人教A版（2019）必修第一册1.1 集合的概念 同步练习（Word版含答案）

《第一节　集合的概念》同步练习
一、基础巩固
知识点1　集合的概念与元素的特性
1.下列对象能构成集合的是(　　)
A.高一年级全体较胖的同学
B.接近于0的数
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
2.已知集合Ω中的三个元素l,m,n分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物,寓意创造非凡、探索未来.雪容融是2022年北京冬残奥会吉祥物,寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M,则M中元素的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
知识点2　元素与集合的关系
4.下列关系表示正确的是(　　)
A. R B.0∈N*
C.∈Q D.∈Z
5. 已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,则a的值为(　　)
A.2 B.2或4 C.4 D.2或4或6
6. 具有下述性质的x都是集合M中的元素,即x=a+b,其中a,b∈Q.则①,②3+π,③中是集合M中的元素的是　　　　(填序号).
7.已知集合A中有三个元素,分别为a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素,分别为0,1,x.
(1)若-3∈A,求实数a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值.
知识点3　集合的表示方法
8.(多选)方程x2=2x的所有实数根组成的集合为(　　)
A.(0,2) B.{(0,2)}
C.{0,2} D.{x∈R|x2=2x}
9.集合{x∈N|x-2<2}用列举法表示为(　　)
A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4} D.{0,1,2,3}
10.下列集合与集合M={2,3}相等的是(　　)
A.{(2,3)}
B.{(x,y)|x=2,y=3}
C.{x|x2-5x+6=0}
D.{x∈N|x2-9≤0}
11.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
12. (多选)[2021浙江瑞安高一上月考]下列选项中是集合A={(x,y)|x=,y=,k∈Z}中的元素的是(　　)
A.(,) B.(,) C.(3,4) D.(4,3)
13.已知集合A={-1,0,1,2},B={1,2},C={x|x=ab,a∈A,b∈B},则集合C=　　　　.
14.用适当方法表示下列集合:
(1)由二次函数y=3x2+1图象上的所有点组成的集合;
(2)方程+|y-2|=0的解集;
(3)从1,2,3这3个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合.
二、能力提升
15. 已知x,y均为非零实数,则集合M={m|m=}用列举法可表示为(　　)
A.{0,3} B.{1,3} C.{-1,3} D.{1,-3}
16.已知集合A={1,a-2,a2-a-1},若-1∈A,则实数a的值为(　　)
A.1 B.1或0 C.0 D.-1或0
17.集合{3,,,,…}用描述法可表示为(　　)
A.{x|x=,n∈N*}
B.{x|x=,n∈N*}
C.{x|x=,n∈N*}
D.{x|x=,n∈N*}
18.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},若a∈P,b∈Q,则(　　)
A.a+b∈P B.a+b∈Q
C.a+b∈M D.a+b不属于P,Q,M中任意一个
19.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},在①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4这四个关系中有且只有一个是正确的,则有序数组(a,b,c,d)的个数是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
20.已知a∈R,关于x的不等式≥1的解集为P,且-1∈P,则a的取值范围是　　　　.
21. 由实数x,-x|x|,,()2,-组成的集合中最多含有　　　　个元素.
22. 已知集合A={x|(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0,x∈R}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值,并写出该元素;
(2)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
23.设集合A={x|x=m+n,m,n∈Z}.
(1)若x1,x2∈A,证明:x1x2∈A.
(2)若集合B={x|x=m+n,整数m,n互素},是否存在x,使得x和都属于B 若存在,请写出一个符合题意的x的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B
6.①③
7.解：(1)因为-3∈A,且a2+1≥1,
所以a2+1≠-3.
当a-3=-3时,a=0,此时集合A中的元素为-3,-1,1,符合题意;
当2a-1=-3时,a=-1,此时集合A中的元素为-4,-3,2,符合题意.
故实数a的值为0或-1.
(2)若x2∈B,则x2=0或x2=1或x2=x,得x=0或x=1或x=-1,
又由集合中元素的互异性,得x≠0且x≠1,所以x=-1.
8.CD 9.D 10.C 11.A 12.AD
13.{-2,-1,0,1,2,4}
14.解：(1)此集合是点集,且由二次函数y=3x2+1图象上的所有点组成,故用描述法可表示为{(x,y)|y=3x2+1,x∈R}.
(2)由题意得解得因此该方程的解集为{(-,2)}.
(3)当从1,2,3这3个数字中抽出1个数字时,自然数为1,2,3;
当抽出2个数字时,可组成的自然数为12,21,13,31,23,32;
当抽出3个数字时,可组成的自然数为123,132,213,231,321,312.
由于元素个数有限,故用列举法表示为{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,321,312}.
二、能力提升
15.C 16.C 17.D 18.B 19.B
20.{a|a≤-1}
21.4
22. 解：(1)若a=1,则方程为6x+1=0,解得x=-,符合题意;
若a=-1,则方程为2x+1=0,解得x=-,符合题意;
若a≠±1,则由A中只有一个元素,知关于x的方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有两个相等的实根,
所以4(a+2)2-4(a2-1)=0,解得a=-,此时,集合A中只有一个元素-.
综上所述,当a=1时,集合A中只有一个元素-;当a=-1时,集合A中只有一个元素-;当a=-时,集合A中只有一个元素-.
(2)若集合A中至多有一个元素,则关于x的方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有一个解或无解.
当方程无解时,有Δ=4(a+2)2-4(a2-1)<0,解得a<-,
结合(1),可知实数a的取值范围是{a|a≤-或a=±1}.
23. 解：(1)因为x1,x2∈A,所以可设x1=a1+b1,x2=a2+b2,其中a1,a2,b1,b2∈Z,
所以x1x2=(a1+b1)(a2+b2)=a1a2+2b1b2+(a1b2+a2b1).
因为a1,a2,b1,b2∈Z,
所以a1a2+2b1b2∈Z,a1b2+a2b1∈Z,所以x1x2∈A.
(2)设x∈B,则x=m+n(整数m,n互素),
所以.
若∈B,则与是互素的整数.
又m与n互素,所以m2-2n2=±1.
因此,当m,n互素,且m2-2n2=±1时,x∈B,且∈B.
取m=3,n=2,得x=3+2,=3-2.
因此,存在满足题意的x=3+2,使得x与均属于集合B.