苏教版（2019）选择性必修第一册4.2 等差数列4.2.1&4.2.2 基础过关练（Word版含解析）

4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念4.2.2　等差数列的通项公式
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　等差数列的概念及其应用
1.(2021江苏盐城伍佑中学期中)已知等差数列{an}中,a1=3,a6=13,则{an}的公差d=　　　　.
2.(2020江苏邵伯高级中学月考)在等差数列{an}中,若a3=-1,a4=1,则a7=　　　　.
3.已知数列{an},{bn}满足bn=an+an+1,则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
题组二　等差数列的通项公式及其应用
4.在数列{an}中,若a1=1,a2=(n∈N*),则该数列的一个通项公式为(　　)
A.an=
C.an=
5.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组三　等差中项
6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
7.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　)
A.26　　　　B.29　　　　C.39　　　　D.52
8.(2022江苏连云港期中)已知数列{an}中,a1=1,a2=2, n∈N*都有2,则a10等于(　　)
A.10　　　　B.
C.64　　　　D.4
题组四　等差数列的性质
9.(2021江苏无锡第一中学期中)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=6,则a1+a7=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
10.(2021江苏苏州吴江汾湖高级中学月考)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=9,a4+a5+a6=21,则a7的值是(　　)
A.9　　　　B.11　　　　C.13　　　　D.15
11.(2022河北高碑店一中月考)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a19=(　　)
A.0　　　　B.　　　　D.2
12.若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有(　　)
①{|an|};②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数);④{2an+n}.
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
能力提升练
题组一　等差数列通项公式的应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020广东深圳宝安期末)等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是(　　)
A.d>　　　　
C.2.(2021河南名校联盟联考)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长).二十四个节气及其晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长为一丈四尺五寸,夏至晷长为二尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的第三个节气(即立秋)的晷长是(　　)
A.五寸　　　　B.二尺五寸 C.五尺五寸　　　　D.四尺五寸
3.(2021辽宁省实验中学期中)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组二　等差数列性质的应用
4.(2020湖北随州期末)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为(　　)
A.15　　　　B.16　　　　C.17　　　　D.18
5.(2021江苏无锡江阴第一中学期中)中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何 ”大致意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤 ”根据已知条件,若金锤由粗到细是均匀变化的,则中间三尺共重(　　)
A.3斤　　　　B.6斤
C.9斤　　　　D.12斤
6.(多选)(2021江苏无锡锡山高级中学月考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论,其中正确的为(　　)
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
7.(2021江苏盐城伍佑中学调研)若数列{an}满足a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则使ak·ak+1<0的k值为　　　　.
题组三　等差数列的综合应用
8.(2021湖南长沙麓山国际实验学校月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则所给结论中一定成立的是(　　)
A.a,b,c依次成等差数列
B.依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
9.(2020重庆八中月考)已知两点F1(-2,0),F2(2,0),且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则动点P的轨迹方程是(　　)
A.=1
C.=1
10.(2022江苏苏州吴江汾湖高级中学月考)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,n∈N*.
(1)求a2,a3的值;
(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
11.已知数列{an}中,a1=(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项.
答案全解全析
基础过关练
1.答案　2
解析　因为a1=3,a6=13,
所以5d=a6-a1=13-3=10,解得d=2.
2.答案　7
解析　因为在等差数列{an}中,a3=-1,a4=1,所以公差d=2,所以a7=a4+3d=7.
3.答案　充分不必要
解析　充分性:若数列{an}是等差数列,设其公差为d1,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以数列{bn}是等差数列.
必要性:若数列{bn}是等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,
不能推出数列{an}是等差数列.
所以“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件.
4.A　由,得,则数列是首项为=1,公差为=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=.
5.解析　(1)证明:∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)],
∴,即bn+1-bn=,
又a1=2,∴b1=1.
∴{bn}是以1为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=,∴an-1=,
∴an=.
6.B　由已知得解得
所以m和n的等差中项为=3.
7.C　∵5,x,y,z,21成等差数列,∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项.
∴5+21=2y,x+z=2y,∴y=13,x+z=26,
∴x+y+z=39.
8.D　因为 n∈N*都有2,所以由等差中项的概念可知数列{}为等差数列,
由于a1=1,a2=2,因此数列{}的公差d==7,
所以+9d=1+9×7=64,所以a10=4.
9.C　因为在等差数列{an}中,a3+a4+a5=6,所以3a4=6,即a4=2,所以a1+a7=2a4=4.故选C.
10.B　因为{an}是等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=9,a4+a5+a6=3a5=21,解得a3=3,a5=7,所以a7=2a5-a3=2×7-3=11.故选B.
