课件54张PPT。椭圆双曲线抛物线复习课定义:定义:平面内到一个定点和一条定直线的距离
的比等于定长e的点的集合,①当01时,是双曲线.③当e=1时,是抛物线.关于x轴，y轴，
原点 ,对称。关于x轴，y轴，
原点 ,对称。椭圆的几何性质由即说明：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成的矩形之中。例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标把已知方程化成标准方程得因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率焦点坐标分别是四个顶点坐标是解:练习:解: 例2解:解法一:①②③④④例题:又|F1 F2| = 2c ，PF1 ⊥PF2， 如图,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2| = 2a证明:由此得|PF1| 2 + |PF2| 2 + 2 |PF1| |PF2| = 4a2故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2练习:看过程看过程焦点在x轴上的双曲线的几何性质 1.标准方程：2.几何性质：(1)范围：x≥a或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。A1（-a，0），A2（a，0）(4)轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2(5)渐近线方程：(6)离心率：(2)对称轴：(3)顶点：焦点在y轴上的双曲线的几何性质 1.标准方程：2.几何性质：(1)范围：Y ≥a或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。A1（0,-a），A2（0,a）(4)轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2(5)渐近线方程：(6)离心率：(2)对称轴：(3)顶点：把方程化为标准方程：可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距焦点坐标是(-5,0),(5,0)离心率:渐近线方程:解:618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)例:已知双曲线的两个焦点的距离为26，双曲线上
一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24，求双
曲线的方程。解：解：解一解二解三解一 解二： 故直线AB的斜率为2, 解三 练习854看过程抛物线综合复习课xxxxyyyyooooFFFF练习:已知抛物线的焦点为F（-2，0）
准线方程x=2,则抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.解:故选B.(如图)解:解一解二解三证明: 例:证法2:证明一证明二:证明三:抛物线焦点弦的几何性质:练习B看答案解一:如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)故所求直线方程为y - 1 = 3(x-4) 即 3x - y - 11 = 0.解二:如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)即得所求直线方程为解三:如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)解四:即得所求直线方程为K=3或-3舍去-3得k=3解五:Y= 3x - 11解六:THE END 解法一解法二解法三 返回由余弦
定理得:解一:解二:返回解法一:如图,由已知得解法二:返回解: 返回 由余弦定理得:①②课件17张PPT。高二数学双曲线复习容城中学 曹静宁一： 知识回顾双曲线的定义.标准方程及性质
能根据双曲线方程画出双曲线
会用待定系数法求双曲线方程
双曲线的渐近线的意义，共渐近线的双曲线系双曲线第一定义双曲线第二定义到定点的距离与到定直线的比是常数的点的轨迹1:已知圆Ｃ1： 圆Ｃ2
动圆Ｍ同时与这两个圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程为 2: 双曲线 的实轴长等于
虚轴长等于 焦点坐标
离心率等于 准线方程
渐近线方程
焦点到相应准线的距离3、双曲线 上一点Ｍ，
Ｎ是ＭＦ1的中点，则ＯＮ的长···ＯＦ1ＭＦ24、设Ｆ1和Ｆ2为双曲线 的 两个焦点，点Ｐ在双曲线上，且满足 则 的面积是··Ｆ1·5、已知双曲线 内有点Ｐ
（3，2），Ｆ为其右焦点，Ｍ为双曲线上
的一点，且 最小，则Ｍ点的
坐标是··ＦＰＭＱ6、根据下列条件求双曲线方程（1）与双曲线有共同渐近线且过点（2）与双曲线有公共焦点且过点法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=±4，因故点（-3，）在射线及x轴负半轴之间，
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为解之得：∴ 双曲线方程为（2）设双曲线方程为（a>0，b>0）解之得：∴ 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）∴ ∴ 双曲线方程为(2)设双曲线方程为 ∴ 解之得：k=4∴ 双曲线方程为7、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知
P、F1、F2是一个直角三角形的三个
顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。解：当∠PF2F1=900时，
由得：
∴ 当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2
∴ 课间休息课件16张PPT。双曲线的
简单几何性质(1)双曲线的标准方程形式一：
（焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0）） 形式二：
（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））
其中复 习 oYX关于X,Y轴,
原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2 ; B1B2|x|?a,|y|≤b
