苏教版（2019）选择性必修第一册5.2.3　简单复合函数的导数基础过关练（Word版含解析）

5.2.3　简单复合函数的导数
基础过关练
题组一　复合函数的求导法则　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏南京师范大学附属中学期中)函数f(x)=sin 2x的导数是(　　)
A. f '(x)=2cos 2x　　　　B. f '(x)=-2cos 2x　　　　
C. f '(x)=2sin 2x　　　　D. f '(x)=-2sin 2x
2.(2020江苏建湖二中检测)已知函数f(x)=ln(2x+1),则f '(0)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.
3.(多选)(2020江苏常熟期中)以下函数求导正确的是(　　)
A.若f(x)=,则f '(x)=
B.若f(x)=e2x,则f '(x)=e2x
C.若f(x)=,则f '(x)=
D.若f(x)=cos,则f '(x)=-sin
4.求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=e-xsin 2x;
(3)y=ln-1;
(4)y=cos(-2x)+32x+1.
题组二　复合函数求导的综合运用
5.在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=600·,则铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为(　　)
A.-10ln 2太贝克/年
B.300ln 2太贝克/年
C.-300ln 2太贝克/年
D.300太贝克/年
6.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则的值为(　　)
A.10　　　　B.-10　　　　C.-20　　　　D.20
7.设函数f(x)在(-∞,+∞)上的导函数为f'(x),若f(ln x)=,则=(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.e+1
8.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为　　　　　　.
9.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.
能力提升练
题组　复合函数的导数及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022天津期末)函数y=e-2x+1cos(-x2+x)的导数为(　　)
A.y'=e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
B.y'=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
C.y'=-e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]
D.y'=e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]
2.(2020河南开封五县期末联考)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线的方程为(　　)
A.2x-y=0　　　　B.2x+y=0
C.4x-y=0　　　　D.4x+y=0
3.(2020安徽黄山屯溪一中期中)已知函数f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且f(x)=·sin x+cos x,在△ABC中, f(A)=f'(B)=1,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰锐角三角形　　　　 B.直角三角形
C.等边三角形　　　　 D.等腰钝角三角形
4.(2020江苏南京江浦高级中学月考)直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则b=(　　)
A.2　　　　B.
C.ln　　　　D.ln(2e)
5.(多选)(2021江苏扬州高邮月考)已知函数y=g(x)的图象在区间[a,b]上连续,当对[a,b]上任意两点x1与x2,有g时,我们称函数g(x)在[a,b]上“严格上凹”,用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(即原函数的二阶导函数)在给定区间内恒为正,用符号表示为g″(x)>0.则下列函数在所给定义域上“严格上凹”的有(　　)
A.f(x)=log2x(x>0)
B.f(x)=2e-x+x(x∈R)
C.f(x)=-x3+2x(x<0)
D.f(x)=sin x-x2(06.(2020江苏苏州中学二调)如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm,将水以20 cm3/s的流速倒入杯中,则当时刻t=　　　　s时,水深为4 cm,此时水升高的瞬时变化率v=　　 　cm/s.
7.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求曲线y=x3过点P(a,b)的切线方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A　f '(x)=(sin 2x)'=(2x)'cos 2x=2cos 2x.故选A.
2.C　f '(x)=,∴f '(0)=2,故选C.
3.AC　对于A, f '(x)==
,故A正确;
对于B,f '(x)=e2x·2=2e2x,故B错误;
对于C,f '(x)=[··2=,故C正确;
对于D,f '(x)=·2=-2sin,
故D错误.故选AC.
4.解析　(1)∵y=,
∴y'=.
(2)∵y=e-xsin 2x,
∴y'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x=e-x(2cos 2x-sin 2x).
(3)∵y=lnln(2x+1)-1,
∴y'=.
(4)∵y=cos(-2x)+32x+1=cos 2x+32x+1,
∴y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3
=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.
5.答案　A
信息提取　(1)在铯137的衰变过程中,其含量M与时间t满足函数关系M(t)=600·;(2)求M'(30).
数学建模　本题以放射性同位素铯137的衰变过程为背景构建函数模型,利用导数知识求铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率.求出函数M(t)的导函数,令t=30即可得到含量M在t=30时的瞬时变化率.
解析　M'(t)=-ln 2=-20×ln 2,所以铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为M'(30)=-20×2-1×ln 2=-10ln 2(太贝克/年),故选A.
6.C　∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f '(x)=+8,
∴f '(1)=10,
∴
=-2f '(1)=-20.故选C.
