2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题2（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：若平面∥平面，直线平面，则平面，命题q：若平面平面，直线，直线，则是的充要条件，则下列命题中真命题的个数为( )
①；②；③；④.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股+（股-勾）=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：）
A．866 B．500 C．300 D．134
6．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，记事件为“恰有个白球”，事件为恰有个白球”，则与互斥
B．甲 乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
C．随机试验的频率与概率相等
D．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则与对立
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆和圆相交于 两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
11．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线 B．平面
C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的体积为
12．如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
13．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；
14．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男 女学生采用分层随机抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是___________
15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．
16．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，以上的点的纵坐标为参数t．
(1)求的参数方程和直线l的普通方程；
(2)设点P在上，点Q在直线l上，求的最小值及此时点P的直角坐标．
18．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）求续驶里程在的车辆数；
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有2辆车的续驶里程在内的概率．
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，．
（1）点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
（2）在（1）的条件下，若，求直线和平面所成角的正弦值．
20．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
22．如图，在多面体中，平面平面为正三角形，四边形为菱形，且．
(1)求证：∥平面；
(2)求点B到平面的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，将化简，即可得答案.
【详解】
,
故复数的虚部是，
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
用基向量，表示相关向量，再结合向量加法、减法和数量积运算的结合律、交换律，即得解
【详解】
∵
而
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了向量的线性运算和向量数量积在平面几何中的应用，考查了学生综合分析，数形结合、数学运算能力，属于中档题
3．D
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质判断p命题真假，根据面面垂直和线面垂直的判定与性质判断q命题真假，从而可判断各个命题真假，从而得到答案．
【详解】
若平面∥平面，直线平面，则m∥β或mβ，故p是假命题；
若平面平面，直线，直线，，若n⊥α，则m可以是α内任意直线，此时无法得到m⊥β，故q是假命题；
故是假命题，是真命题，是真命题，是真命题．
故真命题的个数是3．
故选：D．
4．A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．A
【解析】
【分析】
计算出朱色的面积、大正方形的面积，然后利用面积比求得图钉数.
【详解】
不妨设勾长，股长，
则朱色面积为，
大正方形的边长为，面积为，
所以落在红（朱）色图形内的图钉数大约为.
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】
直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
7．A
【解析】
【分析】
直接利用互斥事件和对立事件，频率和概率的关系的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记事件为“恰有1个白球”，事件为恰有2个白球”，则与互斥，故正确；
对于：甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，并不是说比赛5场，甲胜3场，故错误；
对于：随机试验可以用频率估计概率，并不是说频率和概率相等，故错误；
对于：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与不对立，故错误．
故选：．
8．B
【解析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．ABD
【解析】
【分析】
由给定条件判断圆O与圆M的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.
【详解】
圆的圆心，半径，圆的圆心，，
，显然有，于是得圆O与圆M相交，
圆O与圆M有两条公切线，A正确；
由得：，则直线的方程为，B正确；
圆心O到直线：的距离，
则，C不正确；
，当且仅当点E，O，M，F四点共线时取“=”，如图，
因此，当点E，F分别是直线OM与圆O交点，与圆M交点时，，D正确.
故选：ABD
10．BD
【解析】
【分析】
利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】
随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．ABC
【解析】
【分析】
根据异面直线定义即可判断选项A；根据题意得到，再利用线面平行的判定定理即可判断选项B；求出三棱锥的表面积可判断选项 C；计算三棱锥的体积即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对选项A，因为平面，平面，面，
，所以直线与为异面直线.故选项A正确；
对选项B，因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，故选项B正确；
对选项C，
所以三棱锥的表面积为，故选项C正确；
对选项D，，故选项D错误.
故选：ABC.
12．BCD
【解析】
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设，其中，则可用表示，利用辅助角公式可求其取值范围.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
等边三角形的内切圆的半径为，
故可设，其中，
故，而，，
结合可得，
故，故，
因为，故，
因为，，，
，，，
故，
故选：BCD.
