH，所以E，F，G，H四点共面，故正确；
B．连接EG，AC1，如图2所示，因为G，H为BB1，B1C1中点，所以GH∥BC1，又GH 平面ABC1，BC1 平面ABC1，
所以GH∥平面ABC1，同理，由EH∥AB可证明EH∥平面ABC1且EH∩GH＝H，所以平面EGH∥平面ABC1，故正确；
C．取AC的中点F′，连接FF′，F′B，FB1，如图3所示，
显然四边形FF′BB1为平行四边形，又因为AA1∥BB1，AA1 平面FF′BB1，BB1 平面FF′BB1，
所以AA1∥平面FF′BB1，且FH 平面FF′BB1，所以直线A1A与FH异面，故正确；
D．连接A1B∩AH＝M，A1C∩AF＝N，连接MN，如图4所示，
若BC∥平面AFH，因为平面A1BC∩平面AFH＝MN，所以MN∥BC(*)，
因为AA1∥BB1，所以＝＝2，因为A1F∥AC，所以＝＝，
所以≠，所以MN∥BC不成立，这与(*)矛盾，故错误．
13．答案：平行
解析：根据正方体的几何性质可知AC∥A1C1，由于AC 平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，所以AC∥平面A1B1C1D1，由于AC 平面ACB1，平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，所以AC∥l.
14．答案：2
解析：PA⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，故PA⊥DQ，PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，故DQ⊥平面PAQ，AQ 平面PAQ，故AQ⊥DQ，在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即BC与以AD为直径的圆相切，AD∥BC，故AD，BC间的距离为半径，即为1，故a＝AD＝2.
15．答案：①③④ ②(或②③④ ①)
解析：若①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；
若①m⊥n；②α⊥β；④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；
若①m⊥n；③n⊥β；④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β或m β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④ ②；
若②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α或n α，又m⊥α，所以m⊥n，即②③④ ①.
16．答案：1 1
解析：
如图，连接A1B交AB1于点O，由三棱柱性质知，O为A1B的中点，连接OD1，
∵BC1∥平面AB1D1，BC1 平面A1BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，∴BC1∥OD1，
又在△A1BC1中，O为A1B的中点，故D1为A1C1的中点，所以＝1，
若平面BC1D∥平面AB1D1，又平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，
∴BC1∥OD1，同理AD1∥DC1，∴＝，＝，
又＝1，＝1，则＝1.
17．解析：(1)因为ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面AEBF，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，所以BC⊥平面AEBF，又因为AE 平面AEBF，所以BC⊥AE，
因为∠AEB＝90°，即AE⊥BE，且BC、BE 平面BCE，BC∩BE＝B，所以AE⊥平面BCE.
又因为AE 平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE；
(2)因为BC∥AD，AD 平面ADE，BC 平面ADE，所以BC∥平面ADE.
因为△ABF和△ABE均为等腰直角三角形，且∠BAF＝∠AEB＝90°，所以∠EAB＝∠ABF＝45°，所以AE∥BF，
又AE 平面ADE，BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE，
因为BC∩BF＝B，所以平面BCF∥平面ADE.
又因为BG 平面FBC，所以BG∥平面ADE.
18．解析：(1)证明：在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，所以A1A⊥DE.
因为DC＝2AA1＝2AD＝4AE＝4，所以＝，所以Rt△ADE∽Rt△DCA，则∠DAC＝∠DEA.
因为∠DEA＋∠ADE＝90°，所以∠DAC＋∠ADE＝90°，则DE⊥AC.
又A1A∩AC＝A，AA1 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，
所以DE⊥平面AA1C1C，又DE 平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面AA1C1C.
(2)由(1)知DE⊥平面AA1C1C，设AC与DE交于点F，连接A1F，C1F，
则VC1 A1DE＝VD A1C1F＋VE A1C1F＝EF·S△A1C1F＋DF·S△A1C1F＝DE·S△A1C1F.
易知DE＝＝，AC＝＝2，
在矩形AA1C1C中，易知S△A1FC1＝SAA1C1C＝×2×2＝2，
所以VC1 A1DE＝DE·S△A1C1F＝××2＝.
10考点过关检测31 空间角
一、单项选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列直线与AC成60°角的是( )
A．B1C1B．BC1
C．DD1D．B1D
2．[2022·福建泉州模拟]在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为( )
A.B.
C．－D．－
3．[2022·河北邯郸模拟]如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
4．[2022·广东深圳模拟]在正三棱柱ABC A1B1C1中，2AB＝AA1，则B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为( )
A.B.
C.D.
5．若一个圆锥的母线与底面所成的角为60°，侧面积为14π，则该圆锥的体积为( )
A.πB．7π
C.πD．14π
6．[2022·福建师大附中模拟]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为( )
A.B.
C.D.
7．[2022·江苏南京模拟]如图，四棱锥P ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列说法错误的是( )
A．l∥平面PAD
B．l⊥PD
C．直线PA与l所成角的正切值为
D．平面α截四棱锥P ABCD所得的上下两部分几何体的体积之比为
8．[2022·山东济南模拟]已知菱形ABCD，AB＝BD＝2，将△ABD沿BD折起，使二面角A BD C的大小为60°，则三棱锥A BCD的体积为( )
A.B.
C.D．2
二、多项选择题
9．已知正四棱锥S ABCD的侧棱长是底面边长的倍，O为底面中心，E是SB的中点，AC＝2，则( )
A．异面直线AE，SC所成角的余弦值为
B．SA＝
C．异面直线AE，SC所成角的余弦值为
D．SO＝
10．[2022·山东淄博模拟]已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则( )
A．棱台的侧面积为8
B．棱台的体积为13
C．棱台的侧棱与底面所成的角
D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
11．[2022·江苏苏州十中月考]矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将此矩形沿着对角线BD折成一个三棱锥C BDA，则以下说法正确的有( )
A．三棱锥C BDA的体积最大值为
B．当二面角C BD A为直二面角时，三棱锥C BDA的体积为
C．当二面角C BD A为直二面角时，三棱锥C BDA的外接球的表面积为5π
D．当二面角C BD A不是直二面角时，三棱锥C BDA的外接球的表面积小于5π
12.
[2022·广东珠海模拟]如图，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则( )
A．PA＝4
B．三棱锥P ABC的外接球的表面积为32π
C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为
D．AB与平面PBC所成角的正弦值为
三、填空题
13.
[2022·河北秦皇岛一中月考]如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，CB＝CC1＝2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为________.
14．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小是________．
15.
[2022·湖北武汉模拟]如图所示，已知四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C BF D的平面角的正切值为________．
16.
如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝，AB＝1，则异面直线PB与CD所成角的大小为________；二面角P CD A的大小为________．
四、解答题
17.
如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACE；
(2)设PA＝1，AD＝，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P ABCD的体积．
18.
[2022·湖南长沙模拟]如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)求证：平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)若二面角F AE C为45°，求三棱锥F AEC的体积．
考点过关检测31 空间角
1．答案：B
解析：因为B1C1∥BC，所以AC与B1C1所成的角为∠ACB＝45°
因为BC1∥AD1，所以AC与BC1所成的角为∠CAD1＝60°
因为DD1⊥平面ABCD，所以AC与DD1所成的角为90°，
因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，
因为B1D 平面BDD1B1，所以AC⊥B1D，即AC与B1D所成的角为90°.
2．答案：A
解析：
联接B1D，交AC1于O点，则O点为B1D的中点，取CD的中点E，则OE∥B1C
异面直线AC1与B1C所成角即直线AC1与OE所成角，
在△OAE中，OA＝＝1，OE＝B1C＝×＝，
AE＝＝
则cos∠AOE＝＝＝
故异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
3．答案：B
解析：在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，
连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，
∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，
在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝；
连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得：BC＝；
在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°.
4．答案：B
解析：
取AB中点D，连接B1D，CD，
∵三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱，∴△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，
∵D为AB中点，CD 平面ABC，∴CD⊥AB，CD⊥AA1，
又AB，AA1 平面AA1B1B，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面AA1B1B，
∴B1C与平面AA1B1B所成角为∠CB1D，
不妨设AB＝a，则AA1＝BB1＝2a，∴CD＝a，B1D＝a，
∴tan∠CB1D＝＝，即B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为.
5．答案：A
解析：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，由圆锥的结构特征知：cos60°＝，即l＝2r，
圆锥侧面积S＝πrl＝2πr2，则2πr2＝14π，r＝，l＝2，
圆锥的高h＝＝＝，
圆锥的体积为V＝πr2h＝π·()2·＝π.
