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四川省眉山市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·眉山期末）若复数满足，为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．-2 D．
2．（2022高二下·眉山期末）某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．收入和支出最低的都是4月
B．利润（收入-支出）最高为40万元
C．前5个月的平均支出为50万元
D．收入频数最高的是70万元
3．（2022高二下·眉山期末）天气预报显示，接下来三天下雨的概率分别为0.1，0.3，0.5，假设每天的天气情况相互独立，则接下来三天中至少有1天下雨的概率为（ ）
A．0.015 B．0.315 C．0.985 D．0.685
4．（2022高二下·眉山期末）甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（ ）
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
5．（2022高二下·眉山期末）某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（ ）
A．73 B．75 C．77 D．79
6．（2022高二下·眉山期末）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）
A．493 B．383 C．183 D．123
7．（2022高二下·眉山期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲 乙 丙 丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2022高二下·眉山期末）某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案：向圆内随机扔入N颗芝麻，其中落在不等式表示区域内的粒数为M，则下面各式的值可近似等于圆周率的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
10．（2022高二下·眉山期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法.如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入，，输出，则输入的实数的值为（ ）
A．-4或-3 B．-3或4 C．-4或3 D．3或4
11．（2022高二下·眉山期末）已知定义在R上的可导函数满足，设，，则a，b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
12．（2022高二下·眉山期末）已知实数x，y，z满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·眉山期末）是虚数单位，复数z满足，则 .
14．（2022高二下·眉山期末）某学校为了了解学生的学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是 .
15．（2022高二下·眉山期末）为积极应对人口老龄化，2021年8月20日，全国人大常委会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.若已知某个家庭有3个小孩，且其中至少有1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率为 .
16．（2022高二下·眉山期末）已知函数在处的切线方程为，给出以下结论：
①在定义域上不单调
②，
③有唯一零点
④若，则
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
17．（2022高二下·眉山期末）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：
（1）求全班人数及全班分数的中位数；
（2）根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）若从分数在及的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在的概率.
18．（2022高二下·眉山期末）已知二项式的展开式中前三项的二项式系数和等于29
（1）求展开式中项的系数；
（2）记，求的值.
19．（2020高三上·泸县期末）司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 名机动车司机，得到以下统计：在 名男性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人；在 名女性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人．
参考公式与数据：
参考数据：
参考公式
，其中 .
（1）完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 ，若每次抽检的结果都相互独立，求 的分布列和数学期望 ．
20．（2022高二下·眉山期末）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱.为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用.小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
时间t（月） 2 3 4 5 6
参与活动的人数y（万人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7
参考公式及数据：①回归方程，，；②，，；③若随机变量X服从正态分布，则，，.
（1）若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程，并预测今年7月参与活动的人数；
（2）某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价X（单位：元）
频数 20 60 60 30 20 10
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均数及估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月的下载优惠价，并说明理由.
21．（2022高二下·眉山期末）已知函数，，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：函数在定义域上只有一个零点.
22．（2022高二下·眉山期末）已知.
（1）求的极值点；
（2）若不等式存在正数解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为，所以的虚部为-2。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
2．【答案】D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，A正确，不符合题意.
对于B，利润最高的是7月份，为40万元，B正确，不符合题意.
对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，C正确，不符合题意.
对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合平均数的公式和频数求解方法以及统计的知识，进而找出说法错误的选项。
3．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
接下来三天均不下雨的概率为：，
则接下来三天中至少有1天下雨的概率为：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出接下来三天中至少有1天下雨的概率。
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题设，甲数据为，乙数据为，
所以甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲乙中位数均为，
甲的方差，乙的方差，
甲极差为，乙极差为，
综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.
A、B、D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合条形图中的数据，再结合平均数公式、中位数公式、极差和方差公式，进而通过比较法找出正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题意可知，，解得，
化学考试成绩在内的频率为，
所以第39百分位数的一定位于内，设第39百分位数为，则
，解得，
所以估计化学老师选取的学生分数应不低于77分。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合百分位数求解方法，进而估计出化学老师选取的学生分数。
6．【答案】C
【知识点】进位制
【解析】【解答】根据题干知满四进一，则表示四进制数，将四进制数转化为十进制数，得到
故答案为：C.
