人教A版2019选择性必修第一册3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-02 17:53:20 | ||
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文档简介
第三章：圆锥曲线的方程
3．3.2 抛物线的简单几何性质
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
2．（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2017·河南信阳·高二期末（理））抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
题型二：抛物线的对称性
4．（2021·全国高二单元测试）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021·中国农业大学附属中学）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（文））过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线：相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
12．（2021·四川自贡·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于、两点，、两点分别为、两点在直线上的射影，而且，为线段的中点.则下列命题（ ）
① ②等腰直角三角形
③直线的斜率为
④的面积为4（为坐标原点），其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：抛物线的应用
13．（2020·广东普宁·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东临沂·高二期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·广东深圳·）如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（ ）
A． B． C． D．
题型六：直线与抛物线的位置关系
16．（2021·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线：，过其焦点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
18．（2021·全国高二课时练习）已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型七：抛物线的定值、定点、定直线问题
19．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2021·全国高二课时练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
21．（2021·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条弦，设、所在直线的斜率分别为、，当、变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【双基达标】
一、单选题
22．（2021·全国高二课时练习）直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
24．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
26．（2022·全国高三专题练习（理））已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
27．（2021·榆林市第十中学）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·河南高三模拟预测）抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
29．（2021·河北）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国高三专题练习（理））直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．（2021·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【高分突破】
一：单选题
32．（2021·全国高二课前预习）已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
33．（2021·全国高二课时练习）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
34．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·浙江高三专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·全国高三专题练习（理）（文））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
38．（2021·全国高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A． B．(为坐标原点)的面积为
C． D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
二、多选题
39．（2022·江苏高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
40．（2021·河北迁安·高二期末）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
41．（2021·历下·山东师范大学附中高三开学考试）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时， D．的最小值为4
42．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．p＝2
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为
43．（2021·江苏省溧水高级中学高二月考）抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．
C． D．若于点，则点的轨迹是圆
三、填空题
44．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
45．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．
46．（2021·东城·北京二中高二月考）在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
47．（2021·全国高二课时练习）抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
48．（2021·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
四、解答题
49．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围．
50．（2021·贵州贵阳一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.
51．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．
52．（2021·深圳市第七高级中学高三月考）抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，，，证明：为定值.
53．（2021·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程：
设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.
54．（2021·山西运城·高三）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案详解】
1．A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
2．D
【详解】
将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
3．B
【详解】
将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B.
4．B
解：不妨设抛物线的方程为，令点在第一象限，点在第二象限．
根据抛物线的对称性，得点的纵坐标为，代入抛物线的方程得，即点．
又点．因为点，都在以坐标原点为圆心的圆上，所以，解得或（舍去），
则抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：B．
5．A
【详解】
设三角形其中一个顶点为，
因为三角形是正三角形，
所以，即，
解得，
所以三角形的两个顶点为，
所以三角形的面积为，
故选：A
6．C
【详解】
如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
7．D
设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
8．D
【详解】
由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
9．C
【详解】
，又，
，
，
直线方程为，代入抛物线方程，得：
，
，
，
故选：C.
10．A
【详解】
设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
11．D
解：依题意得，抛物线的方程是，直线的方程是．联立
消去，得，即．设，，则，所以．
故选：D．
12．B
【详解】
根据题意可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得直线BA的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+1设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,将直线AB与抛物线方程联立得y2-4my-4=0所以.
对于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正确;
对于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不会∠C或∠D为直角,故B不正确;
对于③:因为,所以,即，
因为所以解得,所以，
所以直线的斜率为.故③正确；
对于④:由題意可得，
点O到直线AB的距离，
所以，故④错误.
故选:B
13．C
解：建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位上升后，
即将代入，
即，
解得：，
∴水面宽为.
故选：C.
14．B
【详解】
如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
15．D
【详解】
建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，
抛物线方程为，
当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，
故水面下降了.
故选：D.
