课件12张PPT。椭圆的标准方程执教:邳州市东方学校 陈磊苏教版高中数学选修2-12006年8月24日，在捷克首都布拉格举行的国际天文学联合会大会通过行星的新定义，冥王星终于“惨遭降级”，被驱逐出了行星家族，被列为“矮行星”.
椭圆定义： 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.
其中两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点；
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识链接：坐标系的建立 以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.设P(x,y)为椭圆上任意一点, 则PF1+PF2=2a.F1F2=2c, 椭圆上任意一点P到F1,F2距离之和为常数2a(2a>2c), 则F1(－c,0)、F2 (c,0).例题分析： 例1.已知一个运油车上的贮油罐横截面的 外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m, 求这个椭圆的标准方程. 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a= ,b=1,焦点在x轴上; (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3). 小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b的值.例2.求下列椭圆的焦点坐标. 问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点所在的坐标轴？焦点在分母大的那个轴上(1)(2) 16x2+7y2=112.答案:(1)(－4,0),(4,0); (2)(0, －3),(0,3). 已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .(0,4) 变式：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 .(1,2)练习:回顾反思
(1)椭圆标准方程的两种形式；
(2)椭圆标准方程焦点位置的判断方法；
(3)求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数法：先判断出焦点所在的位置，再求出a和b.
(4)体会观察、类比、数形结合等思想方法在数学中的应用.
课外作业： 教材第28页习题2.2(1): 第1(1)(4),2(3)(4),4题.谢谢老师们、同学们！再 见课件15张PPT。如何检验它们是不是椭圆？ Or设圆上任意一点P(x，y) 以圆心O为原点，建立直角坐标系 两边平方，得 1.建系2.设坐标3.列等式4.代坐标坐标法 5.化简方程以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分 由椭圆定义有： 即两边平方，化简得： 设 为椭圆上得 焦距F1F2=2c，点P到F1、F2距离的和为2a(2a>2c)即则F1、F2的坐标为 任意一点 ， 线为y轴，建立直角坐标系， 移项平方，化简得 移项得： O如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？ (1)(2)在椭圆 中, a=___,b=___, 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________. 32x在椭圆 中，a=___, b=___, 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________. y4填空：例1 已知一个运油车上的储油罐横截面的外轮廓线
是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两
个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程.待定系数法 Oxy求适合下列条件的椭圆的标准方程：2)a=4,c=1，焦点在y轴上； 1)a=4,b=1，焦点在x轴上； 或3)b=1,c= ，焦点在坐标轴上； 例2 将圆 上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说
明它是什么曲线.坐标转移法 例2.gsp1、建立曲线方程的基本方法和步骤： 2、椭圆的标准方程： 坐标法 设坐标 列等式 代坐标 化简方程 (1)字母a、b、c的关系 (2)焦点位置的判断 建系作业： P28 习题2.2（1） 1、2 课件25张PPT。椭 圆 的 标 准 方 程 江苏省高淳高级中学 濮阳康和 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数 ( 大于F1F2 )的点的轨迹——椭圆两个定点F1，F2——椭圆的焦点两焦点间的距离——椭圆的焦距汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．椭圆？椭圆？将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆． 问题1：它们是不是数学概念上
的椭圆？怎样来检验所
得的曲线是不是椭圆？ 中国第一颗人造地球
卫星“东方红一号”问题2：怎样才能精确地设计卫星
运行的轨道？如何研究椭
圆的性质？问题3：如何建立椭圆的方程？ 已知一个运油车上的贮油罐横截
面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距
为2m，外轮廓线上的任一点P到两个
焦点F1，F2的距离的和为3m．试求
这个椭圆的方程．思 考椭圆方程的建立——步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤四：代入坐标步骤五：化简方程步骤三：列等式 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，
它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点
P到F1，F2 的距离的和为2a(2a>2c)． 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．步骤一：建立直角坐标系设椭圆上任意一点P的坐标为(x，y) ，步骤三：列等式根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，步骤四：代入坐标即： ．步骤二：设动点坐标步骤五：化简方程两边再平方得：
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．移项得： ，两边平方得：
，整理得： ．步骤五：化简方程因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：
，又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝
b2(b＞0)，于是得：
．椭 圆 的 标 准 方 程 说 明（1）与方程有关的三个数a，b，c中，
a为最大，且满足b2＝a2－c2．（2）椭圆的焦点位置可由方程中x2与
y2的分母的大小来确定，焦点在分母
大的项所对应的坐标轴上．练 习1．已知椭圆的方程为 ，则a=_____，b=_____，c=_____，焦点坐标为_______________，焦距等于_____．543(－4，0)，(4，0)8练 习2．已知椭圆的方程为 ，则a=_____，b=_____，c=_____，焦点坐标为_______________，焦距等于_____．212(0，－1)，(0，1)例 已知椭圆的焦点为F1(0，－6)，
F2(0，6)，且椭圆过点P(2，5)，求
椭圆的标准方程． 椭圆的标准方程：回 顾 根据已知条件求椭圆的标准方程：(1)确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；
(2)求解a，b的值，写出椭圆的标准方程．问题1：将圆上的点的横坐标
保持不变，纵坐标变
