4.1对数的概念 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

4.1对数的概念北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设，，均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )
注：为自然对数的底数，
A. B. C. D.
年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似如图所示现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为参考数据：取，( )
A. B. C. D.
正数，满足，则的值是( )
A. B. C. D.
设，则的值是( )
A. B. C. D.
已知，且，则的值是( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
已知是奇函数，且当时，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题正确的是( )
A. 函数的图象过定点
B. 已知，，则
C. 若，则的取值范围是
D. 为偶函数
下列命题是真命题的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
金陵中学高一段测已知正数，，满足，则下列说法中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
已知函数，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，若，，则的最大值为 ．
设关于的方程的两实根是和，求 ．
已知函数且，则 ．
已知则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
若，试比较，，的大小关系．
本小题分
已知函数．
若时，求满足的实数的值；
若存在，使成立，求实数的取值范围．
本小题分
解下列方程：
．
．
本小题分
已知函数．
解关于的方程；
设函数，若在上的最小值为，求的值．
本小题分
解方程
已知，，求的值．
本小题分
太原五中高一期中
已知，求的值；
已知，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的单调性、换底公式、指对互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
令，则，，，然后进行求解即可．
【解答】
解：、、为正数，令，，
则，，，
，，，
，，
，
，
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数的运算，方程的解法，属于一般题．
将代入方程，解对数方程即可解出的值．
【解答】
解：由可知，，
即，，
两边取对数，，
即，，
故选：．

3.【答案】
【解析】【解析】设石片第次“打水漂”时的速率为，则由，得．，则，所以 ，故又，所以至少需要“打水漂”的次数为故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数式与对数式的互化，考查有理指数幂的运算，属于中档题．
设，利用指数式与对数式的关系，化为对数式，即可表示出，，，从而得到的值．
【解答】
解，依题意，设，
则，，，
所以，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数的运算性质，考查了对数的换底公式的应用，属于中档题．
直接由对数的换底公式化简计算得答案．
【解答】
解：，
，
，解得．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数运算及换底公式的应用．
由，且，知，，故，由此能求出．
【解答】
解：，且，
，，
，
，
，
解得．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数与指数互化，指数运算法则及幂函数及其性质．
设，可得，，，然后根据幂函数的单调性可得答案．
【解答】
解：设，
则：，，，
，，，
，，
又在上单调递减，
，
．
故选．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性以及对数的运算性质，属于中档题．
由已知条件得出，解方程即可．
【解答】
解：是奇函数，且当时，．
若，
，
则，
得，
得，即，
得，
得，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数、对数函数的性质，考查函数奇偶性的判断，考查对数的运算，属于中档题．
选项A：结合指数函数经过定点求解即可；选项B：根据对数运算的性质即可；选项C：由讨论和即可；选项D：首先判断函数的定义域，再写出判断即可．
【解答】
解：：令，则，函数的图象一定过定点，A错误；
：，则，B错误；
：由得
当时，有，矛盾；当时，有，所以，C正确；
：函数有意义则，函数定义域为，关于原点对称，
，，
所以为偶函数，D正确．
故选CD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．
本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．
【解答】
解：，所以A正确；
，满足对数的运算法则，所以B正确；
若，则，所以不正确；
，没有对数，所以不正确；
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数与对数运算法则，考查基本不等式的应用．
令，则，，，由对数的运算性质和基本不等式可得各选项的正误．
【解答】
解：正数，，满足，
设，则，，
对于，，故A正确；
对于，，，，
，，
，，，故B错误；
对于，由，两边平方，可得，故C正确；
对于，由，可得，故D正确．
故选ACD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数。
由、讨论可得答案．
【解答】
解：因为
所以当时， ，解得；
时，，解得或舍，
综上，．
故选AB．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式，指数幂的运算以及对数运算，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可得，再利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：，，若，
，，
，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的换底公式，属于中档题．
不妨设，，再利用对数的换底公式即可得出．
【解答】
解：方程化为，
解得或，
由于方程的两实根是和，
不妨设，，
则．
故答案是．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数求参数和函数值，属于一般题．
讨论和两种情况，分别计算得到，再代入计算得到答案．
【解答】
解：当时，，，不成立；
当时，，或舍去；
综上所述：，则．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指对互化以及对数运算．
由已知将，用对数表示，然后利用对数运算法则求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
所以
．
故答案为．

17.【答案】解：由，得，，，由，得， ，又由，得，，因为，所以．
【解析】略
18.【答案】解：由题意可得当时，，
令，则，
解得舍去，
此时；
由，有．
题目转化为存在，使得，
即，
令，由，
可得．
令，
可得在递增，可得，
所以，即的取值范围是．
【解析】本题考查指数函数的单调性和运用，以及不等式存在性问题解法，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
由题意可得，令，转化为二次方程的求解，计算可得所求值；
由题意可得在有解，运用换元法和指数函数及二次函数的单调性，可得所求范围．
19.【答案】解：化简方程，
得．
故有
解得．
所以原方程的解为．
因为，
所以原方程可化为，
则，．
【解析】本题主要考查了对数运算、对数方程的解法，属于基础题．
利用对数运算性质化为同底型，再利用对数性质解题即可．
先用对数运算性质化为同底型，再利用对数性质化为普通方程求解即可．
20.【答案】解：．
由方程可得，
，，
方程的解集为；
，
函数
，
令，，由对勾函数的性质可知，
则，，
当时，在上的最小值为，
整理可得，解答或舍，
当时，在上的最小值为，
整理可得，解答或舍，
当时，在上的最小值为，
综上，的值为或．
【解析】本题考查指对数函数，与二次函数相结合的综合应用，重点考查函数与方程，属于中档题．
利用平方差公式，方程等价于，再解对数方程和指数方程即可；
令，，则，，转化为关于的二次函数，再根据函数的定义域，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值，求得的值．
21.【答案】解：等价于
解得或舍去，
故原方程的解为．
解：原式，
将的值代入上式得
原式

【解析】本题主要考査对数方程的解法，属于基础题注意对数有意义的条件．
本题主要考査代数式的化简求值，指对运算，属于基础题先根据指数幂的运算法则化简，再代入根据对数运算法则计算可得．
22.【答案】解：因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，解得．

【解析】本题主要考查了对数方程
利用对数式与指数式的互化求出的值；
利用以及对数的运算法则，对数有意义的条件得出关于的不等式与方程组，求解出的值．
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