吉林地区普通高中友好学校联合体2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·友好期末）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·友好期末）一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则
A． B． C． D．
3．（2022高二下·友好期末）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
4．（2022高二下·友好期末）曲线在点的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·友好期末）已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2022高二下·友好期末）从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有（ ）
A．11种 B．15种 C．30种 D．36种
7．（2022高二下·友好期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·友好期末） 的展开式中 的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．256
9．（2022高二下·友好期末）4名运动员参加接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
10．（2022高二下·友好期末）已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·友好期末）现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（ ）
A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种
B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种
C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种
D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种
12．（2022高二下·友好期末）定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
13．（2022高二下·友好期末）已知随机变量，且，则 ．
14．（2022高二下·友好期末）某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身得到的数据如下表：
单位：人
读书 健身 合计
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
在犯错误的概率不超过 的前提下认为性别与休闲方式有关系.
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15．（2022高二下·友好期末）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为 ．（结果四舍五入保留整数）
（附：若，则，，）
16．（2022高二下·友好期末）已知函数 ，则函数 的极大值为 ．
17．（2022高二下·友好期末）已知 的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求 展开式中的常数项.
18．（2022高二下·友好期末）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.
19．（2022高二下·友好期末）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．
试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？
（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
20．（2022高二下·友好期末）爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量（单位：）随上市天数的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量与上市天数的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：
55 155.5 15.1 82.5 4.84 94.9 24.2
表中.
附：①，.
②对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）根据散点图判断与哪一个更适合作为日销量关于上市天数的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.
21．（2022高二下·友好期末）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：不分类卖出，单价为20元.
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价(元/kg） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
22．（2022高二下·友好期末）已知函数，．
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】根据导数的运算法则可知，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的加减法运算法则，进而得出函数的导数。
2．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出的值。
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若 ，函数的对称轴是 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】由正态分布的几何性质即可得出函数的对称轴，再由正态分布的定义计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可得，∴，即，
∴切线方程为。
故答案为： B
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
5．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值。
6．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有种。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法种数。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
当 时，解得 ，则函数 的单调递减区间为 。
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。
8．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 .
故答案为：C．
【分析】 直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出 时的项数，即可求解 的系数．
9．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于4名运动员四棒全排共有种，其中甲跑第一棒的种数为；乙跑第四棒的种数为；其中甲排第一棒，同时乙跑第四棒的种数为，则所有不同出场的顺序为。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出不同的出场顺序的种数。
10．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由题意知，，
因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，
所以在R上恒成立，
故，
即．
故答案为：B
【分析】先求得导函数，由函数单调性与导数关系，得在R上恒成立，即可求解。
11．【答案】A,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，选取的3个学生都是女生的不同的选法共有种，
A符合题意；
对于B，恰有1个女生的不同选法共有种，
B不符合题意；
对于C，至少有1个女生的不同选法共有种，
C符合题意；
对于D，选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共种，
D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理以及分类加法计数原理、对立事件的定义，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据导函数图象可知， 在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增.所以 在 处取得极小值，没有极大值.
所以A，B，D选项正确，C选项错误.
故答案为：ABD
【分析】根据导函数图象判断出函数 的单调性和极值，由此判断出正确选项.
13．【答案】8
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】由，得，
。
故答案为8。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出p的值，再利用二项分布求方差公式，进而得出随机变量的方差。
14．【答案】0.1
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】由题中列联表中的数据，得，
因为，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关系.
故答案为：0.1
【分析】利用已知条件结合列联表中的数据，再结合独立性检验的方法，进而得出在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关系。
15．【答案】26
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由题意，，则，，所以
，，
则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为26。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而得出每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数。
16．【答案】2ln2
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，故
解得 ， ，
令 ，解得
函数在 单调递增，在 单调递减，
故 的极大值为
故答案为： .
【分析】对函数求导，通过赋值，求得 ，再对函数单调性进行分析，求得极大值.
