1.5 全称量词与存在量词- 学案【帮课堂】2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.5 全称量词与存在量词
【考点梳理】
一、全称量词与全称量词命题
1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），
符号表示为：对．
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
二、存在量词与存在量词命题
1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，
称为全存在量词，用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．
存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对．
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，
但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题
三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1、判断全称量词命题真假：
若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2、判断存在量词命题真假：
只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，
则这个命题为真，否则为假。
四、命题的否定
1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
3、存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
4、命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
5、常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
【题型归纳】
题型一 全称量词命题与存在量词命题的真假
1．下列命题中是假命题是（　　）
A． x∈R，|x|+1＞0 B． x∈R，1＝2
C． x∈R，|x|＜1 D． x∈N*，
2．下列四个命题中的真命题为（　　）
A．， B．，
C． x∈R， D． x∈R，
3．下列结论中正确的是（　　）
A． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题
题型二 由全称量词命题的真假求参数
4．若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 由存在量词命题的真假求参数
7．若“ x∈[-1，m]（m＞-1），|x|-1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．（-1，1） B．（-1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]
8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若命题“ xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为__.
题型四 含有一个量词的命题的否定
10．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．命题的否定是__.
12．若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【双基达标】
五、单选题(共0分)
13．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（ ）
A．对，方程无实根 B．对，方程有实根
C．对，方程无实根 D．对，方程有实根
14．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知命题，，则的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知命题，则命题为（ ）
A． B．
C． D．
18．命题“，”的否定（ ）
A．， B．，
C．， D．，
19．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
20．下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．有些平行四边形是菱形 B．至少有一个整数，使得是质数
C．每个三角形的内角和都是180° D．，
21．已知命题：“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
22．下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被整除
C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是
23．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p的否定为（ ）
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
24．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
25．已知A为奇数集，B为偶数集，命题，则下列一定正确的选项为（ ）
A． B．
C． D．
26．下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）
A．是无理数 B．，使为偶数
C．对任意，都有 D．所有菱形的四条边都相等
27．命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
28．命题“，”的否定形式是　　
A．， B．，
C．， D．，
29．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．若命题“”是假命题，则实数a的范围是（ ）
A． B． C． D．
31．已知命题,，则
A．， B．，
C．， D．，
32．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
34．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
35．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
36．下列说法错误的是
A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则、均为假命题
D．命题：“，使得”，则非：“，”
六、多选题(共0分)
37．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形
C．， D．至少有一个整数，使得
38．下列命题是真命题的为（ ）
A．
B．
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数，使得
39．下列存在量词命题中真命题是（ ）
A．
B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C．是无理数，是无理数
D．
40．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有
A．
B．所有的正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数，使
七、填空题(共0分)
41．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
42．已知命题，是假命题，则实数的取值范围是________.(用区间表示)
43．命题“”的否定是______．
44．命题“，使得成立”为假命题，则的取值范围______．
45．若“，”为假命题，则实数的最小值为___________.
46．命题“”为真，则实数a的范围是__________
八、解答题(共0分)
47．写出下列命题的否定：
（1），；
（2）p：所有自然数的平方都是正数；
（3）p：任何实数x都是方程的根；
（4）p：有些分数不是有理数.
48．将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：
（1）所有实数的平方都是正数；
（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．
49．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假.
（1）不论m取何实数,关于x的方程必有实数根；
（2）某些梯形的对角线互相平分；
（3）函数图象恒过原点.
50．已知集合，，且．
(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。
51．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用绝对值的性质以及特值法进行排除.
【详解】
因为 x∈R，|x|≥0，所以 x∈R，|x|+1＞0恒成立，真命题；
取x＝1，满足，真命题；
取x＝0.1，满足|x|＜1，真命题；
取x＝1N*，不满足，假命题．
故选：D．
2．D
【解析】
【分析】
根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．
【详解】
若1＜＜3，得，则，故A错误，
由得，则，故B错误，
由得，故C错误，
恒成立，故D正确，
故选：D．
3．C
【解析】
【分析】
使用特值法可以解决，举例说明n＝1时2n2+5n+2不能被2整除，n＝2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．
【详解】
当n＝1时，2n2+5n+2不能被2整除，
当n＝2时，2n2+5n+2能被2整除，
所以A、B、D错误，C项正确．
故选：C．
4．B
【解析】
【分析】
利用参数分离法得到，，再求出在上的最值即可．
【详解】
为真命题，
∴，，
∵在区间上单调递增，
，即，
∴实数的取值范围为．
故选B
5．B
【解析】
【分析】
结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【详解】
依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
讨论、，根据二次不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】
当时显然恒成立，
当时要使命题为真，则：
可得；而时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是.
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
利用绝对值不等式的解法以及含有一个量词命题的否定的意义.
【详解】
由|x|-1＞0，有：|x|＞1，解得x＞1或x＜-1．
∵ x∈[-1，m]（m＞-1），|x|-1＞0， ∴m＞1．
又∵“ x∈[-1，m]（m＞-1），|x|-1＞0”是假命题，
∴-1＜m≤1．故A，C，D错误.
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
9．（﹣5，3）
【解析】
【分析】
由题意可得：命题“ xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，由<0求解即可.
【详解】
解：命题“ xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，
即命题“ xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，
则判别式＝（a+1）2﹣4×4＜0，
即＝（a+1）2＜16，
则﹣4＜a+1＜4，
即﹣5＜a＜3.
故答案为：（﹣5，3）.
10．B
【解析】
【分析】
全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
11．
【解析】
【分析】
题目给出了存在性命题，其否定应为全称命题．
【详解】
命题的否定是：
故答案为：．
12．B
【解析】
【分析】
写出命题的否定，则，从而可得出答案.
【详解】
:解：命题“”的否定为“”为真命题，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：B.
