5.1.2 瞬时变化率—导数 基础过关练（含解析） 苏教版（2019）选择性必修第一册

5.1.2　瞬时变化率——导数
基础过关练
题组一　曲线的割线、切线的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k12.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为　　　　;当Δx=0.001时,割线的斜率为　　　　.
3.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点O,则实数c的值为　　　　.
题组二　瞬时速度与瞬时加速度
4.(2020江苏无锡锡东高级中学检测)若小球自由落体的运动方程为s(t)=gt2(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为,在t=2的瞬时速度为v2,则和v2的大小关系为(　　)
A.C.=v2　　　　D.不能确定
5.(2020江苏无锡一中期中)一辆汽车做直线运动,位移s与时间t的关系为s=at2+1,若汽车在t=2时的瞬时速度为12,则a=(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.3
6.(2020江苏常熟期中)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去(　　)
A. s　　　　B.2 s C. s　　　　D. s
题组三　导数的定义及其几何意义
7.(2020江苏南京中华中学段测)函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)为函数f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A.0B.0C.0D.08.函数y=f(x)=在x=0处的导数为　　　　.
9.(2020江苏连云港赣榆智贤中学月考)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则f(1)+f'(1)=　　　　.
题组四　求曲线的切线方程
10.(2021江苏镇江八校期中联考)曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程是　(　　)
A.x-2y-1=0　　　　B.x+2y-1=0 C.x-y-1=0　　　　D.x+y-1=0
11.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则(　　)
A.a=-1,b=1　　　　B.a=1,b=-1 C.a=-2,b=1　　　　D.a=2,b=-1
12.(2020广东实验中学期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是　　　　.
能力提升练
题组一　导数的定义及其几何意义　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)(2021江苏无锡一中检测)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列结论正确的是(　　)
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强
2. (2021江苏南京期末)若函数f(x)满足f'(x0)=-3,则当h无限趋近于0时,无限趋近于　　　　.
3.服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
题组二　曲线的切线方程及其应用
4.(2022江苏盐城模拟)已知函数f(x)=2x3-x+1,直线l与f(x)的图象相切于点P(x1,f(x1)),且交f(x)的图象于另一点Q(x2,f(x2)),则下列关系中一定成立的是(　　)
A.2x1-x2=0　　　　B.2x1-x2-1=0
C.2x1+x2+1=0　　　　D.2x1+x2=0
5.(2020江苏淮安淮阴中学期末)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为　　　　　　　　.
6.已知曲线f(x)=ax2+bx+与直线y=x相切于点A(1,1),若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,则所有满足条件的实数t组成的集合为　　　　.
7.(2020福建厦门二中期中)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率)
答案全解全析
基础过关练
1.A　k1==16-9=7,则k12.答案　2.1;2.001
解析　∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴=2+Δx,
∴割线的斜率为2+Δx.
当Δx=0.1时,割线的斜率为2+0.1=2.1.
当Δx=0.001时,割线的斜率为2+0.001=2.001.
3.答案　4
解析　设抛物线在点P处的切线的斜率为k,
则k= ==-5,
因为点P的横坐标是-2,
所以点P的纵坐标是6+c,
故直线OP的斜率为-,
根据题意有-=-5,解得c=4.
4.C　=2g,
因为gΔt,所以当Δt无限趋近于0时,2g+gΔt无限趋近于2g,所以v2=2g,即=v2.故选C.
5.D　因为=aΔt+4a,所以当Δt无限趋近于0时,aΔt+4a无限趋近于4a,所以汽车在t=2时的瞬时速度为4a,即4a=12,解得a=3.故选D.
6.B　设当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去x s,
则
=
=0.4+1.2x+0.6Δt,
当Δt无限趋近于0时,0.4+1.2x+0.6Δt无限趋近于0.4+1.2x,所以0.4+1.2x=2.8,解得x=2.故选B.
7.B　由题图可知,f(x)在x=2处的切线斜率大于其在x=3处的切线斜率,且斜率为正,
∴0∵f(3)-f(2)=,
∴f(3)-f(2)可看作是过点(2,f(2))和点(3,f(3))的割线的斜率,由题图可知f'(3)即08.答案　0
解析　Δy=
=,
∴,
∴当Δx→0时, →0,
即=0,∴f(x)在x=0处的导数为0,即f'(0)=0.
9.答案　5
解析　由导数的几何意义可得,f'(1)=1,又M(1,f(1))在切线上,所以f(1)=1+3=4,则f(1)+f'(1)=4+1=5.
10.D　由题意得,f'(1)=
=
=(-Δx-1)=-1,
所以曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程为y=-1×(x-1),即x+y-1=0,故选D.
11.B　由题意得,f'(1)=
=
==2+a.
∵曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,
∴2+a=3,解得a=1.
又∵点(1,1)在曲线y=f(x)=x2+ax+b上,
∴1+a+b=1,解得b=-1,
∴a=1,b=-1.故选B.
12.答案　2x-y-1=0
解析　设切点坐标为(x0,y0),y=f(x)=x2,则由题意可得,切线斜率f'(x0)==2x0=2,所以x0=1,则y0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
能力提升练
1.ABC　设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-,由题图易知y甲>y乙,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,A正确;
由题意知,在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,B正确;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,C正确;
由计算式-可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,D错误.
2.答案　-12
解析　因为f'(x0)=-3,所以=-3,
所以
=4×=-3×4=-12.
3.答案　f'(10)=1.5表示服药后10 min时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL(表达合理即可)
4.D　易知f(x)的图象在点P处的切线的斜率k=f'(x1)=-1,又切线过点Q(x2,f(x2)),
∴k=)-1,
∴2(-1,化简得=0,即(x2+2x1)(x2-x1)=0,
∵x1≠x2,∴x2+2x1=0.
5.答案　4x-y-2=0
解析　∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-x3-(a-1)x2-ax,即a=1,∴f(x)=x3+x,
∴f'(1)=
=
=[(Δx)2+3Δx+4]=4,f(1)=2,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
6.答案　{4}
解析　f'(1)=
=
=(2a+b+aΔx)=2a+b.
因为曲线f(x)=ax2+bx+与直线y=x相切于点A(1,1),所以
解得
所以f(x)=,
由f(x-t)≤x(1≤x≤9)得≤x(1≤x≤9),
解得≤t≤(1≤x≤9),
由此可得=4≤t≤=4(1≤x≤9),
所以所有满足条件的实数t组成的集合为{4}.
7.解析　由得故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线的切线斜率分别为f'(1)=(Δx+2)=2,
g'(1)=
==-1.
所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为.