博师联盟2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题1（Word版含解析）

2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（　　）
A．{2，3} B．{1，2，3，5} C．{1，2，5} D．{1，5}
2．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知a，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．若函数的定义域与值域相同，则
A．-1 B．1 C．0 D．
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使成立
B．对任意的x都有成立
C．对任意的x都有不成立
D．存在x使成立
E．矩形的对角线垂直平分
10．下列叙述中不正确的是
A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若,则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若,则“对恒成立”的充要条件是“”
11．已知是正实数，若，则（ ）
A．的最大值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
12．非空集合关于运算满足：（1）对任意，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”.则给出下列集合和运算，其中关于为“融洽集”的是（ ）
A．{偶数}，为整数的乘法 B．{平面向量}，为平面向量的加法
C．{非负整数}，为整数的加法 D．{虚数}，为复数的乘法
三、填空题
13．已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．
14．已知集合，，若，则实数的取值集合是_______.
15．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
16．已知，则的取值范围是________．
四、解答题
17．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．已知不等式．
(1)若不等式的解集是或，求的值；
(2)若不等式的解集是，求的取值范围．
19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？
20．集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
21．已知函数，，其中
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，求函数的单调区间；
（3）若不等式在时恒成立，求a的取值范围．
22．已知幂函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
依据并集的定义去求即可解决.
【详解】
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．
【详解】
四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，
D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，
B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：若，因为，所以，即充分性成立；
由推不出，如，，满足，
此时，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
分析给定函数的奇偶性和单调性，再逐项分析判断作答.
【详解】
函数是定义在R上的奇函数，是R上的增函数，
对于A，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A不是；
对于B，函数是定义在R上的奇函数，，当且仅当时取“=”，
则有在R上单调递增，B是；
对于C，函数是定义在R上的偶函数，C不是；
对于D，函数在定义域上不单调，D不是.
故选：B
5．C
【解析】
利用不等式性质逐一判断即可.
【详解】
选项A中，若，，则，若，，则，故错误；
选项B中，取 ，满足，但，故错误；
选项C中，若，则两边平方即得，故正确；
选项D中，取，满足，但，故错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.
6．D
【解析】
【分析】
由题意转化为只需求出在上的最小值即可.
【详解】
作出的图象，如图，
结合函数图象可知：
当时，，
当时，.
所以函数，而时，，
所以，
综上，，
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
首先证明，可得中至少有一个大于2，然后举例判断即可.
【详解】
因为，等号成立条件，与已知条件矛盾，∴，
若都不大于2，则与矛盾，中至少有一个大于2．
另一方面，若时，，只有一个大于2，满足，所以成立，故在三个值中，大于2的个数最小值为1．
故选：A．
8．B
【解析】
【详解】
∵ 函数
∴函数的定义域为
∵函数的定义域与值域相同
∴函数的值域为
∵函数在上是单调增函数
∴当时，，即
故选B
9．BCE
【解析】
【分析】
根据存在量词与全称量词命题的定义判断．
【详解】
A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；
B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；
E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.
故选：BCE
10．BD
【解析】
【分析】
对A,B,C,D四个选项,根据相关知识逐个判断是否正确即可.
【详解】
对A,令,方程有一个正根和一个负根,则,则有,∴“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,正确；
对B,当时,若“”成立,而,充分性不成立,错误；
对C,,或，∴“”是“”的充分不必要条件,正确；
对D,对恒成立可以推出且,但是,没有这个条件时,不可以推出,错误．
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查充要条件,充分不必要条件,必要不充分条件的判断,涉及一元二次方程的根的分布,不等式的性质,以及一元二次不等式恒成立等价条件的应用,属于基础题.
11．AB
【解析】
【分析】
利用均值不等式，注意“一正”、“二定”、“三等”即可.
【详解】
正实数，满足，
由基本不等式得，，
当且仅当且，即，时取等号，
解得，，正确；
，
当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确；
∵，∴
，
当时，的最小值为，错误；
当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.