6．答案：B
解析：
设AP＝AB＝1，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，
＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)，
设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，
则，取y＝1，则z＝1，得m＝(0,1,1)，
平面ABP的法向量n＝(0,1,0)，
设平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为θ，
则cosθ＝＝＝.
7．答案：C
解析：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
又AD 平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝l，所以AD∥l，而AD 平面PAD，l 平面PAD，所以l∥平面PAD，A正确；
PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PD⊥AD，所以PD⊥l，B正确；
直线PA与l所成角即∠PAD，在△PAD中tan∠PAD＝＝＝2，C错；
取PC中点F，因为E是PB中点，则EF∥BC，所以EF∥AD，EF即为直线l，
连接BD，ABCD是矩形，S△ABD＝S△BDC，则VP ABD＝VP BDC＝VP ABCD，
EF是△PBC的中位线，所以S△PEF＝S△PBC，所以VD PEF＝VD PBC＝VP ABCD，
AE是△PAB的中线，S△PAE＝S△ABE，VD PAE＝VD PAB＝VP ABCD，
所以VP AEFD＝VD PEF＋VD PAE＝VP ABCD，从而VABCDEF＝VP ABCD，所以＝.D正确．
8．答案：A
解析：由题意可得示意图，E为BD中点，∠AEC＝60°，
∵ABCD是菱形，AB＝BD＝2，
∴AE＝CE＝AC＝，即△AEC为等边三角形，则A到CE的高为h＝，
又BD⊥AE，BD⊥CE，AE∩CE＝E，有BD⊥面ACE，BD 面BDC，
∴面ACE⊥面BDC，且面ACE∩面BDC＝CE，故h为三棱锥A BCD的高，
∵S△BDC＝BC·DC·sin60°＝，
∴VA BCD＝h·S△BDC＝.
9．答案：BCD
解析：∵S ABCD是正四棱锥，∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AB⊥BC
∴AC＝＝|AB|，∵AC＝2, ∴AB＝，
∵正四棱锥S ABCD的侧棱长是底面边长的倍∴SA＝SB＝SC＝SD＝，故B正确；
∵S ABCD是正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OA，SO⊥OB，∵AC⊥BD，
∴OA⊥OB，
以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.
在Rt△SAO中，SO⊥OA，SA＝，OA＝1，
∴SO＝＝，故D正确；
由题意A(1,0,0)，S(0,0，)，C(－1,0,0)，E
∴＝，＝(1,0，)．
∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线AE与SC所成角的余弦值为，故C正确．
10．答案：AC
解析：
作正四棱台如图所示：
对于A，过A1作A1H⊥AB于H，过A1作A1M⊥AC于M，所以A1M⊥平面ABCD，AH⊥MH，
AM＝＝，又因为AH＝MH，
AH＝＝1，所以A1H＝＝，AB＝2AH＋1＝3，
所以棱台的侧面积为4×＝8，所以A正确；
对于B，上底面面积S′＝12＝1，下底面面积S＝32＝9，
棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝××13＝≠13，故B错误；
对于C，因为AM为AA1在底面的投影，所以∠A1AM为侧棱与底面所成角．
cos∠A1AM＝＝，则∠A1AM＝，所以C正确；
对于D，∠A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，
cos∠A1HM＝＝＝，所以D错误．
11．答案：ABC
解析：
过C作CE⊥BD于E，在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则∠CEG为二面角C BD A的平面角，如图，
平面CEG⊥平面DBA，过C作CF⊥EG于F，则CF⊥平面DBA，
在直角△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝1，CD＝2，CE＝＝，
显然CF≤CE，当且仅当点E与F重合时取“＝”，即点C到平面ABD距离的最大值为CE＝，
而S△DBA＝AB·AD＝1，则三棱锥C－BDA的体积最大值为CE·S△DBA＝，A正确；
当CF取最大值时，CF 平面BCD，又CF⊥平面DBA，则平面BCD⊥平面DBA，
即二面角C BD A为直二面角，三棱锥C BDA的体积为，B正确；
取BD中点O，连接AO，CO，显然有AO＝CO＝BD＝BO＝DO，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO＝为半径的球面上，
显然，无论二面角C BD A如何变化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为5π，C正确，D不正确．
12．答案：ABD
解析：因为AB＝2，BC＝2，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，设AP＝a，
根据等体积法VP ABC＝VA PBC，即××2×2×a＝××2××，
解得a＝4，所以AP＝a＝4，故A选项正确；
所以三棱锥P ABC的外接球的半径与以BC，BA，AP为邻边的长方体的外接球的半径相等，
所以三棱锥P ABC的外接球的半径为2，
所以三棱锥P ABC的外接球的表面积为32π，故B选项正确；
过点B作PA的平行线BD，则BD⊥平面ABC，
所以以点B为坐标原点，BC，BA，BD所在边分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，C(2，0,0)，A(0,2,0)，P(0,2,4)，
所以＝(0，－2,0)，＝(2，－2，－4)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以直线AB与直线PC所成角的余弦值为，故C选项错误；
因为＝(2，0,0)，＝(0,2,4)，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，令z＝1，所以m＝(0，－2,1)，由于＝(0，－2,0)
故设AB与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.
所以AB与平面PBC所成角的正弦值为，故D选项正确．
13．答案：
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(1，，0)，M(，，2)，N(1,0,2)．
∴＝(－1,0,2)，＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
14．答案：45°
解析：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，有DD1⊥平面ABCD，
直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，
所以∠DAD1为直线AD1与平面ABCD所成角，
在Rt△DAD1中，AD＝DD1，所以∠DAD1＝45°.
15．答案：
解析：
如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，O为AC的中点，
又点F为PC的中点，所以OF∥AP，
因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，
B，F，C，＝，＝，
＝，易知为平面BDF的一个法向量．
设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则，
令x＝1，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)，
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.
由题图知二面角C BF D的平面角为锐角，
故二面角C BF D的平面角的正切值为.
16．答案：60° 45°
解析：(1)因为AB∥CD，所以∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角或其补角，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，因为PA＝，AB＝1，所以∠PBA＝60°；
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，所以∠PDA就是二面角P CD A的平面角，
因为PA＝AD＝，所以∠PDA＝45°.所以二面角P CD A的大小为45°.
17．解析：
(1)连接BD交AC于点O，连接OE.在△PBD中，因为PE＝DE，BO＝DO，
所以PB∥OE，因为OE 平面ACE，PB 平面ACE，则PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBA＝45°，
又PA＝1，AD＝，所以PA＝1＝AB，
所以四棱锥P ABCD的体积VP ABCD＝×PA×AB×AD＝×1×1×＝，
所以四棱锥P ABCD的体积为.
18．解析：(1)证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE 底面ABC，∴AE⊥BB1，
∵直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又BC∩BB1＝B，BC、BB1 平面B1BCC1，∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE 平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)由(1)知，AE⊥平面B1BCC1，则AE⊥BC，AE⊥EF，
可得∠FEC为二面角F AE C的平面角为45°，
在Rt△FCE中，可得FC＝EC，
∵等边三角形ABC的边长为2，∴AE＝，CE＝CF＝1，
则三棱锥F AEC的体积V＝××1××1＝.
14考点过关检测32 立体几何中的向量方法(1)
1．[2022·湖北恩施模拟]如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝AD＝PA＝2CD＝4，G为PD的中点．
(1)求证：AG⊥平面PCD；
(2)若点F为PB的中点，线段PC上是否存在一点H，使得平面GHF⊥平面PCD？若存在，请确定H的位置；若不存在，请说明理由．
2.
[2022·福建厦门模拟]在三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且DE∥平面ABB1A1.
(1)证明：DA＝DC；
(2)若BB1⊥平面ABC，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，AA1＝AC＝AB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值．
3．[2021·新高考Ⅱ卷]在四棱锥Q ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B QD A的平面角的余弦值．
4.
[2022·湖南湘潭模拟]如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝2，AC＝2.
(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；
(2)若二面角P BC A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小．
考点过关检测32 立体几何中的向量方法(1)
1．解析：(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB∥CD，所以CD⊥面PAD，AG 面PAD，CD⊥AG.
又PA＝AD，G为PD的中点，所以AG⊥PD，而PD∩DC＝D，所以AG⊥平面PCD.
