人教A版2019选择性必修第二册4.1 数列的概念 同步练习（Word版含解析）

第四章：数列
4.1　数列的概念
【题型归纳】
题型一:数列的有关概念和分类
1．（2021·全国·高二课时练习）下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表达式是唯一的．
其中正确的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
2．（2021·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C．数列0，1，0，1，…是常数列
D．数列是递增数列
3．（2021·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；
②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；
③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；
④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.
A．①④ B．②③ C．③ D．①②
题型二：判断或者写出数列的项
4．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）已知数列－1，，－，…，，…，则它的第6项的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江西·新余四中高二月考（理））以下通项公式中，不可能是数列3，5，9，…的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数
7．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B． C． D．108
8．（2021·全国·高二课时练习）数列中， ，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
题型四：由递推公式求数列的指定项
10．（2021·河南洛阳·高二期中（文））数列满足，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
11．（2021·江西九江·高二期中（理））若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
12．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
题型五：由递推公式求通项公式
13．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2021·天津市南仓中学高二期末）已知数列，满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
15．（2020·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B．n C． D．
题型六：利用Sn与an的关系求通项公式
16．（2021·河南·高二月考）已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·江苏·常熟中学高二月考）数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（文））数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
19．（2021·全国·高二课时练习）数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
20．（2021·全国·高二课时练习）若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
21．（2021·全国·高二课时练习）给出以下通项公式：
①；②；③，其中可以作为数列，，，，，，…的通项公式的是（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
22．（2021·河南洛阳·高二期中（理））数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·福建省龙岩第一中学高二月考）数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·河南·高二月考）已知在数列中，，，且，则（ ）
A．3 B．15 C．37 D．63
25．（2021·江苏·高二单元测试）在数列中，，则（ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
26．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·河南·高二月考（文））猜想数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
28．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国·高二专题练习）已知下列命题：
①已知数列{an}， (n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，－，2，－，…，的一个通项公式是an＝(－1)n＋1；
③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；
④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列．
其中命题正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
31．（2021·江苏·高二课时练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
32．（2021·全国·高二课时练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2021·全国·高二专题练习）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理 准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2021·江苏·高二课时练习）已知数列满足，下列命题正确的有（ ）
A．当时，数列为递减数列
B．当时，数列一定有最大项
C．当时，数列为递减数列
D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
三、填空题
35．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在数列中，，，，则________．
36．（2021·广西·崇左高中高二月考）已知数列的前项和为，且，则__________．
37．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足若，则________.
38．（2021·全国·高二）如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有___________个顶点.
四、解答题
39．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，．
（1）求证：数列先递增后递减；
（2）求数列的最大项．
40．（2021·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）；
（2）；
（3）．
41．（2021·全国·高二单元测试）在数列中，，点在函数的图象上.
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的一个通项公式.
42．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项？为什么？
（3）在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.
【答案详解】
1．A
【详解】
数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，
数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是，也可以是．故①②正确，③④错误．
故选：A．
2．D
【详解】
A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；
B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；
C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；
D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0，
即数列{}是递增数列，故D正确；
故选：D．
3．C
【详解】
①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；
②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，
而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；
③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；
④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．
故选：C.
4．D
【详解】
由题设，数列的通项公式为，
∴当n＝6时，该项为.
故选：D.
5．D
解：对A. ，可能是数列3，5，9，…的通项公式；
对B. ，可能是数列3，5，9，…的通项公式；
对C. ，可能是数列3，5，9，…的通项公式；
对D. ，不可能是数列3，5，9，…的通项公式；
故选：D.
6．B
【详解】
.
故选：B.
7．D
解：，
因为，且，
所以此数列最大项为.
故选：D.
8．C
【详解】
由，
所以当且时，单调递减；
当且时，单调递减，
结合函数的图象，如图所示
可得当时，取得最大值，即，
当时，取得最大值，即.
故选：C.
