人教A版2019选择性必修第二册4.1 数列的概念 学案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第二册4.1 数列的概念 学案（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 82.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-03 10:08:26 | ||
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文档简介
第四章：数列
4.1 数列的概念
【考点梳理】
考点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
考点二 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
考点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
考点四 数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
考点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
考点六 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七 数列的前n项和Sn与an的关系
重难点大规律归纳
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项．
课时分层作业(一)
(60分钟 100分)
知识点1 数列的概念
1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B 解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式an＝(－1)n＋1，也可以是an＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B.
2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是( )
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
ABC 解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．
3．(5分)下列说法错误的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
B 解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B.
知识点2 数列的通项公式
4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．a1＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
A 解析：将n＝1代入四个选项，可知C中a1＝1，D中，a1＝1.排除C，D．
当n＝3时，代入B项可得a3＝－5，排除B.故选A．
5．(5分)数列{8n－1}的最小项等于( )
A．－1 B．7
C．8 D．不存在
B 解析：数列{8n－1}的最小项为a1＝8×1－1＝7.故选B.
6．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)，则数列的第4项为( )
A． B． C． D．
B 解析：由题意，根据数列{an}的通项公式，得a4＝＝.
知识点3 数列的函数特性
7．(5分)已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N＋，＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
B 解析：因为＝，所以数列{an}为等比数列，an＝a1n－1.
又a1>0，则an>0，所以＝<1，an＋18．(5分)若数列{an}的通项公式an＝，则此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．以上都不是
A 解析：因为an＝＝＝2－，所以an－an－1＝－＝－＝>0.因此数列{an}是递增数列．故选A．
9．(5分)数列{an}的通项公式是an＝－n2＋4n＋21(n∈N*)，这个数列最大的项是(B)
A．第1项 B．第2项
C．第3项 D．第4项
10.(5分)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．先递增后递减数列
D．常数列
A 解析：由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．
11．(5分)数列0，，，，，…的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
C 解析：原数列可变形为，，，，，…，
∴an＝.
12．(5分)在数列{an}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项( )
A．不是原数列的项
B．是原数列的第10项
C．是原数列的第11项
D．是原数列的第12项
C 解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n项在新数列中是第1＋4(n－1)＝4n－3项．
由4n－3＝41，得n＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C．
13．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,0
A 解析：a1＝＝＝1；
a2＝＝＝0；
a3＝＝＝1；
a4＝＝＝0.故选A．
14.(5分)已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 解析：由题意得∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1.又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
15.(5分)已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项．
16 解析：因为an＝＝1＋.又n∈N*，所以当n＝16时，an最大.
16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n－1·.
解：(1)当n＝1时，a1＝＝2；当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝2；当n＝4时，a4＝＝；当n＝5时，a5＝＝.
(2)当n＝1时，a1＝(－1)1－1×＝；当n＝2时，a2＝(－1)2－1×＝－；当n＝3时，a3＝(－1)3－1×＝；当n＝4时，a4＝(－1)4－1×＝－；当n＝5时，a5＝(－1)5－1×＝.
17.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
解：∵a2＝，a4＝，代入通项公式an中得解得c＝，d＝2，
∴an＝＋，∴a10＝＋＝.
4.1 数列的概念
【考点梳理】
考点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
考点二 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
考点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
考点四 数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
考点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
考点六 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七 数列的前n项和Sn与an的关系
重难点大规律归纳
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项．
课时分层作业(一)
(60分钟 100分)
知识点1 数列的概念
1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B 解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式an＝(－1)n＋1，也可以是an＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B.
2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是( )
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
ABC 解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．
3．(5分)下列说法错误的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
B 解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B.
知识点2 数列的通项公式
4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．a1＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
A 解析：将n＝1代入四个选项，可知C中a1＝1，D中，a1＝1.排除C，D．
当n＝3时，代入B项可得a3＝－5，排除B.故选A．
5．(5分)数列{8n－1}的最小项等于( )
A．－1 B．7
C．8 D．不存在
B 解析：数列{8n－1}的最小项为a1＝8×1－1＝7.故选B.
6．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)，则数列的第4项为( )
A． B． C． D．
B 解析：由题意，根据数列{an}的通项公式，得a4＝＝.
知识点3 数列的函数特性
7．(5分)已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N＋，＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
B 解析：因为＝，所以数列{an}为等比数列，an＝a1n－1.
又a1>0，则an>0，所以＝<1，an＋1
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．以上都不是
A 解析：因为an＝＝＝2－，所以an－an－1＝－＝－＝>0.因此数列{an}是递增数列．故选A．
9．(5分)数列{an}的通项公式是an＝－n2＋4n＋21(n∈N*)，这个数列最大的项是(B)
A．第1项 B．第2项
C．第3项 D．第4项
10.(5分)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．先递增后递减数列
D．常数列
A 解析：由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．
11．(5分)数列0，，，，，…的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
C 解析：原数列可变形为，，，，，…，
∴an＝.
12．(5分)在数列{an}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项( )
A．不是原数列的项
B．是原数列的第10项
C．是原数列的第11项
D．是原数列的第12项
C 解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n项在新数列中是第1＋4(n－1)＝4n－3项．
由4n－3＝41，得n＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C．
13．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,0
A 解析：a1＝＝＝1；
a2＝＝＝0；
a3＝＝＝1；
a4＝＝＝0.故选A．
14.(5分)已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 解析：由题意得∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1.又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
15.(5分)已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项．
16 解析：因为an＝＝1＋.又n∈N*，所以当n＝16时，an最大.
16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n－1·.
解：(1)当n＝1时，a1＝＝2；当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝2；当n＝4时，a4＝＝；当n＝5时，a5＝＝.
(2)当n＝1时，a1＝(－1)1－1×＝；当n＝2时，a2＝(－1)2－1×＝－；当n＝3时，a3＝(－1)3－1×＝；当n＝4时，a4＝(－1)4－1×＝－；当n＝5时，a5＝(－1)5－1×＝.
17.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
解：∵a2＝，a4＝，代入通项公式an中得解得c＝，d＝2，
∴an＝＋，∴a10＝＋＝.