高中数学人教A版（2019）必修一 4.5 函数的应用（二）
一、单选题
1．（2021高一上·成都期末）函数的零点所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设，，则.
在区间上，单调递增，单调递减，则单调递增，
由于，，∴有唯一零点且零点在区间内；
在区间(0，2]上，，，故在区间函数与的图象没有交点，从而函数没有零点，
综上可知，A符合题意，BCD不符合题意，
故答案为：A.
【分析】设，，分析可得在区间上单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在区间(0，2]上，函数的单调性不确定，分别考察与的取值范围可知，和，从而可知函数没有零点。
2．（2022高一上·东城期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由为减函数，而也为减函数，
所以为减函数，
由，
所以零点在区间上。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合减函数的定义和构造法，进而判断出函数f(x)为减函数，再利用零点存在性定理，进而找出函数的零点所在的区间 。
3．（2021高三上·青岛期中）方程 的实数根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设 ，则 ， ， ，所以 是方程 的实数根所在一个区间.又 在 上单调递增，故方程 有唯一零点.
故答案为：A.
【分析】根据题意构造函数，再对其求导并把数值代入到导函数的解析式，由此计算出，然后由零点存在性定理即可得出答案。
4．（2021高一上·房山期中）已知定义在R上的函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f 6.1 2.9 -3.5
那么函数 一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】定义在 上的函数 的图象是连续不断的，由图知满足 ，
根据零点存在定理可知 在 一点存在零点.
故答案为：C.
【分析】 依题意，利用零点存在性定理，由图表即可知f(2)f(3) <0，从而知函数f(x)一定存在零点的区间.
5．（2022高一上·海南期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知，即，解得，
所以实数的取值范围是。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结婚后零点存在性定理，进而结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
6．（2022高一下·焦作期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】，故在区间上恒成立
在上单调递增.又函数在区间上存在零点，故，即，解得
故答案为：C
【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得，求解可得答案.
7．（2022高一上·杨浦期末）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】如图所示：
指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数零点存在性定理，进而得出实数a的取值范围。
8．（2022高二下·嘉兴期末）设函数，若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数在R上有4个不同的零点，可知有4个不同的根，
即函数的图像与直线有4个不同的交点，
当时，， 函数图象如下：
数形结合可知，只要，即，就有2个不同的交点，
要使函数有4个不同的零点，需当时，有2个不同的交点，
即在上有两个不同的根，又，如图：
需，解得
故实数a的取值范围是
故答案为：D
【分析】由函数在R上有4个不同的零点，可得函数的图像与直线有4个不同的交点，结合函数的图像，数形结合，求解可得实数a的取值范围.
二、填空题
9．（2022高二下·揭阳期末）函数的零点是 ．
【答案】8
【知识点】指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【解答】由得，解得，即的零点为8.
故答案为：8
【分析】由指对互化公式，结合题意计算出结果即可。
10．（2021高一上·浦东期末）若函数f（x）=x3-x-1在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）．
【答案】1.3
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由题可得，，
所以函数零点所在区间
由题：0.1，所以其近似解为1.3。
故答案为：1.3。
【分析】利用二分法求方程的近似解的方法结合已知条件，再结合方程的根与函数零点的关系，从而得出方程的一个近似解。
11．（2021高一上·柳州月考）求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是 .
【答案】
【知识点】二分法求方程近似解；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】令，
因为，，，所以下一个有根的区间是.
故答案为：
【分析】利用二分法，代入数值计算出结果，由此即可得出答案。
12．（2022·新疆三模）函数的零点个数为 .
【答案】2
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
【分析】当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.
13．（2021高一上·泾阳期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是 .
