博师联盟2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题5（Word版含解析）

2022-2023学年新高一开学摸底考试——数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
5．已知，，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正实数、和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若方程有正数解，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使成立
B．对任意的x都有成立
C．对任意的x都有不成立
D．存在x使成立
E．矩形的对角线垂直平分
10．下列叙述中不正确的是
A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若,则“”的充要条件是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若,则“对恒成立”的充要条件是“”
11．已知，由此可得到不等式，当且仅当时取等号，利用此不等式求解以下问题：设，且，，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．非空集合关于运算满足：（1）对任意，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”.则给出下列集合和运算，其中关于为“融洽集”的是（ ）
A．{偶数}，为整数的乘法 B．{平面向量}，为平面向量的加法
C．{非负整数}，为整数的加法 D．{虚数}，为复数的乘法
三、填空题
13．已知，，则的取值范围是___________.
14．已知集合，，若，则________．
15．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
16．若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为________．
四、解答题
17．已知集合，，.
(1)若，，求
(2)集合A，B能否相等？若能，求出，值；若不能，请说明理由.
18．已知关于x不等式的解集为M．
（1）当M为空集时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
19．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
20．已知集合，.
(1)求；
(2)若集合，且，求的取值范围.
21．已知函数 ，其中 a > 0 .
（1）当 a = 2 时，求函数 y = f (x) 的单调区间；
（2）若对任意的 x∈[0，+∞) ，都有不等式 f (x 1) ≤ 2 f (x) 成立，求实数 a的取值范围.
22．设，函数.
（1）当时，求证：；
（2）若恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，求实数b的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据集合的并集运算即可.
【详解】
因为，，所以.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据相等函数的定义一一判断可得；
【详解】
解：对于A：定义域为，定义域也为，但是函数解析式不一致，故不是相等函数；
对于B：定义域为，函数定义域为，定义域不相同，故不是相等函数；
对于C：函数的定义域为，函数的定义域也为，且，即函数解析式一样，故是相等函数；
对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
对于A：得；对于B：是既不充分也不必要条件；对于C：结合指数函数单调性可得：；对于D：结合对数函数定义域及单调性可得：．
【详解】
若，不妨设，显然不成立，，A错误；
若，不妨设，显然不成立，B错误；
若，因为在R上单调递增，则，C错误；
若，因为在上单调递增，则，
若，不妨设，显然不成立，D正确；
故选：D．
4．B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD.
【详解】
解：对于A，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，符合题意；
对于C，函数，
则，得且，
故函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.
【详解】
当时，若时不成立；
当时，则必有成立，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
由题设在上递增，在上递减，讨论m与区间的位置关系求的最大值，进而判断最大值的最小值.
【详解】
由，故在上递增，在上递减，
当，则上递减，故最大值，
当，则最大值，
当，则上递增，故最大值，
综上，的最小值为.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
由已知可出，分、、三种情况讨论，利用基本不等式求出的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
因为正实数、和实数满足，
当时，则，此时的最大值为；
当时，即当时，
，
可得，即，不合乎题意；
当时，即当时，
，
若存在最小值，则，可得，即时，
则，，此时存在最大值.
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
令，则，利用二次函数的性质可求范围，即得.
【详解】
令，由，可得，
则原方程化为，即，
∵在上单调递减，
∴，
∴要使方程有正数解，则.
故选：B.
9．BCE
【解析】
【分析】
根据存在量词与全称量词命题的定义判断．
【详解】
A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；
B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；
E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.
故选：BCE
10．BD
【解析】
【分析】
对A,B,C,D四个选项,根据相关知识逐个判断是否正确即可.
【详解】
对A,令,方程有一个正根和一个负根,则,则有,∴“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,正确；
对B,当时,若“”成立,而,充分性不成立,错误；
对C,,或，∴“”是“”的充分不必要条件,正确；
对D,对恒成立可以推出且,但是,没有这个条件时,不可以推出,错误．
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查充要条件,充分不必要条件,必要不充分条件的判断,涉及一元二次方程的根的分布,不等式的性质,以及一元二次不等式恒成立等价条件的应用,属于基础题.
