四川省甘孜藏族自治州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

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四川省甘孜藏族自治州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·甘孜期末）已知集合 ， 集合， 则（　　）
A．{0} B．
C．0 D．
2．（2022高二下·甘孜期末）已知 为虚数单位， 复数， 则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·甘孜期末）已知条件 的解集， 条件：函数的定义域， 则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高二下·甘孜期末）双曲线的方程为 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·甘孜期末）等差数列的前项和为，则（　　）
A．42 B．56 C．63 D．70
6．（2022高二下·甘孜期末）若 ， 则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·甘孜期末）若变量 满足约束条件， 则的最小值为（　　）
A．-5 B．-2 C．0 D．1
8．（2022高二下·甘孜期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．（2022高二下·甘孜期末）函数的大致图像为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2022高二下·甘孜期末）一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．39π B．50π C．100π D．125π
11．（2022高二下·甘孜期末）过点的直线与圆有一个交点是点， 且(其中为 坐标原点）， 则直线的斜率为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
12．（2022高二下·甘孜期末）已知函数 ，若关于的方程有四个不相等实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·甘孜期末）设函数， 则　 　.
14．（2022高二下·甘孜期末）已知向量 ， 若， 则与夹角的余弦值为　 　.
15．（2022高二下·甘孜期末）在中，，，且的面积为， 则边长为　 　.
16．（2022高二下·甘孜期末）抛物线 的焦点为， 直线与抛物线分别交 于两点（点在第一象限）， 则的值等于　 　.
三、解答题
17．（2022高二下·甘孜期末）已知各项都为正数的等比数列 前项和为. 且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ， 求数列的前项和
18．（2022高二下·甘孜期末）为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”
男生 女生 合计
优秀 30 　 　
非优秀 　 10 　
合计 　 　 　
参考公式及数据： .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
（2）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？
19．（2022高二下·甘孜期末）如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
（1）若为的中点， 证明：平面；
（2）若，，若二面角的大小为，试求的值.
20．（2022高二下·甘孜期末）已知椭圆 与轴的正半轴交于点，且离心率
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过点与椭圆交于两点， 求面积的最大值并求此时的直线方程.
21．（2022高二下·甘孜期末）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
22．（2022高二下·甘孜期末）在直角坐标系 中，直线的参数方程为(为参数)， 在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中， 曲线的极坐标方程为
（1）求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线 与轴的交点为， 直线与曲线的交点为， 求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合 ， 集合，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及x的取值范围，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z。
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为，所以，即条件p：；
令，解得，即条件q：，
所以是的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出是的必要不充分条件。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程得，，
则双曲线的离心率为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程求出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再利用双曲线的离心率公式，进而得出该双曲线的离心率。
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为为等差数列，
所以，解得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第五项的值，再利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列前9项的和。
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
7．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出变量 满足约束条件的可行域，如图：
作直线并平移经过点时，取得的最小值，
且最小值为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值。
8．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由于把函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故为了得到函数的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
9．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】因为是由向左平移一个单位得到的，
因为，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，
所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；
又当或时，，，
所以。
故可排除C选项。
.故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的平移变换、偶函数的图象的对称性以及特殊值排除法，进而找出函数的大致图象。
10．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，
如图所示：
该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，
四棱锥的高即为
所以，
解得．
由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，
设四棱锥的外接球的半径为r，
所以，
解得，
所以外接球的表面积。
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为，再利用四棱锥的体积公式结合已知条件得出四棱锥的高，由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，再利用勾股定理和直径与半径的关系，进而得出四棱锥外接球的半径，再利用球的表面积公式，进而得出四棱锥外接球的表面积。
11．【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可知，过点的斜率存在，设直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
在中，由余弦定理得.
所以.
所以圆心到直线的距离为
，即，解得或，
所以直线的斜率为或。
故答案为：A.