(2)以A为坐标原点，，，所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，F(0,2,2)，G(2,0,2)．
所以＝(4,2，－4)，设＝k(0≤k≤1)，所以＝(4k,2k，－4k)，则H(4k,2k，－4k＋4)，所以＝(4k－2,2k，－4k＋2)，＝(2，－2,0)，
设平面GHF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，
n·＝0，
即，令x＝2k－1，则n＝(2k－1,2k－1,3k－1)，
由(1)可知＝(2,0,2)为平面PCD的一个法向量，若平面GHF⊥平面PCD，则n·＝0，即2k－1＋3k－1＝0，解得k＝.即PH＝PC时平面GHF⊥平面PCD.
2．解析：
(1)证明：连接CB1，AB1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，
所以C，E，B1三点共线，且E是CB1中点，
因为平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，
且DE∥平面ABB1A1，DE 平面AB1C，
所以DE∥AB1，
所以D是CA中点，即DA＝DC；
(2)因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BA，BB1⊥BC，
因为平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以∠ABC是二面角A－BB1－C的平面角，
因为平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，所以∠ABC＝，
所以BA，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
因为AC＝AB，∠ABC＝，所以BA＝BC，
设AC＝2，则BA＝BC＝，BB1＝AA1＝AC＝2，B(0,0,0)，C(，0,0)，C1(，0,2)，A(0，，0)，A1(0，，2)，D，E，
所以＝，＝(，0,2)，＝(0，，2)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，即
取x＝，得n＝，
设直线DE与平面A1BC1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值为.
3．解析：
(1)取AD的中点为O，连接QO，CO.
因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，
而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2.
在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝，
因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，
因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，
因为QO 平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.
(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，
结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系．
则D，Q，B，故＝，＝.
设平面QBD的法向量n＝，
则即，取x＝1，则y＝1，z＝，故n＝.
而平面QAD的法向量为m＝，故cos〈m，n〉＝＝.
二面角B QD A的平面角为锐角，故其余弦值为.
4．解析：(1)因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，
又PA，AB为平面PAB内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，
因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；
(2)解法一：由(1)可知，∠ABP为二面角P BC A的平面角，所以∠ABP＝45°，
又PA＝2，AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝2，
过点A作AM⊥PB于M，则AM⊥平面PBC且M为PB中点，连接MN，
则∠ANM为直线AN与平面PBC所成的角，
在Rt△ANM中，AM＝，AN＝，
所以sin∠ANM＝＝，故∠ANM＝60°，
所以直线AN与平面PBC所成的角为60°.
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知，可得B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2,0,2)，C(0,2,0)，
设N(x，y，z)，＝λ(0<λ<1)，则x＝2－2λ，y＝2λ，
z＝2－2λ，
因为AN⊥PC，＝(x－2，y，z)，＝(－2,2，－2)，
所以－2(x－2)＋2y－2z＝0，
解得λ＝，所以N，
故＝，
设平面PBC的法向量为a＝(x，y，z)，因为＝(0,2,0)，＝(2,0,2)，
由，得，
令x＝1，则z＝－1，
所以a＝(1,0，－1)为平面PBC的一个法向量，
所以cos〈a，〉＝＝－，
故直线AN与平面PBC所成的角的正弦值为，
所以直线AN与平面PBC所成的角为60°.
8考点过关检测33 立体几何中的向量方法(2)
1．[2022·辽宁实验中学月考]已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O，OP＝OA＝4，OB＝3，OP⊥底面ABCD，设点M满足＝λ(0<λ<1)．
(1)若三棱锥P MBD体积是，求λ的值；
(2)若直线PA与平面MBD所成角的正弦值是，求λ的值．
2．[2022·湖北武汉一中月考]如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1＝60°，AB＝4，AA1＝2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1.
(1)求证：AB1⊥CC1；
(2)若AB1＝，求二面角C AB1 A1的余弦值．
3.
[2022·福建福清模拟]如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，E为棱PB上一点．
(1)若E为棱PB的中点，求证：直线CE∥平面PAD；
(2)若E为棱PB上存在异于P、B的一点，且二面角E AC B的平面角的余弦值为，求直线AE与平面ABCD所成角的正弦值．
4.
[2022·山东广饶一中月考]如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1.
(1)证明：AD⊥平面CC1D1D；
(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求点D到平面AA1C的距离．
考点过关检测33 立体几何中的向量方法(2)
1．解析：
(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA⊥OB，
因为OP⊥底面ABCD，所以OP⊥OA、OP⊥OB，所以OA、OB、OP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设M(x，y，z)，＝(x，y，z－4)，＝(－4－x，－y，－z)，
因为＝λ(0<λ<1)，所以，
于是，所以M，
过M作MM1⊥OC于M1，过M作MN⊥OP于N，
所以VP MBD＝VP BCD－VM BCD＝·S△BCD·(OP－MM1)
＝··BD·OC·PN＝·6·4·＝，
解得λ＝.
(2)由(1)知＝(4,0，－4)，＝(0,3,0)，＝，
设平面MBD的一个法向量为m＝(u，v，w)，
，
令u＝1，m＝(1,0，λ)，
设直线PA与平面MBD所成的角为θ，
所以sinθ＝＝＝，
解得λ＝或λ＝3(舍去)．
2．解析：(1)证明：取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，
∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1＝60°，AB＝4，AA1＝2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，
∴△ACC1，△B1CC1为正三角形，
则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1＝O，∴C1C⊥平面OAB1，
∵AB1 平面OAB1，∴AB1⊥CC1；
(2)∵∠ABB1＝60°，AB＝4，AA1＝2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC＝2，OA＝，OB1＝，
若AB1＝，则OA2＋OB＝AB，
则三角形AOB1为直角三角形，
则AO⊥OB1，
以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C(1,0,0)，B1(0，，0)，C1(－1,0,0)，A(0,0，)，
则＝(－2,0,0)，
则＝＝(－2,0,0)，＝(0，，－)，＝(1,0，－)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
令z＝1，则y＝1，x＝，则n＝(，1,1)，
设平面A1B1A的法向量为m＝(x，y，z)，则，
令z＝1，则x＝0，y＝1，即m＝(0,1,1)，
则cos〈m，n〉＝＝＝＝.
由于二面角C AB1 A1是钝二面角，
∴二面角C AB1 A1的余弦值是－.
3．解析：
(1)证明：取PA的中点F，连EF，DF，
∵E为PB的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，又CD∥AB，且CD＝AB，
∴EF∥CD，所以四边形CDFE为平行四边形，∴CE∥DF，
又CE 平面PAD，DF 平面PAD，故直线CE∥平面PAD.
(2)以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A xyz，如图所示，
则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)．
设E(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵E在棱PB上，∴可设＝λ(0<λ<1)．
故(x，y，z－1)＝λ(0,2，－1)，解得，
即E(0,2λ，1－λ)，
易知平面ACB的法向量为u＝(0,0,1)，
设平面ACE的法向量v＝(x2，y2，z2)，＝(0,2λ，1－λ)，＝(1,1,0)，
∴，即，即.
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝，故v＝.
因为二面角E AC B的平面角的余弦值为，
所以|cos〈u，v〉|＝，即＝，
即2＝
2＝ 2＝1 λ2＝1－2λ＋λ2，解得λ＝.
∴E，＝.
因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．
设AE与平面ABCD所成角为α，则sinα＝＝＝.
故AE与平面ABCD所成角的正弦值为.
4．解析：(1)在梯形CC1D1D中，因为CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1.
所以∠DD1C1＝，连接DC1，由余弦定理可得DC1＝.
∵DC＋DD＝D1C，∴DC1⊥DD1
∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，
DC1 平面CC1DD1，∴DC1⊥平面AA1D1D，
又∵AD 平面AA1D1D，∴AD⊥DC1.
∵AD⊥DC，DC∩DC1＝D，∴AD⊥平面CC1D1D.
(2)连接A1C1，由(1)可知：A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为原点，
以、分别为x轴、y轴正半轴，过D1作垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
∵A1D1⊥平面CC1D1D，
∴∠A1CD1即为A1C与平面CC1D1D所成的角，
∴∠A1CD＝.
在Rt△A1CD1中，因为CD1＝，所以A1D1＝3，
则：D1(0,0,0)，A1(3,0,0)，D，C，C1(0,2,0)．
所以＝(－3,2,0)，＝，＝(0,1,0)．
设平面AA1C1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，则，
令x＝2得：n＝(2,3，)，
故点D到平面AA1C的距离为：d＝＝＝，
所以点D到平面AA1C的距离为.