故选：AB
12．BC
【解析】
【分析】
对新定义“融洽集”需要满足的两个条件进行验证，只有都满足时才是G关于运算为“融洽集”，依次判断故选项.
【详解】
对于A，{偶数}，为整数的乘法，若存在，则，故A不符合要求；
对于B，{平面向量}，为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量，且存在，都有，故B符合要求；
对于C，{非负整数}，为整数的加法，满足对任意，，都有，且存在，有，故C符合要求；
对于D，{虚数}，为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如：，故D不符合要求；
故选：BC．
13．．
【解析】
【详解】
试题分析：∵，，∴，
又∵，，∴问题等价于不等式组有解，∴，
即的取值范围是．
考点：不等式的性质的综合运用．
【方法点睛】使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“的符号”等也需要注意．
14．
【解析】
根据题意，分和两种情况讨论即可得答案.
【详解】
解：因为，所以当时，满足，此时；
当时，，由得或，故或.
故实数的取值集合是.
故答案为：
【点睛】
易错点点睛：本题考查集合与集合的关系求参数问题，解题过程中，容易忽略讨论情况，故在解题时，先判断是否为空集，分类讨论解决，是基础题.
15．9．
【解析】
【详解】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
16．
【解析】
【分析】
由得到，根据，得到 ，，构造函数，利用其性质得，即．同理，代入原式化简即可.
【详解】
因为，当且仅当时等号成立．
因为，
所以
所以
所以 ，
令，y在的图象如图所示：
所以，
所以，即．
同理，
故，
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式、不等式的性质以及双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式得集合，然后由交集定义计算；
（2）求出，由充分必要条件得集合的包含关系，从而可得参数范围．
【详解】
（1）时，，或，
所以或；
（2）由（1）,
“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又，所以，解得．
所以的范围是．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）分析可知在恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：由题意可知关于的二次方程的两根分别为、，
所以，，解得．
(2)
解：若不等式的解集为，即恒成立，则满足
解得．
19．（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.
【解析】
【分析】
（1）化简得，再利用基本不等式求解；
（2）解不等式即得解.
【详解】
（1）依题得.
当且仅当，即时，上时等号成立，
（千辆/时）.
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得，因为，
所以整理得，即，解得.
如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别求出集合A、B，然后根据并集的运算即可得出答案；
（2）由，得，分时，时，两种情况分别求出m的范围，然后取并集即可.
(1)
∵
当时，
所以，.
(2)
因为
所以
当时，则，
所以，
当时，
则有，所以，
所以，实数的取值范围为.
21．（1）见解析；（2）单调增区间为，无单调减区间.；（3）或..
【解析】
（1）分和时，利用奇偶性定义判断即可；
（2）由可判断；
（3）等价于在在时恒成立，然后分情况讨论即可.
【详解】
当时，，所以为偶函数；
当时，，而，所以为非奇非偶函数.
因为，
在上单调递增，在上单调递增，在处不间断，
故的单调增区间为，无单调减区间.
等价于在在时恒成立，
故在上恒成立，
先考虑在上恒成立，即在上恒成立.
令，则为上的增函数，
故.
令，由双勾函数的性质可知：在上为减函数，
故.
故.
再考虑在上恒成立.
因为在上恒成立，故在上恒成立等价于：
在上恒成立或在上恒成立.
令，，由双勾函数的性质可知在上为减函数，
故.
令，，则在上为增函数，
故.
故在上恒成立时或.
综上，或.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值，将函数写成分段函数，利用分类讨论的思想可得最值.
22．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据函数是幂函数可得，再根据函数为奇函数确定；
（2）令，根据二次函数的性质可求.
(1)
因为是幂函数，所以，解得或2，
当时，是偶函数，不符合题意，
当时，为奇函数，符合题意，
所以；
(2)
，，
令，则，可得，
则，
则时，，当时，，
所以的值域为,
答案第1页，共2页
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