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高中数学人教A版（2019）必修一 5.1 任意角和弧度制
一、单选题
1．（2022高一下·景德镇期中）下列各角中，与60 角终边相同的角是（ ）
A．-300 B．-60 C．150 D．240
【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】根据终边相同角的表示，可得与60 角终边相同的角为，
当时，可得，即-300 角与60 角终边相同.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合终边相同的角求解方法，进而得出与60 角终边相同的角。
2．（2022高一下·新余期末）410°角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】，故为第一象限角。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合象限角判断方法，进而找出410°角的终边落在的象限。
3．（2022高一下·宿州期中）将210°化成弧度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而将210°对应的弧度数。
4．（2022高一下·上饶期末）时针经过四个小时，转过了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为，
则时针经过四个小时，转过了。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而得出时针经过四个小时，转过了的弧度数。
5．（2022高一下·南阳期中）“是第一象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；象限角、轴线角
【解析】【解答】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，
若，则一定是第一象限角，必要性成立，
所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合角的概念，即可求出答案。
6．（2022高一下·房山月考）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由弧长公式，圆心角所对的弧长为.
故答案为：A
【分析】根据弧长公式计算即可.
7．（2022·苏州模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ）
A．3π B．2π C．π D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由扇形面积公式可得
这个扇形的面积为
故答案为：A
【分析】根据扇形面积公式即可求解
8．（2022高一下·岑溪期中）一扇形的周长为20，半径为5，则该扇形的面积为（ ）
A．30 B．25 C．45 D．50
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为扇形的周长为20，半径为5，所以扇形的弧长为10，
故该扇形的面积为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式得出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式得出扇形的面积。
9．（2022高一下·赣州期末）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，所以，
解得或，
所以圆心角的弧度数是或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式和面积公式，进而解方程组求出扇形的弧长和半径长，再利用圆心角的弧度数公式，进而得出该扇形的圆心角的弧度数。
10．（2022高一下·南阳月考）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故答案为：D
【分析】 由已知结合扇形的面积公式及二次函数的性质，可求出扇形面积取得最大值时的，然后结合扇形弧长公式可求圆心角大小.
11．（2022高一上·白山期末）已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.
故答案为：C.
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解.
12．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
二、填空题
13．（2022高一下·巴中期末）半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为 cm．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为
弧长为．
故答案为：．
【分析】先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式进行求解即可．
14．（2022高一下·鄠邑期中）如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如下图所示，作，已知，，则，，
设扇形的半径为，则，
因此，该扇形的面积为。
故答案为：。
【分析】 作，利用，，进而得出，的值，再利用正弦函数的定义得出扇形的半径长，再结合扇形的面积公式得出该扇形的面积。
15．（2021高一上·邯郸期末）已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形面积为，圆心角所对的弧长为，
则，
∴，
∴圆心角的弧度数为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式，得出扇形的弧长，再结合圆心角的弧度数公式，进而求出圆心角的弧度数。
16．（2022高一上·河池期末）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为 ，此时扇形的圆心角的弧度数为 ．
【答案】4；2
【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，．
故答案为：4；2
【分析】由，，并结合基本不等式，可求得扇形面积的最大值，再由，得解．
17．（2022高一下·赣州期中）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式和作差法，进而得出此扇面（扇环ABCD）部分的面积。
三、解答题
18．（2022高一下·岑溪期中）已知扇形的周长为30．
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长 及面积 ；
（2）求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径 .
【答案】（1）解：由题知扇形的半径 ，扇形的周长为30，
∴ ，
∴ ， ， .