8考点过关检测36 双曲线
一、单项选择题
1．[2022·河北邯郸模拟]已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．1B．1或9
C．3或9D．9
2．[2022·山东济南模拟]已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m＝( )
A.B.－1
C.D．2
3．已知双曲线的一条渐近线为x－y＝0，且一个焦点坐标是(－2,0)，则双曲线的标准方程是( )
A．y2－＝1B.－y2＝1
C．x2－＝1D.－x2＝1
4．如果双曲线－＝1的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线C：－＝1(b>0)，则该黄金双曲线C的虚轴长为( )
A．2B．4
C.D．2
5．已知椭圆＋y2＝1(a>1)和双曲线－y2＝1(m>0)有相同焦点，则( )
A．a＝m＋2B．m＝a＋2
C．a2＝m2＋2D．m2＝a2＋2
6．[2022·湖北武昌模拟]已知双曲线C：－＝1，则C的离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
7．[2022·河北唐山模拟]已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为 ( )
A．3B．6
C．9D．18
8．[2022·福建福州三中月考]从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n为参数)表示曲线C，下列说法正确的是( )
A．若m＝n>0，则表示圆
B．若mn>0，则表示椭圆
C．若mn<0，则表示双曲线
D．若mn＝0，m＋n>0，则表示两条直线
10．[2022·江苏省阜宁中学月考]已知双曲线C：x2－＝1，则( )
A．双曲线C的焦距为
B．双曲线C的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线－x2＝1与双曲线C的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为(±，0)
11．[2022·广东揭阳模拟]已知一组直线为x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有( )
A．x2－4y2＝1B．4y2－x2＝1
C．x2－＝1D.－y2＝1
12．[2022·辽宁铁岭模拟]设F1、F2分别是双曲线C：x2－＝1的左右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则下列结论正确的是( )
A．b＝2
B．C的焦距是2
C．C的离心率为
D．△ABF1的面积为4
三、填空题
13．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的离心率为________．
15．[2022·湖北荆州中学月考]已知双曲线的中心在原点，有一个焦点F(0，－2)，它的离心率是方程2x2－5x＋2＝0的一个根，则双曲线的标准方程是________．
16．[2022·北京通州模拟]已知F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则双曲线C的渐近线方程为________；△PF1Q的面积为________．
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－y2＝1左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若直线l过点Q(－1,0)，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若点P为双曲线C上一点，求·的最小值．
18．[2022·重庆巴蜀中学月考]已知双曲线C：－＝1的渐近线方程为：y＝±x，且过点
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过右焦点F且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点，点M坐标为，求kAM＋kBM.
考点过关检测36 双曲线
1．答案：D
解析：由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，
所以|PF1|＝5<2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，
所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9.
2．答案：A
解析：由渐近线y＝±x＝±x，结合双曲线方程，
∴＝，则＝＝，可得m＝.
3．答案：B
解析：由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为x－y＝0，c＝2，则解得
∴双曲线的标准方程是－y2＝1.
4．答案：D
解析：由题意可得＝＝1＋＝2，解得b2＝2，则b＝，故该黄金双曲线C的虚轴长为2b＝2.
5．答案：A
解析：由题得椭圆＋y2＝1(a>1)的半焦距为，
双曲线－y2＝1(m>0)的半焦距为，
所以＝，∴a－1＝m＋1，∴a＝m＋2.
6．答案：C
解析：双曲线－＝1(m>0)的离心率为e＝＝＝，
因为m>0，所以e＝>，
即C的离心率的取值范围为(，＋∞)．
7．答案：C
解析：双曲线C：x2－＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2x，
因|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线：x＝上，则P点纵坐标y0有|y0|＝3，
所以△PF1F2面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9.
8．答案：D
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则OC＝a，因为AB＝BC＝CD，
所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以(a，a)在双曲线上，
代入－＝1可得－＝1，解得＝，
所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝.
9．答案：ACD
解析：若m＝n>0，x2＋y2＝>0，表示圆，A正确；
若m<0，n<0时，mn>0，不表示椭圆，B错误；
若mn<0，则表示焦点在x轴或y轴的双曲线，C正确；
mn＝0，m＋n>0，m＝0，n>0或m>0，n＝0，则x＝±或y＝±，表示两条直线，D正确．
10．答案：BC
解析：因为a2＝1，b2＝6，
所以c2＝1＋6＝7，c＝，焦距为2，所以A错误；
因为＝＝，所以B正确；
双曲线－x2＝1与双曲线C的渐近线方程均为y＝±x，所以C正确；
令y＝0，得x＝±1，所以双曲线的顶点坐标为(±1,0)，所以D错误．
11．答案：ABD
解析：由x2－4y2＝1可得x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选项A正确；
由4y2－x2＝1可得－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选项B正确；
x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，故选项C不正确；
－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选项D正确．
12．答案：ACD
解析：设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t，离心率e＝＝，选项C正确，
∴e＝＝，b＝2，选项A正确，
|F1F2|＝2＝2，选项B错误，
设A为垂线与C的上交点，A(xA，yA)，将xA＝代入得A(，2)，
△ABF1的面积为S＝·|F1F2|·2yA＝4，选项D正确．
13．答案：y＝±x
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
14．答案：
解析：根据渐近线的倾斜角为，可得＝tan＝，
所以＝＝＝＝.
15．答案：y2－＝1
解析：解方程2x2－5x＋2＝0可得x1＝2，x2＝，因为双曲线的离心率e>1，故e＝2，
由已知可得c＝2，则e＝＝2，∴a＝1，b＝＝，
因为双曲线的焦点在y轴上，故双曲线的标准方程为y2－＝1.
16．答案：y＝±x 12
解析：由题意，双曲线C：x2－＝1，可得a＝1，b＝，则c＝＝2，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，
又由过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，
令x＝2，代入双曲线的方程，可得y＝±3，即P(2,3)，Q(2，－3)，
所以△PF1Q的面积为S＝|PQ|·|F1F2|＝×6×4＝12.
17．解析：(1)显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：y＝k(x＋1)，代入双曲线方程得：x2－2k2x－k2－1＝0.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：－即斜率k的取值范围为.
(2)双曲线C：－y2＝1左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．
设P(x，y)，则|x|≥2，所以·＝(－－x,0－y)·(－x,0－y)＝x2－5＋y2＝x2－5＋－1＝－6，
因为|x|≥2，所以x2≥4，所以·＝－6≥－1，即·的最小值为－1.
18．解析：(1)由题意可得：解得：，所以－y2＝1，
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1；
(2)c2＝a2＋b2＝4，所以F(2,0)，
设直线l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得：(m2－3)y2＋4my＋1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
kAM＋kBM＝＋＝＋
＝＝，
所以2my1y2＋(y1＋y2)＝2m×＋×＝＝0，
所以kAM＋kBM＝＝0.
8考点过关检测37 抛物线
一、单项选择题
1．[2022·湖南常德一中月考]在平面直角坐标系中，已知点M(2,0)，点B为直线l：x＝－2上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．x2＝8y D．x2＝4y
2．[2022·福建福州模拟]若抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则( )
A．m＝ B．m＝
C．m＝2 D．m＝4
3．[2022·辽宁沈阳模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为( )
A. B．2
C．2 D．4
4．已知△ABC的三个顶点都在抛物线T：y2＝2px(p>0)，且C(2，－8)，抛物线T的焦点F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＝( )
A．40 B．38
C．36 D．34
5．[2022·湖北襄阳模拟]过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB的中点到x轴的距离是( )
A. B．2
C．4 D．3
6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点(A在B的上方)，且l与准线交于点C，若＝4，则＝( )
A.B.
C．3 D．2
7．[2022·山东济南模拟]已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为，点A的纵坐标为，则p的值为( )
A. B.
C．1 D．2
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点T在C上，且|FT|＝，若点M的坐标为(0,1)，且MF⊥MT，则C的方程为( )
A．y2＝2x或y2＝8x B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
二、多项选择题
9．[2022·江苏海安高级中学月考]下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y＝x2＋x D．x2＝－2y
10.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则下列结论正确的是( )
A．准线方程为x＝－3
B．焦点坐标F
C．点P的坐标为
D．PF的长为3
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是( )
A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2
B．x1·x2＝
C．y1·y2＝－4
D．∠A1FB1＝
12．[2022·河北沧州模拟]已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M(－1，－1)，满足·＝0，则( )
A．p＝2
B．k＝－2
C．|AB|＝
D．△MAB的面积为
三、填空题
13.