【分析】根据题干知满四进一，则表示四进制数，将四进制数转化为十进制数，再结合进位制的转化方法，进而根据图示可知农民采摘的果实的个数。
7．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有种排法，
②若甲不在道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有种安排方法，
故共有种不同的安排方法。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合排列数公式和分类加法计数原理，进而求出甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数。
8．【答案】B
【知识点】几何概型；圆方程的综合应用
【解析】【解答】记圆的面积为，不等式表示区域面积为，
由题意可知，又因为，
所以，所以。
故答案为：B
【分析】记圆的面积为，不等式表示区域面积为，由题意可知，再利用已知条件和圆的面积公式和三角形的面积公式以及求和法，进而得出可近似等于圆周率的选项。
9．【答案】D
【知识点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
10．【答案】C
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；秦九韶算法
【解析】【解答】由，
第一步：，
第二步：，
第三步：，
所以或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合秦九韶算法和程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而求出输入的实数a的值。
11．【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】记，因为，所以，
则在R上单调递减，
因为，所以
所以，即，
整理得，即。
故答案为：B
【分析】记，利用，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，则在R上单调递减，再利用配方法得出，所以，即，进而比较出a，b的大小。
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由得，
由，得，
两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；
因为，，所以，即，所以；
令，则，当时，，
所以在内单调递增，即，
所以，即，
又令，则，
当时，，所以在内单调递增，所以由，得到，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合求和法，再结合构造法和求导判断函数的单调性比较大小的方法，进而比较出x，y，z的大小。
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数z满足z(2+i)=3 i，所以。
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数的模求解公式，进而得出复数z的模。
14．【答案】376
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】由题设，抽取间隔为，
所以第8组抽到的号码是。
故答案为：376。
【分析】利用已知条件结合系统抽样的方法，进而利用等差数列前n项和公式，进而得出第8组抽到的号码。
15．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
设M={至少一个有男孩}，N={第三个孩子是女孩}，
，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而求出已知某个家庭有3个小孩，且其中至少有1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率。
16．【答案】③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为，则，
因为函数在处的切线方程为，所以，
即，解得，
所以，
对于①，，又，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减，故①不正确；
对于②，因为函数在上单调递减，且，，
所以当，要使成立，则，
所以，整理得，解得与矛盾，故②不正确；
对于③，因为函数在上单调递减，且，所以函数有唯一零点，故③正确；
对于④，因为，
所以由得，所以，即，故④正确；
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，进而得出a，b的值，从而得出函数的解析式。再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数在定义域上单调递减；再利用函数在上单调递减，且，，所以当，要使成立，则，解得与矛盾；利用函数在上单调递减，且，所以函数有唯一零点；利用，所以由得，进而找出正确的结论的序号。
17．【答案】（1）解：由茎叶图可知，分数在内的频数为3，
由频率分布直方图可知，分数在内的频率为，
所以， 全班人数为人，
因为分数在内的频数为11，分数在内的频数为16，
所以，全班分数的中位数.
（2）解：由茎叶图知，分数在内的频数为3，在内的频数为11，分数在内的频数为16，在内的频数为8，
所以，分数在内的频数为，
所以，该班本次测试的平均成绩为.
（3）解：因为分数在内的频数为，在内的频数为8，
所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在内的有份，分别记为，
分数在内的有份，分别记为，
所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：，，，共10种，
其中，这2份答题卡至少有一份分数在内的情况有：，，，共7种，
所以，这2份答题卡至少有一份分数在的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据和频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率等于频数除以样本容量，进而得出全班的人数；再利用频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出全班分数的中位数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该班本次测试的平均成绩。
（3）利用已知条件结合分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出这2份答题卡至少有一份分数在的概率。
18．【答案】（1）解：依题意，即，
解得或（舍去），
所以展开式的通项为，
所以，即展开式中项的系数为.
