苏教版（2019）选择性必修第一册4.1数列 基础过关练（Word版含解析）

第4章　数列　　　　
4.1　数列　　　　 　
基础过关练
题组一　对数列概念的理解　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(　　)
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.(多选)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,…,,…
B.sin ,sin ,sin ,…,sin ,…
C.-1,-,…,-,…
D.1,,…,,…
题组二　数列的通项公式
3.(2022江苏扬州大学附属中学月考)数列的一个通项公式为an=(　　)
A. C.
4.(2020四川成都外国语学校月考)已知数列,…,则是这个数列的第(　　)
A.8项　　　　B.7项 C.6项　　　　D.5项
5.根据下列5个图形及相应点的个数变化规律,试猜测第6个图形中有　　　　个点.
(1)　 (2)　 (3)　　 (4)　　　　 (5)
6.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式.
(1),…;
(2)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…;
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(4)-,….
题组三　数列的递推公式
7.(2020浙江绍兴一中期中)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5等于(　　)
A.
8.数列{an}中,对所有n∈N*都有a1·a2·…·an=n2,则a1+a3+a5=　　　　.
9.根据下列数列的首项和递推公式,写出数列的前5项,并由此归纳出它的一个通项公式.
(1)a1=2,an+1=3an+2;
(2)a1=1,an+1=an.
题组四　数列的性质
10.数列{an}中,若a1=1,an+1=-1,则a2 020=(　　)
A.-1　　　　B.- C.　　　　D.1
11.数列{an}中,an=-2n2+29n+3(n∈N*),则此数列中的最大值是(　　) A.107　　　　B.108 C.108　　　　D.109
12.(2022陕西汉中五校月考)已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)·,则数列{an}的最大项为(　　)
A.a8或a9　　　　B.a9或a10 C.a10或a11　　　　D.a11或a12
13.(2020河南郑州八校期中联考)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　 C.(2,3)　　　　D.(1,3)
14.已知an=(n∈N*),则数列{an}中有没有最大项 如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
能力提升练
题组一　数列的通项公式及其应用　　　　　　　　　　　　　
1.(2020上海杨浦高级中学期末)已知数列1,0,1,0,…,可猜想此数列的一个通项公式是(　　)
A.an=1+(-1)n-1(n∈N*)
B.an=[1+(-1)n](n∈N*)
C.an=[1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2)(n∈N*)
D.an=(1-cos nπ)(n∈N*)
2.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.
题组二　数列的递推公式及其应用
3.(2021江苏苏州陆慕高级中学期中)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则a2 020的值为　　　　.
4.(2020福建厦门期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=,则a10=　　　　.
5.已知数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+(n≥3,n∈N*),则a2等于　　　　.
6.古印度“汉诺塔问题”:一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱,其中细柱A上套着大小不等的环形金盘,大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上,移动规则如下:一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上,不允许将较大金盘放在较小金盘上面.若A柱上现有3个金盘(如图),将A柱上的金盘全部移到B柱上,至少需要移动的次数为　　　　.
题组三　数列的性质及其应用
7.(2022江苏常州第三中学检测)在数列{an}中,a1=-2,an+1=,则a2 022=(　　)
A.-2　　　　B.- C.　　　　D.3
8.(2021江苏南通平潮高级中学期中)已知数列{bn}满足bn=2λ-n2,若数列{bn}是单调递减数列,则实数λ的取值范围是　　　　.
9.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数 n为何值时,an有最小值 并求出最小值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C　A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,虽然两个数列中包含的数相同,但数的排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的,也可以是无限的.故选C.
2.CD　选项A中,数列1,,…,,…是无穷数列,但它是递减数列,因此A错误;
选项B中,数列sin ,sin ,sin ,…,sin ,…是无穷数列,但它是摆动数列,因此B错误;
选项C,D中数列既是无穷数列又是递增数列.故选CD.
3.B　可依次化为,因此an=为该数列的一个通项公式.
4.C　数列,…可化为数列,…,
则该数列的一个通项公式为an=,
令an=,则6n-3=33,
解得n=6,故是这个数列的第6项.
故选C.
5.答案　31
解析　观察题图得图(1)有1个点,图(2)有3=1×2+1个点,图(3)有7=2×3+1个点,图(4)有13=3×4+1个点,图(5)有21=4×5+1个点,所以猜想第n个图有[(n-1)n+1]个点,故第6个图形有(6-1)×6+1=31个点.
6.解析　(1)易知该数列中每一项的分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式为an=,n∈N*.
(2)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式为bn=1-,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的,所以所求数列的一个通项公式为an=,n∈N*.
(3)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,
所以该数列的一个通项公式为an=n+,n∈N*.
