2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题4（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． B．-1 C． D．1
2．已知正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：若平面∥平面，直线平面，则平面，命题q：若平面平面，直线，直线，则是的充要条件，则下列命题中真命题的个数为( )
①；②；③；④.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：
522 553 135 354 313 531 423 521 541 142
125 323 345 131 332 515 324 132 255 325
则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ）A． B． C． D．
6．过两直线和的交点和原点的直线方程为
A． B．
C． D．
7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以,和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：
①P（B）；
②P（B|）；
③事件B与事件相互独立；
④,,是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与,,中究竟哪一个发生有关；
其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．②④⑤ D．②③④⑤
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
11．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3. B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为
12．如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
13．若两条直线和互相垂直，则的值为________.
14．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________.
15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，且平面，则球的表面积为__________．
四、解答题
17．已知直线的方程为（）.
（1）求直线过的定点的坐标；
（2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程；
（3）当最小时，求直线的方程.
18．某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.
年龄（岁） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55） [55，60） 合计
人数 6 8 11 23 18 9 5 80
(1)求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，．
（1）点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
（2）在（1）的条件下，若，求直线和平面所成角的正弦值．
20．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
21．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
22．如图，在多面体中，平面平面为正三角形，四边形为菱形，且．
(1)求证：∥平面；
(2)求点B到平面的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由复数的乘方运算以及除法运算计算可得答案.
【详解】
解：，则z的虚部为．
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用分别表示向量，再求并结合投影向量的定义计算作答.
【详解】
正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则，，而，
则，又，即是单位向量，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质判断p命题真假，根据面面垂直和线面垂直的判定与性质判断q命题真假，从而可判断各个命题真假，从而得到答案．
【详解】
若平面∥平面，直线平面，则m∥β或mβ，故p是假命题；
若平面平面，直线，直线，，若n⊥α，则m可以是α内任意直线，此时无法得到m⊥β，故q是假命题；
故是假命题，是真命题，是真命题，是真命题．
故真命题的个数是3．
故选：D．
4．A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．B
【解析】
根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率.
【详解】
20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以.
故选：B
6．D
【解析】
【详解】
试题分析：过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.
考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．
【易错点晴】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程，代入原点坐标，求得，即可得到所求，这样运算量非常小.
7．A
【解析】
【详解】
试题解析：：由题意可知是两两互斥的事件，所以，因此②正确；而
，而
，故①③不正确，是两两互斥的事件，由此可知④正确；所以正确的是②④．
考点：相互独立事件，条件概率．
【方法点晴】
本题主要考查了相互独立事件，条件概率的求法等，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率公式，本题较为复杂，正确理解事件的内涵是解题的突破点．解答本题的关键是在理解题意的基础上判断出是两两互斥的事件，根据条件概率公式得到，，，从而求得，根据公式即可求得．
8．B
【解析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．BCD
【解析】
【分析】
把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】
依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.
故选：BCD
10．BD
【解析】
【分析】
利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】
随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．AB
【解析】
【分析】
根据题意画出图象，取的中心为，连接，先得出面，再求出，可得正三棱锥高；利用三角形的面积公式求出的面积，利用体积公式求出正三棱锥的体积；作交于，求出正三棱锥的斜高；再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.
【详解】
取的中心为，连接，
由题意得：面，
又为等边三角形，
则，
所以正三棱锥高为：，
，
所以正三棱锥的体积为：，
作交于，
又，
则正三棱锥的斜高为，
所以正三棱锥的侧面积为：.
故选：A B .
【点睛】
本题主要考查了求正三棱锥的高，斜高，侧面积和体积的问题.属于中档题.
12．BCD
【解析】
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设，其中，则可用表示，利用辅助角公式可求其取值范围.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
等边三角形的内切圆的半径为，
故可设，其中，
故，而，，
结合可得，
故，故，
因为，故，
因为，，，
，，，
故，
故选：BCD.
13．0或3
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
因为直线和互相垂直，
所以，解得：和.
故答案为：0或3.
