《椭圆的标准方程》教学设计
一、教材分析:
1．教学目标:
知识技能目标(1)使学生掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求出椭圆的标准方程,能用标准方程判定曲线是否是椭圆以及焦点的位置,应用椭圆的标准方程解决简单问题;
(2)进一步掌握解析几何的基本方法——坐标法。
过程性目标:通过标准方程的推导与运用,师生共同参与教学,使学生感受知识,体验数学的美,激发学生的求知欲望,培养学生从数学的角度发现问题，提出问题,理解问题,分析和解决问题的良好学习习惯以及严谨的思维方式.
2.教学重点、难点:
重点:椭圆的标准方程的认识、推导及应用。
难点:椭圆标准方程的化简。
突破难点的关键:优化推导过程,探索创造性的运算方法.
3教学方法与学法指导:
教法：“两本位、五环节”教学模式结合多媒体教学：
两本位：以学生为本位，以学生的能力为本位；
五环节：
学法:在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
二、教学过程：
围绕“两本位、五环节”的教学模式展开教学
预习题：
仔细阅读课本，回答下列问题：
１. 什么是椭圆？根据椭圆的定义，椭圆上的任意一点有何性质？
２.根据圆的方程的推导过程，感受求曲线方程的一般方法．
３.求函数的值域．
4.根据课本提示，尝试推导椭圆的标准方程；
5.说出椭圆的标准方程的两种形式，以及它们之间有何联系与区别。
目的有二：（1）通过阅读教材，感受知识，对本节课知识有一个总体的印象，让学生带着问题上课；（2）温故而知新，为本节课椭圆方程的推导作好准备。
（一）创设情境，导入新课：
由学生简单回顾椭圆的定义，然后举出生活中的椭圆的例子，从“神州六号”运行轨道的探索提出问题：
※怎样建立椭圆的方程？
※如何根据方程研究椭圆的性质？
（二）师生合作，探究新课
1.椭圆的标准方程的推导：
设椭圆的焦距为2c，椭圆上任意一点到焦点F1，F2的距离的和为2a。
模仿圆的方程的求法，引导学生推导标准方程
（1）建系：以F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy（如图），则F1，F2的坐标分别为（-c,0）,(c,0).
(2)设点：设P（x,y）为椭圆上任意一点，
（3）列式：由椭圆的定义可知：PF1+PF2=2a
即……（1）
（4）化简：课本上采用两次移项、平方方法，对于学生来说不仅需要勇
更需要毅力！这正是解析几何对运算的要求——此法已经由学生在预习
完成。这里结合预习题第三题的思路，让学生仔细观察方程（1）的特征
大胆猜测，寻找更合理的算法。
注意到方程（1）左边两个根式的特征：，
故想到将（1）式根式有理化得：……（2）
得：……（3）
（3）式变形得： 此方程正好反映了椭圆的第二定义，为今后学习圆锥曲线的统一定义作好铺垫。
再平方整理得：
由于，令得：。
坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧十分重要，学生常因运算能力不强而功亏一篑。缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎寸步难行，因此在教学中必须注意不失时机地加强运算技能的训练！由于我们充分运用了图形的对称性，恰当的选取坐标系，寻找合理的运算方法，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的几何性质。
2.椭圆标准方程的两种形式：
由上面的推导可知：焦点在x轴上的椭圆方程是：
，其中
接下来由学生自行推导焦点在y轴上的椭圆方程，并一起归纳两种形式方程的联系与区别。
（三）学以致用，运用新知
例1.分别求出下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1） （2）
例2.已知方程表示椭圆，求k的取值范围。
变式训练：若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，k的取值范围又是多少？
（以上两个例题以及变式让学生共同探讨完成）目的是让学生掌握两种标准方程的区别与联系。
例3.已知一个运油车上的贮油灌横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的方程。