17．【答案】（1）解：由展开式中所有的偶数项二项式系数和为 ，得 ，
所以
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.
因为 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中二项式系数最大的项为 ，
（2）解：由（1）知 ，且 的展开式中 项为 ，
项为 ，
所以 展开式的常数项为 ，
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 （1）根据二项式系数的性质求得 ，从而求得展开式中二项式系数最大的项；
（2）把 按照二项式定理展开，可得 展开式中的常数项．
18．【答案】（1）解：由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，
解得a＝0.03
（2）解：由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，
∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，
同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，
学生人数约为0.35×1200＝420人，
所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，
（3）解：初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，
同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，
故X的可能取值为：1，2，3，
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×+2×+3×＝.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；
（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；
（3）分别求得初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望.
19．【答案】（1）解：五位数中，偶数排在一起的有＝576个
（2）解：两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，进而结合分步乘法计数原理，进而得出五位数中，两个偶数排在一起的个数。
（2）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，进而结合分步乘法计数原理，进而得出两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数的个数。
20．【答案】（1）解：由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程.
（2）解：令，先建立关于的线性回归方程.
则，
，
，
所以.
故关于的回归方程为，
即日销量关于上市天数的回归方程为.
当时，
，
所以，上市第12天的日销量的预报值为.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1） 由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程 。
（2）利用已知条件结合最小二乘法，进而得出日销量关于上市天数的回归方程，再利用代入法和线性回归方程，进而预报出上市第12天的日销量。
21．【答案】（1）解：设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到2个礼品果的概率为：
（2）解：设方案2的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）解：用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个
现从中抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
0 1 2 3
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合古典概率公式计算出各个事件的概率，再由题意结合二项分布的性质，代入数值计算出结果即可。
(2)由已知条件计算出两种方案下的期望值，进行比较后即可得出结论。
(3)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
22．【答案】（1）解：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解：解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
（2） 解法一：设，，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数m的取值范围。
解法二：令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围。
1 / 1吉林地区普通高中友好学校联合体2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·友好期末）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】根据导数的运算法则可知，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的加减法运算法则，进而得出函数的导数。
2．（2022高二下·友好期末）一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出的值。
3．（2022高二下·友好期末）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若 ，函数的对称轴是 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】由正态分布的几何性质即可得出函数的对称轴，再由正态分布的定义计算出结果即可。
4．（2022高二下·友好期末）曲线在点的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可得，∴，即，
∴切线方程为。
故答案为： B
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
5．（2022高二下·友好期末）已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值。
6．（2022高二下·友好期末）从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有（ ）
A．11种 B．15种 C．30种 D．36种
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有种。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法种数。
7．（2022高二下·友好期末）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
当 时，解得 ，则函数 的单调递减区间为 。
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。
8．（2022高二下·友好期末） 的展开式中 的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．256
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 .
故答案为：C．
【分析】 直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出 时的项数，即可求解 的系数．
9．（2022高二下·友好期末）4名运动员参加接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由于4名运动员四棒全排共有种，其中甲跑第一棒的种数为；乙跑第四棒的种数为；其中甲排第一棒，同时乙跑第四棒的种数为，则所有不同出场的顺序为。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出不同的出场顺序的种数。
10．（2022高二下·友好期末）已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由题意知，，
因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，
所以在R上恒成立，
故，
即．
故答案为：B
【分析】先求得导函数，由函数单调性与导数关系，得在R上恒成立，即可求解。
11．（2022高二下·友好期末）现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（ ）
A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种
B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种
C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种
D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种
【答案】A,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，选取的3个学生都是女生的不同的选法共有种，
A符合题意；
对于B，恰有1个女生的不同选法共有种，
B不符合题意；
对于C，至少有1个女生的不同选法共有种，
C符合题意；
对于D，选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共种，
D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理以及分类加法计数原理、对立事件的定义，进而找出正确的选项。
12．（2022高二下·友好期末）定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据导函数图象可知， 在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增.所以 在 处取得极小值，没有极大值.
