《平面与平面的位置关系》说课教案
无锡市洛社高级中学 翟荣俊
教材：苏教版《数学》必修系列2－1.2.4
我说课的题目是苏教版《数学》必修系列2－1.2.4《平面与平面的位置关系》
一、教材分析：
本节课是平面与平面位置关系的第一课时。它是在学生学习了直线和平面的位置关系的基础上，进一步学习空间线面关系和面面关系。本节课的学习既是在综合运用前面所学习的线面关系，起到了复习知识的作用，也为后面研究两平面垂直及空间几何体提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用。
二、学生情况分析：
从知识上看，学生已掌握了线线，线面的关系和相关的定理，也对空间的线、面关系的概念有了一定的了解，对用定义、定理判断线面关系有了一定的认识。
从学生现有的学习能力看，他们已具备了一定的观察和归纳的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些平面位置关系的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给平面与平面平行以数学描述？如何科学的、有效的地刻画和判断平面与平面平行是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
因此，本节课关注的重点：知识上是平面与平面平行的判定定理和性质定理及其运用；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。
三、教学目标：
1、理解并掌握两个平面平行、相交的定义；
2、会画平行和相交平面的空间图形，并能用字母或符号来表示，培养学生的空间想象能力；
3、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用知识解决一些具体的问题。
四、教学的重点与难点：
重点：了解空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理及其运用；
难点：掌握两个平面平行的性质定理的证明及其运用。
五、教法和学法的分析：
1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作试验和主动参与。
2、教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式已到学生学会自我调适，自我选择。
六、教学媒体和教学技术的选用
本次教学需要教具和多媒体课件的辅助，教具包括:直尺、细绳、钉子等几何画板制作的课件。它们的使用可以更好的帮助学生认识图形，丰富直观，使学生的学习资源更为丰富。
七、教学理念和设计思想：：
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。
本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
八、教学过程
（一）情境引入
（幻灯片）问题1：前面已经学习和研究了空间两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系，而空间的基本元素是点、线、面，那还有什么位置关系我们还没有研究呢？
设计目的：合理的复习线与面的关系知识，通过学生的谈论，归纳引出课题《平面与平面的位置关系》
（幻灯片）问题2：空间两个平面之间的位置关系有哪些呢？请同学结合生活的教室，找到空间平面的几种位置关系。请同学通过同桌交流，讨论得到。
设计目的：通过学生的亲身感受，观察归纳，引出：平行与相交的面面位置关系。
设问：空间平面位置关系分类的依据是什么呢？
引发学生思考，讨论，得出：依据公共点分类。
（二）讲授新课
1、空间两平面的位置关系
（1）两个平面平行——两个平面没有公共点；
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线。（电脑幻灯片显示）
分类
两个平面平行
两个平面相交
定义
没有公共点
有且只有一条公共直线
图象
符号表示
α∥β
α∩β=a
强调作图的要求：（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；
（2）画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线线段，而后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。
设问：对于两个平面平行的位置关系，我们可以根据定义（没有公共点）来判断，但很难操作，能否用简便的方法来判断呢？两个平面满足什么关系时就平行了呢？
目的：引发学生积极思考，通过学生合理的讨论、探究，分析和归纳得出今天的教学重点：两个平面平行的科学判定。
2、两个平面平行的判定
方法一：根据定义；
方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌面上交叉放两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。
问题：木工检测水平的原理是什么呢？引出两个平面平行的判定定理。
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
判定定理的符号表示：
若a(α,b(α,a∩b=A
且a∥β,b∥β
对定理的理解：（1）判定定理的实质是：线面平行(面面平行
（2）注意是同一平面内的两条相交直线
此处可以设问是两条平行直线行不行，为什么？从而引发学生讨论，得出反例，加深对定理的理解。
（3）这两条直线都要平行于第二个平面。
设问：判断下列说法是否正确，说明你的理由：
（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（2）若平面α内有无数条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（3）若平面α内任意一条直线都与平面β平行，则α∥β；
（4）两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作一个平面与已知平面平行；
（6）平面α、β、γ，若α∥γ，β∥γ，则有α∥β。
分析：正确的命题是 （3）（6） ；
具体理由（启发知道学生发现）：
（1）错误的原因在于这两条直线可能平行；（2）错误的原因也是这无数条直线可能平行；
（3）任意一条就等价于所有直线，由定义可知是正确的；（4）这两个平面可能相交；
（5）平面外的这条直线可能与平面是相交的，此时就不行了；（6）依据平行的传递性可得。
设计目的：对定义、定理的进一步加深和理解。
判定定理的运用：
例1：如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面C1BD∥平面AB1D1。
