2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题5（Word版含解析）

2022-2023学年高二上学期开学检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．对应的点在第二象限
D．
2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．下列命题中正确的是( )
A．，，，是空间中的四点，若，，构成空间基底，则，，，共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股+（股-勾）=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：）
A．866 B．500 C．300 D．134
6．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，记事件为“恰有个白球”，事件为恰有个白球”，则与互斥
B．甲 乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
C．随机试验的频率与概率相等
D．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则与对立
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆和圆相交于 两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
11．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线 B．平面
C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的体积为
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数是奇函数 B．函数的值域为
C．函数是周期为的周期函数 D．函数在上单调递减
三、填空题
13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.
14．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者．
15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．
16．在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，以上的点的纵坐标为参数t．
(1)求的参数方程和直线l的普通方程；
(2)设点P在上，点Q在直线l上，求的最小值及此时点P的直角坐标．
18．某公司为了提高某产品的收益，向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地区的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），且拟定一个合理的收益标准（百万元），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，若该公司想使的地区的销售收益超过标准（百万元），估计的值；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入（单位：万元） 1 2 3 4 5
销售收益（单位：百万元） 2 3 2 5 7
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，计算关于的回归方程.
（回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，）
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，．
（1）点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
（2）在（1）的条件下，若，求直线和平面所成角的正弦值．
20．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列及数学期望..
21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）
22．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的定义，几何意义，即可判断选项.
【详解】
A.的虚部是1，故A错误；B.的共轭复数是，故B错误；
C.的点时，在第二象限，故C正确；D.，故D错误.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.
【详解】
在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
对于选项AB：利用空间向量的基本定理即可判断；对于选项C：结合已知条件，利用空间向量数量积的坐标公式可知，根据方向向量和法向量的概念即可判断直线与平面的位置关系；对于选项D：利用线面夹角的正弦值的空间向量公式即可求解.
【详解】
对于选项A：，，，是空间中的四点，若，，构成空间基底，则，，不共面，则，，，不共面，故错误；
对于选项B：已知为空间的一个基底，则，，不共面，
若，则，，也不共面，则也是空间的基底，故正确；
对于选项C：因为，则，
若，则，但选项中没有，有可能会出现，故错误；
对于选项D：因为，
则直线与平面所成角的正弦值为，故错误．
故选：．
4．A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．A
【解析】
【分析】
计算出朱色的面积、大正方形的面积，然后利用面积比求得图钉数.
【详解】
不妨设勾长，股长，
则朱色面积为，
大正方形的边长为，面积为，
所以落在红（朱）色图形内的图钉数大约为.
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】
直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
7．A
【解析】
【分析】
直接利用互斥事件和对立事件，频率和概率的关系的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记事件为“恰有1个白球”，事件为恰有2个白球”，则与互斥，故正确；
对于：甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，并不是说比赛5场，甲胜3场，故错误；
对于：随机试验可以用频率估计概率，并不是说频率和概率相等，故错误；
对于：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与不对立，故错误．
故选：．
8．B
【解析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．ABD
【解析】
【分析】
由给定条件判断圆O与圆M的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.
【详解】
圆的圆心，半径，圆的圆心，，
，显然有，于是得圆O与圆M相交，
圆O与圆M有两条公切线，A正确；
由得：，则直线的方程为，B正确；
圆心O到直线：的距离，
则，C不正确；
，当且仅当点E，O，M，F四点共线时取“=”，如图，
因此，当点E，F分别是直线OM与圆O交点，与圆M交点时，，D正确.
故选：ABD
10．BD
【解析】
【分析】
利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】
随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．ABC
【解析】
【分析】
根据异面直线定义即可判断选项A；根据题意得到，再利用线面平行的判定定理即可判断选项B；求出三棱锥的表面积可判断选项 C；计算三棱锥的体积即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对选项A，因为平面，平面，面，
，所以直线与为异面直线.故选项A正确；
对选项B，因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，故选项B正确；
对选项C，
所以三棱锥的表面积为，故选项C正确；
对选项D，，故选项D错误.
故选：ABC.
12．ABD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.
【详解】
由于，又函数的定义域为，
所以定义域关于原点对称，
而，
故为奇函数，A正确，
由于，所以，
从而，B正确，
，
所以不是周期为的周期函数，C错误，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
从而在上单调递增，则在上单调递减，
则在上单调递减，D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
由题意可得直线的斜率为，再由垂直可得曲线在处的切线斜率为，对曲线求导令导函数为可得的值.
【详解】
解：直线的斜率为,可得曲线在处的切线为，
，当，，可得，可得，
故答案：.
【点睛】
本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.
14．15
【解析】
【分析】
根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出．
【详解】
高三年级抽取的人数为．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题．
15．
【解析】
【分析】
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.
【详解】
根据题意画出图像并建系，D为坐标原点
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16．
【解析】
【分析】
在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
如图，在等边三角形中，取的中点，
设其中心为，由，
得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又因为平面平面，
平面 ，，
，
则为棱锥的外接球球心，
外接球半径，
该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为.
【点睛】
本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
17．(1)的参数方程为；l的普通方程为
(2)的最小值为；
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线的直角坐标方程，再写出参数方程即可；由倾斜角和点直接写出直线l的普通方程即可；
（2）利用的参数方程设出，结合点到直线的距离表示出，通过二次函数求出最小值即可.
(1)
由可得，即，故曲线的直角坐标方程为，又以上的点的纵坐标为参数t，
故的参数方程为；直线l的方程为，即.
(2)
设，则到直线的距离，所以当时，，即的最小值为，此时.
18．（1）2；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据长方形的面积表示概率，得到关于的方程，解出即可；
（3）利用最小二乘法求出回归直线方程即可．
【详解】
解：（1）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，故；
（2）由（1）知各小组依次是，，，，，，
，
由估计值是百万元，
得，
解得：，
（3）由题意可知，，
，
，
，
根据公式，可求得，
，
即回归直线的方程为.
【点睛】
本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若平面，易得，再根据，得到求解；
（2）在平面内作于T， 论证平面，然后以点Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，和直线的一个方向向量，设直线和平面所成角为，由求解.
【详解】
（1）当时，平面．
如图所示:
连接交于点N，
连接，由题设，得．
若平面，
由平面平面，得，
所以．
当，
所以，
所以平面．
（2）由题设都是等边三角形，
Q是中点，平面．
，在中，．
因为，
所以.
在平面内作于T，则，．
由平面，可得平面．
以点Q为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由可得，
所以，
设平面的一个法向量，
则，可取，则，
直线的一个方向向量是，
设直线和平面所成角为，则
所以直线和平面所成角的正弦值等于．
【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
（Ⅰ）分两种情况抽出的为一等品和二等品，利用互斥事件的概率可得；
（Ⅱ）求的分布列，首先要确定变量的取值，由于10件中有6件一等品，因此的取值依次为，由古典概型概率公式可得各概率，从而得分布列，再由期望公式可计算出期望．
试题解析：
(Ⅰ)
所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为.
（Ⅱ）由题可知可能取值为.
,,
,.
则随机变量的分布列为
0 1 2 3
21．（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车
【解析】
【分析】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时时，取得最大值，即可求得.
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，解不等式，两边取对数，即可求出..
【详解】
（1）由图可知，当函数取得最大值时，.
此时.
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
∴，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.
【点睛】
本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
22．(1)证明见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）证明出平面，即可证得；（2）根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．
(1)
∵，，∴，
∵平面，平面，∴，∵，∴，
∵，平面，
∴ 平面，又平面，
∴．
(2)
∵平面，平面ABC，∴，
又∵，，∴平面．
，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页