黑龙江省肇东市第四高级中学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含解析）

肇东市第四高级中学校2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题
1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
ξ 1 2 3 4
P
D．
2．设ξ的分布列为右图所示
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》和《三国演义》部名著．甲同学准备从中任意选择部进行阅读，那么《红楼梦》被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．将4个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放一个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是（ ）
A． B． C．15 D．360
6．已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知函数满足，则（ ）
A．1 B．9 C． D．
9．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
10．设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．
14．下列语句是假命题的是______（填序号）．
①所有的实数都能使成立； ②存在一个实数，使成立；
③存在一个实数，使．
15．已知集合或，，若，则实数的取值范围_．
16．的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）
三、解答题
17．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下列联表：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 25
总计 50
如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是．
（1）求，，，的值．
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.
19．（1）计算：；
（2）已知，（m>1）；求的值.
20．设函数．
(1)若不等式的解集，求a，b的值；
(2)若，
①，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．
②求函数在区间上的最小值．
21．（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
22．某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由给出的四组数据的散点图，结合相关系数的概念，逐图判定，即可求解.
【详解】
由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，
题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，
题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，
由此可得．
故选：A．
2．D
【解析】
先求E(ξ)，进一步求出E(η).
【详解】
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，即可计算概率.
【详解】
第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，
所以第二次取出的是白球的概率是.
故选：A.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
先求出从4部名著中任选2部的选法，再求出《红楼梦》被选中的选法，进而可得得出结果.
【详解】
从4部名著中任选2部共有种选法，
其中《红楼梦》被选中的选法有种，
所以《红楼梦》被选中的概率为.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
这是一个组合问题，可以看成从6个盒子中选择4个盒子放入小球，从而可得出答案.
【详解】
解：此题可理解为从6个盒子中选择4个盒子放入小球（小球无差别），
因此有种不同的放法．
故选：C．
6．C
【解析】
【分析】
由可求出函数的定义域，由于的图象是由的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案
【详解】
令得，即为函数的定义域，
而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象，
故其值域不变．
故选：C．
7．A
【解析】
【分析】
依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】
对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数的解析式，再求函数在处的函数值即可.
【详解】
令，则，
所以，
所以函数的解析式为.
所以
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【详解】
解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以.
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
首先设，代入原式可得，再分别讨论和，两种情况求，再求.
【详解】
令，，则
1°时，，则无解．
2°时，，∴，∴
时，，则；时，无解
综上：.
故选：B．
11．B
【解析】
【分析】
利用对数不等式的解法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】
由，得，即，
于是有，解得，
因为“”不能推出“”，故充分性不成立；
因为“”能推出“”，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
求得解.
【详解】
解：图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B
13．
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性进行求解．
【详解】
因为，所以该正态曲线关于直线对称，
则，又得
所以
故答案为：
14．②③
【解析】
【分析】
由二次方程的判别式可得二次函数的性质，进而可判断①②③是否正确，可得正确答案.
【详解】
因为在中，，
所以无解，恒成立．
所以所有的实数都能使成立；①是真命题，
不存在实数，使成立，②是假命题，
不存在实数，使，③是假命题，
所以②③是假命题．
故答案为：②③.
15．或
【解析】
【分析】
根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
16．10
【解析】
【详解】
试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
考点:二项式定理
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.
17．（1），，，；（2）有.
【解析】
【分析】
（1）由抽到积极参加班级工作的学生的概率是，可求出的值，然后根据表中的数据可求出的值；
（2）直接利用公式求解，然后根临界值表判断即可
【详解】
解：（1）积极参加班级工作的学生有人，总人数为50，
由抽到积极参加班级工作的学生的概率，
解得，所以．
所以，．
（2）由列联表知，，
由，可得有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设“会徽”卡有张，利用从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，可以求出，也就可以求出“五环”图案卡片的张数，然后求出抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）由题意可知服从二项分布，根据二项分布的概率公式，列出的分布列，计算出的值.
【详解】
（Ⅰ）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为；
（Ⅱ）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即，
，，
，，
，的分布列为：
0 1 2 3 4
.
【点睛】
本题考查了古典概型、离散型随机变量分布列、以及期望，由题意分析出服从二项分布是解题的关键.
19．（1）325；（2）126.
【解析】
【分析】
（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据结合题意可得，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算.
【详解】
（1）∵，则
∴
（2）∵，则或，解得或（舍去）
∵，则.
20．(1)
(2)①，时，取最小值2 ；②当时，的最小值为，当时，的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知 1，1是方程的两根，结合韦达定理求解；（2）根据题意得，①利用基本不等式进行处理运算，注意“1”得运用；②分类讨论判断单调性求解．
(1)
由的解集是知 1，1是方程的两根，
由根与系数的关系可得
解得
(2)
由得，
①，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值是2．
②由于，得，则，
函数的图象对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为，
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为．
21．(1)81，(2)45，(3)210.
【解析】
【分析】
(1)利用分步乘法计数原理原理求解；(2)利用分步乘法原理，结合排列的知识求解；(3)利用隔板法求解即可.
【详解】
(1)满足条件的放发可分为4步，第一步放1号球，第二步放2号球，第三步放3号球，第四步放4号球，每步都有3种放法，由分步乘法计数原理可得满足条件的放法有种放法，即种放法；
(2)满足条件的放发可分为3步，第一步，从5个球中任选一个球将其放在与其编号为盒子中，有5种放法；第二步，从余下的四个球中任选一个球，放入编号为的盒子中，有3种放法，第三步，将编号为的小球放入余下的某一盒子中，有3种放法，第四步，将余下的两个小球按要求放入余下的盒子中，有1种放法，由分步乘法计数原理可得共有种放法，即45种放法；
(3)将11个相同的小球排成1排，在排列的两端各放置1块隔板，在小球之间的10个空隙中选择4个空隙插入隔板，即可将11个小球分为5段，依次将各段小球放入5个盒子中，可得满足要求的放法，故满足条件的放法有种，即满足条件的放法有210种.
22．(1)元
(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【解析】
【分析】
（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；
（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求
(1)
设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
(2)
由题得当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页