百师联盟2022-2023学年高二上学期开学模拟考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若复数,则下列说法正确的是( )
A.的虚部为
B.的共轭复数为
C.对应的点在第二象限
D.
2.已知中,,且,点,是边的两个三等分点,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则以下命题一定正确的序号是( )
①如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
②如果,,那么
③如果,,那么
④如果m⊥n,m⊥α,,那么α⊥β
A.①② B.①②③ C.②③④ D.③④
4.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6,为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率,用计算机产生1~5之间的随机整数,当出现随机数1,2或3时,表示该天下雪,其概率为0.6,每3个随机数一组,表示一次模拟的结果,共产生了如下的20组随机数:
522 553 135 354 313 531 423 521 541 142
125 323 345 131 332 515 324 132 255 325
则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为( )A. B. C. D.
6.已知定点和直线,则点到直线的离的最大值为( )
A. B.
C. D.
7.从装有 2个红球和 2个白球的口袋中任取 2个球,则下列每对事件中,互斥事件的对数是对
(1)“至少有 1个白球”与“都是白球” (2)“至少有 1个白球”与“至少有 1个红球”
(3)“至少有 1个白球”与“恰有 2个白球” (4)“至少有 1个白球”与“都是红球”
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点),记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则
A. B.
C. D.
二、多选题
9.已知圆心为的圆与点,则( )
A.圆的半径为2
B.点在圆外
C.点与圆上任一点距离的最大值为
D.点与圆上任一点距离的最小值为
10.随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,则( )
A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为
11.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为,则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥高为3. B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥侧面积为
12.如图,圆O是边长为2的等边三角形的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点,,则可以的取值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
三、填空题
13.若两条直线和互相垂直,则的值为________.
14.某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为36的样本,用分层抽样方法应从青年人中抽取_________人.
15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质,函数的最小值为__________.
16.三棱柱的所有棱长均为2,且平面,为的中点,为棱上的点,且,若点、、、在同一球面上,则该球的表面积为______.
四、解答题
17.已知直线的方程为().
(1)求直线过的定点的坐标;
(2)直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点,,当面积最小时,求直线的方程;
(3)当最小时,求直线的方程.
18.北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京,张家口同为主办城市,也是中国继北京奥运会,南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动,并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果,从中随机抽取80名志愿者的考核成绩,根据这80名志愿者的考核成绩,得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
分组 频数 频率
2 0.050
13 0.325
18 0.450
a m
b 0.075
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内,则考核等级为优秀
(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数;
(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享,记抽到女志愿者的人数为X,求X的分布列及期望.
19.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,Q为的中点,.
(1)点M在线段上,,试确定t的值,使得平面;
(2)在(1)的条件下,若,求直线和平面所成角的正弦值.
20.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75,
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为X,求随机变量X的分布列和均值.
21.如图,某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地,图中.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道,且两边是两个关于走道对称的三角形(和).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点与点均不重合,落在边上且不与端点重合,设.
(1)若,求此时公共绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求的长度最短,求此时绿地公共走道的长度.
22.如图,四棱锥中,,四边形PACQ为直角梯形,,,且,.
(1)求证:直线平面PAB;
(2)若直线CA与平面PAB所成的角为,求二面角的平面角的余弦值.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
【解析】
【分析】
根据复数的定义,几何意义,即可判断选项.
【详解】
A.的虚部是1,故A错误;B.的共轭复数是,故B错误;
C.的点时,在第二象限,故C正确;D.,故D错误.
故选:C
2.B
【解析】
【分析】
由知,,根据平面向量的线性运算可推出
,,故,展开后代入数据进行运算即可.
【详解】
解:∵,∴,
∵点是边的三等分点,
∴.
同理可得,,
∴.
故选:B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意基底的选择.
3.A
【解析】
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系判断.
【详解】
①如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,直线的方向向量分别是平面的法向量,法向量垂直,则两个平面垂直,那么α⊥β,命题正确;
②如果,,直线与平面无公共点,那么,命题正确;
③如果,,与可相交,可平行也可异面,命题错误;
④如果m⊥n,m⊥α,,与可能平行,可能相交,相交时也可能垂直,命题错误.
故选:A.
4.A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为2M,之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关系,从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,
则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确;
新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确;
新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确;
新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的,所以超过了经济收入的一半,所以D正确;
故选A.
点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5.B
【解析】
根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数,再按照古典概型求概率.
【详解】
20组数据中,其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪,共有9组随机数,所以.
