苏教版（2019）选择性必修第一册5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 基础过关练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 基础过关练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 54.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 06:20:37 | ||
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文档简介
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
基础过关练
题组一 函数的和、差、积、商的导数
1.函数y=x2cos x的导数为( )
A.y'=2xcos x-x2sin x
B.y'=2xcos x+x2sin x
C.y'=x2cos x-2xsin x
D.y'=xcos x-x2sin x
2.(2021江苏淮安马坝高级中学期中)f(x)=ax3+x2+2,若f'(1)=5,则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.3
3.(2020江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=,则f'(0)= .
4.求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x+2)(x-3);
(2)f(x)=lg x-3x;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
题组二 求导法则的综合应用
5.(2020江苏徐州期中)已知函数f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
6.(2020广东清远期末)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第x h时,原油温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),则第4 h时,原油温度的瞬时变化率为( )
A.-1 B.1 C.3 D.5
7.(2020江苏连云港海头高级中学质检)曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为( )
A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0
8.(2020江苏宿迁期中)设曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,则的值为( )
A. C.3 D.-3
9.(2021安徽合肥期中)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
能力提升练
题组 导数的四则运算法则及其应用
1.(2022江苏苏州八校联盟检测)函数y=2x·(ln x+1)的图象在x=1处的切线方程为( )
A.y=4x+2 B.y=2x-4
C.y=4x-2 D.y=2x+4
2.(2020山东平邑、沂水期中联考)一个质量m为5 kg的物体作直线运动,设位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2(单位:J,v为物体的运动速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是( )
A.160 J B.165 J
C.170 J D.175 J
3.(多选)(2020江苏镇江丹阳吕叔湘中学期中)过点A(a,0)作曲线C:y=xex的切线有且仅有两条,则实数a的值可能是( )
A.0 B.
C.-5 D.e
4.(2020江苏徐州丰县中学期末)已知f(x)=ln x,g(x)=(m<0),直线l与函数y=f(x),y=g(x)的图象都相切,且与函数y=f(x)的图象的切点为(1,f(1)),则m的值为 .
5.(2020湖南长沙长郡中学期末)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C,则曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是 ;若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,则其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是 .
6.已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程.
7.如图,直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP的面积最大.
答案全解全析
基础过关练
1.A 对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.
2.A 由题意得f'(x)=3ax2+2x,则f'(1)=3a+2=5,解得a=1.故选A.
3.答案
解析 ∵f(x)=,
∴f'(x)=,
∴f'(0)=.
4.解析 (1)∵f(x)=(x+2)(x-3)=x2-x-6,
∴f'(x)=(x2-x-6)'=2x-1.
(2)f'(x)=(lg x)'-(3x)'=-3xln 3.
(3)∵f(x)=,
∴f'(x)=.
(4)∵f(x)=,
∴f'(x)=0-.
5.A 由f(x)=x2+2xf'(1),得f'(x)=2x+2f'(1),令x=1,则f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2,
令x=0,则f'(0)=2×0+2f'(1)=-4.故选A.
6.答案 B
信息提取 (1)原油的温度y与时间x的关系式为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8);(2)求f'(4).
数学建模 本题以化工生产中的原油提炼为背景构建函数模型,利用导数知识解决原油温度的瞬时变化率问题,求x=4时原油温度的瞬时变化率,实质就是求x=4时,f(x)的导数值.
解析 第4 h时,原油温度的瞬时变化率为f'(4),因为f(x)=x2-7x+15,所以f'(x)=2x-7,则f'(4)=1.故选B.
7.C 记f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线的斜率为f'(1)=e-=e-1,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y+1=0,故选C.
8.A 由y=,可得y'=,
所以当x=1时,y'=-3,即曲线y=在点(1,-2)处的切线的斜率为-3,
因为曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,
所以×(-3)=-1,解得.故选A.
9.解析 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.
因为f(x)=ax-,所以f'(x)=a+,
所以解得
故f(x)=x-.
(2)由(1)知f'(x)=1+.设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由f'(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).
令x=0,得y=-,所以切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为×-×|2x0|=6.
所以曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
能力提升练
1.C 由已知得y'=2(ln x+1)+2x·=2ln x+4,则y'|x=1=4,
又x=1时,y=2,所以切线方程为y=4x-2.