F1F2A1A2B2B1复习 椭圆的图像与性质 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授 3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点4、渐近线（1）（2）渐近线双曲线的开口的影响（4）5、离心率离心率。c>a>0e >1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：（4）等轴双曲线的离心率e= ?( 5 )焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程：YX1、范围：y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴： A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2小 结或或关于坐标
轴和
原点
都对
称例1：求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36,
(2)8x2－18y2=72
(3)25x2－4y2=100
(4)50x2－8y2=2002x±3y=02x±3y=05x±2y=05x±2y=0例2 :求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:例题讲解 3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). A′A0xC′CB′By例题讲解 课件21张PPT。双曲线的
简单几何性质(2)焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=复习回顾：（1）等轴双曲线的离心率e= ?( 2 )知二求二.思考：焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程：YX1、范围：y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点：B1（0，-a），B2（0，a）4、轴： A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2小 结或或关于坐标
轴和
原点
都对
称椭圆与双曲线的性质比较小 结渐近线离心率顶点对称性范围|x|?a,|y|≤b|x| ≥ a，y?R对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b无图象例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： 解：1) 2)把方程化为标准方程 如何记忆双曲线的渐进线方程？双曲线方程与其渐近线方程之间有什么规律?能不能直接由双曲线方程得出它的渐近线方程？结论：例2:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:例题讲解 1、填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)例3．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，离心率是4/3，求双曲线的标准方程。练习：P38 1、2解：1)2)解：1)2)例4．已知双曲线的渐近线是 ，并且双曲线过点求双曲线方程。练习题：1.求下列双曲线的渐近线方程： 小结：的渐近线是直线y知识要点：技法要点：3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). A′A0xC′CB′By例题讲解 课件15张PPT。双曲线的性质(二)关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0) F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（- a，0），A2（a，0）渐进线无关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线F2(0,c)
F1(0,-c)其中定点是双曲线的焦点
定直线叫双曲线的准线问题1：若双曲线的方程为 （a>0，b>0），则应如何表述？问题2：双曲线的第二定义与椭圆的第二定义有何异同点？点M与一个定点F的距离和它到一条定直线的距离比是定值（定值大于1）时，这个点M的轨迹是双曲线（第二定义）“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率的准线方程是a＞0，b＞0的准线方程是对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点A1（-a,0），A2（a,0）A1（0,-a），A2（0,a）离心率(e>1)(e>1)准线渐近线关于x轴、y轴、原点对称练习：2、若双曲线 上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2，则P到右准线的距离为_______________1、3y2－x2＝1的准线方程是___________，渐近线方程是_______________反思：若题设条件与焦点，准线有关时， 一般利用第二定义来解题。 例1、以坐标轴为对称轴的双曲线，一条准线方程为y＝4，焦距为12，求此双曲线的标准方程。反思：
根据双曲线的准线方程就可确定双曲线的焦点位置，设出方程用待定系数法求a2、b2，是求双曲线标准方程的一般思想方法。例2
求与双曲线 有共同渐近线，且焦点在x轴上，两准线间的距离为 的双曲线方程反思：与 有共同渐近线的方程可设为 （ ）1、 求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐进线的倾斜角为 ，一条准线方程为x=6的双曲线的标准方程。2 、已知双曲线与椭圆x2+4y2=64有公共焦点，它的一条渐进线方程为 ，求双曲线的方程。练习：3、求与双曲线x2/2－y2=1有公共渐近线且以y=－3为准线的双曲线的标准方程.4、求以y=±2x为双曲线的渐近线方程 ，且a=2的双曲线的标准方程小结：
1、双曲线的第一定义与第二定义是等价的。
2、了解双曲线的准线、准线方程的概念。
3、理解双曲线的离心率的几何意义。
4、求双曲线方程要根据具体条件对待，确定焦点的位置很重要。双曲线第二定义的应用P（x0，y0）是双曲线 （a＞0，
b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则∣PF1∣＝？∣PF2∣＝？当P在左支上时，∣PF1∣＝－ex0－a，
∣PF2∣＝－ex0＋a当P在右支上时，∣PF1∣＝ex0＋a，
∣PF2∣＝ex0－a
学科：数学
教学内容：双曲线的简单几何性质
【基础知识精讲】
1.双曲线-＝1的简单几何性质
(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.
