1.3 集合的基本运算- 学案【帮课堂】2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 集合的基本运算
【考点梳理】
一、交集
1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∩B
4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ，如果A B，则A∩B＝A
5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集
1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
3、符号语言：阴影部分为A∪B
4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A，如果A B，则A∪B＝B.
5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性
三、补集
1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，
那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.
2、补集
（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.
（2）符号语言：
（3）符号语言：
（4）性质：A∪ UA＝U；A∩ UA＝ ； U( UA)＝A.
【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路
1、根据并集求参数范围：，
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
2、根据交集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
【题型归纳】
题型一 交集的运算
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，则的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
题型二 并集的运算
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则A∪B＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 补集的运算
7．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知全集，集合，则___________.
9．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 交并补综合运算
10．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五 集合运算中的求参问题
13．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
(1)求集合；
(2)设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
14．已知全集，集合.若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
15．【多选】设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（　　）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}
题型六 韦恩图的应用
16．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
17．高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
18．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【双基达标】
一、单选题
19．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
20．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B．
C． D．
22．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
23．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
25．设集合、均为的子集，如图，表示区域（ ）
A．Ⅰ B．II
C．III D．IV
26．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合，则的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
28．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
29．集合若，则（ ）
A． B． C． D．
30．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
31．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
32．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
33．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
34．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
35．若集合，，则
A． B． C． D．
36．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知集合，，且，则（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{-1，0，1，2} D．{-1，0，1，2，3}
38．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
39．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
40．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
41．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
42．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
43．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草 植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀” “合格”2个等级，结果如下表：
等级项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
二、多选题
44．若集合，满足：，，则下列关系可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
45．设集合，或，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
46．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
47．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（ ）
A．已知，，则
B．已知或，，则或
C．如果，那么
D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
三、填空题
48．已知集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则 U(A∪B)=___________.
49．若集合，，，则集合的子集个数为______．
50．已知集合，则__________.
51．已知集合，，则______．
52．已知集合，集合，若，则=_______
53．已知集合，，则___________.
四、解答题
54．已知集合M满足：{1，2} M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.
55．已知集合为全体实数集，或，.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
56．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝或，
（1）求A∩B；
（2）求(CUB)∪P；
（3）求(A∩B)∩(CUP)．
57．已知集合，集合.若，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的求解得，根据集合的交运算即可求解.
【详解】
因为，，所以，
故选：A．
2．A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的求解可化简，根据集合的交运算即可求解.
【详解】
，则．
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
对集合A化简，再与集合B进行交集运算，可得到共有3个元素，再用判断子集个数公式即可.
【详解】
因为所以，
则,而又因为,
所以，集合中有3个元素，所以的子集个数为：（个）.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
解得集合，直接求得并集即可.
【详解】
由已知得，，则.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
由并集的定义求解即可．
【详解】
∵，
∴．
故选：B．
6．B
【解析】
【分析】
根据并集运算即可求解.
【详解】
解：因为集合，，
所以.
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
确定集合中元素，再由补集定义得结论．
【详解】
由已知，所以．
故选：D．
8．或
【解析】
【分析】
化简集合，进而可得.
【详解】
，或；
故答案为：或
9．D
【解析】
【分析】
先求出集合A，再由补集的定义即可得出答案.
【详解】
因为 ，
所以=.
故选：D.
10．A
【解析】
【分析】
求出，根据交集的运算即可求得答案.
【详解】
由题意得
故，
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】
解：因为，
又，所以，
所以.
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.
【详解】
因为，所以或，
又，所以，
故选：D．
13．(1){x|﹣2≤x≤1}
(2)
【解析】
【分析】
（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．
(1)
，则，
又，则；
(2)
∵，∴，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围为:
14．A
【解析】
【分析】
首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解；
【详解】
解：因为，又，
所以，即且，又，所以；
故选：A
15．CD
【解析】
【分析】
由，得到a﹣1≥5或a+1≤1，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】
∵集合，满足，
∴或，解得或．
∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．
故选：CD．
16．D
【解析】
【分析】
结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.
【详解】
文氏图中阴影部分表示的集合为.
故选：D
17．
【解析】
【分析】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，利用容斥原理可得出关于的等式，即可得解.
【详解】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，
以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合，
集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：
由题意可得，解得.
故答案为：.
18．D
【解析】
【分析】
先求得图中阴影部分表示的集合，再利用该集合中元素个数即可该集合的子集个数
【详解】
，则或
图中阴影部分表示的集合为
或
集合的子集有（个）
则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8
故选：D
19．D
【解析】
【分析】
根据交集的定义写出A∩B即可．
【详解】
集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：D
20．C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】
由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
21．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
22．C
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】
由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
23．B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】
由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】
本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
24．D
【解析】
【分析】
求出两个集合的交集和并集，可得答案.
【详解】
因为，，
所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的交集和并集的运算，属于基础题.
25．B
【解析】
【分析】
根据交集与补集的定义可得结果.
【详解】
由题意可知，表示区域II.
故选：B.
26．C
【解析】
【分析】
先求得，由此求得
【详解】
，
.