(4)该数列中各项的分子都是1,分母是n2+1,第n项的符号可以用(-1)n来表示,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N*.
7.D　由a1=1,得a2=2,a3=.故选D.
8.答案　
解析　解法一:因为a1·a2·a3·…·an=n2,所以a1=1,a1·a2=22=4,a1·a2·a3=4a3=32=9,a1·a2·a3·a4=42=16,a1·a2·a3·a4·a5=16a5=52=25,所以a3=,所以a1+a3+a5=.
解法二:当n=1时,a1=12=1,
当n≥2时,an=,
当n=1时,无意义,故an=
所以a1+a3+a5=1+.
9.解析　(1)∵a1=2,an+1=3an+2,
∴a1=2=3-1,a2=3×2+2=8=32-1,a3=3×8+2=26=33-1,a4=3×26+2=80=34-1,a5=3×80+2=242=35-1,……,
∴数列{an}的一个通项公式为an=3n-1(n∈N*).
(2)∵a1=1,an+1=an,
∴a1=1=,
∴数列{an}的一个通项公式为an=(n∈N*).
10.B　令n=1,得a2=-,再令n=2,得a3=1,所以数列{an}是周期为2的周期数列.故a2 020=a2=-.
11.B　由已知,得an=-2n2+29n+3=-2×,由于n∈N*,因此当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值,为108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
12.B　设数列{an}的最大项为an,则(n≥2且n∈N*),
所以解此不等式组可得9≤n≤10,又n∈N*,所以n=9或n=10,所以数列{an}的最大项为a9或a10.
13.C　根据题意,得an=f(n)
=
要使{an}是递增数列,
需满足解得2故选C.
易错警示
　　分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{an}递增需满足a714.解析　解法一:由an=(n∈N*)得,an+1-an=,n∈N*.
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=.
解法二:设an为最大项,则
即
解得8≤n≤9.
又因为n∈N*,所以n=8或n=9,
故{an}的最大项为a8=a9=.
能力提升练
1.D　对于A选项,a1=1+(-1)0=2≠1,不符合题意;
对于B选项,a1=×(1-1)=0≠1,不符合题意;
对于C选项,a3=×[1+(-1)4]+2×1=3≠1,不符合题意;
对于D选项,当n为奇数时,cos nπ=-1,此时an=×(1+1)=1,
当n为偶数时,cos nπ=1,此时an=×(1-1)=0,符合题意.故选D.
2.答案　61
解析　由题图得,f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
当n=6时,f(6)=2×6×5+1=61.
3.答案　
解析　解法一:由已知得a2=,猜想an=,经验证an=满足递推关系式.
∴a2 020=.
解法二:易知an≠0.∵an+1=an,即,
∴an=···…···a1=×…×,
∴a2 020=.
4.答案　
解析　因为an+1-an=,
所以(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a3-a2)+(a2-a1)
=+…+=a10-1,
解得a10=.
5.答案　9
解析　由(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),
得nan+1=a1+a2+…+an,
两式相减,得nan+1-(n-1)an=an(n≥3,n∈N*),
即an+1=an(n≥3,n∈N*).
∵a9=8,∴a3=8.
又2a3=a1+a2,a1=7,∴a2=2a3-a1=9.
6.答案　7
解析　设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘,至少需要移动的次数为an.要把细柱A最下面的第n个金盘移到细柱B上,则必须把细柱A上面的(n-1)个金盘移到细柱C上,故至少需要移动an-1次把第n个金盘移到细柱B上后,再把(n-1)个金盘移到细柱B上,故又至少需要移动an-1次,所以an=2an-1+1,易知a1=1,故a2=3,a3=7.
7.B　依题意,a2==-2=a1,…依此类推,可知数列{an}是周期数列,且周期为4,
而2 022=4×505+2,故a2 022=a2=-.
8.答案　-1<λ<
解析　∵数列{bn}是单调递减数列,
∴bn+1即2λ-n2恒成立,即6λ<2n+1恒成立.
当n为奇数时,6λ>-(2n+1)·2n恒成立,
∵函数y=-(2x+1)·2x在x>0时单调递减,∴n=1时,-(2n+1)·2n取得最大值,最大值为-6,
∴6λ>-6,解得λ>-1;
当n为偶数时,6λ<(2n+1)·2n恒成立,
∵函数y=(2x+1)·2x在x>0时单调递增,∴n=2时,(2n+1)·2n取得最小值,最小值为20,
∴6λ<20,解得λ<.综上,-1<λ<.
9.解析　(1)由n2-5n+4<0,解得1因为n∈N*,所以n=2或n=3,
所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
易得an=n2-5n+4=,
由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2.
(2)因为an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,
又对任意的n∈N*,都有an+1>an,
所以k大于-2n-1的最大值,所以k>-2-1=-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).