11．AB
【解析】
【分析】
直接利用所给不等式得，而，，从而可得结论
【详解】
由已知可得，
而，，
所以，故的值不可能为1，2，
故选：AB．
12．BC
【解析】
【分析】
对新定义“融洽集”需要满足的两个条件进行验证，只有都满足时才是G关于运算为“融洽集”，依次判断故选项.
【详解】
对于A，{偶数}，为整数的乘法，若存在，则，故A不符合要求；
对于B，{平面向量}，为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量，且存在，都有，故B符合要求；
对于C，{非负整数}，为整数的加法，满足对任意，，都有，且存在，有，故C符合要求；
对于D，{虚数}，为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如：，故D不符合要求；
故选：BC．
13．
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
因为，，
所以，，
则，
所以，
故答案为：
14．-1或0或1
【解析】
【分析】
分和两种情况求参数.
【详解】
当时，，满足条件；
当时，，
，
若满足，
则，解得 ，
或 ，解得，
综上可知：或或.
故答案为-1或0或1
【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是不要忘记的情况.
15．9．
【解析】
【详解】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
16．
【解析】
【分析】
首先根据两根式写出函数的解析式，，，根据零点的范围，求的范围.
【详解】
有两个不同的零点，设为 ，且，
，
，
，
，
， ，
，
但只有当时，才成立，所以不满足条件，
综上：
的取值范围是.
故答案为
【点睛】
本题考查根据函数零点个数求参数范围，意在考查转化与化归能力，本题的关键点是首先设函数的两根式，这样后面迎刃而解.已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
17．(1)；
(2)能相等，，.
【解析】
【分析】
（1）先根据补集运算求出，再利用交集运算即可求解；
（2）根据集合相等列出方程即可求解.
(1)
解：由，得
，
所以
所以
(2)
解：集合A，B能相等，理由如下
若，则集合可化为：
由可得：，解得：
若，则集合可化为：
而，不可能
综上，，
18．（1）；（2）4；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，解之可求得的取值范围；
（2）由（1）求得，再根据利用基本不等式，可求得的最小值.
（3）根据二次函数的性质建立不等式组，解之可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为为空集，所以.
所以的取值范围为；
（2）由（1）可知，则，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为4.
（3）设函数，当不为空集时，由，得.
所以实数的取值范围.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.
（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】
（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
化简得，（）.
由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题.
20．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求得集合，再求和即可；
（2）由，可得，再由集合的包含关系，即可列出不等式，求解即可.
(1)
因为，所以或，
则.
(2)
，
因为，所以，则，解得.
故的取值范围是.
21．（1）在上单调递减，在 上单调递增；（2）.
【解析】
【分析】
（1）写成分段函数，画出图像即可获解；
（2）分离变量，对分三种情况讨论即可.
【详解】
（1） ；
；
由图可知，
在上单调递减，在 上单调递增；
（2）；
；
在上恒成立；
①当时；
恒成立；
；
；
；
即；
②当时；
恒成立；
；
；
；
；
③当时；
恒成立；
；
；
；
；
综上①②③，.
【点睛】
恒成立问题往往可以分离变量转化为函数的最值问题，本题要注意对进行讨论.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由的取值范围可得，所以，
再结合时，可得；
（2）由于函数是偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有，结合和的单调性， b是其中的一个零点，所以，由，可得.
【详解】
（1）当时，
所以，
当时，，进而可得，
即；
（2）因为，
所以是偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有，
由（1）可知，当时，，等号成立的条件是当且仅当，
当时，和都是增函数，所以在上单调递增，且当时，
当时，由是偶函数可得在上单调递减，且当时，
又因为b是其中的一个零点，所以，结合，所以.
【点睛】
解答本题第二问的关键点是判断出函数的奇偶性，利用奇偶性和单调性判断出零点，再结合b是其中的一个零点.本题考查了函数的零点与方程的根的关系以及函数单调性的应用.
答案第1页，共2页
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