5.2实际问题中的函数模型 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

5.2实际问题中的函数模型北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
某手机生产线的年固定成本为万元，每生产千台需另投入成本万元．当年产量不足千台时，万元；当年产量不小于千台时，万元，每千台产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为千台时，该厂当年的利润最大？( )
A. B. C. D.
小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为元，每束花的进价为元，若日均销售量束与销售单价元的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
某上市股票在天内每股的交易价格元与时间天组成有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在天内的日交易量万股与时间天的部分数据如下表所示，且与满足一次函数关系，
第天
万股
那么在这天中第几天日交易额最大( )
A. B. C. D.
“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使其成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间单位：天增加总分数单位：分的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且现某学生在高考前天的最后一次模考中的总分为分，依据此模型估计此学生在高考中取得的总分约为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间单位：天，增加总分数单位：分的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且，现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了( )
A. B. C. D.
年月日凌晨时分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．据科学家们测算：火箭的最大速度至少达千米秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．若火箭的最大速度单位：米秒、燃料的质量单位：吨和嫦娥五号探测器的质量单位：吨近似满足函数关系式，要将嫦娥五号探测器顺利送入外太空，则燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为 ( )
A. B. C. D.
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的倍，则至少需要通过构造的次数是取，( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒当教室内每立方米药物含量超过时能有效杀灭病毒已知教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：为常数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 教室内持续有效杀灭病毒时间为小时
D. 喷洒分钟后开始进行有效灭杀病毒
地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为其中常数是距震中公里处接收到的级地震的地震波的最大振幅，是距震中公里处接收到的地震波的最大振幅地震的能量单位：焦耳是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是
A. 若地震震级增加级，则最大振幅增加到原来的倍
B. 若地震震级增加级，则放出的能量增加到原来的倍
C. 若最大振幅增加到原来的倍，则放出的能量也增加到原来的倍
D. 若最大振幅增加到原来的倍，则放出的能量增加到原来的倍
“双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
如果购物总额不超过元，则不给予优惠；
如果购物总额超过元但不超过元，可以使用一张元优惠券；
如果购物总额超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；
如果购物总额超过元，其中元内的按第条给予优惠，超过元的部分给予折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是( )
A. 如果购物总额为元，则应付款为元
B. 如果购物总额为元，则应付款为元
C. 如果购物总额为元，则应付款为元
D. 如果购物时一次性全部付款元，则购物总额为元
某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. 当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱
B. 当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案内含付费元，行程大于每增加公里费用增加元
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为
某市出租车收费标准如下：起步价为元，起步里程为不超过按起步价付费；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了 ．
年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空约秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为若该火箭最大速度达到第一宇宙速度，则燃料质量是箭体质量的______倍参考数据：
四、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近天内的日销售量件与价格元均为时间天的函数，且日销售量近似满足件，价格近似满足于
元．
试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
本小题分
近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻小时和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，
求空气污染指数的解析式和最大值
若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过试问目前市中心的综合污染指数是否超标请说明理由．
本小题分