16．B
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
所以直线AB为，将其代入抛物线方程可得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为1，
所以，
所以准线方程为，
故选：B
17．D
【详解】
当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，
故选：D.
18．C
【详解】
如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中．
为垂心，，，
即，解得，
直线的方程为，即．
故选：C．
19．
【详解】
（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为．
由，消去，得．
设，，则，．
由，
得，解得或（舍去），
∴抛物线的标准方程为．
（2）设的中点为点，则．
假设在轴上存在满足条件的点，连接．
∵为正三角形，
∴，即，
解得，∴，
∴．
又，
∴在轴上不存在一点，使为正三角形．
20．
（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
21．
（1）∵动圆过定点，且与直线相切，
∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.
（2）∵直线与抛物线有两个不同的交点
∴直线的斜率必不为0.
∴设其方程为，并设点，点，与抛物线联立得：.
∴整理得：，其中，，且
∵
.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴或.
当时，直线的方程可化为：，过定点；
当时，直线的方程可化为：，过定点，即点不合题意，舍去.
∴直线必过定点.
22．A
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
23．C
解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：
由题意可知，则，联立
整理得：
设，，则，
设，，同理可得：
由抛物线的性质可得：，
∴，
当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.
故选：C
24．B
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
25．B
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
26．A
【详解】
由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
由题意有，设，，，，此时直线方程为，
取方程，得，
∴，同理得
由抛物线定义可知，
当且仅当（或）时，取得等号；
故选：A
27．A
如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，
所以可设，作于．
因为，则．由，易得，
所以，，即知，
因为点在上．
所以，解得．
故选：A
28．A
【详解】
若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；
若点在抛物线内部，如下图，
设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，
再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，
时，，
故选：A.
29．B
【详解】
焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
30．C
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质.
31．B
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
32．A
33．B
【详解】
因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
34．B
【详解】
过点A，B分别作直线AM，BN垂直于准线l，垂足分别为M，N，如图：
因直线AB过抛物线的焦点F，于是有，
显然有∽，于是得，
即，，，
所以.
故选：B
35．A
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
36．D
【详解】
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：D
37．A
【详解】
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
38．C
【详解】
由已知的焦点为，所以直线的方程为，
设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，
所以，，
由，得，代入得
，，
所以，开方可得或，
可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以
，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图
过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，
故D正确.
故选：C.
39．AC
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
40．BCD
【详解】
对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；
对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，，故B正确；
对于C，若，则过点，则，当时，，即抛物线通经的长，故C正确，
对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确．
故选：BCD．
41．ACD
解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故C正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．
故选：ACD．
42．BCD
【详解】
对A，由准线l交x轴于点Q（－2，0），
所以，，故A错误，
对B，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于轴时，
令，可得，，
所以，故B正确；
对C，设直线m的方程为，
代入抛物线方程可得：，
设，则有：，
所以
，故C正确；
对D，若△MAB为等边三角形，设A，B中点为，
则，，
设，所以，所以，则，
则点到直线m的距离，
而，
由可得，
解得，所以,
此时AB的斜率为，故D正确.
故选：BCD
43．ABD
【详解】
由题意，，若，，则，，
∵，即，又联立直线与抛物线有，
∴，，则，
∴，而，即，故过定点，A正确；
若，，，，
由：，可得，则；
由：，可得，则；
∴，而且，故，B正确；
，，
∴，C错误；
∵在直线上，又过定点且，
∴，故在以为直径的圆上，D正确；
故选：ABD
44．
解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°
，直线l的方程为，即
代入抛物线方程，得
解得（舍去）
所以，于是可得
故答案为：
45．
如图，连接交圆于M点，交抛物线于 N点，
由抛物线方程，知其焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可知：
当三点共线时 最小，又点 M在圆上
四点共线时，最小，如图所示
此时的最小值为：，
故答案为：.
46．
【详解】
抛物线的焦点，
因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，
直线AF方程为：，
由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，
从而有，
所以的面积为.