问题1：判定两个平面平行的方法有两种：定义法与判定定理
本题选择何种方法呢？学生自主选择，作出判断—运用判定定理。
问题2：运用定理解决本题的关键是什么？在某一个面内寻求两条相交直线平行于另一个平面。
（学生合作交流，积极思考，寻求途径，加以解决）
证明分析：∵AB∥CD∥C1D1，且AB=CD=C1D1，∴ABC1D1为平行四边形，
例1设计目的：进一步使学生明白运用定理时一定要注意寻求的是两相交直线，而后证明这两条直线分别平行与另一个平面，在论证及书写的过程中要力求规范。
设问：前面已经研究了如何得到两个平面平行，大家已经初步掌握了判定的方法，当两个平面已经平行后，能得到什么性质呢？围绕两个问题进行思考：
（1）一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？
（2）分别在两个平行平面内的两条直线是否一定平行？
设计目的：结合学生的知识最近发展区，通过学生的自主思考，去发现和总结归纳两个平面平行的性质内容。
3、两个平面平行的性质
性质1： 两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行。
符号表述：α∥β、a(α(a∥β
性质1的实质是：面面平行(线面平行
分析：∵α∥β(α∩β=φ，又∵a(α，∴a∩β=φ，由定义可知：a∥β。
性质1的分析，充分运用了判定的定义方法，在今后有些问题的分析中也会用到此方法。
性质2：
问题1：分别在两平行平面内的两直线有何位置关系？学生总结归纳：平行或异面
问题2：求证如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。
已知：α∥β，α∩γ=a,β∩γ=b；（如图1—111）
求证：a∥b
学生分析归纳：∵α∥β(α∩β=φ
a(α，b(β(a∩b=φ
又∵a(γ，b(γ
∴由平行直线的定义可知a∥b
说明此问题的结论就是两个平面平行的性质定理。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。
性质定理的符号表示：α∥β，α∩γ=a,β∩γ=b(a∥b
定理的说明：（1）性质定理的实质就是：面面平行?线线平行；
（2）性质定理又提供了一种证明线线平行的方法（在这之前学习了：利用平行定义、平行公理、线面平行的性质、线面垂直的性质来判定等方法）。
性质定理的运用1：（课后练习4）
求证：夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等。
结合图1—111，说明平行线段可以确定平面，与两个平行平面产生的两条交线平行，又因为两条平行线段平行，由此产生一个平行四边形，从而得到结论成立。
设计目的：本题的分析解决，为后面介绍公垂线段（长度都相等）打下铺垫。
性质定理的运用2：
例2：求证如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
已知：α∥β，l⊥α
求证：l⊥β
（设问证明线面垂直的方法：
（1）定义法：直线垂直于面内任意一条直线；
（2）判定定理法：直线垂直于平面内两条相交直线。
（给出时间，请学生自主探究，而后同桌之间合作交流）
作辅助平面的方法，在本题中得到了进一步的训练。
证明分析：运用定义，做辅助平面，由学生进行分析归纳，完成本题的研究和解决。
4、两平行平面之间的距离
引入：前面已经学习和研究了：点到面的距离，线到面的距离，如何来研究平行平面之间的距离呢？
结合例2，引出：公垂线和公垂线段的概念。
公垂线：与两个平行平面都垂直的直线叫这两个平行平面的公垂线；
公垂线段：公垂线夹在两个平行平面之间的线段叫这两个平行平面的公垂线段。
（两个平行平面的公垂线段有无数条，它们的关系是相互平行，所以公垂线段的长度都相等）
结论：用公垂线段的长度刻画两个平行平面之间的距离
知识的运用：回到例1，如果长方体的长、宽、高分别为4、3、2，试分析三对平行平面之间的距离。
设计目的：通过知识的运用，强化对知识的掌握和理解，达到巩固的作用。
（三）课堂小结
设计：围绕以下几个问题进行同桌交流，总结所学的知识：
（1）本节课，你学习了哪些知识，增进了哪些能力？你会了吗？
（2）一节课下来，你还有什么疑问吗？
（3）立体几何的研究魅力体现在什么地方？
学生积极思考，同桌讨论，回顾本节课的学习和获得的知识，学生归纳，总结（略）
（四）布置作业
《课本》P47习题1.2（3）第2、3、4题；（进一步熟悉两个定理的使用）；
自主探究题：求证：垂直与同一直线的两个平面平行。
（本题设置的目的有三：一是进一步熟悉两个定理的合理运用；二是复习回顾线面关系的知识，三是本题是例2的逆命题，从而进一步加深对定理知识的理解和掌握）。
（五）板书设计
平面与平面的位置关系（1）
1、平面与平面位置关系
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2、两平面平行的判定
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3、两平面平行的性质
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4、两平面之间的距离
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判定定理：
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性质定理：
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例1：-------------------------
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（学生的解答）
例2：-------------------------
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（学生的解答分析）
例2的拓展：
公垂线与公垂线段
板书设计说明：板书采用的是条块式，条理清楚，重点突出，便于强化学生对本节课的掌握和理解，通过规范、整洁、美观的板书，让学生在数学学习的过程中也感受到文字的美。
设计说明：本节课以素质教育的现代教育观为指导思想，采用了启发诱导式教学模式，运用了现代化的多媒体教学手段，注意了学生的主体作用的发挥和教师的主导地位，能较好地抓住重点，突破难点，以知识为载体，最大限度的培养学生的各种能力，相信能取得良好的教学效果。
“授人以鱼，不如授人以渔”。在本节课的教学过程设计中，时刻围绕要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师通过创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。