（2）解：依题意，
令，可得，
令，可得，
又，其中展开式项的系数为，
所以，
所以，即.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式的展开式中前三项的二项式系数和，再结合二项式的展开式中前三项的二项式系数和等于29，进而得出满足要求的n的值，再利用二项式定理求出展开式中项的系数。
（2）利用已知条件结合赋值法，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，进而求出 的值。
19．【答案】（1）解：由已知数据可得 列联表如下：
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关
（2）解：随机抽检 辆，司机为男性且开车时使用手机的概率
有题意可知： 可取值是 ，且
； ；
；
则 的分布列为：
数学期望
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知数据即可得到列联表；计算出 ，对比临界值表可得到结果；（2）由样本估计总体思想，可得到随机抽检 辆，司机为男性且开车使用手机的概率为 ，可知 ，由二项分布概率公式可计算得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；由二项分布数学期望计算公式可得 .
20．【答案】（1）解：由题意可得，
，
又因为，，
所以，
，
所以回归直线方程为：，
当时，可得（万人），
故预计今年7月参与活动的人数为万人；
（2）解：①依题意可得这200人的报价（单位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依题意发放的优惠名额为张，预测参加的人数为人，
所以能够得到优惠名额的概率，设下载优惠价为，则
又，，因为，
所以，
则，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为4.8元.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；回归分析的初步应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法和平均数公式，进而求出y关于t的回归方程，再利用代入法和线性回归方程，预测出今年7月参与活动的人数。
（2） ① 利用已知条件结合频数表中的数据，再利用平均数公式和方差公式，进而求出这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差。
② 由①可知， 再利用正态分布对应的函数的图象的对称性以及对立事件求概率公式，进而预测出该APP在当月的下载优惠价。
21．【答案】（1）解：
，又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
综上，当时， 在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）有：当时， 在上单调递减，
又，，所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f(x)的单调性。
（2） 由（1）结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理证出函数在定义域内只有一个零点。
22．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令可得或，列表如下：
-1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的极大值点为-1，极小值点为.
（2）解：由题意可知，存在，使得，即，
令，其中，则，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，则，
所以，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
（2） 由题意可知，存在，使得，令，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数m的取值范围。
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四川省眉山市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·眉山期末）若复数满足，为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．-2 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为，所以的虚部为-2。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
2．（2022高二下·眉山期末）某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．收入和支出最低的都是4月
B．利润（收入-支出）最高为40万元
C．前5个月的平均支出为50万元
D．收入频数最高的是70万元
【答案】D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，A正确，不符合题意.
对于B，利润最高的是7月份，为40万元，B正确，不符合题意.
对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，C正确，不符合题意.
对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合平均数的公式和频数求解方法以及统计的知识，进而找出说法错误的选项。
3．（2022高二下·眉山期末）天气预报显示，接下来三天下雨的概率分别为0.1，0.3，0.5，假设每天的天气情况相互独立，则接下来三天中至少有1天下雨的概率为（ ）
A．0.015 B．0.315 C．0.985 D．0.685
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
接下来三天均不下雨的概率为：，
则接下来三天中至少有1天下雨的概率为：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出接下来三天中至少有1天下雨的概率。
4．（2022高二下·眉山期末）甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（ ）
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题设，甲数据为，乙数据为，
所以甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲乙中位数均为，
甲的方差，乙的方差，
甲极差为，乙极差为，
综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.
A、B、D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合条形图中的数据，再结合平均数公式、中位数公式、极差和方差公式，进而通过比较法找出正确的选项。
5．（2022高二下·眉山期末）某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（ ）
A．73 B．75 C．77 D．79
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由题意可知，，解得，
化学考试成绩在内的频率为，
所以第39百分位数的一定位于内，设第39百分位数为，则
，解得，
所以估计化学老师选取的学生分数应不低于77分。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合百分位数求解方法，进而估计出化学老师选取的学生分数。
6．（2022高二下·眉山期末）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）
A．493 B．383 C．183 D．123
【答案】C
【知识点】进位制
【解析】【解答】根据题干知满四进一，则表示四进制数，将四进制数转化为十进制数，得到
故答案为：C.
