博师联盟2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题3（Word版含解析）

2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|12．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．若非零实数，满足，则下列命题成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是
A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m
8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知下列命题其中正确的有（ ）
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数x，使得”是含有存在量词的真命题
D．“能被9整除的正整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
10．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，下列命题中真命题有（ ）
A． B．
C． D．
12．若非空集合G和G上的二元运算“满足：①，，；②，对，；③，使，，有；④，b，，，则称构成一个群下列选项对应的构成一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合G为整数集，“”为整数的加法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
三、填空题
13．设，，，，求的取值范围是______．
14．设集合，，且，则实数的取值范围是______．
15．已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是______．
16．已知，若存在实数，使得成立，则的取值范围是________.
四、解答题
17．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的值：
（3）若不等式的解集是，求的取值范围；
（4）若不等式的解集是，求的取值范围.
19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？
20．（1）若集合有且只有一个元素，求的值：
（2）在（1）的条件下，解关于不等式．
21．已知函数．
(1)直接写出在上的单调区间（无需证明）；
(2)求在上的最大值：
(3)设函数的定义城为I，若存在区间，满足：，，使得，则称区间A为的“区间”．已知，若是函数的“区间”，求实数b的最大值．
22．设，已知函数，．
（1）当，时，求的值域；
（2）当时，证明：；
（3）设，，若实数满足，证明：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．
【详解】
四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，
D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，
B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．
故选：B．
3．A
【解析】
结合，和充分，必要条件的概念求解即可.
【详解】
解：当，由于，，故充分性成立；
当，不妨设，成立，不成立，故必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
根据被开方数是非负数，以及分母不为零，列出不等式求得结果即可.
【详解】
由可得，又因为分母，
所以原函数的定义域为．
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
取特殊值可判断AD，由不等式的性质可判断BC.
【详解】
对A，若，则，故A错误；
对B，若，则，则，即，故B错误；
对C，，，，则，故C正确；
对D，若，则，故D错误.
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
时，利用单调性定义确定函数的单调性得上的最大值，时，利用二次函数性质得上的最大值，两者比较可得结论．
【详解】
（1）当时，，任取，
则，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减；
所以；
（2）当时，单调递减，所以；
而，所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查求函数的最大值，解题关键确定函数的单调性，解题时要注意分段函数分段求最大值，然后再比较．
7．C
【解析】
【分析】
先设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则xy＝2，此时三角形框架的周长为x+y+，则根据基本不等式，可以求出周长的最小值．
【详解】
解：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）
则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+＝x+y+
∵x+y≥2 ＝4
∴C＝x+y+≥4+2≈6.83
故用7米的铁丝最合适．
故选C．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查由实际问题建立数学模型，考查了学生的转化能力和数学建模能力，属于中档题.
8．C
【解析】
由题意可知函数的值域包含，分与两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数的值域是，
则函数的值域包含.
当时，，此时函数的值域为，合乎题意；
当时，，要使得二次函数的值域包含.
则，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．BCD
【解析】
【分析】
根据命题的否定的定义，全称命题、特称命题的定义判断各选项，同时BC还需判断其真假．
【详解】
全称命题的否定是特称命题，“实数都大于0”的否定是“实数至少有一个小于或等于0”，A错；
三角形外角和为360度，是说所有的三角形的外角和都是360度，是真命题，B正确；
“至少存在一个实数x，使得”是含有存在量词“存在”的命题，且当时，成立，C正确；
“能被9整除的正整数，其各位数字之和也能被3整除”，是指所有能被9带除的整数都有这个性质，含有全称量词，D正确．
故选：BCD．
10．AB
【解析】
根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【详解】
为假命题,
为真命题，
可得，
又为真命题，
可得，
所以，
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.
11．ABCD
【解析】
【分析】
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
，，，则，
A，，当且仅当时取等号，故A正确；
B，，
当且仅当时取等号，故B正确；
C，由选项C，可得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
D，
，
由，，
所以，
当且仅当取等号，故D正确.