13．A
【解析】
【分析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
对，方程无实根
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
故选：C
15．D
【解析】
【分析】
由全称命题的否定可直接写得结论.
【详解】
先变量词，将“”改为“”，再改结论，将“”改为“”，
则的否定为：，.
故选：D.
16．B
【解析】
【分析】
由特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】
命题，则的否定为：.
故选：B
【点睛】
全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
17．C
【解析】
【分析】
给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解.
【详解】
因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，
命题：.
故选：C
18．C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】
根据特称命题的否定为全称命题，
则“，”的否定为，.
故选：C.
19．A
【解析】
【分析】
直接用特称（存在）量词写出命题的否定即可.
【详解】
因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A
20．C
【解析】
【分析】
根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案.
【详解】
根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题．
故选：C.
21．B
【解析】
由“”为假命题得到“方程无实根”，即可求解.
【详解】
解：“”为假命题等价于“方程无实根”，
即，
解得：.
故选：B.
22．D
【解析】
直接根据全称命题的概念即可得结果.
【详解】
因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，即ABC不合题意；
“每个”是全称量词，即D符合题意.
故选：D
23．C
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，把所有改为存在，把结论否定
【详解】
p的否定为“有的正方形不是平行四边形”.
故选：C.
24．A
【解析】
【分析】
根据充分和必要条件的定义即可求解.
【详解】
由，可得出，
由，得不出，
所以是的充分而不必要条件，
故选：A.
25．D
【解析】
【分析】
利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.
【详解】
命题，，
则，.
故选：D
26．D
【解析】
利用全称命题的定义及命题的真假即可判断结论，
【详解】
解：对于A，是特称命题；
对于B，是特称命题，是假命题；
对于C，是全称命题，而，所以是假命题；
对于D，是全称命题，是真命题，
故选：D
27．A
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定形式直接求解.
【详解】
特称命题的否定是全称命题，
即命题“”的否定是“”.
故选：A
28．D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【详解】
解：命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，
则否定是：，，
故选：．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
29．A
【解析】
由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解.
【详解】
为假命题，
，为真命题，
故恒成立，
在的最小值为，
∴.
故选：A.
30．A
【解析】
根据命题的否定为真命题可求.
【详解】
若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
当时，，所以.
故选：A.
31．A
【解析】
【分析】
根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
32．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，，所以，解得
故选：A
33．C
【解析】
【分析】
求得命题为真命题时的取值范围，由此求得命题为假命题时的取值范围.
【详解】
先求当命题：，为真命题时的的取值范围
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，
∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.
34．B
【解析】
【分析】
可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/
【详解】
选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，，，故该选项正确；
选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
35．C
【解析】
【分析】
根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】
对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
36．C
【解析】
【分析】
由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；
由“”的充要条件为“”,可得B正确；
由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.
【详解】
解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,
可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；
对于选项B, “”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；
对于选项C, 为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；
对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,
故选.
【点睛】
本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.
37．CD
【解析】
【分析】
判断各选项中命题的类型，并判断出各命题的真假，可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，该命题为真命题，A不满足要求；
对于B选项，命题“有些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B不满足要求；
对于C选项，命题“，”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，C满足要求；
对于D选项，命题“至少有一个整数，使得”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，D满足要求.
故选：CD.
38．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析各选项即可得答案.
【详解】
对于A，，所以，故A选项是真命题；
对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题.
对于D，因为，所以.故D选项是假命题.
故选：ABC.
39．ABC
【解析】
【分析】
结合例子，逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，，使得，故A为真命题.
对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；
对于C，若，则是无理数，是无理数，故C为真命题.
对于D，，∴为假命题.
故选：ABC.
40．AC
【解析】
【分析】
通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析.
【详解】
由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD；
又因为，，所以AC均为假命题，
故选AC.
【点睛】
（1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论；
（2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题.
41．
【解析】
【分析】
根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.
故答案为：
42．
【解析】
先得到命题，是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为命题，是假命题，
所以命题，是真命题，
即不等式对任意恒成立，
所以只需，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
43．，
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，
则该命题的否定是：，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
44．
【解析】
【分析】
将问题转化为“，使得成立”为真命题，再根据二次函数的图象与性质讨论二次项系数得到结果．
【详解】
命题“，使得成立”为假命题，
则其否定“，使得成立”为真命题．
①当时，恒成立，即满足题意；
②当时，由题意有解得．
综合①②得实数的取值范围是．
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.
【详解】
因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.
故答案为：.
46．
【解析】
【分析】
将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】
由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
47．（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.
【解析】
直接根据全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，写出答案.
【详解】
（1），；
（2）有些自然数的平方不是正数；
（3）存在实数x不是方程的根；
（4）一切分数都是有理数.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，注意在对命题进行否定时，任意要改成存在，存在要改成任意，属于基础题.
48．（1），假命题；（2），真命题
【解析】
(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.
(2) 易得该命题为全称命题,再直接判定即可.
【详解】
(1)命题为：.
易得当时,故原命题为假命题.
(2)命题为：,易得为真命题.
【点睛】
本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.
49．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
根据全称量词命题、存在量词命题的定义，再判断否定命题的真假即可.
【详解】
（1）即“所有，关于x的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得关于的方程没有实数解”，真命题；
（2）是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；
（3）即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k，使函数图象不过原点”，是假命题.
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）命题可转化为，又，列出不等式控制范围，即得解；
（2）命题可转化为，先求解，且时，实数的范围，再求解对应范围的补集，即得解
(1)
因为命题：“，”是真命题，所以，又，
所以，解得
(2)
因为，所以，得．
又命题：“，”是真命题，所以，
若，且时，则或，且
即
故若，且时，有
故实数的取值范围为
51．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】
解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
试卷第1页，共3页