【分析】根据题干知满四进一，则表示四进制数，将四进制数转化为十进制数，再结合进位制的转化方法，进而根据图示可知农民采摘的果实的个数。
7．（2022高二下·眉山期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲 乙 丙 丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有种排法，
②若甲不在道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有种安排方法，
故共有种不同的安排方法。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合排列数公式和分类加法计数原理，进而求出甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数。
8．（2022高二下·眉山期末）某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案：向圆内随机扔入N颗芝麻，其中落在不等式表示区域内的粒数为M，则下面各式的值可近似等于圆周率的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型；圆方程的综合应用
【解析】【解答】记圆的面积为，不等式表示区域面积为，
由题意可知，又因为，
所以，所以。
故答案为：B
【分析】记圆的面积为，不等式表示区域面积为，由题意可知，再利用已知条件和圆的面积公式和三角形的面积公式以及求和法，进而得出可近似等于圆周率的选项。
9．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
10．（2022高二下·眉山期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法.如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入，，输出，则输入的实数的值为（ ）
A．-4或-3 B．-3或4 C．-4或3 D．3或4
【答案】C
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；秦九韶算法
【解析】【解答】由，
第一步：，
第二步：，
第三步：，
所以或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合秦九韶算法和程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而求出输入的实数a的值。
11．（2022高二下·眉山期末）已知定义在R上的可导函数满足，设，，则a，b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】记，因为，所以，
则在R上单调递减，
因为，所以
所以，即，
整理得，即。
故答案为：B
【分析】记，利用，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，则在R上单调递减，再利用配方法得出，所以，即，进而比较出a，b的大小。
12．（2022高二下·眉山期末）已知实数x，y，z满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由得，
由，得，
两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；
因为，，所以，即，所以；
令，则，当时，，
所以在内单调递增，即，
所以，即，
又令，则，
当时，，所以在内单调递增，所以由，得到，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合求和法，再结合构造法和求导判断函数的单调性比较大小的方法，进而比较出x，y，z的大小。
二、填空题
13．（2022高二下·眉山期末）是虚数单位，复数z满足，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数z满足z(2+i)=3 i，所以。
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数的模求解公式，进而得出复数z的模。
14．（2022高二下·眉山期末）某学校为了了解学生的学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是 .
【答案】376
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】由题设，抽取间隔为，
所以第8组抽到的号码是。
故答案为：376。
【分析】利用已知条件结合系统抽样的方法，进而利用等差数列前n项和公式，进而得出第8组抽到的号码。
15．（2022高二下·眉山期末）为积极应对人口老龄化，2021年8月20日，全国人大常委会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.若已知某个家庭有3个小孩，且其中至少有1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
设M={至少一个有男孩}，N={第三个孩子是女孩}，
，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而求出已知某个家庭有3个小孩，且其中至少有1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率。
16．（2022高二下·眉山期末）已知函数在处的切线方程为，给出以下结论：
①在定义域上不单调
②，
③有唯一零点
④若，则
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为，则，
因为函数在处的切线方程为，所以，
即，解得，
所以，
对于①，，又，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减，故①不正确；
对于②，因为函数在上单调递减，且，，
所以当，要使成立，则，
所以，整理得，解得与矛盾，故②不正确；
对于③，因为函数在上单调递减，且，所以函数有唯一零点，故③正确；
对于④，因为，
所以由得，所以，即，故④正确；
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，进而得出a，b的值，从而得出函数的解析式。再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数在定义域上单调递减；再利用函数在上单调递减，且，，所以当，要使成立，则，解得与矛盾；利用函数在上单调递减，且，所以函数有唯一零点；利用，所以由得，进而找出正确的结论的序号。
三、解答题
17．（2022高二下·眉山期末）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：
（1）求全班人数及全班分数的中位数；
（2）根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）若从分数在及的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在的概率.
【答案】（1）解：由茎叶图可知，分数在内的频数为3，
由频率分布直方图可知，分数在内的频率为，
所以， 全班人数为人，
因为分数在内的频数为11，分数在内的频数为16，
所以，全班分数的中位数.