根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px(p>0)反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则p＝________.
14．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
15．[2022·广东深圳模拟]设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，若|AF|－|BF|＝4，则|AB|＝________.
16．[2022·湖北武汉模拟]已知M(a,4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则p＝________；若过点P(4,1)向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝________.
四、解答题
17．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l：2x－y＋m＝0与C相交于A，B两点(点A在第一象限)，已知点A到y轴的距离为2，到点F的距离为.
(1)求C的方程；
(2)求△ABF的面积．
18．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)假设直线l通过点M(3,1)，与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．
考点过关检测37 抛物线
1．答案：A
解析：由题意|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以A点轨迹是以M为焦点，直线l为准线的抛物线，
由＝2得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.
2．答案：A
解析：因抛物线y＝mx2上一点(t,2)，所以m>0，
因此抛物线的准线方程为：y＝－，
由抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：2＋＝3，解得m＝.
3．答案：B
解析：∵PF的中点到y轴的距离为3，
∴＝3，即＝3，解得xP＝4，
代入抛物线方程可得P(4,4)，
因为F点的坐标为(2,0)，所以直线PF的斜率为＝2.
4．答案：B
解析：由题意知(－8)2＝2p×2，解得p＝16，所以F(8,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由三角形的重心坐标公式得＝8，化简得x1＋x2＝22，根据抛物线的定义，
得|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝38.
5．答案：D
解析：由题意，抛物线为x2＝4y，则F(0,1)，即直线l为y＝x＋1，
∴将直线方程代入抛物线整理得：x2－4x－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝4，故线段AB的中点的横坐标为＝2代入直线l，得：y＝3.
∴线段AB的中点到x轴的距离是3.
6．答案：A
解析：
分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，设|BF|＝x，|AF|＝y，则＝＝，∴＝，
∴＝＝，故选A.
7．答案：C
解析：由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)焦点在y轴上，准线方程为y＝－，
设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋＝＋，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝，
因为α∈[0，π)，所以α＝
所以|AF|＝＝＝＝＝3－p，
所以3－p＝＋，解得p＝1.
8．答案：A
解析：设T为(x0，y0)，则＝(x0，y0－1)，
又由F，所以＝(，－1)，
因为MF⊥MT，所以·＝0，可得x0－y0＋1＝0，
由y＝2px0，联立方程组，消去x0，可得y－4y0＋4＝0，所以y0＝2，故T，
又由|FT|＝x0＋＝，所以－＝，即p2－5p＋4＝0，解得p＝1或p＝4，
所以C的方程为y2＝2x或y2＝8x.
9．答案：ACD
解析：由题意知，p＝1，故A，D正确，B错误，
又y＝x2＋x，化简得(x＋1)2＝2，其图象与x2＝2y形状相同，
所以C正确．
10．答案：BC
解析：由抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点坐标F，准线方程为x＝－，A错B对；
∵直线AF的斜率为－，∴直线AF的方程为y＝－，
当x＝－时，y＝3，∴A，
∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝－＝6，D错．
11．答案：CD
解析：
抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程x＝－1，
显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，
由得：y2－4my－4＝0，y1，y2是此方程的两根，
选项A，直线l⊥x轴，m＝0，y1＝2，y2＝－2，则|AB|＝4，即选项A错误；
选项B，y1·y2＝－4，则x1·x2＝·＝＝1，即选项B错误；
选项C，y1·y2＝－4，即选项C正确；
选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，∴∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝∠AFO，
同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO，
∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝(∠AFO＋∠BFO)＝，即选项D正确．
12．答案：ABD
解析：由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，即＝1，得p＝2，故选项A正确．
因为p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)．
因为直线l过抛物线的焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y＝k(x－1)．
因为·＝0，所以M在以AB为直径的圆上．
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组两式相减可得＝＝k.
设AB的中点为Q(x0，y0)，则y0＝.因为点Q(x0，y0)在直线l上，所以x0＝＋1，
所以点Q是以AB为直径的圆的圆心．
由抛物线的定义知，圆Q的半径r＝＝＝＝＋2.
因为|QM|2＝2＋2＝r2，所以2＋2＝2，
解得k＝－2，故选项B正确．
因为k＝－2，所以弦长|AB|＝2r＝2＝2＝5，故选项C不正确．
因为k＝－2，所以直线l为y＋2(x－1)＝0，由点到直线的距离公式可得，
点M到直线l的距离d＝＝，所以S△MAB＝·d·|AB|＝××5＝，故选项D正确．
13．答案：4
解析：依题意可知点A(2,0)为该抛物线的焦点，则有＝2，得p＝4.
14．答案：x＝－
解析：不妨设P，∴Q，＝(6，－p)，
因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
15．答案：8
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)，则|AF|－|BF|＝－＝x1－x2＝4，
直线AB的方程为y＝，
由，得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝p2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝p2＝42，
因为p>0，所以p＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝p＝8.
16．答案：4 17
解析：由抛物线的定义得4＋＝6∴p＝4，
易知点P(4,1)不在抛物线上，设切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵抛物线C的方程为：x2＝8y，∴y＝，∴y′＝，
∴抛物线C在A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，
将P(4,1)代入可得1－y1＝(4－x1)，4－4y1＝4x1－x，
∵x＝8y1，∴x1－y1－1＝0，
同理：抛物线C在B处的切线方程为x2－y2－1＝0，∴直线AB的方程为x－y－1＝0，
，∴y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，y1·y2＝1，
∵|AF|＝y1＋2，|BF|＝y2＋2，∴|AF|·|BF|＝(y1＋2)(y2＋2)＝y1·y2＋2(y1＋y2)＋4＝1＋2×6＋4＝17.
17．解析：(1)由题意知，2＋＝，则p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x.
(2)∵点A在第一象限，∴A(2,2)，把点A的坐标代入l得4－2＋m＝0，∴m＝－2，得l的方程为2x－y－2＝0.
设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，直线l与抛物线C联立得2x2－5x＋2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝1.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，
∴|AB|＝＝.
∵点F到直线l的距离为＝，
∴△ABF的面积为××＝.
18．解析：(1)由已知，可设抛物线的方程为y2＝2px，又Q到焦点F的距离是1，
∴点Q到准线的距离是1，又Q到y轴的距离是，
∴＝1－，解得p＝，则抛物线方程是y2＝x.
(2)假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，与y2＝x联立可得交点A、B的坐标分别为，，易得·＝，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线l的斜率存在．设直线l为y－1＝k(x－3)，整理得y＝kx－3k＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线的方程得，
消去y，并整理得k2x2－x＋9k2－6k＋1＝0，于是x1·x2＝，x1＋x2＝，
∴y1·y2＝(kx1－3k＋1)(kx2－3k＋1)＝k2x1x2－k(3k－1)(x1＋x2)＋(3k＋1)2＝，
又OA⊥OB，因此·＝0，即x1·x2＋y1·y2＝0，
∴＋＝0，解得k＝或k＝2.
当k＝时，直线l的方程是y＝x，不满足OA⊥OB，舍去．
当k＝2时，直线l的方程是y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，
∴直线l的方程是2x－y－5＝0.
9考点过关检测39 圆锥曲线的综合应用(2)
1.
[2022·山东济南模拟]如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1,0)，直线AN过点(2,0)．
(1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA·yB的值；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
2．[2022·北京育才学校月考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为(2,0)，离心率为，直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
3．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，点P(2,3)在E上，F为E的右焦点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设Q为E的左顶点，过点F作直线l交E于A，B(A，B不与Q重合)两点，点M是AB的中点，求证：|AB|＝2|MQ|.
4．[2022·福建厦门一中模拟]设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(m,2)(m>0)在抛物线C上，且满足|PF|＝3.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q，求三角形PQG周长的最小值．
考点过关检测39 圆锥曲线的综合应用(2)
1．解析：(1)设直线AB的方程为x＝my＋1，代入y2＝2x得y2－2my－2＝0，则yA·yB＝－2.
(2)由(1)同理得yM·yN＝－2，
设直线AN的方程为x＝ny＋2，代入y2＝2x得y2－2ny－4＝0，则yA·yN＝－4，
又k1＝＝＝，同理k2＝，
则λ＝＝＝＝＝2，
∴存在实数λ＝2，使得k2＝2k1成立．
2．解析：(1)由题意得，
解得a＝2，c＝，∴b＝1
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由得，5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝＝，
又点O(0,0)到直线y＝x＋m的距离为d＝＝.