《椭圆的标准方程》说课教案
无锡市洛社高级中学 翟荣俊
教材：苏教版《数学》选修系列2－1
我说课的题目是《椭圆的标准方程》，内容选自苏教版高中数学选修系列2－1第二章第二节。下面我将从三个方面来阐述我对这节课的教学认识，分别是：教学背景分析、教学方法分析、教学过程与设计。
一、教学背景分析
（一）教材的地位与作用
《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一二次曲线的实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从而达到培养学生探索问题和解决问题能力的目的。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，是后继学习的基础，同时，也是研究曲线方程的深化和巩固。
（二）对教学目标的阐述
根据课程标准的要求，本节教材特点及学生的认知情况，把教学目标拟定如下：
1．知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；
2．过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；
3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
知识的学习和能力的培养是同步的，本课在教学中要学生同桌合作画椭圆，通过画去探究椭圆的条件，归纳如何求焦点在不同位置的椭圆的标准方程帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成良好的思维习惯，逐步培养学生在探究新知过程中进行合作推理的能力及应用数学知识的能力。
本教案的设计着眼点是让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索。所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度是本节课要达成的情感目标。
（三）重、难点的分析与突破
据以上教材、教学目标的分析，确定椭圆的标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
学习的过程是一个不断将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法，抓住学生的最近发展区，先用彗星光临地球这一例说明轨道方程有很大的实际作用，从而引出课题；再让学生回忆上节课讲的椭圆的定义和画法，动手操作“定性”地画出椭圆；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆，从而使推出方程的过程符合学生的认知规律。
学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当是导致“标准方程的推导”成为教学难点的直接原因。为突破难点，在设计中通过课堂精心设问，逐步引导，这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。
二、教法分析和学法指导
学习是一种有意义的活动、是一种合作活动同时也是一种体验。因此，教师教学方法选择如何？是否有利于创设一种有趣、生动、活泼的课堂教学气氛，会直接关系到学生接受知识的过程是主动还是被动。在本课的教学设计中，主要采用探究式教学方法，即“问题诱导－启发讨论－探索结果”以及“直观观察－归纳抽象－总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。在学习方法上，指导学生：通过利用圆的标准方程的推导过程，从而启发椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导；通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思路的指导；通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。
三、教学过程与设计
本课的教学环节主要分以下几个部分
（一）创设情境，引入课题
播放课件：哈雷慧星是人类最早发现的一颗周期慧星，它的回归是人们十分关注的一种天文现象。1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次。
问题讨论：天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？
原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球的时间。
由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？
这就是我们今天要学习并探究的问题——椭圆的标准方程．
目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题。
（二）新课讲授
1．复习回顾
[学生体验]请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作根据上节课讲的方法在纸上画出椭圆的图形。（复习椭圆的定义，并让学生动手画椭圆）
[学生探究、讨论]在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？
通过讨论，学生归纳相关结论：
2a > 2c
2a = 2c
c = 0
2a < 2c
2c越小
2c越大
线段
圆
无轨迹
椭圆越圆
椭圆越扁
目的：复习旧知识，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；以旧知识来调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣；给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解；培养学生的自信心、成就感．
2．标准方程的推导
让学生回忆求圆的标准方程的步骤：建系——设点——列式——化简。
（1）建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．（若学生选取的坐标系都一样教师多画几个坐标系，让学生选，其中有中心在原点焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么）
目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
（2）设点：设椭圆上任意一点。（强调任意性）
（3）列式：根据椭圆定义知，坐标化得
