人教A版2019选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习（Word版含解析）

第三章：圆锥曲线的方程
3．1.2　椭圆的简单几何性质
题型一：椭圆的焦点、焦距
1．（2021·全国高二课时练习）以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
3．（2021·全国）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二：椭圆的顶点，长短轴
4．（2021·全国）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A．2 B．2 C． D．4
5．（2021·南京市第十三中学高二开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
6．（2021·内蒙古包头·高二期末（文））、是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的动点．若面积的最大值为8，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
题型三：椭圆的范围问题
7．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（文））椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·江苏鼓楼·金陵中学高二期末）设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·安徽省泗县第一中学高二期末（理））已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：椭圆的离心率问题
10．（2021·福建省宁化第一中学高二月考）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国高二课时练习）椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
题型五：椭圆的中点弦问题
13．（2021·全国高二专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·全国高二课前预习）直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·南京市中华中学）已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型六：直线与椭圆的位置关系问题
16．（2021·江苏南京·高二月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.
17．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆经过点，且右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.
18．（2021·镇远县文德民族中学校（文））已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线交于，两点，且，均位于第四象限，求的取值范围.
题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
19．（2021·绥德中学高二月考（理））已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.
20．（2021·四川省新津中学高二月考（文））已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）①当时，求弦长(用表示)；
②已知点，若为定值，求面积的最大值．
21．（2021·绥德中学高二月考（理））设椭圆的离心率，过点A（1，）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型八：椭圆中的向量问题
22．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过做圆两条切线，切点分别为，求的值．
23．（2021·石门县第六中学）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
24．（2021·安徽华星学校高二期中（理））已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．
【双基达标】
一、单选题
25．（2021·全国高二课时练习）椭圆与的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
26．（2021·全国高二课时练习）如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（山东省2021-2022学年高二10月“山东学情”联考数学试题（D））已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2022·江苏高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2021·全国）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·全国高二单元测试）若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·广西高三开学考试（理））已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
33．（2021·河北张家口·高二期末）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，以为直径的圆交直线于点B（不同于原点O），设的面积为S．若，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
34．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
35．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
36．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆，，分别为椭圆的左 右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
39．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
40．（2021·全国高二课时练习）设椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·全国高二课时练习）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则唨圆的离心率范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2021·浙江高二学业考试）如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
43．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
44．（2021·全国）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
45．（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
46．（2021·全国高二期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
47．（2021·湖南长沙·）已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为 B．椭圆方程为
C．弦长 D．
48．（2021·全国高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长轴长为
三、填空题
49．（2021·全国高二课时练习）椭圆短轴的一个端点与长轴两端点的连线成120°角，则椭圆的离心率为________．
50．（2021·江苏广陵·扬州中学高二月考）椭圆（）的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的最大值为___________.
51．（2021·全国）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______．
52．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．
53．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，．是圆上不同于，两点的动点，直线与椭圆交于点．若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是______．
四、解答题
54．（2020·梅河口市朝鲜族中学高二期末（理））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
55．（2020·全国高二课时练习）设椭圆，右顶点是，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.
56．（2020·揭西县河婆中学）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
57．（2021·广西崇左高中（理））设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
58．（2019·安徽省怀宁中学高二月考（理））已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
59．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二月考（理））已知椭圆：的一个焦点为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
60．（2020·苏州大学附属中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.
【答案详解】
1．B
【详解】
椭圆的两个焦点，短轴的两个端点，
则以点及为四个顶点的椭圆长轴长，短轴长，
其焦点在y轴上，中心在原点，方程为，
所以所求的椭圆方程是：.
故选：B
2．D
【详解】
显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
3．B
【详解】
椭圆可化为，知焦点在轴上，焦点坐标为，
可设所求椭圆的方程为，则．又，即，
∴，即椭圆的标准方程为．
故选：B
4．C
【详解】
将椭圆化为标准形式为 ，
因为椭圆的焦点在轴上，
长轴长是短轴长的两倍，
所以，
解得，
故选：C．
5．D
【详解】
解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
6．C
【详解】
由题意可知，
又因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以，，，
当且仅当时，等号成立，
即椭圆长轴长的最小值为，
故选：C.
7．C
【详解】
设，由题意可得,
因为是钝角，所以，
所以，
所以，
所以，得，
所以，
故选：C
8．A
【详解】
设点，则，可得，
，
因为的最大值为，则关于的二次函数在上的最大值为.
因为，则二次函数的图象开口向下.
①当时，即当时，函数在上单调递减，
则，合乎题意；
②当时，即当时，函数，
解得（舍去）.