9．A
解：，
因为，且，
所以数值最大的项为第5项．
故选：A．
10．C
解：因为，且，，所以，，
故选：C
11．B
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以的前100项的和为，
故选：B．
12．B
【详解】
因为数列中，，，，
所以，所以.
故选：B
13．B
【详解】
设数列1，3，6，10，15，…为，
所以， ，
所以.
故选：B.
14．A
【详解】
由，且
则，，
所以，即数列是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
15．D
【详解】
由题意，数列满足，所以，
所以．
故选：D．
16．C
【详解】
∵，
当时，，此时，
综上，数列的通项公式为.
∴，
记，则在与上都是增函数，
∴数列的最小项是第6项，值为.
故选：C
17．C
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
18．D
【详解】
当时，则有；
当时，由，①
可得，②
①②可得，所以，，满足.
故对任意的，.
故选：D.
19．C
解：A，B中没有告诉某一项的值，无法递推；
D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合题意．只有选项C符合题意.
故选：C
20．A
【详解】
an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．
故选：A.
21．D
对于①：当时，对应的项分别为：，，，，，，故①正确；
对于②：当时，对应的项分别为：，，，，，，故②正确；
对于③：当时，对应的项分别为：，，，，，，故③正确；
所以①②③的通项公式都符合题意，
故选：D.
22．C
【详解】
因为，，且，，
所以；；；
；；；
同理递推可得：；；；；；；；；；；；.
所以=2.
故选：C
23．D
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
24．C
【详解】
因为且，
则.
故选：C.
25．B
解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
26．B
【详解】
由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
27．D
【详解】
根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足，
分子2，8，26，80，…满足，
又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得.
故选：D.
28．C
【详解】
由题意得即解得
故选：C
29．D
【详解】
解：，
数列的“匀称值”为，
，①
时，，②
①②，得，
，，
当时，满足上式，
，
．
故选：D
30．A
【详解】
①an＝＝ n＝10，易知最大项为第1项，故①正确；
对于②，联想数列，，，，…，则an＝(－1)n＋1·，故②正确；
对于③，an＝kn－5，且a8＝11 k＝2 an＝2n－5 a17＝29，故③正确；
对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．
故选：A
31．ACD
【详解】
对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
32．ABCD
【详解】
对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确.
对于B：，故B正确.
对于C：由，，，…，，可得，故C正确.
对于D：斐波那契数列总有，则，故D正确.
故选：ABCD
33．ABC
【详解】
由题意，A正确；
,B正确；
，又，
所以，C正确；
，D错．
故选：ABC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的项进行变形．如BD在变形以最后一项时要注意是哪一项．
34．BCD
【详解】
当时，，知A错误；
当时，，当，，，，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当时，，所以数列为递减数列，C正确；
当为正整数时，，当时，，
当时，令，
解得，则，当时，，
结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
35．
【详解】
由题意，，，，
所以数列是周期数列，周期为3，所以．
故答案为：．
36．
【详解】
故答案为：14
37．
【详解】
因为
所以，，，…
故数列是以为周期的周期数列，
又知，所以.
故答案为：.
38．
【详解】
可以先计算时顶点的个数，可发现顶点计算的一般规律.
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；…
其规律为：第n个图形应由正边形“扩展”而来，原有顶点个数为，每条边向外扩展正边形，多出个顶点，
因此第n个图形有个顶点.
故答案为：.
39．
（1）
证明：令，即，整理得，解得．
令，即，整理得，解得．
所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减．
（2）
解：由（1）知最大．
40．
（1），
归纳猜想；
（2），
归纳猜想；
（3），
归纳猜想
41．
【详解】
（1）因为点在函数的图象上，
所以，
又，所以，
，
.
（2）由（1）中数列的前4项的规律，
可归纳出数列的一个通项公式为.
42．
【详解】
.
（1）令，得第10项.
（2）令，得.
此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.
（3）令，则，
解得.又，∴.
∴区间内有数列中的项，且只有一项.
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