2.答案 A
信息提取 (1)某物体质量m=5 kg;(2)位移s与时间t的关系式为s(t)=t+mv2;(4)求t=7时的动能.
数学建模 本题以物理中的动能问题为背景构建函数模型,利用导数知识解决物理问题.对s(t)求导得到v(t),计算出t=7时的速度,由公式求出动能.
解析 由题意得s'(t)=1+t,即v(t)=1+t,所以v(7)=8,所以Ek=×5×82=160(J).
3.BCD 设切点坐标为(x0,x0),易得y'=(x+1)ex,所以当x=x0时,y'=(x0+1),
所以切线方程为y-x0(x-x0),将点A(a,0)的坐标代入可得-x0=(x0+1)·(a-x0),化简得-ax0-a=0,因为过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条,所以方程-ax0-a=0有两个不同的实数解,则Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
结合选项可知B、C、D正确.故选BCD.
方法点拨
已知过定点的直线与曲线有两条切线,求参数的取值范围,可转化为关于切点横(纵)坐标的方程有两个不同的实数根,结合判别式大于0构建关于参数的不等式(组),进而求得该参数的取值范围.
4.答案 -2
解析 由题意得f'(x)=, 故直线l的斜率为f'(1)=1,易求得切点为(1,0),故直线l的方程为y=x-1,
由消去y,得x2+2(m-1)x+9=0,故Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=-2(m=4舍去).
5.答案 (1)[-1,+∞)
(2)(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞)
解析 (1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知,
解得-1≤k<0或k≥1,即-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).
6.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),∴=ex.
令g(x)=,x>0,
则g'(x)==ex,x>0,
∴g(x)==ex+c(c为常数),
∴f(x)=x2(ex+c)(c为常数).
又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,∴f'(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.
7.解析 因为线段AB的长为定值,所以要使△ABP的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大即可,即点P是抛物线的切线中平行于直线AB的切线的切点,易得点P在抛物线位于x轴下方的部分,设P(x,y)(y<0).
所以y=-2,所以y'=-.
因为kAB=-,所以-,解得x=4.
由y=-2,得y=-4,
所以点P的坐标为(4,-4).
基础过关练
题组一 函数的和、差、积、商的导数
1.函数y=x2cos x的导数为( )
A.y'=2xcos x-x2sin x
B.y'=2xcos x+x2sin x
C.y'=x2cos x-2xsin x
D.y'=xcos x-x2sin x
2.(2021江苏淮安马坝高级中学期中)f(x)=ax3+x2+2,若f'(1)=5,则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.3
3.(2020江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=,则f'(0)= .
4.求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x+2)(x-3);
(2)f(x)=lg x-3x;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
题组二 求导法则的综合应用
5.(2020江苏徐州期中)已知函数f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
6.(2020广东清远期末)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第x h时,原油温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),则第4 h时,原油温度的瞬时变化率为( )
A.-1 B.1 C.3 D.5
7.(2020江苏连云港海头高级中学质检)曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为( )
A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0
8.(2020江苏宿迁期中)设曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,则的值为( )
A. C.3 D.-3
9.(2021安徽合肥期中)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
能力提升练
题组 导数的四则运算法则及其应用
1.(2022江苏苏州八校联盟检测)函数y=2x·(ln x+1)的图象在x=1处的切线方程为( )
A.y=4x+2 B.y=2x-4
C.y=4x-2 D.y=2x+4
2.(2020山东平邑、沂水期中联考)一个质量m为5 kg的物体作直线运动,设位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2(单位:J,v为物体的运动速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是( )
A.160 J B.165 J
C.170 J D.175 J
3.(多选)(2020江苏镇江丹阳吕叔湘中学期中)过点A(a,0)作曲线C:y=xex的切线有且仅有两条,则实数a的值可能是( )
A.0 B.
C.-5 D.e
4.(2020江苏徐州丰县中学期末)已知f(x)=ln x,g(x)=(m<0),直线l与函数y=f(x),y=g(x)的图象都相切,且与函数y=f(x)的图象的切点为(1,f(1)),则m的值为 .
5.(2020湖南长沙长郡中学期末)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C,则曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是 ;若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,则其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是 .
6.已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程.