（4）化简：虽然化简此式学生会感到有困难，但我先让学生尝试，适当的提示学生：化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？请学生分析后尝试求解焦点在x轴上的椭圆的标准方程。
为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可得椭圆的标准方程为
请学生归纳焦点在y轴上椭圆的标准方程为：
请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，完成下表
标准方程
不
同
点
图
形
焦点坐标
相
同
点
定 义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
强调：①是；
②是（要区别与习惯思维下的勾股定理）；
③注意方程“型”与曲线“形”的对应。
目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。
3．例题讲解
口答练习，使学生尽快进入练习的紧张状态：
⑴椭圆，则 , ；
⑵椭圆，则 , ；
⑶椭圆，则 , ；
例1：已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程。
（焦点在x轴：椭圆方程；焦点在焦点在y轴：椭圆方程）
口答：根据已知条件，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷．
例2：已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程。
由学生讨论分析，解决本题，得出椭圆方程。
练习：已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程。
由学生自主思考，独立完成，得出椭圆方程。
目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，有利于学生思维能力的培养。
例3：判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标．
⑴； ⑵； ⑶．
解：⑴因为,所以焦点在x轴上；
因为，
所以焦距，焦点坐标为．
⑵因为，所以焦点在y轴上；
因为
所以焦距，焦点坐标为．
⑶方程可化为
因为，所以焦点在x轴上；
因为
所以焦距，焦点坐标为．
目的：通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（求前要将方程先化成标准式），教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法。
例4：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．
解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为
．
根据题意知，，即，，所以
，
因此，这个椭圆的标准方程为
．
目的：⑴进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；
⑵掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量；
⑶培养学生运用知识解决问题的能力。
练习：⑴求下列椭圆的焦点坐标：
①； ②．
⑵求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在x轴上；
②，焦点在y轴上；
③两个焦点分别是F1，F2，且过点P；
④经过点和．
目的：熟悉巩固知识、运用知识。
（三）课堂小结
（①启发引导学生进行自主归纳整理；②利用幻灯片展示归纳结果；③对学生主动学习的态度及方式给予肯定；④强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度）
⑴椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；
⑵用坐标法研究曲线；用运动变化的观点分析问题．
目的：使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握知识的能力；让学生把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
（四）课后作业
课后习题1、2；
补充探究题：已知定圆⊙Q：，动圆⊙M和已知定圆内切,且经过于点P（－3，0），分析圆心M的轨迹及其方程。
研究性作业：查找资料、搜集数据，求神州六号飞行的轨迹方程。
目的：及时巩固本节课所学的知识，能初步运用知识解决一些关于椭圆标准方程的问题，补充探究题和研究性作业，目的是使本节课的学习研究可以延续到课后，既可以调动学生学习数学的积极性，也可以进一步使学生掌握本节课的知识，通过学生的讨论，既可以培养学生的合作意识，也可以进一步使学生熟悉椭圆定义，为后面学习椭圆的几何性质打下基础。
（五）板书设计
椭圆的标准方程
1．椭圆的定义的符号语言
2．标准方程
（1）焦点在轴上
（2）焦点在轴上
椭圆标准方程的推导过程
例3：（简写）
例4：（详写）
板书设计目的：条理清晰，把本节课的重点、难点写在黑板最突出的地方，便于不断强化学生对本节课知识的掌握。
设计感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思想品德教育的好场所，因此面对新课改形势下的新课堂，需要教师和学生一起来培育，一起来创造，一起来开拓。真正提高学生的动手能力、思维能力和创造能力。这其中，学生的自主探究活动显得尤为重要，所以在本节课的设计中，充分考虑到了这一点，通过学生大量的自主探究，使学生在知识的发现和探索中去整理知识，掌握知识，运用知识，感受获得知识的乐趣和成功的体验。
课件21张PPT。2.2 椭圆§2.2.1 椭圆的标准方程无锡市洛社高中 翟荣俊一、复习回顾椭圆的定义是什么？我们是怎么画椭圆的？ 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两
个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距
离叫做椭圆的焦距．自主探讨 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，
画出的椭圆有何变化？
当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？
当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形
是什么？
当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之