故选：ABCD

12．BC
【解析】
【分析】
分别分析题中的四个条件的含义，然后对四个选项中进行逐一判断即可．
【详解】
解：由题意可知，条件①表述了“ ”的封闭性，
条件②表述了“ ”对于有单位元，
条件③表述了“ ”对于有逆元，
条件④表述了“ ”的结合律，
对于，自然数集中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满足条件③，故选项A错误；
对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故选项B正确；
对于C，整数集中的加法是封闭的，有单位元0，逆元0，满足结合律，故选项C正确；
对于D，集合中对于“求两整数之和被7除的余数”不是封闭的，如被除的余数为0，，故选项D错误．
故选：BC．
13．
【解析】
【分析】
把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．
【详解】
令，
则，解得.
∵，，
∴．
即，
所以的取值范围是
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由题意可得，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】
由，则，
所以 ，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得，得函数解析式.
【详解】
解：为，其解集为，则
，，又函数的对称轴是，则，
两者结合解得，
所以.
故答案为：.
16．
【解析】
不等式两边同除以b，先将题意转化为在上有解，即在上有解，设，，，即且，再求出函数对应最值即得结果.
【详解】
解：因为，故不等式两边同除以b，得，令，即不等式在上有解.
去绝对值即得，即 即在上有解，设，，，即且即可，
由在上，，，即，故；
由，利用基本不等式，当且仅当即时等号成立，故，即，故，
综上：t的取值范围是，即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：
（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；
（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
17．（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式得集合，然后由交集定义计算；
（2）求出，由充分必要条件得集合的包含关系，从而可得参数范围．
【详解】
（1）时，，或，
所以或；
（2）由（1）,
“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又，所以，解得．
所以的范围是．
18．（1），（2），（3），（4）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把根代入方程中从而可求出的值，
（2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，从而可求出的值，
（3）由题意可得且，从而可求出的取值范围，
（4）由题意可得且，从而可求出的取值范围，
【详解】
（1）因为不等式的解集是或，
所以方程的两个根分别为和，
所以，解得，
（2）因为不等式的解集是，
所以方程有两个相等的根为，且，
所以，且，
解得或（舍去），
（3）因为不等式的解集是，
所以且，
由，得，得或，
因为，所以，
所以的取值范围为，
（4）不等式的解集是，
所以且，
由，得，解得或，
因为，所以，
所以的取值范围为
19．（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.
【解析】
【分析】
（1）化简得，再利用基本不等式求解；
（2）解不等式即得解.
【详解】
（1）依题得.
当且仅当，即时，上时等号成立，
（千辆/时）.
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得，因为，
所以整理得，即，解得.
如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.
20．（1）或；（2）时，解集为；时，解集为．
【解析】
【分析】
（1）由方程解的分类讨论可得；
（2）化简不等式结合因式分解可得不等式的解集．
【详解】
（1）时，满足题意，
时，只有一个元素，则，．
（2）时，不等式为，，解集为；
时，不等式为，即，或，解集为．
21．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)若，最大值为；若，最大值为
(3)1
【解析】
【分析】
（1）由对勾函数的性质，结合基本不等式即可写出单调区间；
（2）讨论参数的范围，确定不同情况下的最大值；
（3）根据“区间”的定义，讨论、时对应值域是否是对应值域的子集，进而求对应实数的最大值.
(1)
由对勾函数的性质可知，
在区间上单调递减，
在区间上单调递增；
(2)
由题意知，，
①若，则在上单调递减，所以的最大值为；
②若，则在上单调递减，在上单调递增．
因为此时，所以的最大值为；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
因为此时，所以的最大值为
综上知：若，则的最大值为；
若，则的最大值为；
(3)
由（1）（2）知：
①当时，在上的值域为，
在上的值域为，
因为，所以，
满足，，使得，
所以此时是的“区间”．
②当时，在上的值域为，
在上的值域为，
因为当时，，
所以，使得，
即，，，
所以此时不是的“区间”，
所以实数b的最大值为1.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）依题意得到函数解析式，再利用基本不等式求出函数的最大值，即可求出函数的值域；
（2）利用作差法证明，作差化简，利用题中条件即可证明；
（3）利用换元法求出的最大值和最小值，根据，得出，分和两种情况进行分类讨论，即可证明．
【详解】
（1）解：由题意，当，时，
因为，当且仅当，即时取等号，所以，且当时，所以，
即；
（2）证明：因为，，
所以
，
所以．
（3）证明：设，则，
当，；
当时，，
所以，，
因为，
所以，
即，
①当时，，，
所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立．
综上可知，．
答案第1页，共2页
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