所以A，B，D选项正确，C选项错误.
故答案为：ABD
【分析】根据导函数图象判断出函数 的单调性和极值，由此判断出正确选项.
13．（2022高二下·友好期末）已知随机变量，且，则 ．
【答案】8
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】由，得，
。
故答案为8。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出p的值，再利用二项分布求方差公式，进而得出随机变量的方差。
14．（2022高二下·友好期末）某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身得到的数据如下表：
单位：人
读书 健身 合计
女 24 31 55
男 8 26 34
合计 32 57 89
在犯错误的概率不超过 的前提下认为性别与休闲方式有关系.
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】0.1
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】由题中列联表中的数据，得，
因为，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关系.
故答案为：0.1
【分析】利用已知条件结合列联表中的数据，再结合独立性检验的方法，进而得出在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关系。
15．（2022高二下·友好期末）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为 ．（结果四舍五入保留整数）
（附：若，则，，）
【答案】26
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由题意，，则，，所以
，，
则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为26。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而得出每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数。
16．（2022高二下·友好期末）已知函数 ，则函数 的极大值为 ．
【答案】2ln2
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，故
解得 ， ，
令 ，解得
函数在 单调递增，在 单调递减，
故 的极大值为
故答案为： .
【分析】对函数求导，通过赋值，求得 ，再对函数单调性进行分析，求得极大值.
17．（2022高二下·友好期末）已知 的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求 展开式中的常数项.
【答案】（1）解：由展开式中所有的偶数项二项式系数和为 ，得 ，
所以
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.
因为 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中二项式系数最大的项为 ，
（2）解：由（1）知 ，且 的展开式中 项为 ，
项为 ，
所以 展开式的常数项为 ，
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 （1）根据二项式系数的性质求得 ，从而求得展开式中二项式系数最大的项；
（2）把 按照二项式定理展开，可得 展开式中的常数项．
18．（2022高二下·友好期末）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，
解得a＝0.03
（2）解：由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，
∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，
同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，
学生人数约为0.35×1200＝420人，
所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，
（3）解：初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，
同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，
故X的可能取值为：1，2，3，
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×+2×+3×＝.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；
（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；
（3）分别求得初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望.
19．（2022高二下·友好期末）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．
试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？
（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
【答案】（1）解：五位数中，偶数排在一起的有＝576个
（2）解：两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，进而结合分步乘法计数原理，进而得出五位数中，两个偶数排在一起的个数。
（2）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，进而结合分步乘法计数原理，进而得出两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数的个数。
20．（2022高二下·友好期末）爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量（单位：）随上市天数的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量与上市天数的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：
55 155.5 15.1 82.5 4.84 94.9 24.2
表中.
附：①，.
②对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
（1）根据散点图判断与哪一个更适合作为日销量关于上市天数的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.
【答案】（1）解：由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程.
（2）解：令，先建立关于的线性回归方程.
则，
，
，
所以.
故关于的回归方程为，
即日销量关于上市天数的回归方程为.
当时，
，
所以，上市第12天的日销量的预报值为.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1） 由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程 。
（2）利用已知条件结合最小二乘法，进而得出日销量关于上市天数的回归方程，再利用代入法和线性回归方程，进而预报出上市第12天的日销量。
21．（2022高二下·友好期末）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：不分类卖出，单价为20元.
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价(元/kg） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到2个礼品果的概率为：
（2）解：设方案2的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）解：用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个
现从中抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
0 1 2 3
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合古典概率公式计算出各个事件的概率，再由题意结合二项分布的性质，代入数值计算出结果即可。
(2)由已知条件计算出两种方案下的期望值，进行比较后即可得出结论。
(3)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
22．（2022高二下·友好期末）已知函数，．
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解：解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
（2） 解法一：设，，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数m的取值范围。
解法二：令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围。
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