11.A　因为a3=2,a7=1,所以,
所以=1,故a19=0.
12.C　数列-1,1,3是等差数列,取绝对值后为1,1,3,不是等差数列,①不符合;若{an}是等差数列,则利用等差数列的定义,知{an+1-an}为常数列,故{an+1-an}是公差为0的等差数列,②符合;易得(pan+q)-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd(n≥2),为常数,故{pan+q}是等差数列,③符合;(2an+n)-(2an-1+n-1)=2(an-an-1)+1=2d+1(n≥2),为常数,故{2an+n}是等差数列,④符合.故选C.
能力提升练
1.D　依题意可知∴
∴2.答案　C
信息提取　(1)一年有二十四个节气.(2)每个节气晷长损益相同.(3)冬至晷长为一丈四尺五寸,夏至晷长为二尺五寸.
数学建模　本题以一年二十四节气中晷长的变换为背景,构建出等差数列(数学问题)来求夏至之后的第三个节气(即立秋)的晷长(实际问题).本题等差数列模型建立的主要依据:相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.由此我们要理解出相邻两个节气晷长之差相等,从而把夏至晷长看成第一项建立等差数列模型求解.
解析　设从夏至到冬至间的第n个节气的晷长为an寸(1≤n≤13,n∈N*),
其中夏至晷长为a1=25寸,冬至晷长为a13=145寸,
由每个节气晷长损益相同可知,an+1-an=常数,
所以{an}为等差数列,设公差为d,由题意知,a13=a1+12d=25+12d=145,解得d=10,
∴a4=a1+3d=25+3×10=55,
∴夏至之后的第三个节气(即立秋)的晷长是五尺五寸.故选C.
3.解析　(1)证明:∵an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),
∴+1,即=1(n≥2,且n∈N*),
∴数列是首项为,公差d=1的等差数列.
(2)由(1)得+(n-1)·1=n-,∴an=·2n.
4.B　易知等差数列2,6,10,…,190的公差为4,等差数列2,8,14,…,200的公差为6,所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成的新数列(设该数列为{an})的公差为12,首项为2,所以通项公式为an=12n-10,
所以12n-10≤190,解得n≤,而n∈N*,所以n的最大值为16,即新数列的项数为16.
5.答案　C
信息提取　(1)金锤长五尺,一头粗一头细.(2)在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.
数学建模　本题是以中国古代数学著作《九章算术》中记载的问题为情境的数学文化问题,由“金锤由粗到细是均匀变化的”可构建等差数列模型求解.
解析　由细到粗各尺斤数构成一个等差数列,记为{an}(n=1,2,3,4,5),易知a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6,解得a3=3,则中间三尺共重a2+a3+a4=3a3=9斤.故选C.
6.AD　因为d>0,即an+1-an=d>0,所以{an}是递增数列,故A正确;nan=n[a1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n,其对应二次函数的图象的对称轴方程为n=,若da1,则数列{nan}不一定是递增数列,故B不正确;,当a1-d>0时,不是递增数列,故C不正确;
an+3nd=4nd+a1-d,因为d>0,所以{an+3nd}是递增数列,故D正确.
7.答案　23
解析　因为数列{an}满足a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),所以数列{an}是以a1=15为首项,-为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=-,且数列{an}是递减数列,
因为ak·ak+1<0,
所以解得
因为k∈N*,所以k=23,故答案为23.
8.C　△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则,所以,
利用正弦定理及余弦定理得2·,即2b2=a2+c2,
即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说△ABC是等边三角形,故选C.
9.B　∵F1(-2,0),F2(2,0),∴F1F2=4.
∵F1F2是PF1与PF2的等差中项,
∴2F1F2=PF1+PF2,即PF1+PF2=8>F1F2=4,根据椭圆的定义可知动点P的轨迹曲线的形状为椭圆,F1,F2为椭圆的两个焦点.
设该椭圆方程为=1(a>b>0),
则2a=8,解得a=4,又c=2,c2=a2-b2,∴b2=12,
∴椭圆的方程是=1.
10.解析　(1)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n,
得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6,
同理可得2a3-3a2=12,则2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1),得=2,即=2,
所以数列是首项为=1,公差d=2的等差数列,
所以=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
11.解析　(1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),所以bn+1-bn==1,
又b1=,所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知bn=n-,则an=1+.
结合函数f(x)=1+的性质可知,
当n=3时,an取得最小值,最小值为-1,当n=4时,an取得最大值,最大值为3.
故数列{an}中的最小项为a3且a3=-1,最大项为a4且a4=3.