综上所述，.
故选：A.
9．B
【详解】
由已知条件可得，，则，椭圆的方程为.
设，则，
因为，所以，
所以.
因为，
因为，所以.
①当时，即当时，可得，此时；
②当时，即当时，可得，
而，故，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
10．A
【详解】
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
11．D
【详解】
设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，
而，于是得，
所以椭圆的离心率是.
故选：D
12．B
【详解】
由题设知是直角三角形，
，，，
，．
又由椭圆的定义，得，，
故．
故选：B．
13．C
【详解】
设点、，由已知可得，
因为点、都在椭圆上，则，
两式作差可得，即，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
14．C
解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
故AB的中点横坐标x0＝＝－.
纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
15．D
【详解】
直线过点，令则，所以，即.
设，则，两式相减并化简得，
所以，
，
所以椭圆的方程为.
故选：D
16．（1）；（2）或.
（1）方法一：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
设椭圆的方程为：，
因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，，
所以椭圆的方程为.
方法二：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得
所以
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与x轴重合时不满足题意；
当直线与x轴不重合时，设直线方程为，
由
消化简得
设，得，
因为弦中点在直线，所以解得，
所以直线的方程为或.
17．（1）；（2）.
【详解】
（1）由题意可知，，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
联立，消去，得.
因为在椭圆内部，所以，
所以，.
则，
，
，
，
，
所以，，
则.
∴，即.
设，是的两根，∴.
当直线斜率不存在时，联立，得.
不妨设，，
则，，
.此时为定值，不存在最大值与最小值.
综上所述：.
18．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意可得，
又，，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设直线方程为，
则 ，消可得，
因为直线交于，两点，且，均位于第四象限，
如图：
则，且，解得，
所以，
综上所述，的取值范围为
19．
（1）椭圆焦点在轴上，所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，
由消去并化简得，
则①，
，即.
因为，且直线的斜率均存在，
所以，整理得②，
因为，
所以，，代入②整理得：
，
将①代入上式并化简得，解得或（舍去），
使成立.
所以直线恒过定点.
20．（1）；（2），．
解：（1）设，
∵抛物线的焦点坐标为，且椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，
∴，
又椭圆的离心率为，得，
于是有，
故椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为，
由，整理可得，
所以，，
①当时，；
②，，
所以
，
要使为定值，则，
解得或(舍)，
所以点到直线的距离，
∴的面积，
当且仅当时取等号，
故面积的最大值为．
21．（1）；（2）为定值.
解：（1）因为，所以①，
将A（1，）代入得②，
又③，
由①②③解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，直线得方程为，
联立，得，
则，
由B、E、M三点共线，可知，即，
同理可得：，
则，
，
所以.
所以为定值.
22．（1）；（2）．
（1）设椭圆左焦点为，则，
又，则，
又，
则，
则，
故，
则椭圆方程为．
（2），则，
代入椭圆得，故，，
又过做圆两条切线，切点分别为，
则，
设，，
23．（1）；（2）存在，.
【详解】
（1）由题意得：，解得
∴椭圆的标准方程是
（2）当直线的斜率不存在时，，
，不符合题意
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，
由消整理得：
，
解得或
，
∴
∵
∴
解得，满足
所以存在符合题意的直线，其方程为.
（Ⅰ）；（Ⅱ）
解：(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，
由题可得，椭圆过点，
椭圆的方程是
(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为
若直线垂直于轴，则点
若直线不垂直于轴，可设的方程为设点
将直线的方程代入椭圆的方程得到
则
.
，
的取值范围是
25．D
解：将椭圆与变形为与，
由可得，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，焦点坐标为，离心率为；
由可得，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，焦点坐标为，离心率为；
故选：D.
26．B
【详解】
解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点
则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故选：B．
27．C
在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
28．B
圆方程可整理为：，圆的半径为，
，解得：，，
椭圆的标准方程为：.
故选：B
29．C
连接A，B与左右焦点F，的连线，由，
由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，
在△中，，
∴，可得，即，则，
∴椭圆的离心率，
故选：C．
30．C
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
31．A
【详解】
解： 由已知得，即 ①，
由及，得 ②，联立①②，解得，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
32．B
【详解】
由可设，则，由椭圆的定义得，，，
从而，
所以，
故，
所以.
故选：B.
33．D
【详解】
依题意，得，
∴点A到直线的距离，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，其中，
∴，
∴，即，
得，
∴或（舍）
∴离心率为.
故选：D.