7.B　令ln x=t,则x=et,代入f(ln x)=,得f(t)==1+e-t,
∴f '(t)=-,∴=-2.故选B.
8.答案　y=2x-1
解析　设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=ex-2+x(x>0),则f'(x)=ex-2+1(x>0),∴f'(2)=2,
又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.
9.解析　因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,
所以f '(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).
由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,
解得a=.
能力提升练
1.B　∵y=e-2x+1cos(-x2+x),
∴y'=(e-2x+1)'cos(-x2+x)+e-2x+1[cos(-x2+x)]'
=-2e-2x+1cos(-x2+x)-e-2x+1sin(-x2+x)·(-2x+1)
=-e-2x+1[2cos(-x2+x)+(-2x+1)sin(-x2+x)]
=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)].
2.A　易知f(x)的定义域为R,因为f(x)=ex+a·e-x为奇函数,所以f(0)=e0+a·e0=0,解得a=-1,所以f(x)=ex-e-x,f'(x)=ex+e-x.
因为曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,
所以切点坐标为(0,0).
所以切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.
故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.
3.D　f'(x)=cos x-sin x,
则f'cos
=,
则,则f'=1,
故f'(x)=cos x-sin x=2cos,
f(x)=sin x+cos x=2cos.
因为f'(B)=1,
所以f'(B)=2cos=1,
即cos,
又B∈(0,π),所以B+,解得B=.
因为f(A)=1,所以f(A)=2cos=1,
即cos,
又A∈(0,π),所以A-,解得A=,
则C=π-,
则B=C,故△ABC是等腰钝角三角形.
4.C　设直线l与曲线f(x)=ln(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2),∵f(x)=ln(x+1),
∴f '(x)=,由f '(x1)==k,可得x1=,
又y1=f(x1)=ln(x1+1)=-ln k,
∴点A,
将点A的坐标代入直线l的方程,可得-ln k=k·+b,可得b=k-ln k-1,①
∵g(x)=ln(e2x)=2+ln x,∴g'(x)=,由g'(x2)==k,可得x2=,
又y2=g(x2)=2-ln k,∴点B,将点B的坐标代入直线l的方程,可得2-ln k=k·+b=b+1,∴b=1-ln k,②
联立①②可得k=2,b=1-ln 2=ln.故选C.
5.BC　由题意可知,若函数f(x)在所给定义域上“严格上凹”,则满足f ″(x)>0在定义域内恒成立.对于A,f(x)=log2x(x>0),则f ″(x)=·,易知f″(x)<0在x>0时恒成立,不符合题意,故A错误;
对于B,f(x)=2e-x+x,则f ″(x)=(-2e-x+1)'=2e-x,易知f″(x)>0在x∈R时恒成立,符合题意,故B正确;
对于C,f(x)=-x3+2x(x<0),则f ″(x)=(-3x2+2)'=-6x,易知f″(x)>0在x<0时恒成立,符合题意,故C正确;
对于D,f(x)=sin x-x2(06.答案　
信息提取　(1)酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm;(2)将水以20 cm3/s的流速倒入杯中;(3)求水深为4 cm时的时刻t及水升高的瞬时变化率.
数学建模　本题以立体几何问题为背景构建函数模型,利用导数的实际意义求出水升高的瞬时变化率.计算出当水深为4 cm时杯中水的容积,然后除以流速可得出时刻t的值,设水的深度为h cm,求出h关于t的函数表达式,利用导数可求得当水深为4 cm时,水升高的瞬时变化率.
解析　当水深为4 cm时,酒杯中水面的半径为 cm,此时水的体积V=×4=3π(cm3),
由题意可得20t=3π,∴t=.
设t s时水的深度为h cm,水面半径为r cm,则,故r=h,
由题意可得20t=πh3,∴h=,
ht'=,当t=时,h'=(cm/s).
陷阱分析
　　将函数的求导与导数的实际意义相结合是一种常见的题型,这类问题要注意理解“函数在某点处的导数反映了函数在该点处的瞬时变化率”.
7.解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,
得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
则a=f'=3-2sin +2cos =1.
由y=x3得y'=3x2.
当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,
又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),
∴以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,),
此时切线的斜率k'=3,
∴切线方程为y-(x-x0),
∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,
∴b=1,将P(1,1)的坐标代入切线方程,
得1-(1-x0),
∴2+1=0,即2+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-(x0=1舍去),
∴切点坐标为,
又切线的斜率为3×,
∴切线方程为y+,
即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.