(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±x，或令双曲线标准方程-＝1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e＝＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.
(7)共轭双曲线：方程-＝1与-＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.
注意：
1.与双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-＝λ(λ≠0且λ为待定常数)
2.与椭圆+＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)
2.双曲线的第二定义
平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.
3.焦半径(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线-＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0+a,｜pF2｜＝ex0-a;
P在左支上时，则 ｜PF1｜-(ex1+a),
｜PF2｜＝-(ex1-a).
本节学习要求：
学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.
通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.
【重点难点解析】
1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.
2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.
例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y＝-x,且经过点Q(8，6)的双曲线方程.
(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为，渐近线方程为y＝±x，求双曲线方程.
分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为-＝λ(λ≠0)，将Q点坐标代入求得 λ＝4
故所求双曲线方程为 -＝1.
(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为
-＝1,依题意有
解得
故所求双曲线方程为 -＝1
当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为：-＝1
综上所述，所求双曲线的方程为
-＝1或-＝1.
例2 过双曲线-＝1的右焦点F2，作斜率为2的弦AB，求｜AB｜的长.
分析 运用焦半径知识较为简便.
依题意有a＝3,c＝5,e＝,F2(5,0)
联立方程组
消去y得 5x2-90x+261＝0.
设方程的两根为x1,x2.
于是｜AB｜＝e(x1+x2)-2a＝×-6＝24.
注：若用弦长｜AB｜＝·解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.
例3 已知直线l和双曲线-=1(a＞0,b＞0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：｜AB｜=｜CD｜.
分析 若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：
(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0,
设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程
b2x2-a2y2=0 并整理得
(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.
设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3+x4=
∴x1+x2=x3+x4
表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证明.
【难题巧解点拨】
例1 求与双曲线-＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.
分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.
解法一：双曲线-＝1的渐近线方程为：y＝±x
将x＝2代入方程y＝x得y＝·2＝<3
∴点(2，3)在直线y＝x的上方，于是设所求的双曲线方程为：
-＝1
∴
由(1)设a＝3k,b＝4k，代入(2)得：-＝1
∴k＝± (舍负)
∴a＝3 b＝2
∴所求方程为： -＝1即-＝1
分析二 与双曲线-＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为-＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.
解法二：设所求双曲线方程为
-＝λ，(1)
将点(2，3)代入(1)得：
-＝λ ∴λ＝- 所求方程为：-＝-
即：-＝1为所求
说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a、b，进而求出双曲线方程.
(2)方程-＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：+＝0和-＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线-＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.
例2 在双曲线-＝1的一支上不同的三点A(x1,y1)、B(,6)、C(x2,y2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y2;
(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.
分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.
(2)证明过定点可采取求点坐标的方法.
解：(1)∵a＝2,b＝,c＝5,
∴e＝＝＝.
根据双曲线的第二定义，可得：
｜AF｜＝e(y1-)＝ey1-a＝y1-2,
｜CF｜＝e(y2-)＝ey2-a＝y2-2,
｜BF｜＝e(6-)＝6e-a＝6×-2=3.
又｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列，∴｜AF｜+｜CF｜＝2｜BF｜，即(y1-2)+( y2-2)＝2×3,∴y1+y2＝12.
(2)证明：设x1+x2＝t，则线段AC的中点为(,6).∵-＝1, -＝1.
∴-＝0,
∴＝(x1+x2)＝.
∴线段AC的垂直平分线的斜率k＝-，从而其方程为y-6＝- (x-)，即(y-)t+3x＝0，显然它过定点(0，).
点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线-＝1上一点P(x1,y1)的左、右焦半径长为｜PF1｜＝±(ex1+a),｜PF2｜＝±(ex1-a)(其中P在右支上取正号，在左支上取负号).
【典型热点考题】
例1 已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)左、右焦点分别为F1和F2，P是它左支上点，P到左准线距离为d.
问：是否存在这样的点P，使d,｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，说明理由.
分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.