故答案为：
47．
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
48．8
由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
49．（1）y2＝4x；（2）．
解：（1）直线l的方程为，联立，消去y整理得.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为，则，故直线l被抛物线E截得的线段长为，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
令，得.
又∵，∴恒成立．
设
则，.
∵，∴∈．
∴的取值范围是．
50．
（1）解：由题意可知：，化简可得曲线.
（2）证明：由题意可知，是曲线上的点，
设，
则，
联立直线的方程与抛物线C的方程，
，
解得①，同理可得②，
而③，又④，
由①②③④整理可得，
故直线恒过定点.
51．（1）；（2）64.
（1）设直线为代入整理得
设
所以
又所以
由得
综上：所求抛物线的方程为
（2）由（1）得
因为所以
令，有
故当时，
四边形面积有最小值
52．
（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，
此时M，N两点的横坐标均为，
代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，
即抛物线方程为.
（2）证明：设，，，
因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为，
联立方程，消去得.
所以
且
又
所以（定值）.
53．
解：，且动点的纵坐标非负，
动点到点的距离与到直线的距离相等，
动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，
曲线的方程为.
由点在上，则，，
由抛物线的方程，可设，，
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，
，即，
同理可得，，
，
，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，③
则无论为何值，恒为方程③的解，
点恒在直线上，即动直线恒过定点.
54．
解：（1）设抛物线的方程为：由题：，
抛物线的方程：
（2）设，联立：得
由，
，
假设在抛物线上存在点，使得
，且
又
存在点使得.
试卷第1页，共3页
3．3.2 抛物线的简单几何性质
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
2．（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2017·河南信阳·高二期末（理））抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
题型二：抛物线的对称性
4．（2021·全国高二单元测试）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021·中国农业大学附属中学）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（文））过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线：相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
12．（2021·四川自贡·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于、两点，、两点分别为、两点在直线上的射影，而且，为线段的中点.则下列命题（ ）
① ②等腰直角三角形
③直线的斜率为
④的面积为4（为坐标原点），其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：抛物线的应用
13．（2020·广东普宁·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东临沂·高二期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·广东深圳·）如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（ ）
A． B． C． D．
题型六：直线与抛物线的位置关系
16．（2021·贵州师大附中高二月考（理））已知抛物线：，过其焦点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
18．（2021·全国高二课时练习）已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型七：抛物线的定值、定点、定直线问题
19．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2021·全国高二课时练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
21．（2021·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条弦，设、所在直线的斜率分别为、，当、变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【双基达标】
一、单选题
22．（2021·全国高二课时练习）直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
24．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
26．（2022·全国高三专题练习（理））已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
27．（2021·榆林市第十中学）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·河南高三模拟预测）抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
29．（2021·河北）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国高三专题练习（理））直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．（2021·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【高分突破】
一：单选题
32．（2021·全国高二课前预习）已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
33．（2021·全国高二课时练习）已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
34．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·浙江高三专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·全国高三专题练习（理）（文））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
38．（2021·全国高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（ ）
A． B．(为坐标原点)的面积为
C． D．若是抛物线上一动点，则的最小值为
二、多选题
39．（2022·江苏高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
40．（2021·河北迁安·高二期末）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
41．（2021·历下·山东师范大学附中高三开学考试）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时， D．的最小值为4
42．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．p＝2
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为
43．（2021·江苏省溧水高级中学高二月考）抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．
C． D．若于点，则点的轨迹是圆
三、填空题
44．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
45．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知点为抛物线上一动点，点为圆：上的动点，记动点到轴距离为，则的最小值为______．
46．（2021·东城·北京二中高二月考）在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
47．（2021·全国高二课时练习）抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
48．（2021·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
四、解答题
49．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围．
50．（2021·贵州贵阳一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.
51．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．
52．（2021·深圳市第七高级中学高三月考）抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，，，证明：为定值.