所以△OAB的面积为S＝·|AB|·d＝××＝≤＝1，
当且仅当5－m2＝m2即m＝±时，△OAB的面积有最大值为1，
此时直线l的方程为y＝x±.
3．解析：(1)由已知可得e＝＝2，∴e2＝＝1＋＝4，解得：b2＝3a2 ①，
又点P(2,3)在E上，∴－＝1 ②，
由①②可得：a2＝1，b2＝3，∴双曲线E的方程为x2－＝1；
(2)当l的斜率为0时，此时A，B中有一点与Q重合，不符合题意．
当l斜率不为0时，设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得：(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，则，解得：t2≠.
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝＋＋9＝0，
∴QA⊥QB，则△QAB是直角三角形，AB是斜边，
∵点M是斜边AB的中点，∴|MQ|＝|AB|，即|AB|＝2|MQ|.
4．解析：(1)由抛物线定义，得|PF|＝2＋＝3，得p＝2，∴抛物线C的标准方程为x2＝4y；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋4，
∴联立，消掉x，得x2－4kx－16＝0，Δ>0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
设A，B处的切线斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝，
∴在点A的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－ ①，
同理，在点B的切线方程为y＝－ ②，
由①②得：xQ＝＝2k，代入①或②中可得：yQ＝kx1－＝y1－4－y1＝－4，
∴Q(2k，－4)，即Q在定直线y＝－4上，
设点G关于直线y＝－4的对称点为G′，则G′(0，－12)，由(1)知P(2，2)，
∵|PQ|＋|GQ|＝|PQ|＋|G′Q|≥|G′P|＝2，即P，Q，G′三点共线时等号成立，
∴三角形PQG周长最小值为|GP|＋|G′P|＝2＋2.
4考点过关检测41 概率
一、单项选择题
1．[2022·河北唐山模拟]在0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是( )
A.B.C.D.
2．[2022·辽宁锦州模拟]在一个排列a1，a2，a3，…，an(n∈N＋)中，任取两个数ap，aq(p，q∈N＋且paq，则称这两个数ap，aq为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在排列2,4,3,1,5中任取两数，则这组数是逆序的概率是( )
A.B.C.D.
3．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是( )
A.B.C.D.
4．[2022·福建泉州模拟]某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2，求任选一名射手能够通过选拔进入比赛的概率为( )
A．0.645B．0.625
C．0.545D．0.525
5．[2022·湖北襄阳模拟]电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( )
A．0.20B．0.48C．0.60D．0.75
6．[2022·湖南长郡中学月考]某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为( )
A.B.C.D.
7．[2022·广东茂名模拟]某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌标准比赛球，根据以往使用的记录数据：
品牌名称 合格率 购买球占比
A 98% 0.2
B 99% 0.6
C 97% 0.2
若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为( )
A．0.986B．0.984
C．0.982D．0.980
8．[2022·河北张家口模拟]某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，b，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．[2022·湖北武汉模拟]抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( )
A．M与N互斥但不对立
B．M与N对立
C．P(MN)＝
D．P(M＋N)＝
10．[2022·江苏盐城中学月考]从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
11．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是( )
A．4位女同学分到同一组的概率为
B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为
C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为
D．4位男同学不同时分到甲组的概率为
12．[2022·山东滨州模拟]为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝D．P(B|)＝
三、填空题
13．[2022·重庆南开中学月考]数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为________．
14．[2022·广东深圳模拟]某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.3,0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是________．
15．[2022·辽宁葫芦岛模拟]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判，在前3局中乙恰好当1次裁判的概率是________．
16．[2022·山东广饶一中月考]甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”．此时，一男孩过来．乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”．根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为________．
四、解答题
17．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A、B、C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表(单位：厘米):
A组 10 11 12 13 14 15 16
B组 12 13 14 15 16 17 18
C组 13 14 15 16 17 18 19
假设所有植株的生长情况相互独立．从A、B、C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙．
(1)求丙的高度小于15厘米的概率；
(2)求甲的高度大于乙的高度的概率．
18．[2022·河北秦皇岛一中月考]甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球)．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照(1)中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
考点过关检测41 概率
1．答案：B
解析：在0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，基本事件总数n＝5×5＝25，取到的整数十位上数字比个位上数字大包含的基本事件有：m＝5＋4＋3＋2＋1＝15，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是P＝＝＝.
2．答案：B
解析：在排列2,4,3,1,5中任取两数，构成排列的基本事件有：(2,4)，(2,3)，(2,1)，(2,5)，(4,3)，(4,1)，(4,5)，(3,2)，(3,5)，(1,5)，共10个，这组数是逆序包含的基本事件有：(2,1)，(4,3)，(4,1)，(3,2)，共4个，则这组数是逆序的概率是P＝＝.
3．答案：C
解析：三双不同的鞋子共有6只，共有C＝20种，三只鞋子中有两只可以是一双，则可以是三双中的一双，其余一只为剩余4只中任意一只，共有CC＝12种，则概率为P＝＝.
4．答案：A
解析：p＝×0.9＋×0.7＋×0.5＋×0.2＝0.645.
5．答案：D
解析：记事件A：电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件B：电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，
所以，已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为P(B|A)＝＝＝0.75.
6．答案：B
解析：该选手闯过第一关的概率为P1＝＋×＝，闯过第二关的概率为P2＝＋×＝，所以该选手能进入第三关的概率为P＝×＝.
7．答案：B
解析：将A，B，C分别记为第1，第2，第3个品牌，设事件Mi表示“取到的球是第i个品牌(i＝1,2,3)，事件N表示“取到的是一个合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥，所以P(N)＝P(M1N)＋P(M2N)＋P(M3N)＝P(M1)P(N|M1)＋P(M2)P(N|M2)＋P(M3)P(N|M3)＝0.98×0.2＋0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，所以它是合格品的概率为0.984.
8．答案：D
解析：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则ab·＋a(1－b)＋b(1－a)＝，所以(a＋b)－ab＝，所以a＋b－ab＝，所以该同学一个社团都不进入的概率P＝(1－a)(1－b)·＝[1－(a＋b)＋ab]＝{1－[(a＋b)－ab]}＝×＝.
9．答案：CD
解析：P(MN)≠0，故事件M与事件N不互斥，A错误；P(MN)≠0，故事件M与事件N不对立，B错误；P(MN)表示事件M与事件N同时发生的概率，此时向上的点数为1，此时P(MN)＝，C正确；P(M＋N)表示事件向上的点数为1,3,4,5的概率，P(M＋N)＝，故D正确．
10．答案：ACD
解析：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，2个球都是红球的概率为×＝，A选项正确；2个球不都是红球的概率为1－×＝，B选项错误；至少有1个红球的概率为1－×＝，C选项正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D选项正确．
11．答案：AB
解析：8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为C·C＝70，
A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为＝，对，
B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为C·C＝15，其概率为＝，对，
C选项，有且只有3位女同学分到同一组C·C·2＝32种，
则有且只有3位女同学分到同一组的概率为＝，错，
D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为，
则4位男同学不同时分到甲组的概率为1－＝，错．
12．答案：ABC
解析：P(A)＝＝，故A正确；P(AB)＝＝，故B正确；P(B|A)＝＝＝，故C正确；P()＝＝，P(B)＝＝，P(B|)＝＝＝，故D错误．
13．答案：
解析：小明随机地填涂了至少一个选项，共有C＋C＋C＋C＝15种填涂法，得分的填涂法由3种，
所以他能得分的概率为P＝＝.
14．答案：0.034
解析：不合格品可能来自四条生产线的任一条，因此所求概率为：P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.
15．答案：
解析：前3局中，因第1局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，是乙第二局当裁判的事件A1与乙第三局当裁判的事件A2的和，它们互斥，
乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，则P(A1)＝；
乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则P(A2)＝·＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
16．答案：5
解析：由题知前两小孩为一男一女，记Ai为乙的第i个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有(1，A2，A3，A4)，(1，A2，A3，4)，(1，A2，3，A4)，(A1，2，3，A4)，(A1，2，A3，4)，(A1，2，A3，A4)，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为××＝.
17．解析：设事件Ai为“甲是A组的第i株植物”，事件Bi为“乙是B组的第i株植物”，事件Ci为“丙是C组的第i株植物”，i＝1、2、…、7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝，i＝1、2、…、7.