【分析】由题意可知，过点的斜率存在，设直线的方程为，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，在中，由余弦定理得出AB的长，在中，由余弦定理得的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再结合正弦函数的定义得出圆心到直线的距离，进而求出直线的斜率。
12．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，，
令，解得；令，解得；
所以在递增，在递减，，
且当时，，
作出函数的图象如下：
关于的方程有四个不相等实数根，
令，则有两个不等的实根，
且，
又，
所以，
解得，
所以关于的方程有四个不相等实数根时，。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合分段函数的图象结合关于的方程有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，且，又，所以，进而得出实数a的取值范围。
13．【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知可得，则。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法，进而得出函数的值。
14．【答案】
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意得，
因为，
所以，解得，
则，
所以与夹角的余弦值。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而得出m的值，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出与夹角的余弦值。
15．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由正弦定理得：，
，，即，解得：，，
由余弦定理得：，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形的面积公式，进而得出a，c的值，再利用余弦定理得出AC的长。
16．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为直线可化为，
所以过焦点且倾斜角为，
设，则 ，，
解得，，
代入得，，
所以。
故答案为：。
【分析】将直线化为，所以直线过焦点且倾斜角为，设，再利用抛物线的定义，则 ，，解得，与p的关系式，代入得与p的关系式，再利用三角形的面积公式得出 的值 。
17．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为（），
因为，所以，
得，，
解得或（舍去），
因为，所以，解得，
所以
（2）解： 由（1）得，
所以
【知识点】对数的运算性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而解方程组求出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的等比数列的通项公式结合 ， 进而得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前项和 。
18．【答案】（1）解：由题可得 ，
解得 ，
由题可得， 这 100 名学生中成绩非优秀的有 名，
所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 名， 成绩优秀的有名， 记成绩优秀的 3 名学生为， 成绩非优秀的 2 名学生为，
从这 5 名学生中随机抽取 2 名， 有 ， 共 10 种情况，
其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，
所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ；
（2）解：补充完整的 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
优秀 30 30 60
非优秀 30 10 40
合计 60 40 100
则 的观测值，
所以没有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值，再利用分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率。
（2）利用已知条件将 列联表补充完整，再利用独立性检验的方法判断出没有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关。
19．【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为四边形为矩形，为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：由题设平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以，，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题可得，
因为，解得，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，利用四边形为矩形，所以为的中点，
再利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小，再利用已知条件，进而得出 的值。
20．【答案】（1）椭圆与轴的正半轴交于点，则
，则
椭圆 的方程为：
（2）解：当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意.
当直线 的斜率不为 0 时，
设 代入，得到
设
令
令 ， 在单调递增，
当为最大
， 此时的方程为：
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆与轴的正半轴交于点，进而得出a的值，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2） 当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意；当直线 的斜率不为 0 时，设直线 代入，设，再利用韦达定理得出，再利用三角形的面积关系和三角形的面积公式，进而得出，令 所以，令 结合增函数的定义判断出在单调递增，进而得出其最值，从而得出的最大值，进而得出m的值，从而得出此时对应的直线的方程。
21．【答案】（1）解：∵，
当，，
∴在单调递增
当时，，
令，得，得
∴在单调递增，在单调递减
综上：时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在单调递减，
∵
∵
∴，使得，即，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值为3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的最小值。
22．【答案】（1）解：直线 的参数方程为，
曲线 的极坐标方程为，
，即，
曲线的直角坐标方程，
（2）解：将直线 的参数方程为
代入 ， 得到
故
【知识点】两点间距离公式的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再利用参数方程与普通方程的转化方法，进而得出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程。
（2）利用直线 与轴的交点为， 直线与曲线的交点为，分别联立直线l与y轴所在的直线方程以及直线l与曲线C的方程，进而求出交点P，A，B的坐标，再利用两点距离公式得出的值。
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四川省甘孜藏族自治州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·甘孜期末）已知集合 ， 集合， 则（　　）
A．{0} B．
C．0 D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合 ， 集合，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及x的取值范围，进而得出集合A，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2022高二下·甘孜期末）已知 为虚数单位， 复数， 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z。
3．（2022高二下·甘孜期末）已知条件 的解集， 条件：函数的定义域， 则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为，所以，即条件p：；
令，解得，即条件q：，
所以是的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出是的必要不充分条件。
4．（2022高二下·甘孜期末）双曲线的方程为 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程得，，
则双曲线的离心率为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程求出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再利用双曲线的离心率公式，进而得出该双曲线的离心率。
5．（2022高二下·甘孜期末）等差数列的前项和为，则（　　）
A．42 B．56 C．63 D．70
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为为等差数列，
所以，解得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第五项的值，再利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列前9项的和。
6．（2022高二下·甘孜期末）若 ， 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，进而得出的值。
7．（2022高二下·甘孜期末）若变量 满足约束条件， 则的最小值为（　　）
A．-5 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出变量 满足约束条件的可行域，如图：
作直线并平移经过点时，取得的最小值，
且最小值为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值。
8．（2022高二下·甘孜期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由于把函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故为了得到函数的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
9．（2022高二下·甘孜期末）函数的大致图像为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】因为是由向左平移一个单位得到的，
因为，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，
所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；
又当或时，，，
所以。
故可排除C选项。
.故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的平移变换、偶函数的图象的对称性以及特殊值排除法，进而找出函数的大致图象。
10．（2022高二下·甘孜期末）一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．39π B．50π C．100π D．125π
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，
如图所示：
该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，
四棱锥的高即为
所以，
解得．
由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，
设四棱锥的外接球的半径为r，
所以，
解得，
所以外接球的表面积。
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为，再利用四棱锥的体积公式结合已知条件得出四棱锥的高，由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，再利用勾股定理和直径与半径的关系，进而得出四棱锥外接球的半径，再利用球的表面积公式，进而得出四棱锥外接球的表面积。
11．（2022高二下·甘孜期末）过点的直线与圆有一个交点是点， 且(其中为 坐标原点）， 则直线的斜率为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可知，过点的斜率存在，设直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
在中，由余弦定理得.
所以.
所以圆心到直线的距离为
，即，解得或，
所以直线的斜率为或。
故答案为：A.
