人教A版2019选择性必修第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）

直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
题型一：直线的交点坐标
1．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．三条直线，，相交于一点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：由直线交点个数求参数
4．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题型三：两点间的距离公式应用
7．直线：与：及：所得两交点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．已知点，，且，则实数等于（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．或3
题型四：点到直线的距离问题
10．已知点，直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
12．已知点，则当点到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
题型五：点、直线的对称问题
13．点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
14．已知点与关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，，一条光线从点A发出，经直线BC反射后，恰好过原点O，则入射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
题型六：两条平行直线间的距离
16．已知直线：（），：，若，则与间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
17．已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
18．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
19．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
20．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
22．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
23．和直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知的面积为5，则点C的轨迹方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
25．若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
26．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A． B． C．2 D．4
27．过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（ ）
A． B．10 C． D．20
28．已知直线恒过定点，若点到直线l的最大距离为2，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【高分突破】
一：单选题
29．已知的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
30．一入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．已知直线与平行，且与间的距离为，则直线的方程为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
32．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
33．已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　）
A． B． C． D．
34．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，则该三角形的欧拉线方程是（　　）
A． B．
C． D．
35．已知直线恒过点M，直线上有一动点P，点N的坐标为，当取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
36．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．过，两点的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
38．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
39．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
40．（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
41．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
42．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
三、填空题
43．已知直线，，若，则与的距离为______．
44．设，求的最小值是___________.
45．已知直线，则原点到直线的距离的最大值等于___________.
46．已知，， 过点且斜率为的直线与线段相交，点到直线的距离为，则实数的取值范围是________________________.
47．直线经过点，且分别与直线和相交于，两点，若，则直线的方程为________．
四、解答题
48．已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
49．已知的三个顶点分别为，，．
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值；
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标．
50．已知两定点，及两平行直线，，
（1）求点关于点的对称点的坐标；
（2）求点关于直线的对称点的坐标；
（3）若点P，Q分别在直线，上，且，求折线段APQB的长度最短时直线PQ的一般式方程．
51．已知为正方形ABCD的中心B，C，D逆时针排列，AB边所在直线方程为．
（1）求对角线AC，BD所在直线的方程；
（2）已知是一个定点，是x轴上一个动点，过点M作直线MN，满足MN与MQ斜率之和为零，且直线MN与正方形ABCD有公共点．
①求出直线MN分别过正方形各顶点时，M点的坐标；
②写出实数t的最大值与最小值不需要过程，直接写出答案即可．
【答案详解】
1．B
【详解】
直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为，
则．
如图所示：
则由两点式可得直线MN的方程为，即，
由解得，
此为两直线的交点，
根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为
，
故
．
故选：B
2．A
解：设三条直线交于一点P，
则直线，，交于点P，
联立，解得，即，
直线过点P，即，
故选:A．
3．A
【详解】
联立，解得，
直线与直线垂直，则直线直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理可得.
故选：A.
4．C
【详解】
联立，得，
∵直线与射线恒有公共点，
∴，
解得.
∴m的取值范围是.
5．C
【详解】
直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C
6．C
【详解】
直线与线段没有交点
即直线与线段没有交点对于直线,
令,则,则直线恒过点
根据题意,作出如下图像:
,
根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为
,
根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为
直线的斜率为
若直线与线段没有交点
则
故选:C.
7．C
【详解】
由，得，即直线与的交点坐标，
由，得，即直线与的交点坐标，
所以.
故选：C
8．B
【详解】
由已知，，，
∴，即，
∴是直角三角形.
故选：B.
9．C
【详解】
因为，
所以，即，解得或，
故选：C
10．C
【详解】
点到直线的距离，
当时，，当时，，恒有，于是得，综合得，
所以点P到直线l的距离的取值范围是.
故选：C
11．C
【详解】
直线的方程为，即.
由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，
，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得
，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C
12．B
【详解】
因为直线恒过定点，
则当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，
此时过的直线的斜率为
所以直线的斜率为，即，所以.
故选：B．
13．B
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
14．D
【详解】
,
的中点为，，
与关于直线对称，
过点，且斜率为1，
直线的方程为，
即，
故选：D
15．D
【详解】
，，
直线BC的方程是，即，
光线经直线BC反射后，恰好经过原点O，
原点O关于直线BC的对称点在入射光线上，
设原点O关于直线BC的对称点是，
则，解得，，
入射光线经过点，
入射光线所在的直线的斜率为，
故选：D
16．B
【详解】
由得，解得，
所以直线：，即，
所以与间的距离为，
故选B．
17．D
【详解】
直线的方程可化为，
则与之间的距离．
故选：D
18．D
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
19．D
【详解】
由两直线垂直得，
解得，
所以原直线一可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
20．D
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
21．D
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
22．C
【详解】
将代入直线方程，得，所以直线必过定点，
故点到直线的距离的最大值为.
故选:C
23．C
【详解】
直线交轴于点，且直线的斜率为，
故所求直线的方程为，即.
故选：C.
24．D
【详解】
则
设C到AB边所在直线的距离为d，由的面积为5，得即；
顶点C的轨迹是与AB所在直线平行且与直线AB距离为的两条直线；
直线AB的方程为即
设点C所在直线方程为
解得或
点C的轨迹方程为或；
故选：D
25．A
【详解】
由题意两直线平行，则，，
又，而，所以．
所以．
故选：A．
26．B
【详解】
设直线与直线的交点为，则，解得，故，
同理设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
由菱形的性质可知,且的斜率均存在，所以，
则，即，解得
故选：B.
