百师联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考数学试题1（Word版含解析）

百师联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．设为基底向量，已知向量，，，若三点共线，则实数的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
3．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：
522 553 135 354 313 531 423 521 541 142
125 323 345 131 332 515 324 132 255 325
则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ）A． B． C． D．
6．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
11．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线 B．平面
C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的体积为
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数是奇函数 B．函数的值域为
C．函数是周期为的周期函数 D．函数在上单调递减
三、填空题
13．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；
14．已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为______.
15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．
16．三棱柱的所有棱长均为2，且平面，为的中点，为棱上的点，且，若点、、、在同一球面上，则该球的表面积为______.
四、解答题
17．已知圆．
(1)若圆与圆关于直线对称，求直线的方程；
(2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
18．某社区名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩满分分进行统计，将数据按，，，分为组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中的值；
(2)试估计这名居民竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，．
（1）点M在线段上，，试确定t的值，使得平面；
（2）在（1）的条件下，若，求直线和平面所成角的正弦值．
20．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
21．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形．
(1)求证：平面；
(2)若与相交于O，求与平面所成角的大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，将化简，即可得答案.
【详解】
,
故复数的虚部是，
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据三点共线得，再根据向量相等即可列方程求解.
【详解】
∵，，，
∴ ，
∵三点共线，
∴，即
∵为基底向量
∴解得．
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
. 若，有可能，可判断选项A；若，，则与也可能相交，可判断选项B；若，有可能，可判断选项C；由线面垂直的定义和面面平行的判定定理可以判断选项D.
【详解】
对于选项A，有可能，故选项A为假命题；
对于选项B，若，，则与也可能相交，故选项B为假命题；
对于选项C，有可能，故选项C为假命题；
对于选项D，过的平面与平面的交线分别为，则，则，
过的另一个平面与的交线分别为，同理可得，
进而可证得，故选项D为真命题.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．B
【解析】
根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率.
【详解】
20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以.
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】
直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
7．A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
8．B
【解析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】
方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】
常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
9．BCD
【解析】
【分析】
把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】
依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.
故选：BCD
10．BD
【解析】
【分析】
利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】
随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．ABC
【解析】
【分析】
根据异面直线定义即可判断选项A；根据题意得到，再利用线面平行的判定定理即可判断选项B；求出三棱锥的表面积可判断选项 C；计算三棱锥的体积即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对选项A，因为平面，平面，面，
，所以直线与为异面直线.故选项A正确；
对选项B，因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，故选项B正确；
对选项C，
所以三棱锥的表面积为，故选项C正确；
对选项D，，故选项D错误.
故选：ABC.
12．ABD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.
【详解】
由于，又函数的定义域为，
所以定义域关于原点对称，
而，
故为奇函数，A正确，
由于，所以，
从而，B正确，
，
所以不是周期为的周期函数，C错误，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
从而在上单调递增，则在上单调递减，
则在上单调递减，D正确.
故选：ABD.
13．-1
【解析】
【分析】
利用直线垂直的性质求解．
【详解】
∵直线和直线互相垂直，
∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，
解得a=-1．
故答案为-1．
【点睛】
两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直： ；
平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！
14．55
【解析】
【分析】
直接利用分层抽样的定义求解即可
【详解】
由题意可得抽取Ⅰ，Ⅱ两种型号的螺帽个数分别为，，
所以这三种型号螺帽共抽取的个数为.
故答案为：55
15．
【解析】
【分析】
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.
【详解】
根据题意画出图像并建系，D为坐标原点
函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16．
【解析】
【分析】
如图，先利用垂直关系确定为的中点，找到球心的位置，利用已知条件求出半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】
连接，
，,
平面，，
又，
所以面，
即，又，，
则面，
，为的中点，
，也为的中点，
取的中点为,的中点为,设球心为,
连接，
所以为的外接圆圆心，平面，
平面，所以，即在平面内
，则,
所以四边形为矩形，
,又,
，
球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理，以及四点共球求球的表面积问题.属于较难题.
17．(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）求出圆心和的坐标，由题意可得直线是线段的中垂线，求出的斜率和的中点坐标，可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程；
（2）直线斜率不存在时，直线为符合题意，当斜率存在时，设为，由圆心到该直线的距离等于半径求得的值即可求解.
(1)
由圆可得，
所以圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
因为圆与圆关于直线对称，
所以直线为线段的中垂线，
因为，
则所求直线的斜率为，且线段的中点为，
故所求直线为，即．
(2)
因为，所以点在圆外，
若直线的斜率不存在，即直线为，则圆心到直线的距离为，符合题意，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
整理可得：，解得：，
所以直线为，即，
综上所述：直线的方程为或．
18．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用频率和为1，可求得的值；
（2）利用频率分布直方图中的平均数公式可求解；
（3）求从前至后频率和等于对应的数即可.
（1）依题意得，，解得．
（2）这名居民竞赛成绩的平均分．
（3）由频率分布直方图可得，第一组的频率为，前两组的频率之和为．设需要参加讲座的居民的分数不超过，则．，解得．故需要参加讲座的居民的分数不超过．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若平面，易得，再根据，得到求解；
（2）在平面内作于T， 论证平面，然后以点Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，和直线的一个方向向量，设直线和平面所成角为，由求解.
【详解】
（1）当时，平面．
如图所示:
连接交于点N，
连接，由题设，得．
若平面，
由平面平面，得，
所以．
当，
所以，
所以平面．
（2）由题设都是等边三角形，
Q是中点，平面．
，在中，．
因为，
所以.
在平面内作于T，则，．
由平面，可得平面．
以点Q为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由可得，
所以，
设平面的一个法向量，
则，可取，则，
直线的一个方向向量是，
设直线和平面所成角为，则
所以直线和平面所成角的正弦值等于．
【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
20．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【解析】
【详解】
分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
21．(1)；(2).
【解析】
【详解】
分析：（1）由题意可得，，则；
（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.
详解：（1）由图得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由图得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
记
，
又 ，∴ ，
∴时，取最大，最短，则此时.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
22．(1)证明见解析；
(2)30°．
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的性质和判定可得证；
（2）连接PO，根据线面角的定义可得∠APO是PA与平面PBD所成的角．解三角形可求得答案.
(1)
证明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，
又四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，PD∩BD=D，PD，BD平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
(2)
解：连接PO，
∵AC⊥平面PBD，
∴∠APO是PA与平面PBD所成的角．
又∠BAD=60°，AD=2，
∴，∵，，
∴，又，
∴∠APO=30°．∴PA与平面PBD所成角的大小为30°．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页