53．（2021·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程：
设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.
54．（2021·山西运城·高三）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案详解】
1．A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
2．D
【详解】
将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
3．B
【详解】
将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B.
4．B
解：不妨设抛物线的方程为，令点在第一象限，点在第二象限．
根据抛物线的对称性，得点的纵坐标为，代入抛物线的方程得，即点．
又点．因为点，都在以坐标原点为圆心的圆上，所以，解得或（舍去），
则抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：B．
5．A
【详解】
设三角形其中一个顶点为，
因为三角形是正三角形，
所以，即，
解得，
所以三角形的两个顶点为，
所以三角形的面积为，
故选：A
6．C
【详解】
如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
7．D
设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
8．D
【详解】
由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
9．C
【详解】
，又，
，
，
直线方程为，代入抛物线方程，得：
，
，
，
故选：C.
10．A
【详解】
设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
11．D
解：依题意得，抛物线的方程是，直线的方程是．联立
消去，得，即．设，，则，所以．
故选：D．
12．B
【详解】
根据题意可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得直线BA的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+1设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,将直线AB与抛物线方程联立得y2-4my-4=0所以.
对于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正确;
对于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不会∠C或∠D为直角,故B不正确;
对于③:因为,所以,即，
因为所以解得,所以，
所以直线的斜率为.故③正确；
对于④:由題意可得，
点O到直线AB的距离，
所以，故④错误.
故选:B
13．C
解：建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位上升后，
即将代入，
即，
解得：，
∴水面宽为.
故选：C.
14．B
【详解】
如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
15．D
【详解】
建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，
抛物线方程为，
当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，
故水面下降了.
故选：D.
16．B
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
所以直线AB为，将其代入抛物线方程可得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为1，
所以，
所以准线方程为，
故选：B
17．D
【详解】
当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
若直线与抛物线有且只有一个公共点，
则，整理可得：，所以，
综上所述：或，
故选：D.
18．C
【详解】
如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中．
为垂心，，，
即，解得，
直线的方程为，即．
故选：C．
19．
【详解】
（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为．
由，消去，得．
设，，则，．
由，
得，解得或（舍去），
∴抛物线的标准方程为．
（2）设的中点为点，则．
假设在轴上存在满足条件的点，连接．
∵为正三角形，
∴，即，
解得，∴，
∴．
又，
∴在轴上不存在一点，使为正三角形．
20．
（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
21．
（1）∵动圆过定点，且与直线相切，
∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.
（2）∵直线与抛物线有两个不同的交点
∴直线的斜率必不为0.
∴设其方程为，并设点，点，与抛物线联立得：.
∴整理得：，其中，，且
∵
.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴或.
当时，直线的方程可化为：，过定点；
当时，直线的方程可化为：，过定点，即点不合题意，舍去.
∴直线必过定点.
22．A
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
23．C
解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：
由题意可知，则，联立
整理得：
设，，则，
设，，同理可得：
由抛物线的性质可得：，
∴，
当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.
故选：C
24．B
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
25．B
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
26．A
【详解】
由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
由题意有，设，，，，此时直线方程为，
取方程，得，
∴，同理得
由抛物线定义可知，
当且仅当（或）时，取得等号；
故选：A
27．A
如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，
所以可设，作于．
因为，则．由，易得，
所以，，即知，
因为点在上．
所以，解得．
故选：A
28．A
【详解】
若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；
若点在抛物线内部，如下图，
设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，
再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，
时，，
故选：A.
29．B
【详解】
焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
30．C
【详解】
联立，整理得：，解得：
即直线与抛物线交于，两点，且
由，得，解得：或（舍）
所以抛物线方程为，准线方程为
故，两点到抛物线的准线的距离之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质.
31．B
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
32．A
33．B
【详解】
因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
34．B
【详解】
过点A，B分别作直线AM，BN垂直于准线l，垂足分别为M，N，如图：
因直线AB过抛物线的焦点F，于是有，
显然有∽，于是得，
即，，，
所以.