13．-1
【解析】
【分析】
利用直线垂直的性质求解．
【详解】
∵直线和直线互相垂直，
∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，
解得a=-1．
故答案为-1．
【点睛】
两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直： ；
平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！
14．45
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义，按比例计算．
【详解】
设男生抽取的人数为，则，解得．
故答案为：45．
15．
【解析】
【分析】
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.
【详解】
根据题意画出图像并建系，D为坐标原点
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16．
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果．
【详解】
如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得．
因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，
所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，
因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，
因为平面平面，，为中点，所以平面
，，，
，
设球的半径为，则有，，
，即，解得，
故表面积为．
【点睛】
本题考查三棱锥的相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题．
17．(1)的参数方程为；l的普通方程为
(2)的最小值为；
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线的直角坐标方程，再写出参数方程即可；由倾斜角和点直接写出直线l的普通方程即可；
（2）利用的参数方程设出，结合点到直线的距离表示出，通过二次函数求出最小值即可.
(1)
由可得，即，故曲线的直角坐标方程为，又以上的点的纵坐标为参数t，
故的参数方程为；直线l的方程为，即.
(2)
设，则到直线的距离，所以当时，，即的最小值为，此时.
18．（1）0.003；（2）5；（3）．
【解析】
【分析】
(1)利用所有小矩形的面积之和为1，求得的值，(2)先利用直方图求得续驶里程在的车辆的概率，再利用频数=频率样本容量求车辆数即可；(3)由(1)知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在内的情况，利用古典概型概率公式可得结果.
【详解】
解：(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：
，解得：；
(2)续驶里程在的车辆的频率为，
故续驶里程在的车辆数为：（辆）；
(3)设“恰有一辆车的续驶里程在内”为事件M，
由(2)知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，分别记为A、B、C，落在内的车辆数2辆，分别记为a、b,
从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：，，，，，，，，，，共10种，且每种情况都等可能被抽到，事件M包含的情况有：，，，，，共6种，
由古典概型概率公式有：，
所以恰有一辆车的续驶里程在内的概率为.
【点睛】
方法点睛：
利用古典概型概率公式求概率时，基本事件的求解方法有 ：(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若平面，易得，再根据，得到求解；
（2）在平面内作于T， 论证平面，然后以点Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，和直线的一个方向向量，设直线和平面所成角为，由求解.
【详解】
（1）当时，平面．
如图所示:
连接交于点N，
连接，由题设，得．
若平面，
由平面平面，得，
所以．
当，
所以，
所以平面．
（2）由题设都是等边三角形，
Q是中点，平面．
，在中，．
因为，
所以.
在平面内作于T，则，．
由平面，可得平面．
以点Q为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由可得，
所以，
设平面的一个法向量，
则，可取，则，
直线的一个方向向量是，
设直线和平面所成角为，则
所以直线和平面所成角的正弦值等于．
【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
20．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先计算不含编号为3的卡片的概率，再用得到答案.
（2）随机变量X的可能取值为：，计算概率得到分布列.
【详解】
（1）不含编号为3的卡片的概率，故.
（2）随机变量X的可能取值为：.
；；
；.
分布列为：
【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.
21．（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车
【解析】
【分析】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时时，取得最大值，即可求得.
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，解不等式，两边取对数，即可求出..
【详解】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.
【点睛】
本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
22．(1)详见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）由题可得平面平面，过作于，过作于，连接，过作于，可得平面，结合条件可得点B到平面的距离为，即得.
(1)
如图，取的中点，连接,
则，
故四边形MDCF为平行四边形，
所以
因为，
故,
故四边形OMFN为平行四边形，
则，又，
∴，又平面BCF，平面BCF,
故平面BCF；
(2)
连接，由题可得，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∴，，
∴，，，
∴平面，平面，
∴平面平面，
过作于，过作于，连接，过作于，
则平面，
∴，又，
∴平面，
∴，又，，
∴平面，
由题可知，，
∴又四边形为菱形，且，
∴，又，
设点B到平面的距离为，则，
故点B到平面的距离为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页