（2）解：设扇形的圆心角 ，弧长 ，半径为 ，则 ，
∴ ，
∴
当且仅当 ，即 取等号，
所以该扇形面积 的最大值为 ，此时扇形的半径为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合扇形的弧长公式得出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式得出扇形的面积。
（2）利用已知条件结合扇形的周长公式得出 ， 再利用扇形的面积公式结合均值不等式求最值的方法得出该扇形面积 的最大值，并求出此时扇形的半径。
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高中数学人教A版（2019）必修一 5.1 任意角和弧度制
一、单选题
1．（2022高一下·景德镇期中）下列各角中，与60 角终边相同的角是（ ）
A．-300 B．-60 C．150 D．240
2．（2022高一下·新余期末）410°角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高一下·宿州期中）将210°化成弧度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一下·上饶期末）时针经过四个小时，转过了（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一下·南阳期中）“是第一象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高一下·房山月考）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·苏州模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（ ）
A．3π B．2π C．π D．
8．（2022高一下·岑溪期中）一扇形的周长为20，半径为5，则该扇形的面积为（ ）
A．30 B．25 C．45 D．50
9．（2022高一下·赣州期末）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
10．（2022高一下·南阳月考）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（2022高一上·白山期末）已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高一下·巴中期末）半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为 cm．
14．（2022高一下·鄠邑期中）如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 .
15．（2021高一上·邯郸期末）已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为 .
16．（2022高一上·河池期末）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为 ，此时扇形的圆心角的弧度数为 ．
17．（2022高一下·赣州期中）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是 ．
三、解答题
18．（2022高一下·岑溪期中）已知扇形的周长为30．
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长 及面积 ；
（2）求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】根据终边相同角的表示，可得与60 角终边相同的角为，
当时，可得，即-300 角与60 角终边相同.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合终边相同的角求解方法，进而得出与60 角终边相同的角。
2．【答案】A
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】，故为第一象限角。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合象限角判断方法，进而找出410°角的终边落在的象限。
3．【答案】D
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而将210°对应的弧度数。
4．【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为，
则时针经过四个小时，转过了。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而得出时针经过四个小时，转过了的弧度数。
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；象限角、轴线角
【解析】【解答】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，
若，则一定是第一象限角，必要性成立，
所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合角的概念，即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由弧长公式，圆心角所对的弧长为.
故答案为：A
【分析】根据弧长公式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由扇形面积公式可得
这个扇形的面积为
故答案为：A
【分析】根据扇形面积公式即可求解
8．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为扇形的周长为20，半径为5，所以扇形的弧长为10，
故该扇形的面积为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式得出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式得出扇形的面积。
9．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，所以，
解得或，
所以圆心角的弧度数是或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式和面积公式，进而解方程组求出扇形的弧长和半径长，再利用圆心角的弧度数公式，进而得出该扇形的圆心角的弧度数。
10．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故答案为：D
【分析】 由已知结合扇形的面积公式及二次函数的性质，可求出扇形面积取得最大值时的，然后结合扇形弧长公式可求圆心角大小.
11．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.
故答案为：C.
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解.
12．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为
弧长为．
故答案为：．
【分析】先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式进行求解即可．
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】如下图所示，作，已知，，则，，
设扇形的半径为，则，
因此，该扇形的面积为。
故答案为：。
【分析】 作，利用，，进而得出，的值，再利用正弦函数的定义得出扇形的半径长，再结合扇形的面积公式得出该扇形的面积。
15．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形面积为，圆心角所对的弧长为，
则，
∴，
∴圆心角的弧度数为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式，得出扇形的弧长，再结合圆心角的弧度数公式，进而求出圆心角的弧度数。
16．【答案】4；2
【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，．
故答案为：4；2
【分析】由，，并结合基本不等式，可求得扇形面积的最大值，再由，得解．
17．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式和作差法，进而得出此扇面（扇环ABCD）部分的面积。
18．【答案】（1）解：由题知扇形的半径 ，扇形的周长为30，
∴ ，
∴ ， ， .
（2）解：设扇形的圆心角 ，弧长 ，半径为 ，则 ，
∴ ，
∴
当且仅当 ，即 取等号，
所以该扇形面积 的最大值为 ，此时扇形的半径为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合扇形的弧长公式得出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式得出扇形的面积。
（2）利用已知条件结合扇形的周长公式得出 ， 再利用扇形的面积公式结合均值不等式求最值的方法得出该扇形面积 的最大值，并求出此时扇形的半径。
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