【分析】由题意可知，过点的斜率存在，设直线的方程为，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，在中，由余弦定理得出AB的长，在中，由余弦定理得的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再结合正弦函数的定义得出圆心到直线的距离，进而求出直线的斜率。
12．（2022高二下·甘孜期末）已知函数 ，若关于的方程有四个不相等实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，，，
令，解得；令，解得；
所以在递增，在递减，，
且当时，，
作出函数的图象如下：
关于的方程有四个不相等实数根，
令，则有两个不等的实根，
且，
又，
所以，
解得，
所以关于的方程有四个不相等实数根时，。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合分段函数的图象结合关于的方程有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，且，又，所以，进而得出实数a的取值范围。
二、填空题
13．（2022高二下·甘孜期末）设函数， 则　 　.
【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知可得，则。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法，进而得出函数的值。
14．（2022高二下·甘孜期末）已知向量 ， 若， 则与夹角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意得，
因为，
所以，解得，
则，
所以与夹角的余弦值。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而得出m的值，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出与夹角的余弦值。
15．（2022高二下·甘孜期末）在中，，，且的面积为， 则边长为　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由正弦定理得：，
，，即，解得：，，
由余弦定理得：，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形的面积公式，进而得出a，c的值，再利用余弦定理得出AC的长。
16．（2022高二下·甘孜期末）抛物线 的焦点为， 直线与抛物线分别交 于两点（点在第一象限）， 则的值等于　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为直线可化为，
所以过焦点且倾斜角为，
设，则 ，，
解得，，
代入得，，
所以。
故答案为：。
【分析】将直线化为，所以直线过焦点且倾斜角为，设，再利用抛物线的定义，则 ，，解得，与p的关系式，代入得与p的关系式，再利用三角形的面积公式得出 的值 。
三、解答题
17．（2022高二下·甘孜期末）已知各项都为正数的等比数列 前项和为. 且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ， 求数列的前项和
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为（），
因为，所以，
得，，
解得或（舍去），
因为，所以，解得，
所以
（2）解： 由（1）得，
所以
【知识点】对数的运算性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而解方程组求出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的等比数列的通项公式结合 ， 进而得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前项和 。
18．（2022高二下·甘孜期末）为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”
男生 女生 合计
优秀 30 　 　
非优秀 　 10 　
合计 　 　 　
参考公式及数据： .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；
（2）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？
【答案】（1）解：由题可得 ，
解得 ，
由题可得， 这 100 名学生中成绩非优秀的有 名，
所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 名， 成绩优秀的有名， 记成绩优秀的 3 名学生为， 成绩非优秀的 2 名学生为，
从这 5 名学生中随机抽取 2 名， 有 ， 共 10 种情况，
其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，
所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ；
（2）解：补充完整的 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
优秀 30 30 60
非优秀 30 10 40
合计 60 40 100
则 的观测值，
所以没有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值，再利用分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率。
（2）利用已知条件将 列联表补充完整，再利用独立性检验的方法判断出没有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关。
19．（2022高二下·甘孜期末）如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
（1）若为的中点， 证明：平面；
（2）若，，若二面角的大小为，试求的值.
【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为四边形为矩形，为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：由题设平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以，，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题可得，
因为，解得，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，利用四边形为矩形，所以为的中点，
再利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小，再利用已知条件，进而得出 的值。
20．（2022高二下·甘孜期末）已知椭圆 与轴的正半轴交于点，且离心率
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过点与椭圆交于两点， 求面积的最大值并求此时的直线方程.
【答案】（1）椭圆与轴的正半轴交于点，则
，则
椭圆 的方程为：
（2）解：当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意.
当直线 的斜率不为 0 时，
设 代入，得到
设
令
令 ， 在单调递增，
当为最大
， 此时的方程为：
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆与轴的正半轴交于点，进而得出a的值，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2） 当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意；当直线 的斜率不为 0 时，设直线 代入，设，再利用韦达定理得出，再利用三角形的面积关系和三角形的面积公式，进而得出，令 所以，令 结合增函数的定义判断出在单调递增，进而得出其最值，从而得出的最大值，进而得出m的值，从而得出此时对应的直线的方程。
21．（2022高二下·甘孜期末）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
【答案】（1）解：∵，
当，，
∴在单调递增
当时，，
令，得，得
∴在单调递增，在单调递减
综上：时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在单调递减，
∵
∵
∴，使得，即，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值为3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的最小值。
22．（2022高二下·甘孜期末）在直角坐标系 中，直线的参数方程为(为参数)， 在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中， 曲线的极坐标方程为
（1）求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线 与轴的交点为， 直线与曲线的交点为， 求的值.
【答案】（1）解：直线 的参数方程为，
曲线 的极坐标方程为，
，即，
曲线的直角坐标方程，
（2）解：将直线 的参数方程为
代入 ， 得到
故
【知识点】两点间距离公式的应用；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再利用参数方程与普通方程的转化方法，进而得出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程。
（2）利用直线 与轴的交点为， 直线与曲线的交点为，分别联立直线l与y轴所在的直线方程以及直线l与曲线C的方程，进而求出交点P，A，B的坐标，再利用两点距离公式得出的值。
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