博师联盟2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题4（Word版含解析）

2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使成立
B．对任意的x都有成立
C．对任意的x都有不成立
D．存在x使成立
E．矩形的对角线垂直平分
10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．已知，，，下列命题中真命题有（ ）
A． B．
C． D．
12．设集合（其中，且），如果集合中的元素满足，就称集合M为“完美集”，则下列说法正确的是（ ）
A．若是“完美集”，则
B．（其中），则存在无穷多个是“完美集”
C．（其中），若是“完美集”，则
D．不存在为“完美集”，其中，且
三、填空题
13．已知，，则的取值范围_______.
14．已知集合，，若，则实数的取值集合是_______.
15．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
16．若对任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
18．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数，的值.
（2）当时，解关于的不等式.
19．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
20．已知集合，．
(1)求集合；
(2)求，．
21．已知二次函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设实数．若存在实数，使，恒成立，求的取值范围．
22．求下列两个函数的值域：
（1）；
（2）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据集合的并集的定义即可求解.
【详解】
.
故选： D.
2．C
【解析】
【分析】
根据相等函数的定义一一判断可得；
【详解】
解：对于A：定义域为，定义域也为，但是函数解析式不一致，故不是相等函数；
对于B：定义域为，函数定义域为，定义域不相同，故不是相等函数；
对于C：函数的定义域为，函数的定义域也为，且，即函数解析式一样，故是相等函数；
对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出与共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
向量，，则，解得或，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
分析给定函数的奇偶性和单调性，再逐项分析判断作答.
【详解】
函数是定义在R上的奇函数，是R上的增函数，
对于A，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A不是；
对于B，函数是定义在R上的奇函数，，当且仅当时取“=”，
则有在R上单调递增，B是；
对于C，函数是定义在R上的偶函数，C不是；
对于D，函数在定义域上不单调，D不是.
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取进行否定.
【详解】
对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，取时，有.故B不正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当，取时，有.故D不正确.
故选：C.
【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
6．D
【解析】
【分析】
令，即可得到的解析式，作出函数图象，结合函数图象求出的最小值的函数关系式，从而得到的取值范围，即可得到的最小值的取值范围；
【详解】
解：因为，
令，所以，
所以的图象如下所示：
因为，
所以时，，
当时，所以，当时，所以，因为，即，又在定义域上单调递增，所以，即
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
首先证明，可得中至少有一个大于2，然后举例判断即可.
【详解】
因为，等号成立条件，与已知条件矛盾，∴，
若都不大于2，则与矛盾，中至少有一个大于2．
另一方面，若时，，只有一个大于2，满足，所以成立，故在三个值中，大于2的个数最小值为1．
故选：A．
8．B
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】
根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
9．BCE
【解析】
【分析】
根据存在量词与全称量词命题的定义判断．
【详解】
A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；
B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；
E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.
故选：BCE
10．BD
【解析】
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A，若，则或，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；
综上，正确的判断为选项B和D．
故选：BD．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
11．ABCD
【解析】
【分析】
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
，，，则，
A，，当且仅当时取等号，故A正确；
B，，
当且仅当时取等号，故B正确；
C，由选项C，可得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
D，
，
由，，
所以，
当且仅当取等号，故D正确.
故选：ABCD

12．BCD
【解析】
【分析】
根据“完美集”定义，结合韦达定理和反证法，逐一判断选项即可.
【详解】
A：若是“完美集”，则，令，
则是一元二次方程的两个不等的根，
所以，解得或，故A错误；
B：若为“完美集”，则，，
当时，，有无数个组合，
同理当时，也有无数个组合.故B正确；
C：若为“完美集”，不妨设，
由，得，
当时，，当时，，又，
所以，此时，有，
解得，所以，有且只有一个.故C正确；
D：因为，
所以不全为负，不妨设，则，
则，所以，
所以不全为正，，所以，
所以不全为正，，
若，则，
不符合；
若，则，
不符合；
所以不存在为“完美集”，其中，且，
故D正确.
故选：BCD
13．[1，13]
【解析】
【分析】
设2a＋c＝m（a c）＋n（4a c）＝（m＋4n）a （m＋n）c，解出m，n，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】
解：设2a＋c＝m（a c）＋n（4a c）＝（m＋4n）a （m＋n）c，
∴，解得m＝ 2，n＝1，
∵ 4≤a c≤ 1， 1≤4a c≤5，
∴2≤ 2（a c）≤8， 1≤4a c≤5，
∴1≤2a＋c≤13，
∴2a＋c的取值范围是[1，13]．
故答案为：[1，13]．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，关键是利用待定系数法求出2a＋c＝ 2（a c）＋（4a c），属于基础题
14．
【解析】
根据题意，分和两种情况讨论即可得答案.
【详解】
解：因为，所以当时，满足，此时；
当时，，由得或，故或.
故实数的取值集合是.
故答案为：
【点睛】
易错点点睛：本题考查集合与集合的关系求参数问题，解题过程中，容易忽略讨论情况，故在解题时，先判断是否为空集，分类讨论解决，是基础题.
15．9．
【解析】
【详解】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
16．
【解析】
【分析】
将不等式转化为恒成立，结合函数单调性转化求解.
【详解】
对任意，当时，不等式恒成立，
即恒成立，
，当时，单调递增，
，
只需对恒成立，
且，
解得.
故答案为：
【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)解不等式得集合B，再将a=3代入借助交集的定义运算即得.
(2)由给定条件可得，再借助集合的包含关系列式求解即得.
(1)
解不等式得：，即，而当时，，
所以.
(2)
因“”是“”的必要条件，则，因此有，解得，
所以实数a的取值范围是.
18．（1）；（2）详见解析
【解析】
（1）由的解集为，可知和是方程的两实数根，根据韦达定理，可得到关于的方程组，求解即可；
（2）当时，，进而分，和三种情况，分别解不等式，即可求出答案.
【详解】
（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两实数根，
则，即.
（2）当时，.
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.
（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】
（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
化简得，（）.
由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题.
20．(1)；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）解不等式即可求解.
（2）利用集合的交、并运算即可求解.
(1)
；
(2)
；
21．(1)增区间为：，
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出函数图像，利用图像求解即可；
（2）令，进而根据题意将问题转化为，再结合二次函数性质得只需满足，进而进一步转化为，使，再分类讨论即可求解.
(1)
解：作出函数的图像，
再将轴下方的函数图像翻到轴上方得函数图像，如图
所以函数的单调递增区间为，
(2)
记，
因为存在实数，使，恒成立，
所以恒成立，故只需，
因为的图像是开口向上的抛物线，
所以在或中取到，故只需，即，
记关于的二次函数，
原题目可转化为：，使，因此只需，
显然，函数的对称轴，分两种情况讨论如下：
当，即时，，此时；
当，即时，，．
综上所述，所求实数的取值范围为：．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）将函数化为关于的方程，是参数，使得方程有解的的取值范围即为值域；
（2）令，，则函数化为，利用二次函数的性质可求出.
【详解】
（1）函数化为，
可知关于的该方程一定有解，
当时，，满足题意，
当时，则，
解得且，
综上，，
的值域为；
（2）令，，则，
（），
当时，，无最大值，
的值域为.
【点睛】
本题考查判别式法和换元法求函数值域，属于基础题.
答案第1页，共2页
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