新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机。已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为台，且每万台的销售收入单位：万元与年产量单位：万台的函数关系式近似满足：
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式．年利润年销售收入总成本；
当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
本小题分
某旅游点有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超过元，则每提高元，租不出去的自行车就增加辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过元，每辆自行车的日租金元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用表示出租所有自行车的日净收入即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得．
求函数的解析式及定义域；
试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
本小题分
某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品百台，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元总成本固定成本生产成本，销售收入万元满足，假设该产品产销平衡，试根据上述资料分析：
Ⅰ要使工厂有盈利，产量应控制在什么范围内；
Ⅱ工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
Ⅲ当盈利最多时，求每台产品的售价．
本小题分
某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价元．经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价元，周后开始保持元的价格平稳销售，周后由于市场竞争日益激烈，每周降价元，直到周结束，该产品不再销售．
求售价单位：元与周次之间的函数关系式；
若此电子产品的单件成本单位：元与周次之间的关系式为，，，试问：此电子产品第几周的单件销售利润销售利润售价成本最大？
本小题分
某厂生产某种产品百台，总成本为万元，其中固定成本为万元，每生产百台，成本增加万元，销售收入万元，假定该产品产销平衡．
若要该厂不亏本，产量应控制在什么范围内？
该厂年产多少台时，可使利润最大？
求该厂利润最大时产品的售价．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数模型，函数的应用，属于中档题．
求出利润的函数解析式，用分段函数表示，然后分段求出函数的最大值，比较大小求解即可．
【解答】
解： 设年产量为千台，当年的利润为万元，
则由已知有
即
当时，由二次函数性质知当时，取得最大值，
当时，由对勾函数单调性得，在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，
又，
所以当年产量为千台时，该厂当年的利润取得最大值万元．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用二次函数模型解决实际问题，属于中档题．
设每天获利元，可得，结合二次函数的图像与性质即可得解．
【解答】
解：设每天获利元，则，
由，，得，
故当时，每天获利最大，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象，分段函数，待定系数法，二次函数求最值，学生根据实际问题选择函数类型的能力，属于中档题．
由图象知函数为分段函数，根据待定系数法分别求出函数在上的解析式，再根据表格求出一次函数的解析式，从而写出交易额函数的解析式，在各段上根据二次函数求最值即可．
【解答】
解：当时，设，
根据图象过点，所以
解得，所以，
同理可得当，，
综上可得，
由题意可设，把代入可得
解得，所以，
当时，对称轴为，开口向下，
所以当时，万元，
当时，在上单调递减，
所以时，万元，
综上可得，第日的交易额最大为万元．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于一般题．
由条件求出，得，所以估计该生高考中可能取得的分数在分左右，结合选项即可判断．
【解答】
解：因为，
所以，所以
所以，
所以．
所以估计该生高考中可能取得的分数在分左右，比较四个选项可知比较接近．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于一般题．
由条件求出，得，所以估计该生高考中可能取得的分数在分左右，结合选项即可判断．
【解答】
解：因为，
所以，所以
所以，
所以．
所以估计该生高考中可能取得的分数在分左右，比较四个选项可知比较接近．
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，以及对数的运算性质，是中档题．
由题意可得增加了，再由对数的运算性质求解．
【解答】
解：将信噪比从提升至时，
大约增加了
．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的应用和对数函数模型．
根据题意列出不等式进而求解即可．
【解答】
解：千米秒米秒，
令，
，
，
，
当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本考查对数的运算与估算，指数函数模型的运用，不等式求解，考查了分析和运算能力，属于中档题．
根据题意，记初始线段长度为 ，“ 一次构造”后的折线的长度为 ，” 二次构造”后的折线的长度为 ， ，“ 次构造“ 后的折线的长度为 ，则要使得到的折线的长度达到原来的 倍，应满足 ，然后解不等式即可求解．
【解答】
解：由题意，记初始线段长度为 ，“ 一次构造”后的折线的长度为 ，
”二次构造”后的折线的长度为 ， ，
“ 次构造” 后的折线的长度为 ，
则要使得到的折线的长度达到原来的 倍，应满足 ，
两边同时取对数得 ，即得 ， ，
代入数据得 ，
故至少需要通过构造的次数是 ．
故选

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的应用，函数解析式及不等式解法，属于中档题．
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．
【解答】
解：当时，设，
则，故，故A正确；
当时，把代入，
可得：，，时，，故B正确；
令得，令得，
则教室内持续有效杀灭病毒时间为小时，故C错误
令得，则当喷洒分钟后开始进行有效灭杀病毒，故D正确；
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数模型的应用、对数运算性质及指数运算性质，属于中档题．