故选：C
27．D
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
【详解】
由题意，因此它的子集个数为4．
故选：D．
28．B
【解析】
【分析】
化简集合B，再利用交集的定义求解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.
【详解】
由知，
，解得
故选：B
30．B
【解析】
【分析】
根据交集定义求解．
【详解】
由题意知，
故选：B．
【点睛】
本题考查交集定义，属于简单题．
31．B
【解析】
【分析】
根据交集定义运算即可
【详解】
因为，所以,
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
32．B
【解析】
【分析】
利用交集的定义可求.
【详解】
由题设有，
故选：B .
33．C
【解析】
【分析】
分别解两个不等式，再根据集合运算求交集即可.
【详解】
解：解不等式得，故，
解不等式得，故，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.
34．C
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，再求并集即可.
【详解】
集合表示函数的值域，
故.
由，得，
故.
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查指数函数的性质、一元二次不等式的解法以及并集的运算，属于基础题.
35．B
【解析】
【分析】
求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】
由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
36．C
【解析】
【分析】
根据韦恩图，分U为全集，B为全集，为全集时，讨论求解.
【详解】
由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即
当B为全集时，阴影部分表示的补集，即
当为全集时，阴影部分表示A的补集，即
故选：C
37．C
【解析】
【分析】
先 根据题意求出集合，然后根据并集的概念即可求出结果.
【详解】
，而，所以，则，所以，则
故选：C.
38．B
【解析】
首先求出，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：因为，，，所以
所以
故选：B
39．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.
【详解】
易知①，②，③，正确
④，不正确，应该是
故选：C.
40．C
【解析】
【分析】
通过对集合的化简即可判定出集合关系，得到结果.
【详解】
因为集合，
集合，
因为时，成立，
所以.
故选：C.
41．A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】
由题意可得：，则.
故选：A.
42．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】
由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
43．C
【解析】
【分析】
用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．
【详解】
用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
44．BCD
【解析】
【分析】
根据子集的定义以及特殊例子一一说明即可；
【详解】
解：若，则，则，故不，，即A一定错误，
若，时，满足“，”，此时，即B正确.
若，时，满足“，”成立，此时，即C正确.
若，时满足条件“，”且有，则D正确.
故选：BCD.
45．ABC
【解析】
根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.
【详解】
对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，不等式无解，则若，，故D错误.
故选：ABC.
46．BCD
【解析】
【分析】
先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.
【详解】
集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
47．BCD
【解析】
【分析】
由题意可知即先求，的交集，然后求其以为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可．
【详解】
由题意可知，即先求，的交集，然后求其以为全集的补集．
对于A：根据差集的定义可知：若，，则，故选项A不正确；
对于B：或，，
则或，
故或，故选项B正确；
对于C：如果，则，故，故选项C正确；
对于D：因为，故选项D正确．
故选：BCD
48．{﹣2，3}
【解析】
【分析】
依题意求出并集再计算补集．
【详解】
解：∵U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，
∴A∪B={﹣1，0，1，2}， U(A∪B)={﹣2，3}.
故答案为：{﹣2，3}.
49．4
【解析】
【分析】
根据交集的运算求出集合，然后根据集合中有n个元素，则子集个数为即可得出答案.
【详解】
解：∵集合，，，
∴，
∴集合的子集个数为：．
故答案为：4．
50．
【解析】
【分析】
由已知集合，应用集合的补运算求.
【详解】
由题设，，
∴.
故答案为：.
51．##{2，0}
【解析】
【分析】
先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.
【详解】
由题可知：，
所以
所以
故答案为：
52．4；
【解析】
【分析】
根据集合交集中的元素，结合集合交集的定义，求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为集合，集合，
所以，
故答案为：4.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，正确解题的关键是理解集合交集的定义.
53．
【解析】
【分析】
利用交集定义求解即可.
【详解】
由题知：.
故答案为：
54．{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
【解析】
根据子集与真子集的定义，即可求解.
【详解】
由题意可以确定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.
【点睛】
本题考查集合间的关系，属于基础题.
55．（1）或；（2）.
【解析】
（1）先求，再根据并集定义求；（2）分和两种情况讨论时，列不等式，求的取值范围.
【详解】
（1）当时，，所以或
所以或
（2）①，即时，，此时满足.
②当，即时，，
由得或所以
综上，实数的取值范围为
56．（1）；（2）或；（3）.
【解析】
【分析】
直接利用集合的基本运算求解.
【详解】
因为全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝或
所以（1）A∩B；
（2）或，则(CUB)∪P=或；
（3），则(A∩B)∩(CUP) ．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
57．
【解析】
【分析】
求得集合，从反面入手，，然后分类讨论求得的范围，最后再求其在中的补集即得．
【详解】
若，则，又∵，
∴集合有以下三种情况：
①当时，，即，∴或，
②当是单元素集时，，∴或，
若，则不是的子集，若，则，∴，
③当时，、是方程的两根，
∴，∴，
综上可得，时，的取值范围为或或，
∴满足的实数的取值范围为.
试卷第1页，共3页