博师联盟2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题2（Word版含解析）

2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列四个关于函数的命题：
①（）与（）表示相同函数；
②是既非奇函数也非偶函数；
③若与在区间上均为递增函数，则在区间上亦为递增函数；
④设集合，，对应关系，则能构成一个函数，记作，.
其中，真命题为（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
3．已知随机变量服从二项分布且，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果，那么下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
6．用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知下列命题其中正确的有（ ）
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数x，使得”是含有存在量词的真命题
D．“能被9整除的正整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．已知，，，下列命题中真命题有（ ）
A． B．
C． D．
12．设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ）
A．集合为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集
三、填空题
13．已知，则的取值范围是_____．
14．设集合，，若，则的取值范围为________．
15．已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是______．
16．已知，则的取值范围是________．
四、解答题
17．已知集合或，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知不等式的解集是.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集.
19．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(且)，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
20．已知全集为，集合，．
(1)求，；
(2)若，且，求实数的取值范围．
21．已知二次函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设实数．若存在实数，使，恒成立，求的取值范围．
22．已知幂函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
先解出集合，再计算即可.
【详解】
，故.
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
直接利用函数的定义和函数的性质的应用，函数的单调性的应用判断①②③④的结论．
【详解】
解：对于①，f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故函数的值域一定相同，故①正确；对于②，函数f（x）＝（﹣2≤x≤2且x≠0）则是奇函数，故②错误；
对于③，若f（x）与g（x）在区间G上均为递增函数，则f（x）+g（x）在区间G上亦为递增函数，但是f（x） g（x）在区间G不一定为递增函数，例:在上为增函数,在上为增函数,但f（x） g（x）在上无单调性,故③错误；
对于④，设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A，符合函数的定义，故④正确．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
根据二项分布的期望与方程的公式，列出方程求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由二项分布期望，可得，解得，
又由二项分布的方差，可得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
4．B
【解析】
【分析】
分析给定函数的奇偶性和单调性，再逐项分析判断作答.
【详解】
函数是定义在R上的奇函数，是R上的增函数，
对于A，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A不是；
对于B，函数是定义在R上的奇函数，，当且仅当时取“=”，
则有在R上单调递增，B是；
对于C，函数是定义在R上的偶函数，C不是；
对于D，函数在定义域上不单调，D不是.
故选：B
5．B
【解析】
根据不等式的性质逐个判断即可.
【详解】
解：对A，，两边同乘以，
，故A错误；
对B，，两边同乘以，
，故B错误；
对C，，两边同乘以，
，故C错误；
对D，，两边同乘以，
，故D错误；
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
将本题转化为求分段函数的最大值的问题，根据函数的单调性，即可求出其最大值.
【详解】
由题意，函数，
因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.
所以，当时，函数取最大值，最大值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数的单调性和最值问题，考查了转化和分类的数学思想.
7．A
【解析】
【分析】
首先证明，可得中至少有一个大于2，然后举例判断即可.
【详解】
因为，等号成立条件，与已知条件矛盾，∴，
若都不大于2，则与矛盾，中至少有一个大于2．
另一方面，若时，，只有一个大于2，满足，所以成立，故在三个值中，大于2的个数最小值为1．
故选：A．
8．C
【解析】
由题意可知函数的值域包含，分与两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数的值域是，
则函数的值域包含.
当时，，此时函数的值域为，合乎题意；
当时，，要使得二次函数的值域包含.
则，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．BCD
【解析】
【分析】
根据命题的否定的定义，全称命题、特称命题的定义判断各选项，同时BC还需判断其真假．
【详解】
全称命题的否定是特称命题，“实数都大于0”的否定是“实数至少有一个小于或等于0”，A错；
三角形外角和为360度，是说所有的三角形的外角和都是360度，是真命题，B正确；
“至少存在一个实数x，使得”是含有存在量词“存在”的命题，且当时，成立，C正确；
“能被9整除的正整数，其各位数字之和也能被3整除”，是指所有能被9带除的整数都有这个性质，含有全称量词，D正确．
故选：BCD．
10．BD
【解析】
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A，若，则或，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；
综上，正确的判断为选项B和D．
故选：BD．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11．ABCD
【解析】
【分析】
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
，，，则，
A，，当且仅当时取等号，故A正确；
B，，
当且仅当时取等号，故B正确；
C，由选项C，可得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
D，
，
由，，
所以，
当且仅当取等号，故D正确.
故选：ABCD

12．AB
【解析】
根据集合定义依次判断AB正确，取满足条件为封闭集，排除C，取，，排除D，得到答案.
【详解】
设，，均为整数，
则，，
，故集合为封闭集，A正确；
S为封闭集，取，则，B正确；
取满足条件为封闭集，C错误；
取，，满足，，故不是封闭集，D错误.
故选：AB.
【点睛】
本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键.
13．
【解析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
14．.
【解析】
【分析】
先化简集合A,再根据得到关于a的不等式求出a的取值范围.
【详解】
由得，∴，由得，∴．
又当时，满足，时，也满足，∴.
故答案为
【点睛】
(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
15．
【解析】
【分析】
由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得，得函数解析式.
【详解】
解：为，其解集为，则
，，又函数的对称轴是，则，
两者结合解得，
所以.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
由得到，根据，得到 ，，构造函数，利用其性质得，即．同理，代入原式化简即可.
【详解】
因为，当且仅当时等号成立．
因为，
所以
所以
所以 ，
令，y在的图象如图所示：
所以，
所以，即．
同理，
故，
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式、不等式的性质以及双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由交集的定义求解即可；
（2）由题意可知，结合数轴即可求解
【详解】
（1）当时，
∴或，
（2）∵，
∴，
，
∴或，
解得或
所以时，实数的取值范围或
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可得出，由此可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得的值，进而可求得不等式的解集.
【详解】
（1），则，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2），和是方程的两个根，
由韦达定理得，解得，
所以，不等式即为，即，解得.
因此，不等式的解集为.
19．（1）最多75人；（2）存在，.
【解析】
（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
【详解】
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，()
解得，
，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得.
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.
【点睛】
本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.
20．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果；
（2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果.
(1)
，
，
或，
.
(2)
因为，所以，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
21．(1)增区间为：，
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出函数图像，利用图像求解即可；
（2）令，进而根据题意将问题转化为，再结合二次函数性质得只需满足，进而进一步转化为，使，再分类讨论即可求解.
(1)
解：作出函数的图像，
再将轴下方的函数图像翻到轴上方得函数图像，如图
所以函数的单调递增区间为，
(2)
记，
因为存在实数，使，恒成立，
所以恒成立，故只需，
因为的图像是开口向上的抛物线，
所以在或中取到，故只需，即，
记关于的二次函数，
原题目可转化为：，使，因此只需，
显然，函数的对称轴，分两种情况讨论如下：
当，即时，，此时；
当，即时，，．
综上所述，所求实数的取值范围为：．
22．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据函数是幂函数可得，再根据函数为奇函数确定；
（2）令，根据二次函数的性质可求.
(1)
因为是幂函数，所以，解得或2，
当时，是偶函数，不符合题意，
当时，为奇函数，符合题意，
所以；
(2)
，，
令，则，可得，
则，
则时，，当时，，
所以的值域为,
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页