（2）解：由茎叶图知，分数在内的频数为3，在内的频数为11，分数在内的频数为16，在内的频数为8，
所以，分数在内的频数为，
所以，该班本次测试的平均成绩为.
（3）解：因为分数在内的频数为，在内的频数为8，
所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在内的有份，分别记为，
分数在内的有份，分别记为，
所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：，，，共10种，
其中，这2份答题卡至少有一份分数在内的情况有：，，，共7种，
所以，这2份答题卡至少有一份分数在的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据和频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率等于频数除以样本容量，进而得出全班的人数；再利用频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出全班分数的中位数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该班本次测试的平均成绩。
（3）利用已知条件结合分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出这2份答题卡至少有一份分数在的概率。
18．（2022高二下·眉山期末）已知二项式的展开式中前三项的二项式系数和等于29
（1）求展开式中项的系数；
（2）记，求的值.
【答案】（1）解：依题意，即，
解得或（舍去），
所以展开式的通项为，
所以，即展开式中项的系数为.
（2）解：依题意，
令，可得，
令，可得，
又，其中展开式项的系数为，
所以，
所以，即.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式的展开式中前三项的二项式系数和，再结合二项式的展开式中前三项的二项式系数和等于29，进而得出满足要求的n的值，再利用二项式定理求出展开式中项的系数。
（2）利用已知条件结合赋值法，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，进而求出 的值。
19．（2020高三上·泸县期末）司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 名机动车司机，得到以下统计：在 名男性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人；在 名女性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人．
参考公式与数据：
参考数据：
参考公式
，其中 .
（1）完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 ，若每次抽检的结果都相互独立，求 的分布列和数学期望 ．
【答案】（1）解：由已知数据可得 列联表如下：
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关
（2）解：随机抽检 辆，司机为男性且开车时使用手机的概率
有题意可知： 可取值是 ，且
； ；
；
则 的分布列为：
数学期望
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知数据即可得到列联表；计算出 ，对比临界值表可得到结果；（2）由样本估计总体思想，可得到随机抽检 辆，司机为男性且开车使用手机的概率为 ，可知 ，由二项分布概率公式可计算得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；由二项分布数学期望计算公式可得 .
20．（2022高二下·眉山期末）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱.为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用.小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
时间t（月） 2 3 4 5 6
参与活动的人数y（万人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7
参考公式及数据：①回归方程，，；②，，；③若随机变量X服从正态分布，则，，.
（1）若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程，并预测今年7月参与活动的人数；
（2）某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价X（单位：元）
频数 20 60 60 30 20 10
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均数及估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月的下载优惠价，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得，
，
又因为，，
所以，
，
所以回归直线方程为：，
当时，可得（万人），
故预计今年7月参与活动的人数为万人；
（2）解：①依题意可得这200人的报价（单位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依题意发放的优惠名额为张，预测参加的人数为人，
所以能够得到优惠名额的概率，设下载优惠价为，则
又，，因为，
所以，
则，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为4.8元.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；回归分析的初步应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法和平均数公式，进而求出y关于t的回归方程，再利用代入法和线性回归方程，预测出今年7月参与活动的人数。
（2） ① 利用已知条件结合频数表中的数据，再利用平均数公式和方差公式，进而求出这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差。
② 由①可知， 再利用正态分布对应的函数的图象的对称性以及对立事件求概率公式，进而预测出该APP在当月的下载优惠价。
21．（2022高二下·眉山期末）已知函数，，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：函数在定义域上只有一个零点.
【答案】（1）解：
，又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
综上，当时， 在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）有：当时， 在上单调递减，
又，，所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f(x)的单调性。
（2） 由（1）结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理证出函数在定义域内只有一个零点。
22．（2022高二下·眉山期末）已知.
（1）求的极值点；
（2）若不等式存在正数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令可得或，列表如下：
-1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的极大值点为-1，极小值点为.
（2）解：由题意可知，存在，使得，即，
令，其中，则，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，则，
所以，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
（2） 由题意可知，存在，使得，令，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数m的取值范围。
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