设存在P(x0,y0)且x0≤-a，使d，｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，则｜PF1｜2=d｜PF2｜，
设d′为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：
==e ∴｜PF1｜=ed,
∴(ed)2=d·ed′，∴ed=d′，
∴e(--x0)=-x0+,
∴x0= ∵x0≤-a,
∴≤-a,∴e2-2e-1≤0，
∴1-≤e≤+1,又e＞1，
∴1＜e≤+1.
故当双曲线的离心率e∈(1, +1)时，存在满足条件的P，而当e∈(+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.
注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF1｜+｜PF2｜≥｜F1F2｜求解，请同学们自己完成.
例2 如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜=2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（≤λ≤)时，求双曲线离心率e的取值范围.
分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴.
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C(,h),E(x0,y0,)其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高.
由定比分点坐标公式得
x0==，y0=
-=1, ①
()2-()2=1 ②
由①式得=-1 ③
把③式代入②式，整理得
(4-4λ)=1+2λ
故λ=1-
由题设 ≤λ≤得≤1-≤.
解得 ≤e≤.
所以双曲线的离心率的取值范围为［,］.
注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与λ的等式，由λ范围求出e的范围.
例3 已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.
(1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程；
(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B，且点P(1，m)恰是线段AB的中点?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
分析 (1)设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知
｜｜SM｜-｜SN｜｜=｜｜TM｜-｜TN｜｜≠0
∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM｜=13,｜TM｜=15.
1°当｜SM｜-｜SN｜=｜TM｜-｜TN｜时，有｜TN｜-｜SN｜=2＜14=｜ST｜，
∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的双曲线C的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.
双曲线C的方程：x2-=1(x＜0).
∴点N的轨迹方程为
x2-=1(x＜0,y≠±12).
2°当｜SM｜-｜SN｜=-(｜TM｜-｜TN｜)时，有｜TN｜+｜SN｜=28＞14=｜ST｜，
∴点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的椭圆Q，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.
椭圆Q方程：+ =1.
∴点N的轨迹方程为+=1(y≠±12).
综合1°、2°，点N的轨迹方程为
x2-=1(x＜0＝和+=1，其中y≠±12.
(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k不存在时，直线l的方程为x=1，可得m=1.
2°当k存在时，设直线l:y=kx+m-k.若l过点M或点D.
∵两点M、D既在双曲线C上，又在椭圆Q上，但不在点N的轨迹上
∴l与点N的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l不过M、D两点.
当-4＜k2＜4时(双曲线C的渐近线方程为y±4=0)，利用图像知，直线l与点N的轨迹有三个公共点，不合题意.
当-∞＜k≤-4或4＜k≤+∞时，
直线l与点N的轨迹有两个公共点A、B，且点P(1，m)是AB的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则在
3x21+4y21=12×49, ①
3x22+4y22=12×49, ②
①-②，得3(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2) ③
将x1+x2=2,y1+y2=2m, =k代入③，得k=-.
当4≤k＜+∞，即4≤-＜+∞时，有-≤m＜0.
【同步达纲练习】
A级
一、选择题
1.已知双曲线kx2-2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值等于( )
A. B.- C.- D.
2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )
A.顶点 B.焦点 C.准线 D.渐近线
3.过点(2，-2)且与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )
A.-+=1 B. -=1
C.- +=1 D. +=1
4.已知双曲线的半焦距为C，两准线间的距离为d，且c=d,则双曲线的离心率等于( )
A. B. C.3 D.2
5.当8＜k＜17时，曲线+=1与+=1有相同的( )
A.焦距 B.准线 C.焦点 D.离心率
二、填空题
6.以y=±x为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 .
7.双曲线-=1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；
8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .
三、解答题
9.试求以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线-=1的渐近线相切的圆方程.
10.过双曲线-=1的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长及AB的中点M到右焦点F的距离.