27．B
【详解】
解：动直线过定点，
动直线化为，
令，解得，，故定点.
当时，直线方程为，，此时两直线垂直；
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
，
，
故答案选：B.
28．C
【详解】
由题可知，所以，所以．
，
当且仅当，即，时，取等号．
故选：C．
29．B
【详解】
设AC的中点为D，
因为A（2，1），C(0，-1)，所以,
所以AC边上的中线长.
故选：B
30．D
解：因为点关于l：的对称点为，
所以反射光线的方程为.
故选：D.
31．C
【详解】
解：设，
与间的距离为．
，
即，
得或，
即或，
即线的方程为或，
故选：C．
32．B
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
33．B
【详解】
解：设A关于直线的对称点的坐标为，
则，
∴最小．
故选：B
34．C
【详解】
解：因为的顶点，所以三角形的重心坐标为，的中垂线方程为，，的中点坐标为，所以的中垂线方程为，即，所以三角形的外心为直线与的交点，
所以三角形的欧拉线方程为，整理得
故选：C
35．B
【详解】
直线：，即，
令，
求得，，可得该直线恒过点.
直线：上有一动点，点的坐标为，
故、都在直线：的上方．
点关于直线：的对称点为，
则直线方程为，即.
把直线方程和直线：联立方程组，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为．
故选：B
36．B
【详解】
根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，
则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点所在直线的方程为，
由，可得，解得，可得，
所以到原点的距离的最小值为.
故选：B.
37．AB
【详解】
解：对于A，当时，，当时，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以A正确，
对于B，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，所以B正确，
对于C，当或时，不能利用两点式求直线方程，所以C错误，
对于D，当直线的截距为零时，设直线方程为，则，所以直线方程为，当当直线的截距不为零时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误，
故选：AB
38．BD
【详解】
设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，∴，
又点到直线：的距离为，∴，
即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，
故选：BD.
39．BD
【详解】
设直线，且，
直线到直线和的距离分别为，
由题知：，，
因为，所以，
即，解得或，
即直线为或。
故选：BD
40．AB
当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由已知得，所以或，
所以直线l的方程为或．
故选：AB
41．AC
【详解】
解：当PQ垂直直线时，PQ最短，
Q到直线的距离为，故A正确；
故PQ的长度范围为，，故D错误；
设，则，解得，
故P为，故C正确；
此时直线PQ的方程是，即，故B错误，
故选：AC．
42．ABC
解：过点，的直线的斜率是，则倾斜角不为，故A错误
由直线与直线垂直，得解得，故B错误；
直线与直线之间的距离是，故C错误
点关于x轴的对称点为，连接，交x轴于点，
则，当与重合时取等号，
故D正确.
故选：ABC.
43．
【详解】
解：直线，，当时，，解得．
当时，与重合，不满足题意；
当时，，此时，．
则与的距离为．
故答案为：.
44．
【详解】
解：
，
即d可看作点和到直线上的点的距离之和，
作关于直线对称的点，
由题意得，解得
故，
则.
故答案为：.
45．
【详解】
根据题意，设原点到直线的距离为d.
直线,即则有,解得,即直线l恒过定点(1,2).
设M(1,2),则,即原点到直线l的距离的最大值等于.
故答案为: .
46．
【详解】
由题意知：当过点时，；当过点时，；
∴过点且斜率为的直线与线段相交，则.
又到直线的距离.
故答案为：
47．或
【详解】
直线和之间的距离为，
由做于，所以，因为 ，
所以与的夹角为，
当直线的斜率存在时，设为，则的直线方程为，
所以，解得，则的直线方程为；
当直线的斜率不存在时，则的直线方程为，
与直线和的交点为和，
因为两点间的距离为，符合题意，
所以的直线方程为或.
故答案为：或.
48．（1）或；（2）．
【详解】
(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足原点到直线的距离为2，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
于是得，解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
(2)设直线与直线交于点，与直线交于点
因被点平分，即，，则，，
因，则，解得，，
即，直线的斜率是，直线l方程为，即，
所以直线的方程为：.
49．【详解】
（1）直线BC的方程为：，
直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点，
由得，，
直线与x轴交点为，，
由，即，
化简得：，又，
，解得：，
而，．
（2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：，
设关于直线AC的对称点为，
则，解得，
同理可得关于直线BC的对称点为，
则在直线ED上，所以直线ED的斜率为，
的斜率为，l方程为，即，
过定点．
50．
设，则，解得即．
设，则线段中点在直线上
∴，又直线垂直，则有，
∴,故点关于直线的对称点的坐标为．
如图，作点B关于的对称点，作点A关于的对称点，
再在的延长线上取点M，使得等于两平行线、之间的距离d，
连结与的交点为Q，过Q作QP垂直于点P，
可得图中的点P、Q就是所求作的点，结合已知可求得，.
故折线段APQB的长度最短时，直线PQ的一般式方程为．
51．过P作，垂足为H，则PH斜率，
∴PH方程为，由，解得，
∴ ，易得，，
∴，
正方形ABCD中，AC与BD的交点为P，
∴AC，BD所在直线方程分别为，；
①由知，由P是AC，BD中点知:，
综上，正方形四个顶点坐标依次为
∵，
∴直线MN与直线MQ关于x轴对称．点Q关于x轴的对称点为，
∴直线MN即为直线：
将顶点坐标代入方程，可以得到t依次为，，，，
∴当MN过正方形顶点时，对应的M坐标分别为，，，，
②根据①知，t的最小值为，最大值为．
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