34．D
由长轴长为4得，解得，
设，直线l方程为，，，
则，，
由得，，即，
所以①，
又P在椭圆上，所以，即，
代入①式得，即，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，
所以，解得，
所以所求椭圆方程为．
故选：D．
35．D
【详解】
设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
36．A
显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
37．A
【详解】
由题意，椭圆，可得，，
设，代入椭圆的方程，可得，
则，
即，即.
又因为，所以.
故选：A.
38．B
【详解】
由题知：，
所以椭圆的标准方程为：.
故选：B
39．B
【详解】
设，，则，
所以，
所以即.
故选：B.
40．B
【详解】
解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，
根据正弦定理可得2R＝＝＝，
∴R＝，r＝R＝．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，
由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，
∴mn＝，
∴＝mnsin＝，
又＝(m+n+2c) r＝，
∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，
解得：e＝或e＝﹣1（舍）．
故选：B．
41．A
【详解】
解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，
因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，
∴1设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离
，其中，
d的最小值 最大值分别为：，，
满足最大值与最小值之和为，
∴1.
故选：A.
42．D
解：由题意得，设，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以，
因为在椭圆上，
所以，
化简得，，
因为，所以，
，得，
解得或（舍去）
故选：D
43．ABC
对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
44．CD
由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
45．ABD
【详解】
对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD．
46．AD
【详解】
对于A：因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，
设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，
所以，
所以，解得或，
因为，所以，即椭圆的焦距为，故A正确；
对于B：由，所以椭圆的短轴长为，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点的切线方程为，即，
则，解得，故D正确.
故选：AD.
47．BC
【详解】
因为的周长为8，所以，得，
因为过右焦点F2，所以，所以，
所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；
设，
由得，解得，
，故C正确；
原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
故选：BC.
48．AD
【详解】
由可得，因为，所以轴，
对于A：，当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故选项A正确；
对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故选项B不正确；
对于C：因为在椭圆内，所以长轴长，所以离心率，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以为的中点，而，，，所以，所以长轴长，故选项D正确；
故选：AD.
49．
【详解】
依题意，设椭圆中心在原点O，焦点在x轴上，方程为，椭圆的端点为，，
于是得是等腰三角形，，，而，
则有，离心率，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
50．
【详解】
由椭圆的定义可得，
又，
可得，
在中，，
当且仅当时取得等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
51．
【详解】
由，得，
化简得．又，所以，所以，
所以椭圆的方程为．
故答案为：．
52．
【详解】
设直线的方程为，则，．又在椭圆上，
∴，即，变形得，于是，
∴，解得．又，
∴，从而得，故椭圆的离心率的取值范围为．
故答案为：
53．
由题可知，，设，则，，所以．因为，所以，即①
因为点在圆上，所以，所以．②
结合①②可知，．因为，
所以．
故答案为：.
54．(1) ；（2），a的取值范围为.
（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，
于是，
故椭圆C的离心率为；
（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，
即 ①
②
③
由②③以及得，又由①知，故；
由②③得，所以，从而，故；
当，时，存在满足条件的点.
故，a的取值范围为.
55．（1）； （2）.
（1）右顶点是，离心率为，
所以，∴，则，
∴椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，设，
与椭圆方程联立得：，，
设直线与轴交于点，，即，
∴或 (舍），
∴直线过定点；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线，与椭圆方程联立，得，
，，，
，
，则，
即，
∴，
∴或，
∴直线或，
∴直线过定点或舍去；
综上知直线过定点.
56．（1）；（2）18.
(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
57．（Ⅰ）（Ⅱ）或.
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
58．（1） （2）1或－1.
【详解】
（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．
（2）由得．
设点M，N的坐标分别为，，则，，，．
所以|MN|===．
由因为点A（2,0）到直线的距离，
所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．
59．
由题意可得，点在C上，
，
又，
解得，，
椭圆C的方程为，
假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
设，，线段AB的中点为，
由，消去y可得，
，解得，
，，
，，
，
依题意有，，
由，可得，可得，
由可得，
，，
代入上式化简可得，
则，
解得，
当时，点满足题意，当时，点满足题意
判别式的作用．
60．
（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，即有，即，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，
直线与圆相切，则有，
即有，
则椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：设，
由，可得直线和关于x轴对称
即有，即，
即有，①
设直线，代入椭圆方程，可得，判别式，即为②，③，
代入①可得，，
将③代入，化简可得，
则直线的方程为，即．即有直线恒过定点．
将代入②，可得，
解得或
则直线的斜率的取值范围是．
试卷第1页，共3页