(1)设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意知D＝C1∪C2，
又C1与C2互斥，所以事件D的概率P＝P(C1∪C2)＝P(C1)＋P(C2)＝；
(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知E＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A6B3∪A7B3∪A7B4.
所以事件E的概率P(E)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A6B3)＋P(A7B3)＋P(A7B4)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
18．解析：(1)用a，b表示两个红球，用1,2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：
ab，ba，a1,1a，a2,2a，b1,1b，b2,2b,12,21，共12个不同结果，它们等可能，
令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba,1a,2a,1b,2b，共6个，
令事件B为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1,1a，a2,2a，b1,1b，b2,2b，共8个，
于是得P(A)＝＝，P(B)＝＝，显然，<，
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
(2)由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为P＝，
游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，
于是得P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝×＋××＋××＝，
所以乙获得游戏胜利的概率是.
8考点过关检测42 离散型随机变量的分布列、均值与方差
一、单项选择题
1．[2022·河北邢台模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ>2c＋1)＝P(ξ<2c－1)，则c的值为( )
A.B．2C．1D.
2．[2022·湖北汉阳一中模拟]已知随机变量ξ～B(12，P)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝( )
A.B．8C．22D．24
3．[2022·山东潍坊模拟]接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为( )
A.B.
C.D.
4．[2022·福建上杭一中月考]《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是( )
A.B.
C.D.
5．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
6．[2022·山东烟台模拟]袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10%B．20%C．30%D．40%
8．[2022·湖北襄阳模拟]已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝( )
A．19B．16C.D.
二、多项选择题
9．[2021·新高考Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．[2022·山东济宁一中月考]某学校举行防溺水知识竞赛，共设置了5道题，每道题答对得20分，答错扣10分(每道题都必须回答，但互不影响)．设某选手每道题答对的概率均为，设总得分为X，则( )
A．该选手恰好答对2道题的概率为
B．E(X)＝50
C．D(X)＝
D．P(X>60)＝
11．[2022·辽宁凤城一中月考]已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则( )
ξ 0 1 2
P b－a b a
A.E(ξ)有最小值
B．E(ξ)没有最值
C．D(ξ)有最小值0
D．D(ξ)有最大值
12．[2022·河北唐县一中月考]下列说法正确的是( )
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
三、填空题
13．[2022·湖南师大附中月考]设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a·k，k＝1,2,3，则a的值为________．
14．已知随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，若P(X<8)＝0.23，则P(X<12)＝________.
15．[2022·河北沧州模拟]三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度×＝生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度×＝生得长度，两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为________．
16．已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从A、B两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为________．记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望为________．
四、解答题
17．[2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
18．[2022·辽宁沈阳模拟]2021年某省开始的“3＋1＋2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分T(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级模拟考试中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：
等级 A B C D E
比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
政治学科各等级对应的原始分区间 [81,98] [72,80] [66,71] [63,65] [60,62]
化学学科各等级对应的原始分区间 [90,100] [80,89] [69,79] [66,68] [63,65]
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：
政治 化学
个位数 十位数 个位数
98766540 6 479
98654210 7 012345799
862 8 13469
4 9 358
(1)该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分为93分．基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．
(2)若从该校化学学科等级为A、B的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于90分的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间．
等级 A B C D E
原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
转换分T的赋分区间 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40]
附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：＝(其中：Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T的计算结果按四舍五入取整)
考点过关检测42 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．答案：A
解析：由正态分布的对称性知，(2c＋1)－3＝3－(2c－1)，得c＝.
2．答案：D
解析：E(ξ)＝12P，
所以E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×12P－3＝5，所以P＝，
故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12××＝24.
3．答案：A
解析：由题得最多1人被感染的概率为C4＋C3＝＝.
4．答案：D
解析：由题意可知五场中获胜的场次X～B，
所求选手能参加决赛的概率P＝C·4·＋C·5·0＝.
5．答案：D
解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误．故选D.
6．答案：C
解析：从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有C＝＝20种情况；
三个号码的和是3的倍数有：(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)共8种情况，
所以摸一次中奖的概率P＝＝.
有4人参与摸球游戏，恰好2人获奖的概率为：C22＝.
7．答案：B
解析：设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝＝＝，
所以x＝2或8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为＝20%.
8．答案：A
解析：由题知P(X＝0)＝，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，因此E(X)＝0×＋1×a＋2×(－a)＋3×＝，解得a＝，因此离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
则D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，因此D(4X－3)＝16D(X)＝19.
9．答案：CD
解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．
10．答案：BD
解析：设答对的题目数为Y，则Y～B，得分X＝20Y－10(5－Y)＝30Y－50.该选手恰好答对2道题的概率为P＝C×2×3＝，故A错误；E(Y)＝5×＝，则E(X)＝E(30Y－50)＝30×E(Y)－50＝30×－50＝50，故B正确；D(Y)＝5××＝，则D(X)＝D(30Y－50)＝302×D(Y)＝900×＝1000，故C错误；P(X>60)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C×4×＋5＝，故D正确．
11．答案：AD
解析：由题意知，b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝，又，则0≤a≤，
所以E(ξ)＝0·(b－a)＋b＋2a＝2a＋∈，A对；
D(ξ)＝2＋2×＋2×a＝－4a2＋2a＋
＝－42＋，
又0≤a≤，所以当a＝时，D(ξ)有最大值，当a＝0或时，D(ξ)有最小值.
12．答案：AC
解析：5次都没投中的概率为5＝.
所以游戏者闯关成功的概率为1－＝，故A正确．
从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况．
共有CC＋CC＋CC＋C＝1155种情况．而CC＝1820，
所以其中至少有一名女生的概率为：≠，故B不正确．
由P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则a＝1，解得a＝，
所以P(X＝2)＝×＝，故C正确．
由随机变量η～N(2，σ2)，则P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，
所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正确．
13．答案：
解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a·k，k＝1,2,3，所以根据分布列的性质有a·＋a·2＋a·3＝1，所以a·＝a×＝1，所以a＝.
14．答案：0.77
解析：由题意，随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，可得对称轴x＝10，则＝10，因为P(X<8)＝0.23，根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<12)＝1－P(X<8)＝0.77.
15．答案：
解析：设5次三分损益中有k次三分损一，所以243×k×5－k＝128，解得k＝3.故所求概率为C×5＝＝.
16．答案：
解析：恰好有1个红球的概率P＝·＋·＝×＋×＝，
取出的4个球中红球的个数X的可能取值为：0,1,2，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝·＝，
分布列如下表：
X 0 1 2
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
17．解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.
P＝1－0.8＝0.2；
P＝0.8＝0.32；
P＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，E＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.
P＝1－0.6＝0.4；
P＝0.6＝0.12；
P＝0.8×0.6＝0.48.
所以E＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
18．解析：(1)甲同学选考政治学科原始分为86分，
根据等比例转换赋分公式：＝得T＝90.