AA级
一、选择题
1.在下列双曲线中，与双曲线-y2=1的离心率和渐近线都相同的是( )
A.3y2-x2=9 B.x2-3y2=9
C.3y2-9x2=1 D.3x2-y2=3
2.双曲线的两条渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.或 D. 或
3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线-=1的通径的长是( )
A. B. C.9 D.10
4.已知双曲线-=1上的一点P到右焦点的距离为14，则P点到左准线的距离为( )
A.22 B.24 C.26 D.28
5.已知双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率kPF的取值范围是( )
A.k≤0或k≥1 B.k＜0或k＞1
C.k≤-1或k≥1 D.k＜-1或k＞1
二、填空题
6.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .
7.双曲线-y2=1的共轭双曲线的准线方程是 .
8.双曲线-=1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .
三、解答题
9.直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点(-2，0)和AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围.
10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.
【素质优化训练】
1.过点A(1，1)且与双曲线x2-y2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
3.若双曲线的两条渐近线是y=±x，焦点F1(-，0)，F2(，0)，那么它的两条准线间的距离是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x2+25y2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )
A. - =1 B. -=1
C.-=1 D.- =1
5.已知E、F分别是离心率为的双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF等于( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
二、填空题
6.已知双曲线-=1和点A(6，2)、B(5，0)，M是双曲线上的一个动点，则｜MA｜+｜MB｜的最小值为 .
7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .
8.渐近线为y=±x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .
三、解答题
9.已知点A(，0)和曲线y=(2≤x≤2)上的点P1，P2，…，Pn，若｜P1A｜，｜P2A｜,…，｜PnA｜成等差数列并且公差d∈(,),求n的最大值.
10.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)离心率e=，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离.
(1)求双曲线方程；
(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.
【生活实际运用】
1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.
2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.
注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为-=1.
【知识验证实验】
1.已知双曲线2x2-y2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C、D两点，且使N为CD的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.
将问题一般化：N(x0,y0)，双曲线方程为-=1，若过点N的双曲线的中点弦存在，则N点应在什么位置?其方程又为何?
2.点P是双曲线-=1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：3tan=tan.
解：在△PF1F2中，利用正弦定理及分比定理得===，
∴=，即2sin=sin,展开并简化，得3sincos=sincos，
∴3tan=tan.
【知识探究学习】
舰A在舰B的正东6km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4s后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s，炮弹的速度是km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?
解：取AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，则A、B、C舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，2).
记动物所在位置为P，则｜PB｜=｜PC｜，于是P在BC中垂线上，其方程为x-3y+7 =0.
又A、C两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB｜-｜PA｜=4,于是P在双曲线-=1的右支上，求得P点坐标是(8，5)且｜PA｜=10.
又kPA=，∴直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角是北偏东30°，
设发射的仰角是θ，初速度为v0=,则=，
∴sin2θ==,
∴仰角θ=30°
参考答案：
【同步达纲练习】
A级
1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6. -=1或-=-1 7. ,arctan2 8.
9.解：由椭圆+=1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线-=1的渐近线相切，即圆心到直线y=±x的距离为圆的半径.∴r==4 于是圆的方程为(x-5)2+y2=16.
10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB的方程代入双曲方程，得7x2+90x-369=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,∴｜AB｜===，又xm==-,∴｜MF｜=｜xM-5｜=
AA级
1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.- 7.y=± 8.a
9.解：由消去y得，(1-k2)x2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k2)x2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A、B两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即： 解得1＜k＜，又AB中点为(,)，∴直线l的方程为=y=，令x=0,b==，由k∈(1, )知b＜-2-或b＞2，故直线l在y轴上的截距b的取值范围为(-∞,-2-)∪(2,+∞).
10.证明：设PQ是过焦点F的弦，M是PQ的中点，l是与F相应的准线，分别过P、Q、M作l的垂线，垂足为P1、Q1、M1，则｜MM1｜=｜｜PP1｜±｜QQ1｜｜=·｜±｜=｜PQ｜=＜R，当P、Q位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ为直径的圆必与准线l相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos=2arccos为定值.
【素质优化训练】
1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6. 7.arctan 8. -y2=1
9.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即-y2=1,(2≤x≤2,y≥0),A( ,0)是它的右焦点，其右准线为l:x=,e=,设Pn(xn,yn)(2≤xn≤2,yn≥0)，则｜PnA｜=e(xn-)=xn-2,∴｜PnA｜min=-2,｜PnA｜max=3,依题意，可设等差数列首项a1＝-2,第n项an=3=-2+(n-1)d,得d= (n＞1)，又＜d＜，∴＜＜,得5-4＜n＜26-5,而7＜5-4且26-5＜15，∴7＜n＜15，故n可取最大值为14.