【答案】4
【知识点】偶函数；函数的零点
【解析】【解答】因为当时，，
故在上的零点为，
因为为偶函数，故在上的零点的个数为4。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而结合转化的方法，进而求出分段函数的解析式，再利用函数零点的定义，从而求出分段函数f(x)的零点，进而求出分段函数f(x)的零点的个数。
14．（2021高三上·临沂期中）函数在上存在零点，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为在上存在零点，
所以，即
解得，
故答案为：
【分析】由题意，利用零点判定定理可得，解不等式可得 m的取值范围 。
三、解答题
15．（2020高一上·咸阳期末）已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）证明：函数 是偶函数；
（Ⅱ）求函数 的零点.
【答案】解：（Ⅰ）由 ，解得 ，
所以函数的定义域为 关于原点对称，
又∵ ，
∴ 是偶函数.
（Ⅱ） .
令 ，
∴ ，解得 （经检验符合题意）.
∴函数 的零点为 和 .
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 是偶函数。
（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。
16．（2021高一上·丰台期中）已知二次函数 ， .
（1）若函数 只有一个零点，求 的值；
（2）解关于 的不等式
【答案】（1）函数 有一个零点，则 ，
即 ， ，
所以 .
（2）不等式 ，所以 ，
①当 时，不等式的解集为 ，
②当 时，不等式的解集为 ，
③当 时，不等式的解集为 .
综上所述 ：
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】 (1)根据题意得到 ，再解方程即可；
(2)根据题意得到 ，再分类讨论解不等式即可.
17．（2020高一上·荆州期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，函数 在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）讨论关于x的方程 的根的个数．
【答案】（1）解：由图可知 ，解得 ．
设 ，则 ，
∵函数 是定义在 上的偶函数，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）解：作出函数 的图象如图所示：
．
由图可知，当 时，关于x的方程 的根的个数为0；
当 或 时，关于x的方程 的根的个数为2；
当 时，关于x的方程 的根的个数为4；
当 时，关于x的方程 的根的个数为3．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；偶函数；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，再结合转化的方法，进而求出当 时的函数解析式，从而求出分段函数f(x)的解析式。
（2）利用（1）求出的分段函数的解析式画出分段函数的图象，从而求出函数的最小值，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图象和y=a的图像的交点的横坐标与关于x的方程 的根的等价关系，进而讨论出关于x的方程 的根的个数。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 4.5 函数的应用（二）
一、单选题
1．（2021高一上·成都期末）函数的零点所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·东城期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·青岛期中）方程 的实数根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高一上·房山期中）已知定义在R上的函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f 6.1 2.9 -3.5
那么函数 一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一上·海南期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·焦作期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高一上·杨浦期末）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·嘉兴期末）设函数，若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022高二下·揭阳期末）函数的零点是 ．
10．（2021高一上·浦东期末）若函数f（x）=x3-x-1在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）．
11．（2021高一上·柳州月考）求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是 .
12．（2022·新疆三模）函数的零点个数为 .
13．（2021高一上·泾阳期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是 .
14．（2021高三上·临沂期中）函数在上存在零点，则m的取值范围是 .
三、解答题
15．（2020高一上·咸阳期末）已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）证明：函数 是偶函数；
（Ⅱ）求函数 的零点.
16．（2021高一上·丰台期中）已知二次函数 ， .
（1）若函数 只有一个零点，求 的值；
（2）解关于 的不等式
17．（2020高一上·荆州期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，函数 在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）讨论关于x的方程 的根的个数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设，，则.
在区间上，单调递增，单调递减，则单调递增，
由于，，∴有唯一零点且零点在区间内；
在区间(0，2]上，，，故在区间函数与的图象没有交点，从而函数没有零点，
综上可知，A符合题意，BCD不符合题意，
故答案为：A.
【分析】设，，分析可得在区间上单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在区间(0，2]上，函数的单调性不确定，分别考察与的取值范围可知，和，从而可知函数没有零点。
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由为减函数，而也为减函数，
所以为减函数，
由，
所以零点在区间上。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合减函数的定义和构造法，进而判断出函数f(x)为减函数，再利用零点存在性定理，进而找出函数的零点所在的区间 。
3．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设 ，则 ， ， ，所以 是方程 的实数根所在一个区间.又 在 上单调递增，故方程 有唯一零点.