故选:B
6.D
【解析】
【分析】
直线,
可化为:,令可得直线经过定点,可得点到直线的距离的最大值为.
【详解】
直线,
可化为:,令解得:
因为直线经过定点,
所以点到直线的距离的最大值为
故选:D
7.B
【解析】
【详解】
对于(1),“至少有1个白球”,包括“两个白球”和“一白一红”两种情况,两事件可以同时发生,不是互斥事件;对于(2),“至少有1个白球”,包括“两个白球”和“一白一红”两种情况,“至少有1个红球”,包括“两个红球”和“一白一红”两种情况,两事件可以同时发生,不是互斥事件;对于(3),“至少有1个白球”与“恰有2个白球”, 两事件可以同时发生,不是互斥事件;对于(4),“至少有1个白球”与“都是红球”,不可能同时发生,是互斥事件,即互斥事件的对数是 ,故选B.
8.B
【解析】
本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.
【详解】
方法1:如图为中点,在底面的投影为,则在底面投影在线段上,过作垂直,易得,过作交于,过作,交于,则,则,即,,即,综上所述,答案为B.
方法2:由最小角定理,记的平面角为(显然)
由最大角定理,故选B.
方法3:(特殊位置)取为正四面体,为中点,易得
,故选B.
【点睛】
常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.
9.BCD
【解析】
【分析】
把圆C的方程化为标准形式,写出圆心和半径,再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】
依题意,圆:,则圆心,半径,A不正确;
因点,则,点在圆外,B正确;
因点在圆外,在圆上任取点P,则,当且仅当点P,C,A共线,且P在线段AC延长线上时取“=”,C正确;
在圆上任取点M,则,当且仅当点C,M,A共线,且M在线段CA上时取“=”,C正确.
故选:BCD
10.BD
【解析】
【分析】
利用列举法列出所有的基本事件,再根据概率公式计算可得结果.
【详解】
随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有:156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;
其中奇数有:165,561,651,615,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为
,故B正确;
其中偶数有:156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为,故C不正确;
其中大于400的有:516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为,故D正确.
故选:BD
11.AB
【解析】
【分析】
根据题意画出图象,取的中心为,连接,先得出面,再求出,可得正三棱锥高;利用三角形的面积公式求出的面积,利用体积公式求出正三棱锥的体积;作交于,求出正三棱锥的斜高;再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.
【详解】
取的中心为,连接,
由题意得:面,
又为等边三角形,
则,
所以正三棱锥高为:,
,
所以正三棱锥的体积为:,
作交于,
又,
则正三棱锥的斜高为,
所以正三棱锥的侧面积为:.
故选:A B .
【点睛】
本题主要考查了求正三棱锥的高,斜高,侧面积和体积的问题.属于中档题.
12.BCD
【解析】
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系,设,其中,则可用表示,利用辅助角公式可求其取值范围.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,
等边三角形的内切圆的半径为,
故可设,其中,
故,而,,
结合可得,
故,故,
因为,故,
因为,,,
,,,
故,
故选:BCD.
13.0或3
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的判定条件,列出方程求解,即可得出结果.
【详解】
因为直线和互相垂直,
所以,解得:和.
故答案为:0或3.
【点睛】
本题主要考查由两直线垂直求参数,属于基础题型.
14.18
【解析】
根据分层抽样的特征,即可求出.
【详解】
由题意可知,应从青年人中抽取人.
故答案为:18.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的特征的理解和应用,属于基础题.
15.
【解析】
【分析】
函数表示的是点(x,y)到点C(1,0)的距离与到点B(-1,0),到A(0,2)的距离之和,连接这三个点构成了三角形ABC,由角DOB为,角DOC为,OD=,OC=,OA=,距离之和为:2OC+OA,求和即可.
【详解】
根据题意画出图像并建系,D为坐标原点
函数表示的是点(x,y)到点C(1,0)的距离与到点B(-1,0),到A(0,2)的距离之和,设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上,设为O点即费马点,连接OB,OC,则角DOB为,角DOC为,B(-1,0)C(1,0),A(0,2),OD=,OC=,OA=,距离之和为:2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了点点距的公式,以及解三角形的应用,解三角形的范围问题常见两类,一类是根据基本不等式求范围,注意相等条件的判断;另一类是根据边或角的范围计算,解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16.
【解析】
【分析】
如图,先利用垂直关系确定为的中点,找到球心的位置,利用已知条件求出半径,代入球的表面积公式即可.