故选：B
35．A
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
36．D
【详解】
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：D
37．A
【详解】
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
38．C
【详解】
由已知的焦点为，所以直线的方程为，
设，
直线方程与抛物线方程联立，整理得，
所以，，
由，得，代入得
，，
所以，开方可得或，
可得在，因为，所以，
在，因为，所以，
所以，，故A正确；
由，
得，故B正确；
因为，
所以
，故C错误；
由得，所以在抛物线内部，抛物线的准线方程为，
如图
过作与，交抛物线与点，所以，所以，
当在一条直线上时最小，此时，
故D正确.
故选：C.
39．AC
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
40．BCD
【详解】
对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；
对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，，故B正确；
对于C，若，则过点，则，当时，，即抛物线通经的长，故C正确，
对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确．
故选：BCD．
41．ACD
解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故C正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．
故选：ACD．
42．BCD
【详解】
对A，由准线l交x轴于点Q（－2，0），
所以，，故A错误，
对B，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于轴时，
令，可得，，
所以，故B正确；
对C，设直线m的方程为，
代入抛物线方程可得：，
设，则有：，
所以
，故C正确；
对D，若△MAB为等边三角形，设A，B中点为，
则，，
设，所以，所以，则，
则点到直线m的距离，
而，
由可得，
解得，所以,
此时AB的斜率为，故D正确.
故选：BCD
43．ABD
【详解】
由题意，，若，，则，，
∵，即，又联立直线与抛物线有，
∴，，则，
∴，而，即，故过定点，A正确；
若，，，，
由：，可得，则；
由：，可得，则；
∴，而且，故，B正确；
，，
∴，C错误；
∵在直线上，又过定点且，
∴，故在以为直径的圆上，D正确；
故选：ABD
44．
解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°
，直线l的方程为，即
代入抛物线方程，得
解得（舍去）
所以，于是可得
故答案为：
45．
如图，连接交圆于M点，交抛物线于 N点，
由抛物线方程，知其焦点坐标为，准线方程为，根据抛物线的定义可知：
当三点共线时 最小，又点 M在圆上
四点共线时，最小，如图所示
此时的最小值为：，
故答案为：.
46．
【详解】
抛物线的焦点，
因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，
直线AF方程为：，
由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，
从而有，
所以的面积为.
故答案为：
47．
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
48．8
由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
49．（1）y2＝4x；（2）．
解：（1）直线l的方程为，联立，消去y整理得.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为，则，故直线l被抛物线E截得的线段长为，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
令，得.
又∵，∴恒成立．
设
则，.
∵，∴∈．
∴的取值范围是．
50．
（1）解：由题意可知：，化简可得曲线.
（2）证明：由题意可知，是曲线上的点，
设，
则，
联立直线的方程与抛物线C的方程，
，
解得①，同理可得②，
而③，又④，
由①②③④整理可得，
故直线恒过定点.
51．（1）；（2）64.
（1）设直线为代入整理得
设
所以
又所以
由得
综上：所求抛物线的方程为
（2）由（1）得
因为所以
令，有
故当时，
四边形面积有最小值
52．
（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，
此时M，N两点的横坐标均为，
代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，
即抛物线方程为.
（2）证明：设，，，
因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为，
联立方程，消去得.
所以
且
又
所以（定值）.
53．
解：，且动点的纵坐标非负，
动点到点的距离与到直线的距离相等，
动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，
曲线的方程为.
由点在上，则，，
由抛物线的方程，可设，，
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，
，即，
同理可得，，
，
，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，③
则无论为何值，恒为方程③的解，
点恒在直线上，即动直线恒过定点.
54．
解：（1）设抛物线的方程为：由题：，
抛物线的方程：
（2）设，联立：得
由，
，
假设在抛物线上存在点，使得
，且
又
存在点使得.
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