故答案为：A.
【分析】根据题意构造函数，再对其求导并把数值代入到导函数的解析式，由此计算出，然后由零点存在性定理即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】定义在 上的函数 的图象是连续不断的，由图知满足 ，
根据零点存在定理可知 在 一点存在零点.
故答案为：C.
【分析】 依题意，利用零点存在性定理，由图表即可知f(2)f(3) <0，从而知函数f(x)一定存在零点的区间.
5．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知，即，解得，
所以实数的取值范围是。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结婚后零点存在性定理，进而结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】，故在区间上恒成立
在上单调递增.又函数在区间上存在零点，故，即，解得
故答案为：C
【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得，求解可得答案.
7．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】如图所示：
指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数零点存在性定理，进而得出实数a的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数在R上有4个不同的零点，可知有4个不同的根，
即函数的图像与直线有4个不同的交点，
当时，， 函数图象如下：
数形结合可知，只要，即，就有2个不同的交点，
要使函数有4个不同的零点，需当时，有2个不同的交点，
即在上有两个不同的根，又，如图：
需，解得
故实数a的取值范围是
故答案为：D
【分析】由函数在R上有4个不同的零点，可得函数的图像与直线有4个不同的交点，结合函数的图像，数形结合，求解可得实数a的取值范围.
9．【答案】8
【知识点】指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【解答】由得，解得，即的零点为8.
故答案为：8
【分析】由指对互化公式，结合题意计算出结果即可。
10．【答案】1.3
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由题可得，，
所以函数零点所在区间
由题：0.1，所以其近似解为1.3。
故答案为：1.3。
【分析】利用二分法求方程的近似解的方法结合已知条件，再结合方程的根与函数零点的关系，从而得出方程的一个近似解。
11．【答案】
【知识点】二分法求方程近似解；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】令，
因为，，，所以下一个有根的区间是.
故答案为：
【分析】利用二分法，代入数值计算出结果，由此即可得出答案。
12．【答案】2
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
【分析】当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.
13．【答案】4
【知识点】偶函数；函数的零点
【解析】【解答】因为当时，，
故在上的零点为，
因为为偶函数，故在上的零点的个数为4。
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而结合转化的方法，进而求出分段函数的解析式，再利用函数零点的定义，从而求出分段函数f(x)的零点，进而求出分段函数f(x)的零点的个数。
14．【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为在上存在零点，
所以，即
解得，
故答案为：
【分析】由题意，利用零点判定定理可得，解不等式可得 m的取值范围 。
15．【答案】解：（Ⅰ）由 ，解得 ，
所以函数的定义域为 关于原点对称，
又∵ ，
∴ 是偶函数.
（Ⅱ） .
令 ，
∴ ，解得 （经检验符合题意）.
∴函数 的零点为 和 .
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 是偶函数。
（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。
16．【答案】（1）函数 有一个零点，则 ，
即 ， ，
所以 .
（2）不等式 ，所以 ，
①当 时，不等式的解集为 ，
②当 时，不等式的解集为 ，
③当 时，不等式的解集为 .
综上所述 ：
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】 (1)根据题意得到 ，再解方程即可；
(2)根据题意得到 ，再分类讨论解不等式即可.
17．【答案】（1）解：由图可知 ，解得 ．
设 ，则 ，
∵函数 是定义在 上的偶函数，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）解：作出函数 的图象如图所示：
．
由图可知，当 时，关于x的方程 的根的个数为0；
当 或 时，关于x的方程 的根的个数为2；
当 时，关于x的方程 的根的个数为4；
当 时，关于x的方程 的根的个数为3．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；偶函数；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，再结合转化的方法，进而求出当 时的函数解析式，从而求出分段函数f(x)的解析式。
（2）利用（1）求出的分段函数的解析式画出分段函数的图象，从而求出函数的最小值，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图象和y=a的图像的交点的横坐标与关于x的方程 的根的等价关系，进而讨论出关于x的方程 的根的个数。
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