间的距离吗？结论2c越小椭圆越圆2c越大椭圆越扁线段圆无轨迹二、标准方程的推导则：设 P( x，y )是椭圆上任意一点以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 若以F1，F2所在的直线为y轴，线段 F1F2的垂直平分线为x 轴建立直角坐标系，推导出的方程又是怎样的呢？方程:也是椭圆的标准方程．注：椭圆的焦点在坐标轴上，且
两焦点的中点为坐标原点.即：根据所学知识完成下表平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹分母哪个大，焦点就在哪个轴上534632试试看，你掌握了吗？例1：已知a＝4，b＝3，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．焦点在x轴时椭圆的标准方程为：
焦点在y轴时椭圆的标准方程为：思考：求椭圆的标准方程需求几个量？例2：已知椭圆的焦点坐标是F1(- 4,0)，F2(4,0)，
椭圆上的任意一点到F1，F2的距离之和是
10，求椭圆的标准方程．练习：已知椭圆的焦点坐标是F1( 0 , -1 ) ，F2( 0 , 1 )，椭圆上的任意一点到F1，F2的距离之和是8，求椭圆的标准方程． 例3：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．分析：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准
方程可设为思考：Ax2+By2=C中，A、B、C满足什么条件，方程可以表示椭圆？答：当A、B、C 同号，且 A不等于B 时表示椭圆．1．判断下列椭圆的焦点位置，并求出焦点坐标．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．试试看，相信你一定行！想一想：今天你学到了什么？⑴进一步了解了椭圆的定义；⑵掌握了椭圆的两种标准方程及推导；⑶求椭圆标准方程的方法——待定系数法．作业布置：1、习题1、2必做；3选做；
2、补充探究题：
已知定圆⊙Q： ，动圆⊙M和已知定圆内切,且经过于点P（－3，0），分析圆心M的轨迹及其方程。
3、研究性作业：查找资料、搜集数据，求神州六号飞行的轨迹方程。
谢谢各位同学！谢谢各位专家的指导再见！椭圆的标准方程
授课教师：无锡市洛社高级中学 翟荣俊
教材：苏教版《数学》选修系列2－1
一．教学目标：
根据课程标准的要求，本节教材特点及学生的认知情况，把教学目标拟定如下：
1．知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；
2．过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；
3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。
二．重点、难点及关键：
重点：椭圆的标准方程；
难点：椭圆标准方程的推导；
关键：创设椭圆的直观情境，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨，使学生顺利突破难点，掌握重点。
三．教学方法
启发式、自主探索
四．教学手段
运用多媒体辅助教学
五．教学过程
㈠创设情景、引入课题
播放课件：哈雷慧星是人类最早发现的一颗周期慧星，它的回归是人们十分关注的一种天文现象。1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次。
问题讨论：天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？
原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球的时间。
由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？
这就是我们今天要学习并探究的问题——椭圆的标准方程．
目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题。
㈡新课讲授
1．复习回顾：
上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？[平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距]
[学生体验]请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作根据上节课讲的方法在纸上画出椭圆的图形。
[学生探究、讨论]在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？
通过讨论，学生归纳相关结论：
2a > 2c
2a = 2c
c = 0
2a < 2c
2c越小
2c越大
线段
圆
无轨迹
椭圆越圆
椭圆越扁
目的：通过复习已有知识，为后面分析椭圆的标准方程作好铺垫；以旧知识来营造一个学生熟悉的学习环境，调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣；给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解；培养学生的自信心、成就感。
2．标准方程的推导
问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（必修2中建系、设点、列式、化简）
问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？（解析法的合理运用）
设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )。
让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．
结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从数学“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么．
方案1：如图，焦点落在x轴上
⑴建系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy；
⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为；⑶列式：依据椭圆的定义式|PF1| + | PF2| = 2a 列方程，并将其坐标化为
．
目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？