变式训练：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）c=4,b=3,焦点在x轴上；
（2）两焦点坐标分别为F1（0，2）、F2（0，-2），a=6;
（3）经过两点P（3，0）、Q（0，-5）。
例题3是课本上的例题，变式是根据课本上练习改编的，意图有二：（1）加强学生对所学知识的简单应用意识；（2）使学生掌握椭圆标准方程的基本求法。
师生共同归纳小结本节课所学知识
（1）椭圆标准方程的两种形式：焦点在x轴上和焦点在y轴上（注意它们的区别与联系）；
（2）两种标准方程中a,b,c的关系；
（3）求椭圆标准方程的基本方法。
通过小结，既使学生理解椭圆标准方程的本质，同时也让本节的知识形式凝固于脑海之中，做到熟能生巧。
1.必做题：课本P28 习题2.2（1）T2，T3，T4
2.选做题：（1）已知椭圆mx2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相等，求实数m的值。
（2）已知椭圆过A（-6，）、B（，）
通过分层作业，激发学生的求知欲，满足不同层次学生的需求，促使共性与个性的发展。
1.根据椭圆的标准方程，求出椭圆与坐标轴交点的坐标，由此说明a,b,c的几何意义。
2.我们从本节课的学习知道，a,b,c的关系恰好是勾股定理，你能在图形中指出这个直角三角形吗？
让学生在已学知识的基础上，思考一些具有挑战性的问题，一则提升思维的高度，使知识得以升华，二则培养学生积极探索、自主学习的良好习惯，也为下节知识的学习作好铺垫。
三、自我评价：
1.本教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增加课堂教学的启发性与创造意识，重结果的同时更加注重过程。
2.思维能力包括形象思维与抽象思维，而数学更加注重抽象思维。本节课设计朴实无华，没有刻意追求课堂形式上的热闹，更加注重知识的发生、发展、形成的过程，注重知识的来龙去脉，注重以数学特有的魅力激发学生思维的火花。
3.一位哲人说过：“世界并不缺乏美，缺乏的是审美的眼光。”不少学生，特别是基础差的学生认为数学是枯燥无味的，那是因为他们没有真正领会到数学的魅力。本节课在化简方程的成功之处就是发现并利用了根式的对称美，使得化简的过程简洁有效。教学过程中多次强调了“数学美”，注意发掘数学美的功能，使学生在思考和探索知识的过程中体会到数学的魅力，从而培养对数学浓厚的兴趣。
课件13张PPT。椭圆的标准方程深圳市宝安中学 许世清预习题：仔细阅读课本，回答下列问题：１. 什么是椭圆？根据椭圆的定义，椭圆上的任意一点有何性质？
２.根据圆的方程的推导过程，说出求曲线方程的一般方法．
３.求函数 的值域．
3.根据课本提示，尝试推导椭圆的标准方程；
4.椭圆的标准方程有几个？它们之间有何联系与区别？ 、 叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做焦距。思考：为什么要规定如果 ，P点的轨迹是什么？平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆呢？通常记椭圆的定义：设P（x,y）为椭圆上任意一点，由椭圆的定义知：即思考：如何化简方程？二、椭圆的标准方程：将（１）式进行根式有理化可得：(1)-(2)得:两边平方并整理得:焦点在x轴上椭圆方程其中焦点在y轴上椭圆方程其中思考：如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？例1.分别求出下列方程表示的椭圆的焦点坐标例2.已知方程 表示椭圆，求k的取值范围。 变式：若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，k的取值范围又是多少？三、方程的应用例3.已知一个运油车上的贮油灌横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的方程。作 业：1.必做题:课本P28 习题
2.2（1）T2，T3，T42.选做题:
（1）已知椭圆 与 的焦距相等，求实数m的值。
（2）已知椭圆过A（-6，）、B（ ， ）,求椭圆的方程.1.根据椭圆的标准方程，求出椭圆与坐标轴交点的坐标，由此说明a,b,c的几何意义。2.我们从本节课的学习知道，a,b,c的关系恰好是勾股定理，你能在图形中指出这个直角三角形吗？谢谢同学们的合作
感谢老师们的指导
