数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4 空间向量的应用 同步课时训练（Word版含解析）

1.4 空间向量的应用--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步课时训练
概念练习
1.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.已知直线过定点,且为其一个方向向量,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
（多选）
8.已知二面角的大小为，点，点，，且，，，则两点间的距离可以是( )
A. B. C. 3 D.
9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C.是平面ABCD的一个法向量 D.
10.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心，B为PD的中点， F在棱PA上，若，，则下列说法正确的有( )
A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为
B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为
C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则
D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则
11.如图所示，在正方体中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线与EF所成角最小时，其余弦值为__________.
12.若的方向向量为,平面的法向量为,且,则________.
13.在中，，，.若向量n与平面ABC垂直，且，则n的坐标为___________.
14.如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.
(1)设P是的中点,求证:平面.
(2)求二面角的正弦值.
15.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.
（1）求证：平面PAC；
（2）若，，，求二面角正余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
2.答案：A
解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设，
则.
则，
设平面的法向量为,则，
可求得，
则.
∴，
∴直线与平面所成的角为.
故选A.
3.答案：A
解析：,则点到直线的距离.
4.答案：B
解析：解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，
如图，E是MA的中点，，
是异面直线BE与AF所成的角或其补角，
平面ABC，
，，
，
，
又，，
，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，
则，
则，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
5.答案：B
解析：解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，如图，
E是MA的中点，，是异面直线BE与AF所成的角或其补角.
平面ABC，，
，，
.
F为MC的中点，，
又，
在中，，
，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，
则，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
6.答案：D
解析：以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为
7.答案：D
解析：设平面ABCD的法向量为，则，
即，，
取，则，
这个四棱锥的高.故选：D.
8.答案：ABC
解析：如图，设，
，
则
，
，，
结合选项可得，P，Q两点间的距离可以是，，3.
故选：ABC
9.答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
10.答案：BC
解析：，
，
平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
平面ABCD，
底面ABCD为矩形，，AD，AP两两垂直.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，
，
异面直线PO与AD所成角的余弦值为，故A错，B对.
由题易得，平面PAD，
取平面PAD的一个法向量.
，，，
，，
设平面OEF的法向量为，
易知，，
则即
令，得，
平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，
，
而，
，解得，
故C对，D错.
故选BC.
11.答案：
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为1，则，，，，
所以，，所以，，当异面直线与EF所成角最小时，则最大，即时，.
12.答案：4
解析： ，
的方向向量为 与平面 的法向量为
平行，.
，解得.
故答案为 4 .
13.答案：或
解析：据题意，得，.设，n与平面ABC垂直，即可得，，解得或.当时，，；当时，，.
14.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点O,连接.
是正三角形,
.
∵平面平面,平面平面,
平面.
平面,
.
在中,,
.
又,
为等腰三角形.
是的中点,.
平面,
.
平面平面,
平面.
(2)由(1)知,,
∴四边形为平行四边形,
,
.
以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,
则, ,
.
设平面的法向量为,
则即
令,则,
.
设平面的法向量为,
则即
令,则,
.
.
,
∴二面角的正弦值为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为，所以.
因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.
又平面POD，且，所以平面POD.
因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.
易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.