乙同学选考化学学科原始分为93分，
根据等比例转换赋分公式：＝得T＝90，
故甲乙两位同学的转换分都为90分．
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
①从已知可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是90分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．
②甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．
(2)该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式：＝，
得T＝90，即原始分低于93分的转换分低于90分，
所以转换分不低于90分的有3人，低于90分的有5人，ξ的所有取值有0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10考点过关检测43 统计与统计案例
一、单项选择题
1．[2022·山东潍坊模拟]某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．[2022·河北张家口模拟]某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛，如果小明知道了自己的成绩后，则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛( )
A．中位数B．平均数C．极差D．方差
3．[2022·湖南衡阳模拟]衡阳市某省示范性高中为调查该校高一年级学生们的体育锻炼情况，通过随机抽样抽取100名学生，统计其一周的体育锻炼次数，统计数据如图所示．则此100人一周的人均体育锻炼次数为( )
A．3.9B．4.5C．5.1D．5.5
4．[2022·福建厦门外国语学校月考]如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )
A．甲户比乙户大
B．乙户比甲户大
C．甲、乙两户一般大
D．无法确定哪一户大
5．2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14～35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受(问题1)”和“青少年最关注哪些方面(问题2)”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为( )
A．对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的
B．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目
C．对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活
D．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步
6．[2022·山东莱芜一中月考]已知变量x，y之间的一组数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 3.4 7.5 9.1 13.8 m
若y关于x的经验回归方程为＝3x＋1，则m的值为( )
A．16B．16.2
C．16.4D．16.6
7．[2022·江苏盐城模拟]某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知( )
年轻人 非年轻人 总计
经常用流行语 125 25 150
不常用流行用语 35 15 50
总计 160 40 200
参考公式：独立性检验统计量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
下面的临界值表供参考：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有99%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有99%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
8．[2022·湖北武昌模拟]甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表：
题目学生 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
甲 10 10 10 20 0
乙 10 10 5 15 10
丙 10 10 15 15 10
丁 0 10 10 20 20
下列说法正确的是( )
A．甲的平均得分比丙的平均得分高
B．乙的得分极差比丁的得分极差大
C．对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好
D．对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小
二、多项选择题
9．[2022·山东省月考]下列说法正确的是( )
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值
C．两个相关变量的相关性越强，相关系数越接近于1
D．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
10．[2022·湖北黄冈中学月考]为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有( )
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
xα 3.841 6.635
α 0.05 0.01
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C．若被调查的男女生均为100人，则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关
D．无论被调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关
11．[2022·广东惠州模拟]某种产品的价格x(单位：元/kg)与需求量y(单位：kg)之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程为＝x＋14.4，则以下结论正确的是( )
A．y与x正相关
B．y与x负相关
C．样本中心为(20,8)
D．该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg
12．[2022·重庆九龙坡模拟]创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是( )
A．年收入在[500,600)万元的中小企业约有16家
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元
D．样本在区间[500,700]内的频数为18
三、填空题
13．[2022·河北保定模拟]已知一组数据－3,2a,4,5－a,1,9的平均数为3(其中a∈R)，则中位数为________．
14．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下图所示，
直方图中的x值为________．
15．[2022·福建莆田模拟]2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
A区 B区 C区 D区 E区
外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500
留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的经验回归方程为＝0.8135x＋.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为________万元．(参考数据：取0.8135×36＝29.29)
16．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．已知第x天的报名人数为y，则y关于x的经验回归方程为________，该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下2×2列联表：
有兴趣 无兴趣 合计
男生 45 5 50
女生 30 20 50
合计 75 25 100
请根据上面的列联表，在概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别________(填“有”或”无”)关系．
参考公式及数据：回归方程＝＋x中斜率的最小二乘估计公式为：＝＝，＝－；
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
四、解答题
17．[2022·湖北十堰模拟]某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打分数均在[25,100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
顾客所 打分数 [25,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,100]
男性顾 客人数 4 6 10 30 50
女性顾 客人数 6 10 24 40 20
(1)求这200位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意，根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？
满意 不满意
男性顾客
女性顾客
附：χ2＝
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18．[2022·山东济宁一中月考]某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天销售量y(单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．
iyi iyi
0.33 10 3 0.164 100 68 350
表中z＝，≈0.45，≈2.19.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果，试建立y关于x的回归方程；
(3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据(2)的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．(每月按30天计算，计算结果保留两位小数)
(参考公式：回归方程＝x＋，其中＝＝，＝－)
考点过关检测43 统计与统计案例
1．答案：C
解析：设高三抽取的人数为x人，则＝，即x＝4.
2．答案：A
解析：12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，正好一半，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛．
3．答案：C
解析：100人一周的人均体育锻炼次数为4×＋5×＋6×＝5.1.
4．答案：B
解析：由题意，根据条形图，可得甲户教育支出占＝20%，
由饼形图，可得乙户教育支出占25%.
所以乙户比甲户大．
5．答案：C
解析：对于神舟十二号太空之旅，关注航天员是怎样选的占46.6%，不是极少数，故A错误；对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年认为开启空间站新时代占64.6%，没有超过七成，故B错误；对于神舟十二号太空之旅，青少年关注航天员在太空的工作和生活的比值最大，因此青少年关注最多，故C正确；对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步占75.3%，没有超过八成，故D错误．
6．答案：B
解析：由题意可知：＝＝3，＝＝，
样本中心，代入经验回归方程可得＝3×3＋1.
解得m＝16.2.
7．答案：A
解析：χ2＝＝4.167>3.841，
根据临界值知有95%的把握认为“经常用流行语”与“年轻人”有关系．
8．答案：D
解析：选项A中，甲的平均分为＝10，丙的平均分为＝12，故甲的平均得分比丙的平均得分低，故错误；
选项B中，乙的得分极差为15－5＝10，丁的得分极差为20－0＝20，乙的得分极差比丁的得分极差小，故错误；
选项C中，不清楚两题的具体分值是否相同，所以不能通过平均分判断第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好，故错误；
选项D中，第3题得分的平均值为＝10，
故方差为＝12.5，
第5题得分的平均分为＝10，
故方差为＝50，
故第3题得分的方差比第5题得分的方差小，故正确．
9．答案：ABD
解析：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以C错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，所以D正确．
10．答案：AC
解析：因为被调查的男女生人数相同，由等高条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢登山的女生占30%，所以A正确，B错误；
设被调查的男女生人数均为n，则由等高条形统计图可得2×2列联表如下：
男 女 合计
喜欢 0.8n 0.3n 1.1n
不喜欢 0.2n 0.7n 0.9n
合计 n n 2n
由公式可得χ2＝＝.
当n＝100时，χ2＝>6.635，所以有99%的把握认为喜欢登山和性别有关；
当n＝10时，χ2＝<6.635，所以没有99%的把握认为喜欢登山和性别有关，
显然χ2的值与n的取值有关，所以C正确，D错误．
11．答案：BC
解析：由表格数据，随着价格x的增加，需求量y随之减少，所以y与x负相关．
因为＝＝20，＝＝8，
故样本中心为
由回归直线＝x＋14.4必过样本点的中心，
所以有8＝×20＋14.4，解得＝－0.32，
所以当x＝35时，＝－0.32×35＋14.4＝3.2，日需求量大约为3.2kg，不是3.4kg.
12．答案：CD
解析：由直方图知：(x＋0.0086)×100＝1，可得x＝0.0014，
∴[500,600)万元的中小企业有0.0014×100×100＝14家，A错误；
由图知：前三组的频率0.0056×100＝0.56>0.5>0.003×100＝0.3，易知中位数在[300,400)区间，B错误；
由图知：当地中小型企业年收入的平均数[0.001×150＋0.002×250＋0.0026×(350＋450)＋0.0014×550＋0.0004×650]×100＝376万元，C正确；
[500,700]内0.0018×100×100＝18，D正确．
13．答案：3.5
解析：因为数据－3,2a,4,5－a,1,9的平均数为3，所以－3＋2a＋4＋5－a＋1＋9＝3×6，解得a＝2，所以这组数据分别是－3,4,4,3,1,9，按从小到大排列分别为－3,1,3,4,4,9，故中位数为＝3.5.
14．答案：0.0044
解析：由50×(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)＝1得x＝0.0044.
15．答案：818.6
解析：由已知＝＝3600，
＝＝2980，
所以2980＝0.8135×3600＋，则＝51，即＝0.8135x＋51，
x＝10000时，＝0.8135×10000＋51＝8186，
估计应补贴8186×0.1＝818.6(万元)．
16．答案：＝3.7x－1.1 有
解析：由题意，计算＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(3＋6＋10＋13＋18)＝10，
所以＝＝＝＝3.7，
＝－＝10－3.7×3＝－1.1，
所以y关于x的经验回归方程为＝3.7x－1.1，
由列联表数据可得χ2＝＝12，
因为12>10.828，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．
17．解析：(1)由题可知，落在区间[25,40)，[40,55)，[55,70)，[70,85)，[85,100]的频率分别为：
，，，，，这200位顾客所打分数的平均值为：
×32.5＋×47.5＋×62.5＋×77.5＋×92.5＝75.55，
故这200位顾客所打分数的平均值为75.55.
(2)根据所给数据，可得2×2列联表：
满意 不满意
男性顾客 80 20
女性顾客 60 40
根据列联表得χ2＝≈9.524.
因为9.524>6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
18．解析：(1)根据散点图知y＝c＋k·x－1更适合作为y关于x的回归方程．
(2)令z＝，则y＝c＋k·z，
则k＝＝＝5，
c＝－k·＝－5，y＝－5＋，∴y关于x的回归方程为y＝－5＋.
(3)一天利润为T＝y·(x－0.20)＝(x－0.2)＝6－5≤6－10≈1.5.
(当且仅当x＝即x＝0.45时取等号)，
∴每月的利润为30×1.5＝45.00(万元)，
∴预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．
12