设 ，代入题目所给公式运算即可判断，，设最大振幅增加到原来的倍，对应的震级为，代入求出对应的震级和放出的能量，即可判断，．
【解答】
解：设 ，
则，又，
则，
所以，故A正确；
因为，故B错误；
设最大振幅增加到原来的倍，对应的震级为，
则，
对应放出的能量，故C错误，D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于一般题．
结合购物总额对应哪种情况进行计算即可．
【解答】
解：对于项，购物总额为元，属于情况，可以使用一张元优惠劵，则应付款为元，故A项正确
对于项，购物总额为元，属于情况，则按标价给予折优惠，
则应付款为元，故B项正确
对于项，购物总额为元，属于情况，则其中元内的按第条给予优惠，超过元的部分给予折优惠，故应付款为元，故C项错误
对于项，若购物时一次性全部付款元，属于情况，
设超过元的部分为元，
则，解得元，则购物总额为元，故D项正确．
故选ABD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数模型的应用，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．
根据题意，分段求出甲乙函数解析式，即可得出结论．
【解答】
解：根据图象，当时，甲方案的函数解析式为，
当时，甲方案的函数图象是一条直线，直线过点，，
设函数解析式为，则，解得，即，
综上，甲方案支付费用元与打车里程数的函数关系为
同理，乙方案支付费用元与打车里程数的函数关系为
对于，当时，甲方案付费元，乙方案付费元，所以甲方案省钱，故A正确；
对于，从图象上可以看出，当打车距离为时，付费都是元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；
对于，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为元，乙方案每公里增加的费用为元，所以C正确；
对于，甲方案行程大于每增加公里费用增加元，所以不正确．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
解：设至少需要块玻璃板，
由题意知，
即，
两边取对数，
即，
即，
，
．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
设出租车行驶时，付费元，则令即可求解．
【解答】
解：设出租车行驶时，付费元，
则
由，当时，，
所以令，
解得．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
设比例系数为，则，将，代入，求出，即可求出结果．
【解答】
解：设比例系数为，
则，
将，代入上式，得，
，代入，得，
整理，得火箭飞行速度与燃料质量的函数关系式是：
，
当该火箭最大速度达到第一宇宙速度时，
，解得，
所以燃料质量是箭体质量的倍．
故答案为．
16.【答案】解 由已知，由价格乘以销售量可得：
即
由知当时，，
函数图像开口向下，对称轴为，
该函数在上单调递增，在上单调递减，
当时取得，当或时取得；
当时，，
函数图像开口向上，对称轴为，
该函数在单调递减，
当时取得，当时取得，
由知当时取得，当时取得，
即日销售额的最大值为元，最小值为元．
【解析】本题考查分段函数和二次函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由价格乘以销售量可得化简即可；
利用二次函数的性质分段求出最大值，比较后即可得解．
17.【答案】解：由题意得，，
即，
当且仅当时，．
由得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标．
【解析】本题考查函数的模型的应用，二次函数图像性质的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
求出的解析式，利用基本不等式得出最值即可；
设，可得，，利用二次函数的性质得出的单调性，求出的最大值，作出判断．
18.【答案】解：，；
当时，，
在上单调递增时，取最大值，
当时，，
当时，，
综上，当年产量为万台时，该公司获得最大利润，最大利润为万元．
【解析】本题考查分段函数模型的构建，考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
利用年利润年销售收入总成本即可求得解析式
利用分段函数的单调性和基本不等式即可求得最大值．
19.【答案】解：当时，，
令，解得．
，，，且．
当，时，，
函数的对称轴为，且开口向下，当时，，当时，，
当，时，恒成立，
综上可知
当，且时，是增函数，
当时，元．
当，时，，
当时，元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在元时才能使日净收入最多，为元

【解析】解：当时，，
令，解得．
，，，且．
当，时，，
函数的对称轴为，且开口向下，当时，，当时，，
当，时，恒成立，
综上可知
当，且时，是增函数，
当时，元．
当，时，，
当时，元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在元时才能使日净收入最多，为元．
20.【答案】解：Ⅰ由题意，得，
设利润函数为，
则
由，
解得或，
即，
故要使工厂有盈利，产量应控制在大于台，小于台的范围内；
Ⅱ当时，，即当时有最大值；
当时，．
故当工厂生产台产品时，可使盈利最多为万元；
Ⅲ当时，万元，万元百台，
故盈利最多时，每台产品的售价为元．
【解析】本题主要考查利用分段函数模型解决实际问题．
Ⅰ由题意，设利润函数为
，解即可；
Ⅱ分别求各段上的最大值，比较大小从而求最高盈利；
Ⅲ当时，万元，万元百台，从而得结果．
21.【答案】解：当时，；
当时，；
当时，．
所以．
由于单件电子产品的销售利润 售价 成本，
即单件销售利润 ，
所以，当时，
．
此时单调递增，所以当时，取得最大值．
当时，．
当时，取得最大值．
当时，．
当时，取得最大值．
综上，该电子产品第周时单件销售利润最大．
【解析】本题考查函数的应用，分段函数、二次函数求最值，属于中档题．
分别求出当 ， 以及 时的函数 的解析式，再写成分段函数的形式；
根据单件销售利润 ，分别求出 在各段上的最大值，再取其中最大者，即可得到答案．
22.【答案】解：由题意得，成本函数为，
从而利润函数．
要使不亏本，只要，
当时，，
当时，．
综上，．
故若要该厂不亏本，产量应控制在台到台之间．
当时，，
故当时，万元，
当时，．
综上，当年产台时，可使利润最大．
由知时，利润最大，此时的售价为．
【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
由题意得，成本函数为，从而利润函数．
要使不亏本，只要，可求取值．
分类讨论，分和两种情况，分别求利润最大值，比较即可．
由知时，利润最大，计算此时的售价即可．
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