为原来的一半，所得
的曲线是不是椭圆？问题2：如何借助于椭圆的
标准方程研究其几
何性质？ 1.推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程；
2.教科书P28----习题2．2(1)：
第1题，第2题．课 后作 业谢 谢 同 学 们
恳请各位专家老师批评指正课件14张PPT。 江 苏 省 姜 堰 中 学 邱晓昇汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆.把一个圆压扁了,也像椭圆思考怎样判定它们就是椭圆呢?1.根据椭圆的定义2.根据椭圆的方程探讨如何求椭圆的方程呢？椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两
个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距
离叫做椭圆的焦距．则：即: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)xy 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．P( x , y )设 P( x，y )是椭圆上任意一点设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 椭圆上的点满足PF1+PF2
为定值，设为2a，则2a>2c则：即：O标准方程的推导b2x2+a2y2=a2b2根据已知条件，求下列椭圆的焦点坐标 想一想(1)(2)想一想求适合下列条件的椭圆的标准方程(2) a=4, b=3解:∵焦点在y轴上∴设椭圆的标准方程为∵b=1, c= b2=a2-c2∴a2=b2+c2 即a2=16或例 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，
它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为
3m，求这个椭圆的标准方程．解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为
y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准
方程可设为根据题意有即因此，这个椭圆的标准方程为练 习 两个焦点分别是 (-2，0)， (2，0)，
且过点P求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一: c=2法二: c=2 设椭圆标准方程为:2a=P +P 解：例 ：将圆 = 4上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
并说明它是什么曲线？设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 ＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：因为 ＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。
2）利用中间变量求点的轨迹方程
的方法是解析几何中常用的方法；
分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹根据所学知识完成下表a2-c2=b2课后研学 研究 (1) 根据椭圆标准方程你能说出它的其它性质吗? 如:椭圆的范围及a,b具有什么几何特征? (2)将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？
作 业 下课啦！同学们再相会！感谢各位领导和老师们的指导，
请多提宝贵意见！Class is over,
Thank you for your cooperation,goodbye课件22张PPT。椭圆的标准方程江苏省丹阳高级中学 丁玲普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—1）教学目标：1．掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求
椭圆的标准方程。
2．能用标准方程判定曲线是否是椭圆。复习回顾平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆定点F1、F2叫做椭圆的焦点。F1F2P椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ；
两焦点之间的距离：焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.说明注意a > c > 0椭圆标准方程的推导：求椭圆的方程可分为哪几步？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线
作为坐标轴。)以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。F1F2 ＝ 2c设P(x,y)为椭圆上的任意一点，∵F1F2＝2c(c>0),则：F1(-c,0)、F2(c,0)以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。方程的推导方程的推导以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。方程的推导建立如图坐标系。设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的标准方程F1(0 ,-c)、F2(0, c)F1(-c,0)、F2(c,0)1、已知椭圆的方程为：
则a＝____，b＝____，c＝___， 焦点
坐标为：___ ，焦距等
于____。该椭圆上一点P到焦点F1的距
离为8，则点P到另一个焦点F2的距离
等于______。1068(0,-8)、(0,8)1612练习2、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,
求它的标准方程。
焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：焦点在x轴上B例题讲解解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为例2、将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线因为x′2+y′2=4,所以x2+4y2=4,即这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆小 结定 义图
形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c) a,b,c
的关系{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}思考题怎样判断焦点在哪个轴上?m>0,n>0,当n > m > 0时,焦点在y轴上当m > n > 0时,焦点在x轴上且m≠n作业1、教材P26页习题2.2(1)第2,3,4题2、推导：（用分子有理化）
焦点在y轴上的椭圆的标准方程课件16张PPT。椭圆及其标准方程演示1下面我们来看一看椭圆
是怎么形成的?1、椭圆的定义：2、椭圆的标准方程 求曲线方程的方法步骤是什么？怎样建立平面直角坐标系呢？2、椭圆的标准方程椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a2、椭圆的标准方程 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。， （1）两边平方得叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上。定 义图 形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)椭圆的标准方程1、如果椭圆14或小菜一碟例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。 讲评例题.