【详解】
连接,
,,
平面,,
又,
所以面,
即,又,,
则面,
,为的中点,
,也为的中点,
取的中点为,的中点为,设球心为,
连接,
所以为的外接圆圆心,平面,
平面,所以,即在平面内
,则,
所以四边形为矩形,
,又,
,
球的表面积为.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理,以及四点共球求球的表面积问题.属于较难题.
17.(1);(2);(3).
【解析】
【分析】
(1)化简直线的方程为,联立方程组,即可求解;
(2)设直线的方程为,得到,利用基本不等式求得,得到面积最小值时的值,即可求解;
(3)由(1)知,可设直线方程为,其中,求得的表达式,得到,结合基本不等式,即可求解.
【详解】
(1)由题意,直线的方程为,
可化为,联立方程组,解得,
所以直线过的定点.
(2)设直线的方程为,
由(1)知,直线过的定点,可得,
因为,则,解得,
当且仅当时,即时,等号成立,
则面积为,
此时对应的直线方程为,即.
(3)由(1)知,可设直线方程为,其中,
令时,可得;令时,可得,
即且,
则,
所以,
当且仅当时,即,
所以直线方程为,即.
18.(1),
(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)由图表数据求解
(2)由超几何分布公式求解
(1)
由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为.
因为,所以,
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.
因为被抽取的志愿者人数是80,所以被抽取的男志愿者人数是.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为.
(2)
由题意可知X的可能取值为.
,
.
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故.
19.(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)若平面,易得,再根据,得到求解;
(2)在平面内作于T, 论证平面,然后以点Q为原点,QA为x轴,QB为y轴,建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,和直线的一个方向向量,设直线和平面所成角为,由求解.
【详解】
(1)当时,平面.
如图所示:
连接交于点N,
连接,由题设,得.
若平面,
由平面平面,得,
所以.
当,
所以,
所以平面.
(2)由题设都是等边三角形,
Q是中点,平面.
,在中,.
因为,
所以.
在平面内作于T,则,.
由平面,可得平面.
以点Q为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
由可得,
所以,
设平面的一个法向量,
则,可取,则,
直线的一个方向向量是,
设直线和平面所成角为,则
所以直线和平面所成角的正弦值等于.
【点睛】
方法点睛:利用向量求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
20.(1)0.38
(2)分布列见解析,0.9
【解析】
【分析】
(1)分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3,设E表示第一次烧制后恰好有一件合格,由可得概率;
(2)每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,这样X~B(3,0.3).,由二项分布计算出各概率可得分布列,由期望公式计算期望.
(1)
分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.
设E表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
P(E)==0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.
(2)
因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,则X~B(3,0.3).
所以P(X=0)=(1-0.3)3=0.343, P(X=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,
P(X=2)=3×0.32×0.7=0.189, P(X=3)=0.33=0.027.
X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
于是,E(X)=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9. (或E(X)=np=3×0.3=0.9.)
21.(1);(2).
【解析】
【详解】
分析:(1)由题意可得,,则;
(2)由题意可得 ,由正弦定理有 ,记,结合三角函数的性质可得时,取最大,最短,则此时.
详解:(1)由图得: ∴,
又 ∴ ∴,
∴;
(2)由图得:且 ,
∴ ,
在中,由正弦定理可得: ,
∴ ,
记
,
又 ,∴ ,
∴时,取最大,最短,则此时.
点睛:解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
22.(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】
(1)证明PA⊥平面ABC,得到PA⊥BC,再结合BC⊥AB,即可证明平面PAB;
(2)由平面PAB知∠CAB即为直线CA与平面PAB所成的角,从而可求AC长度;以A为原点AC为y轴,AP为z轴建立平面直角坐标系,求出P、C、B、Q的坐标,求出平面PBQ和平面BCQ的法向量,利用向量法即可求二面角的平面角的余弦值.
(1)
∵,,∴,∴,
又∵,,∴平面ABC,∴,
∵,,∴平面;
(2)
∵平面,∴∠CAB即为直线CA与平面PAB所成的角,∴∠CAB=,
∴AC=2.
以A为原点AC为y轴,AP为z轴建立平面直角坐标系:
则,,,,
则,,,
设平面PBQ法向量,
则,即,则可取,
设平面BCQ法向量为,
则,即,取,则,则,
∴,
由图可知二面角的平面角为钝角,故其余弦值为.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页