【点睛】
本题主要考查由两直线垂直求参数，属于基础题型.
14．16
【解析】
【分析】
按比例计算出中年职工、老年职工中抽取的人数，三者的和为样本容量．
【详解】
设中年职工抽取了人，老年职工抽取了人，
则，解得，
．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查分层抽样，分层抽样中各层所抽取样本的个数是按比例抽取的．
15．
【解析】
【分析】
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.
【详解】
根据题意画出图像并建系，D为坐标原点
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16．
【解析】
【分析】
由余弦定理可得，由正弦定理可得，由勾股定理可得，从而能求出球的表面积.
【详解】
如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，
平面，，
由余弦定理可得，
设截球所得的圆的半径，
由正弦定理可得，
设球的半径，
由勾股定理可得，
球的表面积，故答案为.
【点睛】
本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
17．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）化简直线的方程为，联立方程组，即可求解；
（2）设直线的方程为，得到，利用基本不等式求得，得到面积最小值时的值，即可求解；
（3）由（1）知，可设直线方程为，其中，求得的表达式，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，直线的方程为，
可化为，联立方程组，解得，
所以直线过的定点.
（2）设直线的方程为，
由（1）知，直线过的定点，可得，
因为，则，解得，
当且仅当时，即时，等号成立，
则面积为，
此时对应的直线方程为，即.
（3）由（1）知，可设直线方程为，其中，
令时，可得；令时，可得，
即且，
则，
所以，
当且仅当时，即，
所以直线方程为，即.
18．(1)0.016，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的定义和性质，求得a的值以及平均年龄；
（2）先求出[55，60）的员工中男女员工人数，再列出取出2人的所有的情况，由古典概型可得至少有1名女员工的概率.
(1)
由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1，解得a=0.016.
则男员工的平均年龄
(2)
该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人.
由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为，
所以男员工共有（人），女员工共有（人），
所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人，
则有，共有10种可能情形，其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若平面，易得，再根据，得到求解；
（2）在平面内作于T， 论证平面，然后以点Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，和直线的一个方向向量，设直线和平面所成角为，由求解.
【详解】
（1）当时，平面．
如图所示:
连接交于点N，
连接，由题设，得．
若平面，
由平面平面，得，
所以．
当，
所以，
所以平面．
（2）由题设都是等边三角形，
Q是中点，平面．
，在中，．
因为，
所以.
在平面内作于T，则，．
由平面，可得平面．
以点Q为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由可得，
所以，
设平面的一个法向量，
则，可取，则，
直线的一个方向向量是，
设直线和平面所成角为，则
所以直线和平面所成角的正弦值等于．
【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1人.
【解析】
【分析】
记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，，，显然事件，，相互独立，则，，，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.
【详解】
记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，，，
显然事件，，相互独立，则，，
设恰有人合格的概率为.
（Ⅰ）三人都合格的概率：
（Ⅱ）三人都不合格的概率：.
（Ⅲ）恰有两人合格的概率：.
恰有一人合格的概率：.
因为，
所以出现1人合格的概率最大.
21．(1)；(2).
【解析】
【详解】
分析：（1）由题意可得，，则；
（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.
详解：（1）由图得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由图得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
记
，
又 ，∴ ，
∴时，取最大，最短，则此时.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
22．(1)详见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）由题可得平面平面，过作于，过作于，连接，过作于，可得平面，结合条件可得点B到平面的距离为，即得.
(1)
如图，取的中点，连接,
则，
故四边形MDCF为平行四边形，
所以
因为，
故,
故四边形OMFN为平行四边形，
则，又，
∴，又平面BCF，平面BCF,
故平面BCF；
(2)
连接，由题可得，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∴，，
∴，，，
∴平面，平面，
∴平面平面，
过作于，过作于，连接，过作于，
则平面，
∴，又，
∴平面，
∴，又，，
∴平面，
由题可知，，
∴又四边形为菱形，且，
∴，又，
设点B到平面的距离为，则，
故点B到平面的距离为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页