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
求椭圆的标准方程
（1）首先要判断类型，
（2）用待定系数法求椭圆的定义
a2=b2+c2一、二、二、三一个概念；二个方程；三个意识：求美意识，
求简意识，
猜想的意识。小结二个方法：登高望远已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是2c，椭圆上的点到A、B的距离的和为2a，当静放在A的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，求小球经过的路程。探索作业课件26张PPT。椭圆的标准方程江苏省邗江中学 杨建萍说课大纲教材分析目标分析过程分析教法分析重难点分析学情分析学法分析（一）教材的地位和作用 椭圆的标准方程是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究圆的方程和性质的强化和提升，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础，有一种认识上的原始开发功能，达到培养学生探索问题和解决问题能力的目的。一、教材分析（1）知识与技能：进一步理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（2）过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。
（3）情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆的标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美；培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。（二）教学目标（三）重点、难点分析 在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法。先让学生感知生活中的椭圆，从而引出课题；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。这种从感性到理性地抽象概括，形数转化，建立椭圆方程的过程符合学生的认知规律。（三）重点、难点分析 结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当是导致“标准方程的推导”成为教学难点的直接原因。我尽可能多地为学生提供时间和空间，让学生在观察、对比的基础上提升自己的思维
二、学情分析1、知识结构：在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
2、能力方面：学生已经具有一定分析问题、解决问题的能力，在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
3、情感方面：由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，且受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。如：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，故从研究圆到研究椭圆，学生思维上会存在一点障碍。 三、教法分析 建构主义学习理论告诉我们，学习应是一种有意义的活动同时也是一种对真实情景的体验。因此，教师教学方法选择如何，是否有利于创设一种有趣、生动、活泼的课堂教学气氛，会直接关系到学生接受知识的过程是主动还是被动。在我的教学设计中，主要采用探究式教学方法。即“问题诱导—启发讨论—探索结果”，注重“引、思、探、练”的结合。引导学生转变学习方式，采用主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。 通过引导学生根据椭圆定义探索椭圆方程的过程，让学生进一步领悟数形结合思想，感受数学的对称美、简洁美，激发学生学习数学的兴趣；通过揭示由于椭圆焦点位置的不确定所引起的分类讨论，感受分类讨论思想的运用。四、学法指导教学流程图五、过程分析问题情境生活中的应用 椭圆的标准方程生活中有椭圆,生活中用椭圆求曲线方程的一般步骤？设点建系找关系代坐标化简、检验推导椭圆的标准方程[1] 建系: 取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系
[2] 设点: 设 P(x,y) 为椭圆上的任意一点
[3] 找关系: 椭圆的焦距是 2c（c>0），即F1F2 =2c.则
F1(-c,0),F2(c,0) ，又设M与F1,F2 距离之和等于2a (2a>2c)
(a, c为常数),所以有MF1+ MF2=2a
[4] 代坐标:方程的推导[5] 化简:∴∴∴令∴则，椭圆的方程为：这样设法不仅可以使方程简单整齐，而且 b 还有明确的几何意义。方程的推导椭圆的标准方程F1(0 ,-c)、F2(0, c)F1(-c,0)、F2(c,0)F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)a2=b2+c2 看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.例1、将圆 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线。你能说出这个椭圆的焦点坐标吗？椭圆标准方程的应用解:设所得曲线上任一点坐标为(x,y)
圆上的对应点的坐标为(x’,y’),由题意可得：
因为所以即这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆。例２、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
解：以F1,F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系.
则这个椭圆的标准方程为:根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：
1、填空：
(1)已知椭圆的方程为 ，则a=___， b=___，c=____，焦点坐标为____________543(3,0)、(-3,0)(2)已知椭圆的方程为 ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为___________21(0,-1)、(0,1)巩固性练习
2、说出适合下列条件的椭圆标准方程
（1）a=5,c=3，焦点在x 轴上；
（2） ，焦点在y 轴上。
巩固性练习3. 标准方程的简单应用。1.一个定义（椭圆的定义）2.两类方程（焦点分别在x轴,y轴上的标准方程） 一种方法（待定系数系法）
两种思想（数形结合、分类讨论）
回顾反思 1、 课本第28页习题1,2,3
2、课本第28页习题5
布置作业谢谢！