10.解：(1)过AB的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得= ①，又e== ②，由①、②得b=1,a=，即所求双曲线方程为-y2=1
(2)由消去y,得(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0，当3k2-1≠0即k≠±时，△=12(m2-3k2+1)＞0,即m2-3k2+1＞0 ③，设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点为M(x0,y0).则x0==，y0=kx0+m=-，因C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，∴AM⊥CD,而kAM= kCD=k，∴=-3k2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0?m＞- ⑤，将④代入③：m2-(4m+1)+1＞0，得m＜0或m＞4，综合⑤得m的取值范围为(-，0)∪(4,+∞)
课件14张PPT。双曲线的
简单几何性质(1)1.双曲线的标准方程:形式一：
（焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0）） 形式二：
（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））
其中一、复习回顾：oYX关于X,Y轴,
原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2 ; B1B2|x|?a,|y|≤b
F1F2A1A2B2B12.椭圆的图像与性质: 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称的.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)二、讲授新课：3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点4、离心率离心率。c>a>0e >1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：5、渐近线焦点在x轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线F2(0,c)
F1(0,-c)如何记忆双曲线的渐进线方程？例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36,
(2)25x2－4y2=100.2x±3y=05x±2y=0例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). A′A0xC′CB′By课件10张PPT。双曲线的
简单几何性质(2)关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（－ a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线F2(0,c)
F1(0,-c)椭圆与双曲线的性质比较：渐近线离心率顶点对称性范围|x|?a,|y|≤b|x| ≥ a，y?R对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b无图象例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： 如何记忆双曲线的渐进线方程？能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？结论：练习题：1.求下列双曲线的渐近线方程： 小结：知识要点：技法要点：课件12张PPT。双曲线的
简单几何性质(3)双曲线的
简单几何性质(3)例1、解：xy..FOM.双曲线的第二定义：x“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率.例2、以坐标轴为对称轴的双曲线，一条准线方程为y＝4，焦距为12，求此双曲线的标准方程.练习：2、若双曲线 上一点P到左、右焦点的距离之比为1∶2，则P到右准线的距离为_______________.1、3y2－x2＝1的准线方程是___________，渐近线方程是_______________.例3、证明：P说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.y..F2F1O.xPy..F2F1O.x法1：Py..F2F1O.法2：分析：与 有共同渐近线的方程可设为 （ ）例5、求与双曲线 有共同渐近线，且焦点在x轴上，且两准线间的距离为 的双曲线方程.1、求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐进线的倾斜角为 ，一条准线方程为x=6的双曲线的标准方程。作业：2、求与双曲线x2/2－y2=1有公共渐近线且以y=－3为准线的双曲线的标准方程.课件20张PPT。双曲线的
简单几何性质(4)---直线与双曲线的位置关系一、直线与椭圆的位置关系：（2）弦长问题（3）弦中点问题（4）经过焦点的弦的问题（1）直线与椭圆位置关系二、直线与双曲线位置关系种类：种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)两个交点 一个交点 0 个交点相交相
切相
交相离交点个数方程组解的个数有没有问题 ?结论一：[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常,
那么 ,依然可以用判别式判断位置关系[2]一个交点却包括了两种位置关系:
相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ? 判断下列直线与双曲线之间的位置关系：[1][2]相 切相 交试一下:判别式情况如何?一般情况的研究显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看看判别式如何?根本就没有判别式 ! 唉 ！当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓的判别式了 。 结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系 ！结论二：判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的
渐进线平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式例1、判断下列直线与双曲线的位置关系：相交(一个交点)相离y..F2F1O.xy..F2F1O.y..F2F1Oy..F2F1Oxy..F2F1Ox课件10张PPT。双曲线的
简单几何性质(5)---双曲线习题课复习回顾双曲线的第二定义：xMy..F2F1O.xMy..F2F1O.x.Ay..F2F1O.xBy..F2F1O.xy..F2F1Ox