⑷化简：通过移项、两次平方后得到：，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可的椭圆的标准方程为
．
先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则．
总结含有根式的化简步骤：
（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；
（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方。
方案2：如图，焦点落在y轴上
试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？
提示：因为这时x轴与y轴交换，所以只要把方程上的x 与y交换）
——焦点在轴上时，椭圆的标准方程是：（）
其焦点，焦距为2c；
请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程；令渗透数学对称美，简洁美教学．
提出问题：
①椭圆的标准方程有什么结构特点？（可作提示：加号；分母大于零且不相等）
②怎样根据标准方程，确定焦点在哪条坐标轴上？
③求椭圆的标准方程，需要知道哪些量？
根据学生讨论研究，让同学们完成下表
标准方程
不
同
点
图
形
焦点坐标
相
同
点
定 义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
强调：①是；②是；③方程“型”与曲线“形”的对应。
目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。
3．例题讲解
学生口答训练：
⑴ ，则 , ；
⑵ ，则 , ；
⑶ ，则 , ；
目的：使学生迅速进入到紧张的练习氛围中去。
例1：已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．
口答：根据已知条件，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷．
目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。
例2：已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程。
由学生讨论分析，解决本题。
练习：已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程。
由学生自主思考，独立完成。
例3：判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标．
⑴； ⑵； ⑶．
解：⑴因为,所以焦点在x轴上；
因为，
所以焦距，焦点坐标为．
⑵因为，所以焦点在y轴上；
因为
所以焦距，焦点坐标为．
⑶方程可化为
因为，所以焦点在x轴上；
因为
所以焦距，焦点坐标为．
目的：通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（求前要将方程先化成标准式），教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法。
例4：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．
解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为
．
根据题意知，，即，，所以
，
因此，这个椭圆的标准方程为：
．
目的：⑴进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；
⑵掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量；
⑶培养学生运用知识解决问题的能力。
练习：⑴求下列椭圆的焦点坐标：
①； ②．
⑵求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在x轴上；
②，焦点在y轴上；
③两个焦点分别是F1，F2，且过点P；
④经过点和．
目的：熟悉巩固知识、运用知识。
㈢课堂小结（⑴启发引导学生进行归纳整理；⑵利用幻灯片展示归纳结果；⑶对学生主动学习的态度及方式给予肯定；⑷强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度.）
⑴椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；
⑵用坐标法研究曲线；用运动变化的观点分析问题．
目的：使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握知识的能力；让学生把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
㈣课后作业
课本课后习题1、2必做；3选做
补充探究题：已知定圆⊙Q：，动圆⊙M和已知定圆内切,且经过于点P（－3，0），分析圆心M的轨迹及其方程。
研究性作业：查找资料、搜集数据，求神州六号飞行的轨迹方程。
目的：及时巩固本节课所学的知识，能初步运用知识解决一些关于椭圆标准方程的问题，补充探究题和研究性作业，目的是使本节课的学习研究可以延续到课后，既可以调动学生学习数学的积极性，也可以进一步使学生掌握本节课的知识，通过学生的讨论，既可以培养学生的合作意识，也可以进一步使学熟悉椭圆定义，为下面的椭圆的几何性质打下基础。
教学设计说明：学了这些年数学我们给孩子们应该留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法。本节课在探究解决问题的途径，引导学生观察图形后研究方程，即数形结合思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的教学。本节课的设计中还充分利用多媒体辅助手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点。课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，在完成知识拓展时，课堂上开始还不能很好的完成题目的变化，经教师的指导，学生逐渐地掌握了方法。此外作业的可选择性使学生能根据自己的能力选择完成。在本节课的设计中，时刻注意引导学生，让学生成为课堂的主人，让他们在知识的探索中，获取成功的喜悦，轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思想品德教育的好场所，因此新教育理念、新课改形势下的新课堂需要教师和学生一起来培育，一起来创造，一起来开拓。真正提高学生的动手能力、思维能力和窗创造能力。