7.如图,直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP的面积最大.
答案全解全析
基础过关练
1.A 对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.
2.A 由题意得f'(x)=3ax2+2x,则f'(1)=3a+2=5,解得a=1.故选A.
3.答案
解析 ∵f(x)=,
∴f'(x)=,
∴f'(0)=.
4.解析 (1)∵f(x)=(x+2)(x-3)=x2-x-6,
∴f'(x)=(x2-x-6)'=2x-1.
(2)f'(x)=(lg x)'-(3x)'=-3xln 3.
(3)∵f(x)=,
∴f'(x)=.
(4)∵f(x)=,
∴f'(x)=0-.
5.A 由f(x)=x2+2xf'(1),得f'(x)=2x+2f'(1),令x=1,则f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2,
令x=0,则f'(0)=2×0+2f'(1)=-4.故选A.
6.答案 B
信息提取 (1)原油的温度y与时间x的关系式为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8);(2)求f'(4).
数学建模 本题以化工生产中的原油提炼为背景构建函数模型,利用导数知识解决原油温度的瞬时变化率问题,求x=4时原油温度的瞬时变化率,实质就是求x=4时,f(x)的导数值.
解析 第4 h时,原油温度的瞬时变化率为f'(4),因为f(x)=x2-7x+15,所以f'(x)=2x-7,则f'(4)=1.故选B.
7.C 记f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线的斜率为f'(1)=e-=e-1,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y+1=0,故选C.
8.A 由y=,可得y'=,
所以当x=1时,y'=-3,即曲线y=在点(1,-2)处的切线的斜率为-3,
因为曲线y=在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,
所以×(-3)=-1,解得.故选A.
9.解析 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.
因为f(x)=ax-,所以f'(x)=a+,
所以解得
故f(x)=x-.
(2)由(1)知f'(x)=1+.设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由f'(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).
令x=0,得y=-,所以切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为×-×|2x0|=6.
所以曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
能力提升练
1.C 由已知得y'=2(ln x+1)+2x·=2ln x+4,则y'|x=1=4,
又x=1时,y=2,所以切线方程为y=4x-2.
2.答案 A
信息提取 (1)某物体质量m=5 kg;(2)位移s与时间t的关系式为s(t)=t+mv2;(4)求t=7时的动能.
数学建模 本题以物理中的动能问题为背景构建函数模型,利用导数知识解决物理问题.对s(t)求导得到v(t),计算出t=7时的速度,由公式求出动能.
解析 由题意得s'(t)=1+t,即v(t)=1+t,所以v(7)=8,所以Ek=×5×82=160(J).
3.BCD 设切点坐标为(x0,x0),易得y'=(x+1)ex,所以当x=x0时,y'=(x0+1),
所以切线方程为y-x0(x-x0),将点A(a,0)的坐标代入可得-x0=(x0+1)·(a-x0),化简得-ax0-a=0,因为过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条,所以方程-ax0-a=0有两个不同的实数解,则Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
结合选项可知B、C、D正确.故选BCD.
方法点拨
已知过定点的直线与曲线有两条切线,求参数的取值范围,可转化为关于切点横(纵)坐标的方程有两个不同的实数根,结合判别式大于0构建关于参数的不等式(组),进而求得该参数的取值范围.
4.答案 -2
解析 由题意得f'(x)=, 故直线l的斜率为f'(1)=1,易求得切点为(1,0),故直线l的方程为y=x-1,
由消去y,得x2+2(m-1)x+9=0,故Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=-2(m=4舍去).
5.答案 (1)[-1,+∞)
(2)(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞)
解析 (1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知,
解得-1≤k<0或k≥1,即-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).
6.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),∴=ex.
令g(x)=,x>0,
则g'(x)==ex,x>0,
∴g(x)==ex+c(c为常数),
∴f(x)=x2(ex+c)(c为常数).
又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,∴f'(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.
7.解析 因为线段AB的长为定值,所以要使△ABP的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大即可,即点P是抛物线的切线中平行于直线AB的切线的切点,易得点P在抛物线位于x轴下方的部分,设P(x,y)(y<0).
所以y=-2,所以y'=-.
因为kAB=-,所以-,解得x=4.
由y=-2,得y=-4,
所以点P的坐标为(4,-4).